矩阵的迹和特征值关系

矩阵的迹和特征值关系矩阵的迹 特征值 千次阅读

2016-07-11 22:37:48

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矩阵的迹（trace）

X∈P（n×n）,X=（x_ii）的主对角线上的所有元素之和称之为X的迹，记为tr(X)，即tr(X)=∑x_ii

性质：

(1)

设有N阶矩阵A，那么矩阵A的迹（用tr（A）表示）就等于A的特征值的总和，也即A矩阵的主对角线元素的总和。

1.迹是所有对角元的和

2.迹是所有特征值的和

3.某些时候也利用tr(AB)=tr(BA)来求迹

(2)

奇异值分解（Singular value decomposition ）

奇异值分解非常有用，对于矩阵A(p*q)，存在U(p*p)，V(q*q)，B(p*q)（由对角阵与增广行或列组成），满足A = U*B*V

U和V中分别是A的奇异向量，而B是A的奇异值。AA'的特征向量组成U，特征值组成B'B，A'A的特征向量组成V，特征值（与AA'相同）组成BB'。因此，奇异值分解和特征值问题紧密联系。

如果A是复矩阵，B中的奇异值仍然是实数。

SVD提供了一些关于A的信息，例如非零奇异值的数目（B的阶数）和A的阶数相同，一旦阶数确定，那么U的前k列构成了A的列向量空间的正交基。

矩阵的特征值（eigenvalue）

设 A 是n阶方阵，如果存在数m和非零n维列向量 x，使得 Ax=mx 成立，则称 m 是A的一个特征值（characteristic value)或本征值（eigenvalue)。

求解矩阵特征值的方法

Ax=mx，等价于求m，使得(mE-A)x=0，其中E是单位矩阵，0为零矩阵。

|mE-A|=0，求得的m值即为A的特征值。 |mE-A| 是一个n次多项式，它的全部根就是n阶方阵A的全部特征值，这些根有可能相重复，也有可能是复数。

如果n阶矩阵A的全部特征值为m1 m2 ... mn，则|A|=m1*m2*...*mn

同时矩阵A的迹是特征值之和：tr（A）=m1+m2+m3+…+mn [1]

如果n阶矩阵A满足矩阵多项式方程g(A)=0, 则矩阵A的特征值m一定满足条件g(m)=0;特征值m可以通过解方程g(m)=0求得

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20211104 为什么矩阵的迹等于特征值之和，为什么矩阵的行列式等于特征值之积
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为什么矩阵的迹等于特征值之和求nnn 阶矩阵 A=(aij)n×n{A}=\left(a_{i j}\right)_{n \times n}A=(aij)n×n 的特征值 det⁡(λI−A)=∣λ−a11−a12…−a1n−a21λ−a22…−a2n…………−an1−an2…λ−ann∣ \...

为什么矩阵的迹等于特征值之和

求 $n$ 阶矩阵 ${A}=\left(a_{i j}\right)_{n \times n}$ 的特征值
$\operatorname{det}(\lambda I-A)=\left|\begin{array}{cccc} \lambda-a_{11} & -a_{12} & \ldots & -a_{1 n} \\ -a_{21} & \lambda-a_{22} & \ldots & -a_{2 n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ -a_{n 1} & -a_{n 2} & \ldots & \lambda-a_{n n} \end{array}\right|$

由行列式的展开法则可得特征多项式
$\begin{aligned} \varphi(\lambda)& =\operatorname{det}(\lambda {I}-{A})\\ & =\lambda^{n}-\left(a_{11}+a_{22}+\cdots+a_{m}\right) \lambda^{n-1}+ & \cdots+(-1)^{n} \operatorname{det} \boldsymbol{A} \end{aligned}$
同时， $\operatorname{det}(\lambda I-A)$ 有 $\mathrm{n}$ 个根，它们就是 $\mathrm{n}$ 个特征值，也就是说
$\operatorname{det}(\lambda I-A)=\left(\lambda-\lambda_{1}\right)\left(\lambda-\lambda_{2}\right) \ldots\left(\lambda-\lambda_{n}\right)$

那么，
$\lambda_{1} \lambda_{2} \cdots \lambda_{n}=\operatorname{det} \boldsymbol{A}$
$\operatorname{tr} \boldsymbol{A}=\sum_{i=1}^{n} a_{i u}$
参考：
[1] https://www.zhihu.com/question/267405336
[2] 《矩阵论》程云鹏张凯院

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怎么证明矩阵特征值的和等于矩阵的迹_
千次阅读 2021-01-17 12:59:14

特征值的和就等于多项式得e69da5e6ba903231313335323631343130323136353331333431373233根得和，是第n-1次项的系数，是a11+a22+`````+ann。总之，把那个行列式展开，比较系数即可。设A是n阶方阵，如果数λ和n维非零...

