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  • 【2017年整理】多元函数求导经典例题.ppt
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    2020-12-20 10:50:24

    【2017年整理】多元函数求导经典例题

    多元函数习题课;一 学习要求;(3) 理解偏导数和全微分的概念,会求全微分,了解全微分存在的必要和充分条件,了解全微分形式不变性;;偏导数的应用;二、主要内容;全微分的应用;1.区域;(3)n维空间;2.多元函数概念;3.多元函数的极限;说明:;5.多元函数的连续性;6.闭区域上连续函数的性质;7.偏导数概念;;;8.高阶偏导数;9.偏导数在经济上的应用:交叉弹性;即;Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.;10.全微分概念;多元函数连续、可导、可微的关系;11.全微分的应用;12.复合函数求导法则;;13.全微分形式不变性;隐函数的求导公式;;15.多元函数的极值;多元函数取得极值的条件;;;条件极值:对自变量有附加条件的极值.;三、典型例题;解;解;解 (1);解;解:;解:;思考与练习;解法2 令;解法3 令;2 函数的连续性、可导、可微等;Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.;矛盾;练习:教材P221 T13;多元函数连续、可导、可微的关系;解:;解:;解:;例9;Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.;强调:;解;例11;例12. 设;例13;Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.;5 二重积分对称问题;测 验 题 ;Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.;Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.;Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.;Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.;Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.;测验题答案;Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.

