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  • 两矩阵相乘性质_高等代数每日一题第31期—二次型的
    2020-11-20 21:15:23

    第31期题目

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    作者:Daniel 时间:2020年6月2日

    题目

    (2004,中南大学)设实二次型,证明的秩等于矩阵的秩,其中

    欢迎聪明的你来挑战!欢迎2021年考研的同学跟Daniel老师打卡,点击右下角“在看”打卡留言,写下你的想法、感悟!下一期Daniel老师将对本期题目进行详细分析、解答和点评。

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    (长公式可以左右滑动阅读)

    第30期题目解答

    (2003,厦门大学)设均为阶方阵,求证:

    分析:

    若,则显然不等式中等号成立.本题的障碍在于左下角的矩阵块,我们得想办法用初等变换把它变为0块。若可逆,则第一行乘以加到第二行就能将消为0.若不可逆,怎么办呢?这时我们可以想到它的标准形中左上角有一个可逆的单位矩阵,所以,我们需要先用初等变换将变为标准形.

    证明:

    设,则存在可逆矩阵使得于是,

    注意到,用左上角的通过行变换可以将的前列消为0块,所以,

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    考 研 专 题                       

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    高等代数每日一题第三期

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    高等代数每日一题

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    引言

    线性代数(高等代数)是进入大学之后学习代数的起点,和数学分析,解析几何并称数学三大基础课。需要注意的是,一般理工科学的是线性代数,数学系学的是高等代数,高等代数相比于线性代数,除了内容上增加了多项式以外,难度和深度也有增加。当然,高等数学和数学分析所学的内容也有所区别,这里就不再赘述。以如今的数学观点来看,线性代数几乎无处不在,它的概念与方法已经渗透到和数学相关的方方面面,这也正是为什么线性代数如此重要的原因。

    线性代数的课程内容基本上可以划分为矩阵、线性空间,线性变换三大部分,每个部分里还又可以分成若干小部分。当热,线性变换无疑是线性代数的核心内容,而对线性变化的研究又可以转化为对矩阵的研究,如此看来,“矩阵”应当说是线性代数最核心的概念。而行列式又紧密着矩阵,因此行列式的重要性自然也不言而喻。今天我们就简单地分析一下行列式和矩阵的一些浅显性质和意义,限于篇幅和学识,就不过多的展开。

    行列式

    线性代数比较传统的讲法都是从解线性多元方程组开始,因为这样可以自然地引出行列式和矩阵的概念。从数学的历史发展来看,虽然行列式和矩阵看起来“非常相似”,但对行列式的研究早于矩阵。行列式的概念来源于日本的关孝和,而差不多一百年后才由克拉默正式提出了利用行列式解线性方程组的方法,也就是我们熟知的克拉默法则

    行列式的原始定义来源于解n×n型线性方程组,也就是把n×n个系数拿出来进行行列式运算。以完全数学的观点来看,行列式是一个关于列的多重反对称线性函数,至于怎么去具体定义以及行列式的各种性质,这里不再赘述。

    特别要提到的是,行列式的性质与线性方程组的性质高度相关,我们都知道解线性方程组有著名的高斯消元法,也就是不断地把前面的方程乘以一个常数加到后面方程中去,这样就可以逐渐减少后面方程的未知数个数直到不能减少为止,然后通过解这个未知数最少的方程来逐渐解整个方程组。这里可能会出现行列式为0的情形,也就是至少某两个方程是等价的,而等价就是说进行高斯消元后其中一个是另一个的倍数,这样的后果就是方程组的解不唯一,解将由一个或多个参数表达出来。粗略的说,解如果要唯一,那么不等价方程的个数就要等于未知数的个数,这也就是求行列式的价值所在,它恰是判断这一结果的标准。

    行列式只能定义为n×n的形式,因为它最早就是用来研究n×n型线性方程组的。关于这样的线性方程组,著名的克拉默法则指出,如果一个线性方程组的系数行列式不为0,那么它有唯一解并且可以用行列式表达出来。那么一个自然的问题是,如果一个线性方程组的方程个数和未知数个数不一样怎么办?这也就引出了矩阵的概念。但需要注意的是,矩阵并不是行列式的推广,行列式是一种运算,而矩阵则是一个数学结构,或者说研究的对象。