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矩阵的特征多项式xE-A，把行列式展开，是一个n次多项式，由根系关系可得；特征值的和就等于多项式得e69da5e6ba903231313335323631343130323136353331333431373233根得和，是第n-1次项的系数，是a11+a22+`````+ann。总之，把那个行列式展开，比较系数即可。

设A是n阶方阵，如果数λ和n维非零列向量x使关系式Ax=λx成立，那么这样的数λ称为矩阵A特征值，非零向量x称为A的对应于特征值λ的特征向量。式Ax=λx也可写成( A-λE)X=0。这是n个未知数n个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充分必要条件是系数行列式| A-λE|=0。

扩展资料：

矩阵的迹性质

(1)设有N阶矩阵A，那么矩阵A的迹(用tr(A)表示)就等于A的特征值的总和，也即矩阵A的主对角线元素的总和。

1、迹是所有对角元素的和

2、迹是所有特征值的和

3、某些时候也利用tr(AB)=tr(BA)来求迹

4、tr(mA+nB)=m tr(A)+n tr(B)

(2)奇异值分解(Singular value decomposition )

奇异值分解非常有用，对于矩阵A(p*q)，存在U(p*p)，V(q*q)，B(p*q)(由对角阵与增广行或列组成)，满足A = U*B*V

U和V中分别是A的奇异向量，而B是A的奇异值。AA'的特征向量组成U，特征值组成B'B，A'A的特征向量组成V，特征值(与AA'相同)组成BB'。因此，奇异值分解和特征值问题紧密联系。如果A是复矩阵，B中的奇异值仍然是实数。

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线性代数——韦达定理、矩阵行列式、矩阵的迹、矩阵特征值及关系
万次阅读 多人点赞 2020-05-05 22:55:13
一、韦达定理回顾对于一元二次方程（且），设两个根为，。则：且易得到：， ...二、矩阵的特征值及特征向量回顾以下知识点来自吴传生主编的《线性代数》【知识点1】：设是阶方阵，如果标量和...
本文主要围绕以下定理，并对相关知识点做回顾和扩充。

定理：设 $\lambda _{1}$ ，...， $\lambda _{n}$ （实数或者复数，可以重复）是 $n$ 阶方阵 $A=[a_{ij}]$ 的 $n$ 个特征值，即 $\left | A-\lambda E \right |=(\lambda -\lambda _{1})(\lambda -\lambda _{2})...(\lambda -\lambda _{n})=0$ ，则

$\sum^{n}_{i=1}\lambda _{i}=tr(A)=\sum^{n}_{i=1}a_{ii}$ ， $\prod ^{n}_{i=1}\lambda _{i}=det(A)=\left | A \right |$

通俗描述即为：矩阵的特征值之和等于矩阵的迹，矩阵的特征值之积等于矩阵的行列式。

以下分为五个部分介绍：
- 韦达定理
- 矩阵行列式
- 矩阵的迹
- 矩阵的特征值及特征向量
- 解释矩阵的特征值之和等于矩阵的迹，之积等于矩阵的行列式
一、韦达定理

韦达定理说明了一元二次方程中根和系数之间的关系。

1、一元二次方程

对于一元二次方程 $ax^{2}+bx+c=0$ （ $a\neq 0$ 且 $\Delta =b^{2}-4ac\geq 0$ ），设两个根为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 。

则： $x_{1},x_{2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

且易得到： $x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}$ ， $x_{1}\cdot x_{2}=\frac{c}{a}$

以上定理交代了两根之和（积）与方程系数的关系。

2、一元三次方程

对于一元三次方程 $ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$ ，设三个根为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ 。

易得到： $x_{1}+x_{2}+x_{3}=-\frac{b}{a}$ ， $x_{1}\cdot x_{2}\cdot x_{3}=-\frac{d}{a}$