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    宜城教育资源网www.ychedu.com复合函数求导公式大全_复合函数求导法则_复合函数求导经典例题_复合函数求导导学案复合函数求导导学案定义编辑设函数Y=f(u)的定义域为D,函数u=φ(x)的值域为Z,如果D∩Z,则y通过u构成x的函数,称为x的复合函数,记作Y=f[φ(x)]。x为自变量,y为因变量,而u称为中间变量。如等都是复合函数。而就不是复合函数,因为任何x都不能使y有意义。由此可见,不是任何两个函数放在一起都能构成一个复合函数。复合函数通俗地说就是函数套函数,是把几个简单的函数复合为一个较为复杂的函数。复合函数中不一定只含有两个函数,有时可能有两个以上,如y=f(u),u=φ(v),v=ψ(x),则函数y=f{φ[ψ(x)]}是x的复合函数,u、v都是中间变量。[2]定义域编辑若函数y=f(u)的定义域是B,u=g(x)的定义域是A,则复合函数y=f[g(x)]的定义域是D={x|x∈A,且g(x)∈B}综合考虑各部分的x的取值范围,取他们的交集。求函数的定义域主要应考虑以下几点:⑴当为整式或奇次根式时,R的值域;⑵当为偶次根式时,被开方数不小于0(即≥0);⑶当为分式时,分母不为0;当分母是偶次根式时,被开方数大于0;⑷当为指数式时,对零指数幂或负整数指数幂,底不为0(如,中)。⑸当是由一些基本函数通过四则运算结合而成的,它的定义域应是使各部分都有意义的自变量的值组成的集合,即求各部分定义域集合的交集。⑹分段函数的定义域是各段上自变量的取值集合的并集。⑺由实际问题建立的函数,除了要考虑使解析式有意义外,还要考虑实际意义对自变量的要求⑻对于含参数字母的函数,求定义域时一般要对字母的取值情况进行分类讨论,并要注意函数的定义域为非空集合。⑼对数函数的真数必须大于零,底数大于零且不等于1。⑽三角函数中的切割函数要注意对角变量的限制。[3]周期性编辑设y=f(u)的最小正周期为T1,μ=φ(x)的最小正周期为T2,则y=f(μ)的最小正周期为T1*T2,任一周期可表示为k*T1*T2(k属于R+).单调(增减)性编辑决定因素依y=f(u),μ=φ(x)的单调性来决定。即"增+增=增;减+减=增;增+减=减;减+增=减",可以简化为"同增异减"。基本步骤判断复合函数的单调性的步骤如下:⑴求复合函数的定义域;⑵将复合函数分解为若干个常见函数(一次、二次、幂、指、对函数);⑶判断每个常见函数的单调性;⑷将中间变量的取值范围转化为自变量的取值范围;⑸求出复合函数的单调性。例题例如:讨论函数y=的单调性。解:函数定义域为R;令u=x2-4x+3,y=0.8u;指数函数y=0.8u在(-∞,+∞)上是减函数;u=x2-4x+3在(-∞,2]上是减函数,在[2,+∞)上是增函数;∴函数y=在(-∞,2]上是增函数,在[2,+∞)上是减函数。复合函数求导编辑规则复合函数求导的前提:复合函数本身及所含函数都可导。法则1:设u=g(x),对f(u)求导得:f'(x)=f'(u)*g'(x);法则2:设u=g(x),a=p(u),对f(a)求导得:f'(x)=f'(a)*p'(u)*g'(x);复合函数的导数应用举例1、求:函数f(x)=(3x+2)3+3的导数。解:设u=g(x)=3x+2;f(u)=u3+3;f'(u)=3u2=3(3x+2)2;g'(x)=3;f'(x)=f'(u)*g'(x)=3(3x+2)2*3=9(3x+2)2;2、求f(x)=的导数。解:设u=g(x)=x-4,a=p(u)=u2+25f(a)=;f'(a)==;p'(u)=2u=2(x-4);g'(x)=1;f'(x)=f'(a)*p'(u)*g'(x)==.复合函数求导法则链式法则(英文chainrule)是微积分中的求导法则,用以求一个复合函数的导数。所谓的复合函数,是指以一个函数作为另一个函数的自变量。如设f(x)=3x,g(x)=3x+3,g(f(x))就是一个复合函数,并且g′(f(x))=3链式法则(chainrule)若h(a)=f(g(x))则h'(a)=f'(g(x))g'(x)链式法则用文字描述,就是"由两个函数凑起来的复合函数,其导数等于里函数代入外函数的值之导数,乘以里边函数的导数。"证明证法一:先证明个引理f(x)在点x0可导的充要条件是在x0的某邻域U(x0)内,存在一个在点x0连续的函数H(x),使f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0)从而f'(x0)=H(x0)证明:设f(x)在x0可导,令H(x)=[f(x)-f(x0)]/(x-x0),x∈U'(x0)(x0去心邻域);H(x)=f'(x0),x=x0因lim(x->x0)H(x)=lim(x->x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=f'(x0)=H(x0)所以H(x)在点x0连续,且f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0),x∈U(x0)反之,设存在H(x),x∈U(x0),它在点x0连续,且f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0),x∈U(x0)因存在极限lim(x->x0)H(x)=lim(x->x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=lim(x->x0)f'(x)=H(x0)所以f(x)在点x0可导,且f'(x0)=H(x0)引理证毕。设u=φ(x)在点u0可导,y=f(u)在点u0=φ(x0)可导,则复合函数F(x)=f(φ(x))在x0可导,且F'(x0)=f'(u0)φ'(x0)=f'(φ(x0))φ'(x0)证明:由f(u)在u0可导,由引理必要性,存在一个在点u0连续的函数H(u),使f'(u0)=H(u0),且f(u)-f(u0)=H(u)(u-u0)又由u=φ(x)在x0可导,同理存在一个在点x0连续函数G(x),使φ'(x0)=G(x0),且φ(x)-φ(x0)=G(x)(x-x0)于是就有,f(φ(x))-f(φ(x0))=H(φ(x))(φ(x)-φ(x0))=H(φ(x))G(x)(x-x0)因为φ,G在x0连续,H在u0=φ(x0)连续,因此H(φ(x))G(x)在x0连续,再由引理的充分性可知F(x)在x0可导,且F'(x0)=f'(u0)φ'(x0)=f'(φ(x0))φ'(x0)证法二:y=f(u)在点u可导,u=g(x)在点x可导,则复合函数y=f(g(x))在点x0可导,且dy/dx=(dy/du)*(du/dx)证明:因为y=f(u)在u可导,则lim(Δu->0)Δy/Δu=f'(u)或Δy/Δu=f'(u)+α(lim(Δu->0)α=0)当Δu≠0,用Δu乘等式两边得,Δy=f'(u)Δu+αΔu但当Δu=0时,Δy=f(u+Δu)-f(u)=0,故上等式还是成立。又因为Δx≠0,用Δx除以等式两边,且求Δx->0的极限,得dy/dx=lim(Δx->0)Δy/Δx=lim(Δx->0)[f'(u)Δu+αΔu]/Δx=f'(u)lim(Δx->0)Δu/Δx+lim(Δx->0)αΔu/Δx又g(x)在x处连续(因为它可导),故当Δx->0时,有Δu=g(x+Δx)-g(x)->0则lim(Δx->0)α=0最终有dy/dx=(dy/du)*(du/dx) 宜城教育资源网www.ychedu.com

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  • 复合函数求导解析及练习

    千次阅读 2020-12-30 05:55:25
    复合函数求导课题复合函数求导法则课型:新授课主备教师:刘素梅总课时:第课时学习目标1、牢记基本初等函数求导公式2、会利用基本初等函数求导公式求函数的导数3、能正确分解简单的复合函数,记住复合函数的求导...