    矩阵

    类似于行列式中的形式,我们把方程组的系数拿出来构成一个所谓的系数矩阵,而把未知数和常数项分别拿出来构成一个列向量,再把系数和常数项重新组合成一个增广矩阵

    实际上高斯消元法对这样的方程组同样有效,而且在这样的表达形式下,我们只需要对增广矩阵进行操作就行了,那么对方程组的研究就完全转化为对矩阵的研究,实现了从具体到抽象的过程。对于数学而言,很多时候我们关心的是解的情况而不是去具体求出来,比如解的存在唯一性,或者不唯一的情况下用几个参数能表达出来。

    为了达到这些目的,就要引入矩阵的“秩”这个深刻概念。从一个a行b列的a×b矩阵中任意拿出n行n列(n≤a,b)构成一个方阵(也就是行数和列数相等的矩阵),如果这个方阵的行列式不为0,就称之为非奇异或可逆的,使得n×n方阵非奇异的最大的n就成为这个矩阵的秩,并且若n等于a和b中较小的一个,就称之为满秩(秩记为R)。实际上,可以看出,矩阵的秩实际上就是不等价方程的个数。接下来就可以证明,线性方程组有解的充分必要条件就是系数矩阵的秩和增广矩阵的秩(记为r)相等,进一步,解的参数有b-r个,如果b-r<0,那么方程组不相容,也就无解。特别的,如果系数矩阵满秩,那么一定有解,因为此时增广矩阵也满秩。至此,线性方程组解的存在唯一性问题已经完全解决。

    再考虑更一般的情形,也就是未知数也不止一列,此时把不同的未知数的列拿来构成一个矩阵,这样就得到了矩阵的乘法含义,即系数矩阵乘以未知数列矩阵等于常系数列矩阵。由矩阵乘法定义可以看出,矩阵A和B可以相乘的条件是A的列数要等于B的行数。

    可以看出,方阵是矩阵中最重要的一种,因为它可以求行列式。如果行列式不为0,这样又引出矩阵的逆矩阵这样的概念。方阵A在乘法的运算下,具有单位元,也即单位矩阵E(对角线全为1的矩阵),满足AE=EA=A。如果AB=BA=E,那么称B为A的逆矩阵。如果再回到线性方程组Ax=b上,如果A可逆,那么在方程组两边左乘A的逆矩阵B,那么x=Bb,这样就直接解出了方程组!这也正是逆矩阵的原始意义。求逆矩阵的方法很多,这里就不多说了。

    方阵的行列式

    线性空间又称向量空间,取定一组基底后,线性空间中的元素完全由它在基底下的系数决定,那么判断若干个向量是否线性相关就转化为系数矩阵秩的问题。一个线性空间到自身的线性映射就称为线性变换,取定一组基底后,线性变换将由它在基底下的矩阵(实际上是一个方阵)唯一决定。例如图形的平移、旋转和压缩等都属于线性变换。

    在求多重积分的变量替换过程中,我们遇到过雅可比矩阵及其行列式,这个行列式拥有深刻的几何意义。dx1dx2……dxn表示的是体积微元,我们知道变量替换要求雅可比行列式不为0,实际上雅可比行列式反应的是有向体积元在线性变换下的伸缩情况,因为微分可以看作切空间上的线性变换。如果雅可比行列式为0,那么线性变换不可逆,它把高维的空间映射到低维空间,一一对应就不复存在,很多东西就失去意义。

    行列式的几何意义通过这种方式得到了粗略的解释,但行列式所能表达的意义远不止于此,例如它还能表示出向量的外积,多面体的体积等等,当然,核心思想都是相似的。

    结语

    我们从线性方程组出发,简单分析了行列式和矩阵这两个概念,又在线性变换这一核心内容下重新观察了矩阵及其行列式。但不得不说的是,关于矩阵的内容博大精深,我们所说的这些连九牛一毛都算不上,充其量只算是引出概念。我们的介绍到这里就告一段落,感兴趣的朋友们可以参看相关的书籍。

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  • 前言:花了一个半月时间学习了 北大丘维声的《高等代数》、北理史荣昌的《矩阵分析》、清华张贤达的《矩阵分析与应用》;北大与哈工大的网课。本质:(万物皆矩阵矩阵论主要研究矩阵,对于图像、神经网络等可表示...