3、一元多次方程

推广定理：韦达定理不仅可以说明一元二次方程根与系数的关系，还可以推广说明一元n次方程根与系数的关系。

设复系数一元n次方程 $b_{n}x^{n}+b_{n-1}x^{n-1}+...+b_{1}x+b_{0}=\sum^{n}_{i=1}b_{i}x^{i}+b_{0}=0$ ，其中 $b_{i}$ 代表第 $i$ 次项的系数， $b_{0}$ 代表常数项。

则 $x_{1}+x_{1}+...+x_{n}=\sum^{n}_{i=1}x_{i}=-\frac{b_{n-1}}{b_{n}}$ ， $x_{1}x_{2}...x{n}=\prod ^{n}_{i=1}x_{i}=(-1)^{n}\frac{b_{0}}{b_{n}}$

即：所有根之和为（n-1）次项系数与n次项系数之比的相反数，所有根之积为常数项与n次项系数之比再乘以 $(-1)^{n}$

注：该推广形式的证明一般无法根据求根公式进行，因为5次以上的一元方程没有求根公式。证明步骤较繁琐，是通过将左边的多项式因式分解成 $a_{n}(x-x_{1})(x-x{2})...(x-x_{n})$ 之后，再去括号，比较相同次数的项的系数从而得出结论。这个方法具有普遍性，即使是有求根公式的方程，亦可以通过该方法证明韦达定理，而无需借助求根公式。

二、矩阵行列式

1、矩阵行列式的基本介绍

一个 $n\times n$ 的方阵A的行列式记为det(A)或者|A|，一个2×2矩阵的行列式可表示如下：

$det\begin{pmatrix} a &b \\ c &d \end{pmatrix}=ad-bc$

把一个 $n$ 阶行列式中的元素 $a_{ij}$ 所在的第 $i$ 行和第 $j$ 列划去后，留下来的 $n-1$ 阶行列式叫做元素 $a_{ij}$ 的余子式,记作 $M_{ij}$ 。记 $A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$ ，叫做元素 $a_{ij}$ 的代数余子式。例如：

$A=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} &a_{24} \\ a_{31} & a_{32} &a_{33} &a_{34} \\ a_{41} & a_{42} &a_{43} &a_{44} \end{vmatrix}$ ， $M_{23}=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{14} \\ a_{31} & a_{32} &a_{34} \\ a_{41} & a_{42} &a_{44} \end{vmatrix}$ ， $A_{23}=(-1)^{2+3}M_{23}=-M_{23}$

注意：余子式和代数余子式是行列式中才有的概念。如上所示，此时的 $A$ 代表行列式， $M_{23}$ 代表元素 $a_{23}$ 的余子式， $A_{23}$ 代表元素 $a_{23}$ 的D代数余子式。

命题：n阶行列式det(A)等于它的任一行(列)的所有元素与其对应的代数余子式的乘积之和：

$det(A)=\left | A \right |=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+...+a_{in}A_{in}=\sum ^{n}_{j=1}a_{ij}(-1)^{i+j}M_{ij}$ （其中， $i$ 可以取任意的行号1,2,3,...,n）

$det(A)=\left | A \right |=a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+...+a_{nj}A_{nj}=\sum ^{n}_{i=1}a_{ij}(-1)^{i+j}M_{ij}$ （其中， $j$ 可以取任意的列号1,2,3,...,n）

2、矩阵行列式的几何理解

一句话概括之，行列式的本质就是线性变换的放大率（伸缩因子）。

几何理解： $A$ 表示 $n$ 维空间到 $n$ 维空间的线性变换，假想原来空间中有一个 $n$ 维的“立方体”（任意形状），其中“立方体”内的每一个点都经过这个线性变换，变成 $n$ 维空间中的一个新立方体，设原立方体的体积为 $V_{1}$ ，新立方体的体积为 $V_{2}$ ，行列式 $det(A)=\frac{V_{2}}{V_{1}}$ 。

1)线性变换

理解行列式之前，需要先理解线性变换。

线性代数中的线性变换：转换矩阵 $A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}$ 乘以向量 $\overrightarrow{v}=\begin{pmatrix} v_{1}\\ v_{2} \end{pmatrix}$ 就是对其进行了线性变换，从而得到转换之后的向量 $\overrightarrow{{v}'}=A\overrightarrow{v}=\begin{pmatrix} a_{11}v_{1}+a_{12}v_{2}\\ a_{21}v_{1}+a_{22}v_{2} \end{pmatrix}$ 。