    复合函数求导

    复合函数求导法则

    课型:新授

    主备教师:

    素梅

    总课时:

    课时

    学习目标

    1

    、牢记基本初等函数求导公式

    2

    、会利用基本初等函数求导公式求函数的导数

    3

    、能正确分解简单的复合函数,记住复合函数的求导公式

    4

    、会求简单的形如

    f

    ax

    b

    的复合函数的导数

    教学重难点

    重点

    会分解简单的复合函数及会求导

    难点

    正确分解复合函数的复合过程

    一.创设情景

    复习

    :求下列函数的导数

    (

    1

    )

    3

    2

    4

    y

    x

    x

    (

    3

    )

    s

    in

    x

    y

    x

    (

    2

    )

    3

    c

    o

    s

    4

    s

    i

    n

    y

    x

    x

    (

    4

    )

    2

    2

    3

    y

    x

    (

    5

    )

    l

    n

    2

    y

    x

    设置情境:

    (

    4

    )利用基本初等函数求导公式如何求导

    ?(5)

    能用学过的公式求导吗

    ?

    二.新课讲授

    探究

    1

    探究函数

    l

    n

    2

    y

    x

    的结构特点

    探究

    :

    指出下列函数的复合关系

    复合函数的概念

    一般地,对于两个函数

    (

    )

    y

    f

    u

    (

    )

    u

    g

    x

    ,如果通过变

    u

    y

    可以表示成

    x

    的函数,那么称这个函数为函数

    (

    )

    y

    f

    u

    (

    )

    u

    g

    x

    复合函数,

    记作

    (

    )

    y

    f

    g

    x

    复合函数的导数

    复合函数

    (

    )

    y

    f

    g

    x

    的导数和函数

    (

    )

    y

    f

    u

    (

    )

    u

    g

    x

    导数间的关系为

    x

    u

    x

    y

    y

    u

    ,即

    y

    x

    的导数等于

    y

    u

    的导数与

    u

    x

    的导

    数的乘积.

    (

    )

    y

    f

    g

    x

    ,则

    ()

    ()

    ()

    y

    f

    g

    x

    f

    g

    x

    g

    x

    三.典例分析

    1

    (课本例

    4

    )

    求下列函数的导数:

    (

    1

    )

    2

    (

    2

    3

    )

    y

    x

    (

    2

    )

    0

    .

    0

    5

    1

    x

    y

    e

    (

    3

    )

    s

    i

    n

    (

    )

    y

    x

    (其中

    ,

    均为常数)

    备课札记

    1

    1

    )

    (

    )

    2

    )

    s

    i

    n

    (

    )

    n

    m

    y

    a

    b

    x

    y

    x

    x

    展开全文
  • 复合函数求导练习试题.doc

    千次阅读 2020-12-20 10:51:36
    WORD格式可编辑专业技术资料整理分享复合函数求导练习题一.选择题(共26小题)1.设,则f′(2)=( )A.B.C.D.2.设函数f(x)=g(x)+x+lnx,曲线y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为y=2x+1,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))...

    WORD格式可编辑

    专业技术资料整理分享

    复合函数求导练习题

    一.选择题(共26小题)

    1.设,则f′(2)=(  )

    A.B.C.D.

    2.设函数f(x)=g(x)+x+lnx,曲线y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为y=2x+1,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为(  )

    A.y=4xB.y=4x﹣8C.y=2x+2D.

    3.下列式子不正确的是(  )

    A.(3x2+cosx)′=6x﹣sinxB.(lnx﹣2x)′=ln2

    C.(2sin2x)′=2cos2xD.()′=

    4.设f(x)=sin2x,则=(  )

    A.B.C.1D.﹣1

    5.函数y=cos(2x+1)的导数是(  )

    A.y′=sin(2x+1)B.y′=﹣2xsin(2x+1)

    C.y′=﹣2sin(2x+1)D.y′=2xsin(2x+1)

    6.下列导数运算正确的是(  )

    A.(x+)′=1+B.(2x)′=x2x﹣1C.(cosx)′=sinxD.(xlnx)′=lnx+1

    7.下列式子不正确的是(  )

    A.(3x2+xcosx)′=6x+cosx﹣xsinxB.(sin2x)′=2cos2x

    C.D.

    8.已知函数f(x)=e2x+1﹣3x,则f′(0)=(  )

    A.0B.﹣2C.2e﹣3D.e﹣3

    9.函数的导数是(  )

    A.B.

