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  • 【2018.6.2】今天在看书的时候无意中需要使用... 据说有两种方法,这里都列举一下吧: 方法一: step 1 首先,根据真值表当中结果是true的项,找出它的两个输入项,然后进行与运算;如果遇到输入项的取值是fals...

        【2018.6.2】今天在看书的时候无意中需要使用到如题所示的知识,但是由于上次看数字逻辑这本书已经是N年前的事情了,所以又有点忘记了,现在趁着刚刚大概浏览了一次,虽然感觉不算难,但是还是记下来吧。

        据说有两种方法,这里都列举一下吧:

        方法一:

            step 1 首先,根据真值表当中结果是true的项,找出它的两个输入项,然后进行与运算;如果遇到输入项的取值是false,就需要把它写成非的形式,反之,如果输入项是true,那么就不用管,写成原来的样子就行了。

            step 2 然后,遍历整一个真值表,把所有输出值为true的项进行或运算(相加),就可以得到最原始的逻辑关系式。

            step 3 化简step 2得到的逻辑表达式即可。

        方法一的例子:以最简单的A xor B为例,下面是他们的真值表

    A xor B01
    0falsetrue
    1truefalse

        由这个真值表可以写出如下的表达式:(!A)B + A(!B) 这条式子就等价于 A xor B 了。

        方法二:

            step 1 首先,根据真值表当中结果为false的项,找出它的两个输入项,然后进行或运算;如果遇到输入项的取值是true,就需要把它写成非的形式,反之,如果输入项是false,那么就不用管,写成原来的样子就行了。

            step 2 然后,遍历整一个真值表,把所有输出值为false的项进行或运算(相加),就可以得到最原始的逻辑关系式。

            step 3 化简step 2得到的逻辑表达式即可。

        仍然以上一个真值表为例,可以列出如下的逻辑表达式:(A+B) · (!A + !B)   ------->(*)

        对于(*)可以化简得到 (!A)B + A(!B) 即和方法一的结果一致。


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  • 真值表逻辑表达式的方法

    万次阅读 多人点赞 2020-02-12 08:59:59
    第一步:从真值表内找输出端为“1”的各行,把每行的输入变量成乘积形式;遇到“0”的输入变量上加非号。 第二步:把各乘积项相加,即得逻辑函数的表达式。 第二种方法:以真值表内输出端“0”为准 第一步:从真值...
    • 第一种方法:以真值表内输出端“1”为准

    第一步:从真值表内找输出端为“1”的各行,把每行的输入变量写成乘积形式;遇到“0”的输入变量上加非号。

    第二步:把各乘积项相加,即得逻辑函数的表达式。

    • 第二种方法:以真值表内输出端“0”为准

    第一步:从真值表内找输出端为“0”的各行,把每行的输入变量写成求和的形式,遇到“1”的输入变量上加非号。

    第二步:把各求和项相乘,即得逻辑函数表达式。

    • 总结,哪种方法得到的表达式简洁就用哪种。
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  • 采用逻辑门和MSI模块来进行组合逻辑电路的设计,需要我们根据实验的需求和电路的功能要求,明确输出量与输入量之间的关系,即得到一张真值表(或者是功能表)。根据这张真值表,我们还需要将其转化成逻辑函数,即用...

    一、引言

            采用逻辑门和MSI模块来进行组合逻辑电路的设计,需要我们根据实验的需求和电路的功能要求,明确输出量与输入量之间的关系,即得到一张真值表(或者是功能表)。根据这张真值表,我们还需要将其转化成逻辑函数,即用逻辑语言来描述输出量与输入量之间的关系,替代这一张庞大的真值表。只有明确地表示出输出量与输入量之间对应的函数关系或者功能模块的逻辑关系,才有办法搭建逻辑门或者MSI模块使不同的输入量实现对应的输出。
            要想根据电路的功能需求得到一张真值表并不困难,只需要将每种输入和其对应的输出情况排列出来即可。而从真值表转化到逻辑函数,需要我们掌握一些方法和技巧,常见的方法有两种:①卡诺图法:先根据真值表写出逻辑函数的最小项和最大项表达式,再根据卡诺图来进行化简,得到最简与或式和最简或与式。②观察法:直接在真值表中,观察输出与输入之间的关系,就可以写出与或式和或与式,但这样得到的与或式和或与式不一定是逻辑函数的最简形式,可能需要我们通过卡诺图进行检验和化简。
            我们今天的重点是教大家使用第②种方法,即如何在真值表中通过观察法描述输出量与输入量之间的关系,得到逻辑函数的与或表达式和或与表达式。

    二、与或表达式

            要想从真值表中得到一个与或表达式,我们需要根据或运算的特点:等号右边的每一项只要有一项为1,那么或运算表达式的结果一定为1。也就是说,我们用不同的乘积项组合表示出真值表中所有输出结果为1的情况即可。
            具体的实现方法是:我们需要在真值表中找到输出为1的行,观察该行对应的输入项有什么特点,能够使得输出一定为1而不是为0。这个特点可以表示成输入项之间的乘积形式(&),成为与或式的其中一项