线性变化中的“”线性”二字，也就是原来的一条直线，在变换了之后还应该是直线。

任何一个空间都可以由一组基构成，也就是说，这个空间上的任何一个点（向量）都可以由这组基以线性组合的形式得到。

如下图， $\overrightarrow{v}=\begin{pmatrix} v_{1}\\ v_{2} \end{pmatrix}$ 也可以写作 $v_{1}\overrightarrow{i}+v_{2}\overrightarrow{j}$ （ $\overrightarrow{i}$ 和 $\overrightarrow{j}$ 为基向量， $\overrightarrow{i}=\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}$ ， $\overrightarrow{j}=\begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}$ ）

假设我们有原向量 $\overrightarrow{v}=\begin{pmatrix} 2\\ 3 \end{pmatrix}$ ，变换（旋转）矩阵 $A=\begin{pmatrix} cos(90^{\circ}) &-sin(90^{\circ}) \\ sin(90^{\circ}) & cos(90^{\circ}) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 &-1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ ，从而得到转换之后的向量 $\overrightarrow{{v}'}=A\overrightarrow{v}=\begin{pmatrix} 0 &-1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2\\ 3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\times 2-1\times 3\\ 1\times 2+0\times3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -3\\ 2 \end{pmatrix}$ 。

从基向量的角度解释：矩阵 $A$ 对向量 $\overrightarrow{v}$ 的变换，其实是施加在其基底上的变换，而新的向量 $\overrightarrow{{v}'}$ 关于新的基底 $(\overrightarrow{{i}'},\overrightarrow{{j}'})$ 的线性组合,与原来的向量 $\overrightarrow{v}$ 是关于基底 $(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ 的线性组合是一样的。 $\overrightarrow{i}=\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}$ ， $\overrightarrow{j}=\begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}$ ， $\overrightarrow{v}=\begin{pmatrix} 2\\ 3 \end{pmatrix}=2\overrightarrow{i}+3\overrightarrow{j}=2\begin{pmatrix} 1\\ 0\end{pmatrix}+3\begin{pmatrix} 0\\ 1\end{pmatrix}$ ，线性组合系数为（2,3）， $\overrightarrow{i}=\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}$ ， $\overrightarrow{j}=\begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}$ 经过矩阵 $A$ 的线性变换之后变成新的基底 $\overrightarrow{{i}'}=A\overrightarrow{i}=\begin{pmatrix} 0 &-1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix}$ ， $\overrightarrow{{j}'}=A\overrightarrow{j}=\begin{pmatrix} 0 &-1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1\\0\end{pmatrix}$ ，新向量 $\overrightarrow{{v}'}=2\overrightarrow{{i}'}+3\overrightarrow{{j}'}=2\begin{pmatrix} 0\\ 1\end{pmatrix}+3\begin{pmatrix} -1\\ 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -3\\ 2\end{pmatrix}$ 。

注意：关于旋转矩阵的由来及推导可见《线性代数——线性变换——旋转矩阵（泰勒公式、虚数、欧拉公式）》

所以我们说，一个向量，在经过一个矩阵 $A$ 的变换之后，改变的是组成向量的基，而这个向量关于基的线性组合方式是没有变化的。

换句话说，对于一个线性变换，我们只需要跟踪其基在变换前后的变化，便可以掌握整个空间的变化。而矩阵 $A$ 的列其实与变换后新的基底之间有着某些联系，也就是说，新的基底其实就是矩阵 $A$ 的列向量的线性组合 $\overrightarrow{{i}'}=A\overrightarrow{i}=\begin{pmatrix} 0 &-1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}=1A_{1}+0A_{2}=1\begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}+0\begin{pmatrix} -1\\ 0 \end{pmatrix}$ ，其中 $A_{1},A_{2}$ 是 $A$ 的列。

以上的图形展现的是“旋转”的线性变化，其本质是改变组成向量的基。接下来我们“推移”是怎么改变基的，如下图。

推移矩阵把 $\overrightarrow{v}$ 推移到 $\overrightarrow{{v}'}$ 实际上也是改变了 $\overrightarrow{v}$ 的基底 $(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ 。

有原向量 $\overrightarrow{v}=\begin{pmatrix} 2\\ 3 \end{pmatrix}$ ，变换（推移）矩阵 $A=\begin{pmatrix} 1 & -\frac{4}{3}\\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ ，从而得到转换之后的向量 $\overrightarrow{{v}'}=A\overrightarrow{v}=\begin{pmatrix} 1 &-\frac{4}{3}\\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2\\ 3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\times 2-\frac{4}{3}\times 3\\ 0\times 2+1\times3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -2\\ 3\end{pmatrix}$ 。