    C.D.

    10.已知函数f(x)=sin2x,则f′(x)等于(  )

    A.cos2xB.﹣cos2xC.sinxcosxD.2cos2x

    11.y=esinxcosx(sinx),则y′(0)等于(  )

    A.0B.1C.﹣1D.2

    12.下列求导运算正确的是(  )

    A.B.

    C.((2x+3)2)′=2(2x+3)D.(e2x)′=e2x

    13.若,则函数f(x)可以是(  )

    A.B.C.D.lnx

    14.设,则f2013(x)=(  )

    A.22012(cos2x﹣sin2x)B.22013(sin2x+cos2x)

    C.22012(cos2x+sin2x)D.22013(sin2x+cos2x)

    15.设f(x)=cos22x,则=(  )

    A.2B.C.﹣1D.﹣2

    16.函数的导数为(  )

    A.B.

    C.D.

    17.函数y=cos(1+x2)的导数是(  )

    A.2xsin(1+x2)B.﹣sin(1+x2)C.﹣2xsin(1+x2)D.2cos(1+x2)

    18.函数y=sin(﹣x)的导数为(  )

    A.﹣cos(+x)B.cos(﹣x)C.﹣sin(﹣x)D.﹣sin(x+)

    19.已知函数f(x)在R上可导,对任意实数x,f'(x)>f(x);若a为任意的正实数,下列式子一定正确的是(  )

    A.f(a)>eaf(0)B.f(a)>f(0)C.f(a)<f(0)D.f(a)<eaf(0)

    20.函数y=sin(2x2+x)导数是(  )

    A.y′=cos(2x2+x)B.y′=2xsin(2x2+x)

    C.y′=(4x+1)cos(2x2+x)D.y′=4cos(2x2+x)

    21.函数f(x)=sin2x的导数f′(x)=(  )

    A.2sinxB.2sin2xC.2cosxD.sin2x

    22.函数的导函数是(  )

    A.f'(x)=2e2xB.

    C.D.

    23.函数的导数为(  )

    A.B.

    C.D.

    24.y=sin(3﹣4x),则y′=(  )

    A.﹣sin(3﹣4x)B.3﹣cos(﹣4x)C.4cos(3﹣4x)D.﹣4cos(3﹣4x)

    25.下列结论正确的是(  )

    A.若,B.若y=cos5x,则y′=﹣sin5x

    C.若y=sinx2,则y′=2xcosx2D.若y=xsin2x,则y′=﹣2xsin2x

    26.函数y=的导数是(  )

    A.B.

    C.D.

    二.填空题(共4小题)

    27.设y=f(x)是可导函数,则y=f()的导数为  .

    28.函数y=cos(2x2+x)的导数是  .

    29.函数y=ln的导数为  .

    30.若函数,则的值为  .

    参考答案与试题解析

    一.选择题(共26小题)

    1.(2015春?拉萨校级期中)设,则f′(2)=(  )

    A.B.C.D.

    【解答】解:∵f(x)=ln,令u(x)=,则f(u)=lnu,

    ∵f′(u)=,u′(x)=?=,

    由复合函数的导数公式得:

    f′(x)=?=,

    ∴f′(2)=.

    故选B.

    2.(2014?怀远县校级模拟)设函数f(x)=g(x)+x+lnx,曲

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  • 可以和这一篇配合食用。 高数 | 等价无穷小量的... 全文见【高等数学】两个重要的极限 - 知乎 有关“重要极限”的经典例题_m0_53356029的博客-CSDN博客_两个重要极限典型错误 什么情况下求极限可以直接带入? - 知乎
  • §19.3 复合函数求导链式法则 19.3.1 复合函数偏导数的链式法则 19.3.2 例题 19.3.3 齐次函数 19.3.4 练习题 519.4.向量值函数的微分学定理 19.4.1 有限增量公式与拟微分平均值定理 19.4.2 练习题 §19.5 对于教学的...
  • 【考研笔记】数学一 · 高等数学笔记

    千次阅读 多人点赞 2020-06-11 21:39:59
    薄弱的知识点*:中值定理(难点)、微分不等式、积分等式&不等式、多元微分学-隐函数存在定理、多元微分学-隐函数求导(什么时候不能用公式法)、多元微分学-极值判别方法失效的处理方法、多元微分学-判断偏导数...
  • 普林斯顿微积分读本(修订版)