            我们可以来看这样一个例子:要求用4位全加法器芯片7483实现1位8421BCD码加法器。我们都知道,7483是4位二进制加法器,其进位规则是逢16进1,而8421BCD码表示的是十进制数,进位规则是逢10进1,所以直接用7483加法器让两个8421BCD码相加时,如果和≤9,结果正确,如果和≥10,结果将出现误差。用7483实现BCD码相加时,关键在于确定何时对结果进行修正,以及如何修正。
            显然,我们需要先通过7483全加器芯片来实现两个BCD码的相加,但此时得到的结果是一个二进制数,并不是8421BCD码,所以我们还需要一个校正电路,来实现7483相加后的结果(二进制数)到8421BCD码(十进制数)的一个转化。要设计这个校正电路,我们需要先分析校正电路需要实现的输出与输入之间的关系,列出真值表如下图所示:
    在这里插入图片描述

            真值表中的N10为两个BCD码相加用十进制数表达的结果(范围只可能从0 - 18)。比较表中的输出和输入可以发现,当N10≤9时,8421BCD码的进位DC为0,二进制数与8421BCD码相同;当N10≥10时,8421BCD码的进位DC为1,8421BCD码就比相应的二进制数大6。那么我们如何知道N10什么时候≤9,什么时候≥10呢?不难发现,只需要根据DC是否为1来判断。
            当DC = 0时,校正电路的输出也就是7483输出的结果;当DC = 1时,将7483的输出值与(0110)2相加,就可以实现输出值的修正。也就是说,校正电路也需要一个全加器来实现,相加的两个数分别为上一级7483全加器输出的结果和(0DCDC0)2。所以问题分析的关键变成:如何从真值表中得到输出DC与输入(C4S3S2S1S0)之间的关系?那这个问题就是我们今天的重点了,我们可以通过观察,用与或式将DC的逻辑函数给表达出来。

            我们将上面提到的重点重复一遍!“我们需要在真值表中找到输出为1的行,观察该行对应的输入项有什么特点,能够使得输出一定为1而不是为0。这个特点可以表示成输入项之间的乘积形式(&),成为与或式的其中一项”

            对应到这个例子中,我们观察输出DC为1的行,不难发现如果输入C4为1,那么DC一定为1,那么C4就是这个与或式的其中一项。但是还有C4不为1的输入项能够使得输出DC也为1,那么这些输入项具有什么特点呢?我们又可以发现,如果输入S3和S2同时为1,那么输出DC也一定为1,故可将这一特点表示成输入项之间乘积的形式,即S3·S2,这又可以成为与或式中的其中一项(意思是:只有S3和S2同时取1,才能使得这个与运算的结果为1,进而使得DC与或表达式的结果为1)。同理,我们可以发现如果输入S3和S1同时为1,那么输出DC也一定为1,所以可以表示为S3·S1
            至此,我们已经找到了能使且仅能使输出DC = 1的所有可能特点,故可以写出DC的与或式:DC = C4 + S3·S2 + S3·S1

    三、或与表达式

            我们当然也可以将DC表示成或与式的形式,依据的原理就是与运算的特点:等号右边的每一项只要有一项为0,那么与运算表达式的结果一定为0。也就是说,我们用不同的加和项(或运算)组合表示出真值表中所有输出结果为0的情况即可。
            具体的实现方法是:我们需要在真值表中找到输出为0的行,观察该行对应的输入项有什么特点,能够使得输出一定为0而不是为1。这个特点可以表示成输入项之间的加和形式(+),成为或与式的其中一项

            对应到这个例子中,我们观察输出DC为0的行,不难发现如果输入C4和S3全都为0,那么输出DC一定为0,故可将这一特点表示成输入项之间加和的形式,即(C4 + S3),这可以成为或与表达式中的一项(意思是:只有C4和S3同时取0,才能使得这个或运算的结果为0,进而使得DC或与表达式的结果为0)。为了对应完DC为0的所有情况,我们还要寻找其他的特征,又可以发现如果输入C4和S2以及S1同时为0,那么输出DC也一定为0,所以可以将这一特点表示成(C4 + S2 + S1),这是或与表达式的另外一项。
            至此,我们已经找到了能使且仅能使输出DC = 0的所有可能特点,故可以写出DC的或与式:DC = (C4 + S3)(C4 + S2 + S1)。

    四、电路的实现

            根据DC的与或式或者或与式,我们自然地就可以设计出上述例题对应的校正电路了,这里以DC的与或式:DC = C4 + S3·S2 + S3·S1 为例,用两片4位全加器芯片7483设计出一位BCD码的加法运算电路,如下图所示:
    在这里插入图片描述