从基向量的角度解释：设 $\overrightarrow{i}=\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}$ ， $\overrightarrow{j}=\begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}$ ， $\overrightarrow{v}=\begin{pmatrix} 2\\ 3 \end{pmatrix}=2\overrightarrow{i}+3\overrightarrow{j}=2\begin{pmatrix} 1\\ 0\end{pmatrix}+3\begin{pmatrix} 0\\ 1\end{pmatrix}$ ，线性组合系数为（2,3）； $\overrightarrow{i}=\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}$ ， $\overrightarrow{j}=\begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}$ 经过矩阵 $A$ 的线性变换之后变成新的基底 $\overrightarrow{{i}'}=A\overrightarrow{i}=\begin{pmatrix} 1 & -\frac{4}{3}\\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$ ， $\overrightarrow{{j}'}=A\overrightarrow{j}=\begin{pmatrix} 1 & -\frac{4}{3}\\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\frac{4}{3}\\1\end{pmatrix}$ ，新向量 $\overrightarrow{{v}'}=2\overrightarrow{{i}'}+3\overrightarrow{{j}'}=2\begin{pmatrix} 1\\ 0\end{pmatrix}+3\begin{pmatrix} -\frac{4}{3}\\ 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -2\\ 3\end{pmatrix}$ 。

2）行列式的几何理解

以上面的旋转矩阵 $A=\begin{pmatrix} cos\theta &-sin\theta \\ sin\theta& cos\theta \end{pmatrix}$ 为例，我们对其求行列式 $\left | A \right |=\begin{vmatrix} cos\theta &-sin\theta \\ sin\theta& cos\theta \end{vmatrix}=cos^{2}\theta +sin^{2}\theta=1$ ，意味旋转矩阵的行列式恒等于1，且不改变面积（或体积），如下图二维平面的旋转展示。

即和上面的结论相符：行列式是线性变换的伸缩因子。

且我们容易得到：
- $det(A)> 1$ ，对图形起到放大作用；
- $det(A)= 1$ ，图形大小没有变化；
- $0< det(A)< 1$ ，对图形起到缩小作用；
- $det(A)=0$ ，矩阵不可逆。
- $det(A)< 0$ ，改变了基的“左右手法则”。
3）行列式的性质

由上面我们已经知道，行列式是线性变换的伸缩因子，所以很容易得到：

$det(AB)=det(A)\times det(B)=det(BA)$

从“体积”的角度理解为：两次对“体积”的缩放效果是累积的，且和两次操作次序无关。

4）“矩阵 $A$ 可逆” 完全等价于 “ $det(A)\neq 0$ ”

公式推导

由上面我们已知： $det(AB)=det(A)\times det(B)=det(BA)$

且有逆矩阵的性质： $AA^{-1}=E$ （ $E$ 为单位矩阵）

结合可得： $det(AA^{-1})=det(A)\times det(A^{-1})=det(E)=1$

如果 $det(A)=0$ ，则 $det(A^{-1})=\frac{1}{0}$ ，无意义，即 $det(A^{-1})$ 不存在，即矩阵 $A$ 不可逆。

几何理解

$det(A)=0$ 可以理解为线性变换矩阵 $A$ 把 $n$ 维立方体给拍扁了（原来 $n$ 维变成了 $n-1$ 维或 $n-2$ 维，....），例如把3维立方体拍成2维的纸片，纸片体积多少呢？当然是 0 啦！

注意：这里说的体积都是针对 $n$ 维空间而言的， $det(A)=0$ 就表示新的立方体在 $n$ 维空间体积为0，但是可能在 $n-1$ 维还是有体积的，只是在 $n$ 维空间的标准下为0而已。好比一张纸片，“2维体积”也就是面积可以不为0，但是“3维体积”是0。

所以凡是 $det(A)=0$ 的矩阵 $A$ 都是不可逆的，因为这样的变换以后就再也找不到一个矩阵将其变换回去，这样的矩阵必然是没有逆矩阵 $A^{-1}$ 的。

详细可参考：

https://www.matongxue.com/madocs/247.html

https://www.zhihu.com/collection/200330229

三、矩阵的迹

1、矩阵的迹的基本介绍

在线性代数中，一个 $n\times n$ 矩阵 $A$ 的主对角线（从左上方至右下方的对角线）上各个元素的总和被称为矩阵 $A$ 的迹（或迹数），一般记作 $tr(A)$ ， $tr(A)=\sum^{n}_{i=1}a_{ii}$ 。