    前言:花了一个半月时间学习了 北大丘维声的《高等代数》、北理史荣昌的《矩阵分析》、清华张贤达的《矩阵分析与应用》;北大与哈工大的网课。

    本质:(万物皆矩阵)矩阵论主要研究矩阵,对于图像、神经网络等可表示成矩阵形式,然后结果矩阵的处理方法,对其进行操作,例如分解,基本运算等。

    一、矩阵(矩阵表示单个事物)

    1.1矩阵的基本运算

    基本运算:加法;数乘;矩阵乘法;转置;內积;外积

    拓展运算:直和;Hadamard积(Schur积);Kronecker积(直积);Khatri-Rao积(对应列Kronecker积)

    注:向量之间的外积可由Kronecker积表示;Khatri-Rao积由两个列数相同的矩阵 对应列Kronecker积构成

    矩阵结构运算:向量化(列向量化vec(A),行向量化revec(A)),矩阵化(分行向量矩阵化与列向量矩阵化)

    1.2矩阵的性能指标

    (实对称矩阵或Hermite矩阵)二次型:

    ,刻画矩阵的正定性

    (方阵)行列式:刻画矩阵的奇异性;等于特征值之积

    方阵)特征值:1、刻画矩阵的奇异性(是否存在0特征值) 2、刻画矩阵的正定性 3、刻画对角元素之和

    注:上,下三角矩阵的特征值等于主对角元素;实对称矩阵不同特征值对应的特征向量是正交的。

    (方阵)迹:等于特征值之和

    :刻画矩阵的奇异性,行秩等于列秩(对于张量不一定成立)

    奇异值:

    的特征值的正平方根,全奇异值分解-》刻画矩阵的奇异性(是否存在0奇异值)

    1.3矩阵的度量(内积与范数)

    向量:(常采用典范內积

    ,Lp范数

    注:L2范数常称Euclidean范数或者Frobenius范数

    矩阵:

    矩阵內积:

    矩阵范数:诱导范数、元素形式范数、Schatten范数

    (1)诱导范数定义:

    注:常用的诱导范数为p-范数

    ;诱导L1范数对应矩阵的列元素绝对值最大列和;诱导L2范数(
    矩阵的谱范数)对应矩阵A的最大奇异值;诱导L
    范数对应矩阵A的行元素绝对值最大行和

    (2)“元素形式”范数:

    注:当p=2时的范数称为L2范数,Euclidean范数,Frobenius范数

    (3)Schatten范数(用矩阵奇异值定义的范数)

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    1.4 逆矩阵

    (1)正方满秩矩阵的逆矩阵

    (2)非正方满(行或列)秩的伪逆矩阵

    左逆矩阵

    右逆矩阵

    注:左伪逆矩阵与超定方程的最小二乘解有关,右伪逆矩阵与欠定方程的最小二乘解有关

    (3)非正方秩亏损的伪逆矩阵(Moore-Penrose逆矩阵,广义逆矩阵)

    满足以下4个条件的矩阵,称为Moore-Penrose逆矩阵

    1.5 特殊矩阵

    (1)(方阵)实对称矩阵与复共轭对称矩阵(Hermite矩阵)

    (2)(方阵)实正交矩阵与酉矩阵(复数域)

    注:酉矩阵的列或者行向量皆为标准正交基;酉矩阵对应的酉变换保內积,保长度

    (3)(方阵)正规矩阵

    注:对称矩阵hermite矩阵,正交矩阵,酉矩阵皆为正规矩阵。

    (4)置换矩阵:每一行每一列有且仅有一个非零元素1。(等于初等矩阵的乘积,左乘A表示行变换,右乘A表示列变换,)