    万次阅读 多人点赞 2019-03-13 23:30:21
    指数函数与对数函数求导 取对数求导法 双曲函数 反函数 反三角函数 反双曲函数 求导定积分 6:1 6:2 6:3 6:6 6:7 7:2; 7:2:1 8:1 9:3 9:5 9:7 10:1 10:2 10:3 17:5 导数的应用 相关变化率 指数增长与指数衰变 求全局...
  • 数论基础(附加例题)

    千次阅读 2018-09-27 22:15:00
    A Colossal Fibonacci Numbers! (循环节) 题意:求fibonacci数列f(a^b)项mod n (0<a,b<$2^64$,$1<=n<=1000$) 题解: 我见过的fibonacci数列的常见处理方式: 1. 递推; ... 2....
  • 高数笔记基础篇(更完)

    千次阅读 多人点赞 2021-04-03 20:33:35
    复合函数y=fg(x) 条件是g的值域∩f的定义域≠空集 反函数存在的充要条件:y有且仅有一个对应的x,如y=x2就没有反函数 函数fx :x映射到y 反函数f-1x : 从y映射到x 求y=shx的反函数,解法:将ex视作整体,分子分母...
  • 实现:队列中,结点按照评价函数值从低到高排序 大多数评价函数由启发函数h构成 -> h(n):结点到目标结点的最小代价估计值; 最佳优先搜索是依据估计值,而一致代价搜搜是实际值; 贪婪最佳优先搜索   贪婪最佳...
  • 0725,函数间断点强化训练 (四),经典错误。 分子分母对函数做变形时注意讨论 0724,函数间断点强化训练 (三),正确 0723,函数间断点强化训练 (二),正确 0722,函数间断点强化训练 (一),正确 0721 ...
  • MATH1013总结

    2021-10-13 21:01:10
    一些定理与知识点的总结三角函数几个新的三角函数有关反三角函数的计算三角双曲函数和差化积与积化和差公式公式表述公式证明极限二级目录三级目录导数 三角函数 几个新的三角函数 我们在1013的课堂上引入了三个新的...
  • 学习笔记+例题解析。笔记注释:一般的注释备忘内容为橙色,总结函数、方法时函数为蓝色,讲解为黑色。(完成)
  • 分部积分法的经典例题。 53、 1)、 2)、设 则 且 注:方法一和方法二得到的结果实际上是一样的。 这一题与下一题 为同类型的题型。在题 29已提到此:可以乘以“1”或者以 代换。当代换时需要记住: 、 、 .实际上这...
  • 微分与导数,导数的概念与求导计算,基本函数的导数,复合函数求导与链式法则,多元函数求导,偏导偏微分。(2周) 积分,一元定积分不定积分的概念与计算。多元积分用的不是很多,后续遇到了卡了再回来学,难度不高...
  • 多项式运算

    2020-06-22 20:14:42
    } 多项式对数函数 (ln⁡)(\ln)(ln) 已知 f(x)f(x)f(x),求 g(x)=ln⁡f(x)(modxn)g(x)=\ln f(x)\pmod {x^n}g(x)=lnf(x)(modxn) 两边同时取导: g′(x)=f′(x)f(x)g'(x)={f'(x)\over f(x)}g′(x)=f(x)f′(x)​,再...
  • 不等式基础

    2019-05-09 00:05:00
    复合函数的留坑在此,是一试的重点。 复平面的问题,利莫夫公式展开,双曲暴力也可以。留坑在此     上面的几个热点专题,可以去问zzt,今天因为初赛模拟居然有一题挂了被他说菜,我只好坦然接受。睿智的...
  • GOOD BYE OI

    2019-10-04 22:32:29
    } +\cdots $ 其中\(f^i(x)\)表示\(f(x)\)的\(i\)次导数(所以要运用首先你得记住初等函数求导公式): \[ 练习:\\ e^x \ = \ \sum_{i}\frac{x^i}{i!}\\ ln(1-x) \ = \ - \sum_{i\ge 1} \frac{x}{i} \\ cos(x) \ = \...
  • 大体思路是推式子,然后化成相应生成函数的形式,用生成函数直接卷积,再求对应项系数 注意推式子的时候要注意边界下标,如果常数项在卷积的时候没有是要补上的 指数型生成函数表示排列,用于区分物品或者带标号的...
  • 复合函数求导公式 以及基本的 \((e^x)'=e^x\) 也容易得出。主要是三角函数,它的导数和它一样具有 周期性 ,CJJ告诉我这个比如 \(\sin x'=-\cos x\) 的东西可以推导,但是不会就背了。然后每一次导数都维护一下即可...

空空如也

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复合函数求导经典例题

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