四、矩阵的特征值及特征向量

1、矩阵的特征值、特征向量的基本介绍

以下知识点来自吴传生主编的《线性代数》

1）特征值、特征向量

设 $A$ 是 $n$ 阶方阵，如果标量 $\lambda$ 和 $n$ 维非零列向量 $x$ 使关系式 $Ax=\lambda x$ 成立，则称 $\lambda$ 是方阵 $A$ 的特征值，非零列向量 $x$ 称为 $A$ 的对应于特征值 $\lambda$ 的特征向量。 $Ax=\lambda x$ 可改写为 $(A-\lambda E)x=0$ 。

这是 $n$ 个未知数 $n$ 个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充要条件是 $\left | A-\lambda E \right |=0$ ，即

$\begin{vmatrix} a_{11}-\lambda & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22}-\lambda & ... & a_{2n} \\ .& .& .&. \\ .& .& .&. \\ .& .& .&. \\ a_{n1}& a_{n2} & ... & a_{nn}-\lambda \end{vmatrix}=0$

2）特征值、特征向量的求解

求n阶方阵的特征值和特征向量的步骤如下：
- 求出n阶方阵A的特征多项式 $\left | A-\lambda E \right |$
- 求出特征方程 $\left | A-\lambda E \right |$ =0的全部根， $\lambda _{1}$ ， $\lambda _{2}$ ，......， $\lambda _{n}$ ，即为A的特征值。
- 把每个特征值 $\lambda _{i}$ 代入线性方程组 $( A-\lambda E)x=0$ ，求出基础解系，就是A对应于 $\lambda _{i}$ 的特征向量，基础解析的线性组合（零向量外）就是A对应于 $\lambda _{i}$ 的全部特征向量。
3）特征值、特征向量的几何解释

上面我们提到，线性变换其实是施加在其基底上的变换，在以 $\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}$ 为基底的二维空间中，向量 $\overrightarrow{v}$ 经过矩阵 $A$ 变换，变成 $A\overrightarrow{v}$ ，可以观察到，调整后 $\overrightarrow{v}$ 和 $A\overrightarrow{v}$ 在同一条直线上，但是 $A\overrightarrow{v}$ 相对于 $\overrightarrow{v}$ 延长了。

此时，我们就称 $\overrightarrow{v}$ 是 $A$ 的特征向量，而 $A\overrightarrow{v}$ 的长度是 $\overrightarrow{v}$ 的长度的 $\lambda$ 倍， $\lambda$ 就是特征值。

所以 $A\overrightarrow{v}=\lambda \overrightarrow{v}$ 可以理解为， $\overrightarrow{v}$ 在 $A$ 的作用下，保持方向不变进行比例为 $\lambda$ 的伸缩。

如果把矩阵看作是运动，则特征值就是运动的速度，特征向量就是运动的方向。

五、解释矩阵的特征值之和等于矩阵的迹，之积等于矩阵的行列式

1、矩阵的特征值之和等于矩阵的迹

已知求 $n$ 阶方阵的特征值，即求 $n$ 阶方阵 $A$ 的特征多项式 $\left | A-\lambda E \right |=0$ 的全部根，即求

$\begin{vmatrix} a_{11}-\lambda & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22}-\lambda & ... & a_{2n} \\ .& .& .&. \\ .& .& .&. \\ .& .& .&. \\ a_{n1}& a_{n2} & ... & a_{nn}-\lambda \end{vmatrix}=0$ 的所有 $\lambda$ 。