    注:置换矩阵的三种特殊情况:交换矩阵,互换矩阵,位移矩阵

    (5)带型矩阵(三角矩阵为带型矩阵的特例)除主对角线上下几条斜线以外元素皆为0

    (6)求和向量与中心化矩阵(数理统计中常用)

    求和向量(元素全为1):n个标量的求和可表示为求和向量与另一向量的內积

    中心化矩阵:

    ,其中Jn为元素全为1的n*n矩阵

    注:

    Cnx向量內积等于C的二次型,等于样本数据的协方差

    (7)Vandermonde矩阵,Fourier矩阵,Hadmard矩阵(信号处理中常用)

    1.6 常数、函数、随机矩阵

    注:矩阵元素可为常数、函数、随机变量

    函数矩阵的极限、导数、积分等于对应元素求极限、导数、积分;其余与常数矩阵类似

    1.7 矩阵函数

    (1)利用矩阵幂级数定义矩阵函数(北理数用解析定义)

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    (2)常见矩阵函数(类似利用一元多项式环的通用性质直接得到,与常见函数的泰勒展开式一致)

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    (3)矩阵函数值的计算

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    后面少了P逆

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    由该定理,我们可以实现降次的目的。

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    (4)矩阵函数微分(其中矩阵函数值根据f(X)中f的不同,最终结果可为标量、向量、矩阵)(梯度矩阵与Hessian矩阵最优化问题中常用)

    1、以实矩阵为变元的实函数(梯度矩阵等于Jacobian矩阵的转置)

    注1:Jacobian矩阵为按行向量形式定义的偏导矩阵,梯度矩阵(最优化问题中常见)为按列向量形式定义的偏导矩阵;Jacobian矩阵也有称协(同)梯度矩阵

    注2:一阶实矩阵微分是辨识实矩阵函数的梯度矩阵、Jacobian矩阵的有效数学工具;(即可通过对矩阵函数求一阶微分的结果中直接得到梯度矩阵与Jacobian矩阵,具体表示式见张贤达书第三章

    注3:二阶实矩阵微分是辨识实矩阵函数的Hessian矩阵(二阶偏导矩阵)的有效数学工具;(即可通过对矩阵函数求二阶微分的结果中直接得到实函数的Hessian矩阵,具体表示式见张贤达书第三章

    2、以复矩阵为变元的实函数(梯度矩阵等于Jacobian矩阵的转置,会得到梯度&共轭梯度)注:一阶复矩阵微分可以标识梯度矩阵与共轭梯度矩阵,Jacobian矩阵与共轭Jacobian矩阵;二阶复矩阵微分可以标识复Hessian矩阵

    二、代数系统(矩阵表示两系统之间的关系)

    2.1 代数系统(线性空间、环、域)

    线性空间:定义了加法与数乘,满足8条

    环:定义了加法与乘法,满足6条,乘法需要满足结合律与左右分配律

    注:乘法满足交换律的环称为交换环,乘法中含有单位元的环称为有单位元的环

    举例:一元多项式环,n元多项式环,整数集

    域:含有单位元的交换环,并且其中每个非零元都是可逆元

    举例:数域

    2.2 线性映射(描述两个线性空间的映射问题)

    1、线性映射的矩阵表达式

    线性变换矩阵:

    线性映射矩阵:

    注:已知向量a在

    基下的坐标为X,则线性变换后在
    基下的坐标为Y=AX;则线性映射后在
    基下的坐标为Y=BX;

    2、线性变换的Jordan标准型(方阵,矩阵相似的“最简形式”)

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    证明思路:基于不变子空间可将矩阵块三角化与块对角化,即P1与P2皆为方阵的不变子空间,则实现矩阵的块对角化。若引入一维不变子空间,即特征向量作为P的列向量,当存在n个线性无关的特征向量(表示满足P可逆),则实现矩阵的对角化。