    五、表达式的化简

            用观察法从真值表中得到的与或式和或与式不一定是最简的形式,我们可以通过代数法或者卡诺图来进行检验和化简。当然,如开篇引言所说,我们也可以直接从真值表转化到卡诺图中进行最简与或式和最简或与式的求解。但先在真值表中观察写出表达式的方法,可能消去了一些输入量,在某种程度上比直接使用卡诺图更为快速。下图展示了将上述例题通过观察法得到的两个表达式进行卡诺图检验的结果,结果表明该与或式和或与式已经是最简的形式。而且,该卡诺图只含有4个输入量,若直接根据最小项或最大项表达式画卡诺图,将会含有5个输入量。
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

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  • 一、命题与联结词 、 二、命题公式 、 三、命题公式示例 、 四、联结词优先级 、 五、真值表



    基于上一篇博客 【数理逻辑】谓词逻辑 ( 个体词 | 个体域 | 谓词 | 全称量词 | 存在量词 | 谓词公式 | 习题 ) ;





    一、命题与联结词



    原子命题 : p , q , r p , q , r p,q,r 表示 原子命题 , 又称为 简单命题 ;

    • 真 : 1 1 1 表示 命题真值 为真 ;
    • 假 : 0 0 0 表示 命题真值 为假 ;

    联结词 : 上一篇博客 【数理逻辑】谓词逻辑 ( 个体词 | 个体域 | 谓词 | 全称量词 | 存在量词 | 谓词公式 | 习题 ) 三. 联结词 章节讲解了联结词 ;

    • 否定联结词 : ¬ \lnot ¬
    • 合取联结词 : ∧ \land , p ∧ q p \land q pq , p q pq pq 同真, 结果才为真 , 其余情况为假 ;
    • 析取联结词 : ∨ \lor , p ∨ q p \lor q pq , p q pq pq 同假, 结果才为假 , 其余情况为真 ;
    • 蕴涵联结词 : → \to , p → q p \to q pq , p p p q q q 假, 结果才为假 , 其余情况为真 ;
    • 等价联结词 : ↔ \leftrightarrow , p ↔ q p \leftrightarrow q pq , p q pq pq 真值相同时为真 , 表示等价成立 , p q pq pq 真值相反时为假 , 等价不成立 ;




    二、命题公式



    命题公式 组成 :

    ① 单个 命题变元 / 命题常元 是命题公式 ;

    ② 如果 A A A 是命题公式 , 则 ( ¬ A ) (\lnot A) (¬A) 也是命题公式 ;

    ③ 如果 A , B A,B A,B 是命题公式 , 则 ( A ∧ B ) , ( A ∨ B ) , ( A → B ) , ( A ↔ B ) (A \land B) , (A \lor B), (A \to B), (A \leftrightarrow B) (AB),(AB),(AB),(AB) 也是命题公式 ;

    有限次 应用 ① ② ③ 形成的符号串 是命题公式 ; ( 无限次不行 )





    三、命题公式示例



    命题公式示例 :

    简单命题 : p p p

    复合命题 : 使用 联结词 的命题称为 复合命题 ;

    ¬ p \lnot p ¬p
    ( p → q ) (p \to q) (pq) , 最外层的括号可以省略 , p → q p \to q pq
    ( p → ( q → r ) ) (p \to (q \to r)) (p(qr)) , 最外层括号可以省略 , 内层的括号不可以 , p → ( q → r ) p \to (q \to r) p(qr) ;





    四、联结词优先级



    联结词优先级 :

    ¬ \lnot ¬ 大于 ∧ , ∨ \land , \lor ,大于 → , ↔ \to, \leftrightarrow ,

    ∧ , ∨ \land , \lor , 优先级相同 ;

    → , ↔ \to, \leftrightarrow , 优先级相同 ;





    五、真值表



    真值表 :

    p p p q q q p → q p \to q pq p ∧ ¬ q p \land \lnot q p¬q p ∧ ( p ∨ q ) ↔ p p \land ( p \lor q ) \leftrightarrow p p(pq)p
    0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1
    0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1
    1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1
    1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1

    p → q p \to q pq可满足式 ;

    p ∧ ¬ q p \land \lnot q p¬q矛盾式 , 又称为 永假式 ;

    p ∧ ( p ∨ q ) ↔ p p \land ( p \lor q ) \leftrightarrow p p(pq)p重言式 , 又称为 永真式 ;


    可满足式 : 真值表中 , 至少有一个结果为真 , 可以都为真 ;

    矛盾式 ( 永假式 ) : 所有的真值都为假 ;

    可满足式 与 矛盾式 , 是 二选一 的 , 复合命题 要么是 可满足式 , 要么是 矛盾式 ;

    重言式 ( 永真式 ) 是可满足式的一种 ;

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根据真值表写逻辑式