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    最终得到最重要的Jordan标准性:

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    3、特殊的线性变换

    注:一个方阵对应与一个线性变换,具有特殊性质的矩阵对应的线性变换,同样具有某些特性

    (1)酉变换、正交变换(保内积,保长度),属于保距同构映射

    注:酉矩阵一定酉相似于对角矩阵,其主对角元素为模为1的复数(因为酉矩阵特征值的模等于1);正交变换正交相似于分块对角矩阵

    (2)Hermite变换、对称变换

    注:实对称矩阵一定能正交相似于对角矩阵,n级Hermite矩阵一定能酉相似于对角矩阵

    (3)正交投影

    注:若P即为幂等矩阵又为Hermite矩阵,即可作为一投影算子。I-P则为正交投影算子(往垂线方向投影)

    2.3 具有度量的线性空间(內积空间、赋范空间、Hilbert空间)

    內积空间:只要规定了一个內积(正定的对称双线性函数)的线性空间皆可称为內积空间

    注1:有限维实內积空间称为欧几里得空间,简称欧式空间;有限维复內积空间称为酉空间,

    注2:(正定性二者皆满足)复內积与实內积的区别:1、复內积满足共轭对称性,实內积满足对称性;2、实內积对两个变量都是线性的,复內积对于一个变量线性,对另一个共轭线性

    赋范空间:定义了范数的空间,可度量向量长度、距离、领域

    注:定义了L2范数的赋范空间称为Eculidean空间

    完备赋范空间:(完备性)

    1、Banach空间:每一个Cauchy序列极限都存在于空间中

    2、Hibert空间:每一个Cauchy序列的范数的极限都存在于空间中

    ,Banach空间不能

    3、一个有限维的赋范空间一定是Banach空间,自动满足Cauchy序列极限收敛的条件

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  • 第04讲 矩阵的LU分解 Factorization into A=LU04 A的LU分解​v.youku.com本节的主要目的是从矩阵的角度理解高斯消元法,最后...矩阵乘积的逆矩阵 Inverse of a product 比较等式端可得 。矩阵乘积的转置 Transpose...

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    第04讲 矩阵的LU分解 Factorization into A=LU

    04 A的LU分解​v.youku.com
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    本节的主要目的是从矩阵的角度理解高斯消元法,最后找到所谓的L矩阵,使得矩阵A可以转变为上三角阵U。即完成LU分解得到A=LU

    首先继续了解一些矩阵乘法和逆矩阵的相关内容。

    • 矩阵乘积的逆矩阵 Inverse of a product

    比较等式两端可得
    矩阵乘积的转置 Transpose of a product
    (本讲要用到的只是转置矩阵求逆的公式,把相关内容放在这里做个简介,方便大家理解。GS在下一讲还会讲到转置。)
    矩阵 A的转置矩阵记为即
    ,对矩阵进行转置就是将
    A矩阵的行变为
    的列,则完成后
    A的列也就成为了
    的行,看起来矩阵如同沿着对角线进行了翻转。

    其数学表达式为
    ,即
    的第i行j列的元素为原矩阵
    A中第j行i列的元素。
    可以用定义证明。把上次课介绍的那个乘法小技巧的图片按照乘积矩阵的对角线翻转也看得一清二楚。

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    • 转置矩阵的逆矩阵 Inverse of a transpose

    两边取转置,并应用积的转置公式,得到
    。根据逆矩阵定义得到
    • 矩阵的LU分解

    我们已经看到了如何应用消元法将矩阵A转变为上三角阵U,这就引出了矩阵的LU分解,它是理解矩阵A性质的重要方法。

    可以将矩阵的分解类比为多项式的因式分解,分解后的结果可以让我们更容易看清“解”的状态。

    在没有行交换的情况下,矩阵A通过左乘一系列消元矩阵Eij可以转化为U。在二阶矩阵中,进行一次消元操作即可达到这一效果。

    在等式两侧左乘

    ,得到
    。就得到了矩阵
    ALU分解结果。
    的逆向操作,即左乘
    使得矩阵
    A第二行[8,7]减去第一行的4倍得到“新第二行”[0,3],那么再左乘
    可以使得”新第二行”[0,3]加上“第一行”的4倍又变回原第二行的数值[8,7]。

    其中U为上三角阵(Upper triangular matrix),主元依次排列于它的对角线上,

    L为下三角阵(Lower triangular matrix)。有时我们也通过分解得到对角阵 D(diagonal matrix),例如

    对于三阶矩阵不需要换行进行消元的情况则有:

    ,左乘逆矩阵可得

    设定一组消元矩阵,其中E31为单位阵I,其它两个消元矩阵如下:

    可以看到在消元矩阵E的左下角出现了数10。它的出现是由于第一步操作E21中“第二行”减去了2倍的“第一行”得到了“新第二行”。row2-2row1=newrow2,而在第二步操作E32中第三行减去了5倍的“新第二行”,这相当于减去5倍的“原第二行”并减去5倍的“(-2)倍原第一行”,10就出现在这里。

    row3-5newrow2=row3-5(row2-2row1)=row3-5row2+10 row1

    在右侧操作则不会有这种情况发生,运算顺序会发生变化,

    如果没有行交换操作,则消元矩阵的因子可以直接写入矩阵L。没有多余的交叉项出现是LU分解要优于EA=U这种形式的原因之一。

    • 消元法所需运算量

    在一些应用中我们需要处理超大型矩阵,即使用计算机来处理这一问题,也需要评估所需的计算量。

    如果我们把“先乘后减”大致记为一次运算,那么对于一个nxn矩阵,对于一行进行消元要进行n次运算,由于有n行所以进行了nxn次运算,结果得到了第一列除第一主元外都消成0的矩阵。随后开始对除第一行第一列之外的剩余部分进行消元,这相当于一个(n-1)x(n-1)的矩阵,那么就要进行(n-1)x(n-1)次运算,以此类推。

    最后需要的运算次数为1x1+2x2+……+nxn,利用积分公式可以估算其数值。

    这里算是个灵活使用数学工具的例子,我看到完全平方的求和,就一直在回忆公式,但其实作为估算采用积分公式就很方便了。有时候应用数学工具就像开车,保证你正常行驶主要靠驾驶技能,而不是你手边的一本《交规》,熟练驾驶但是不遵守交规很容易出错,交规倒背如流却没有驾驶技能则往往寸步难行。
    再扯几句淡。在统计学中经常用到斯特林公式(Stirling's approximation),它用来评估和近似阶乘的大小
    。如果你去阅读Stirling公式的发展历程和证明过程,就会意识到级数、极限和微积分中间的紧密联系,感兴趣可以看一看。

    等号右侧向量b的行变换大致需要nxn次运算。

    • 行转换 Row exchanges

    如果主元的位置出现了0,就需要进行“行交换”。我们可以通过左乘一个置换矩阵(Permutation Matrix)实现“行交换”的操作。例如

    可以实现33矩阵的第一行与第二行的交换。所有的33的置换矩阵包括:

    对于nxn矩阵存在着n!个置换矩阵。

    置换矩阵每一行或者每一列只有一个元素是1,其它都是0,从第一行选一个位置设定为1有n个选择,第二行则只剩下n-1个选择,以此类推,最终有n!种可能。

    对于某阶的置换矩阵集合而言,置换矩阵的两两乘积仍在这个集合中,置换矩阵的逆矩阵也在此集合中。置换矩阵的逆矩阵即为它的转置

    可以用前面介绍过的乘法运算小技巧来理解这件事情

    af0f3f6a23361f192dfabccbaa5b67c5.png
    P的第i行和
    的第i列相乘会得到1,与其他列相乘都得到0,所以
    的第i列只能是
    P的第i行行向量的转置(让分量1出现在向量里的相同位置),其他各列以此类推,则 P的每一个行向量转置就得到
    的列向量,这也就是矩阵转置
    的定义。因此可得
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空空如也

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两矩阵相乘的秩的性质

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