由韦达定理可知：设 $\begin{vmatrix} a_{11}-\lambda & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22}-\lambda & ... & a_{2n} \\ .& .& .&. \\ .& .& .&. \\ .& .& .&. \\ a_{n1}& a_{n2} & ... & a_{nn}-\lambda \end{vmatrix}=b_{n}\lambda ^{n}+b_{n-1}\lambda ^{n-1}+...+b_{1}\lambda +b_{0}=0$ ，其中 $b_{i}$ 代表第 $i$ 次项的系数， $b_{0}$ 代表常数项。则 $\lambda _{1}+\lambda _{1}+...+\lambda _{n}=\sum^{n}_{i=1}\lambda _{i}=-\frac{b_{n-1}}{b_{n}}$ ，其中， $b^{n}$ 为 $\lambda^{n}$ 的系数等于 $(-1)^{n}$ （当 $n$ 为奇数时等于-1，偶数时为1）； $b^{n-1}$ 为 $\lambda^{n-1}$ 的系数，除了主对角元的乘积 $(a_{11}-\lambda )(a_{22}-\lambda )...(a_{nn}-\lambda )$ 的展开项之外，其他展开项的次数都小于 $n-1$ ，因此 $n-1$ 次项的系数 $b^{n-1}$ 就是 $(a_{11}-\lambda )(a_{22}-\lambda )...(a_{nn}-\lambda )$ 中 $\lambda ^{n-1}$ 的系数，等于 $(-1)^{n}(a_{11}+a_{22}+...a_{nn})$ （当 $n$ 为奇数时为负，偶数时为正），则 $\lambda _{1}+\lambda _{1}+...+\lambda _{n}=\sum^{n}_{i=1}\lambda _{i}=-\frac{b_{n-1}}{b_{n}}=\frac{(-1)^{n}(a_{11}+a_{22}+...a_{nn})}{(-1)^{n}}=tr(A)$ ，即矩阵的特征值之和等于矩阵的迹。

2、矩阵的特征值之积等于矩阵的行列式

1）代数理解

同样根据韦达定理可知， $\lambda _{1}\lambda _{2}...\lambda {n}=\prod ^{n}_{i=1}\lambda _{i}=(-1)^{n}\frac{b_{0}}{b_{n}}$ ，其中， $b^{n}$ 为 $\lambda^{n}$ 的系数等于 $(-1)^{n}$ （当 $n$ 为奇数时等于-1，偶数时为1），则可化简为 $\lambda _{1}\lambda _{2}...\lambda {n}=\prod ^{n}_{i=1}\lambda _{i}=\frac{(-1)^{n}b_{0}}{(-1)^{n}}=b_{0}$ ，已知特征多项式 $\begin{vmatrix} a_{11}-\lambda & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22}-\lambda & ... & a_{2n} \\ .& .& .&. \\ .& .& .&. \\ .& .& .&. \\ a_{n1}& a_{n2} & ... & a_{nn}-\lambda \end{vmatrix}=b_{n}\lambda ^{n}+b_{n-1}\lambda ^{n-1}+...+b_{1}\lambda +b_{0}$ ，我们令 $\lambda=0$ ，求得 $\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ .& .& .&. \\ .& .& .&. \\ .& .& .&. \\ a_{n1}& a_{n2} & ... & a_{nn}\end{vmatrix}=b_{0}$ ， $b_{0}$ 代表 $n$ 阶方阵 $A$ 的行列式，即 $\lambda _{1}\lambda _{2}...\lambda {n}=\prod ^{n}_{i=1}\lambda _{i}=\frac{(-1)^{n}b_{0}}{(-1)^{n}}=b_{0}=det(A)$ ，矩阵的特征值之积等于矩阵的行列式。

2）几何理解

特征值，理解为通过变换改变了观察者视角，由特征向量产生新的正交基，每个特征值对应着特征向量所在方向上的缩放系数，

行列式，理解为有向体积的缩放系数。

特征值在每个维度上缩放系数之乘积就是总的有向体积缩放系数。

如下图所示，原来的长方体体积 $V=a\cdot b\cdot c$ ，缩放之后的长方体体积等于。 ${V}'=\lambda_{1} a\cdot \lambda_{2} b\cdot \lambda_{3} c=(\lambda_{1} \cdot \lambda_{2} \cdot \lambda_{3})\cdot (a\cdot b\cdot c)=(\lambda_{1} \cdot \lambda_{2} \cdot \lambda_{3})V$
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实对称矩阵的特征值求法_机器学习和线性代数 - 特征值和特征向量
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特征值与迹和行列式的关系（证明）
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特征值之积等于矩阵行列式、特征值之和等于矩阵的迹
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矩阵中为什么矩阵的迹就是特征值的和为什么等于第二项系数？要具体证明
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MATLAB矩阵的行列式、秩与迹及特征值分析
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矩阵标准型的系数是特征值吗_数据分析基础：特征值和特征向量
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深入理解矩阵的特征值和特征向量
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实对称矩阵的特征值求法_特征值的最大值与最小值
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它们的特征向量可能具有特定的特征值或特殊关系。还有一些方法可以将一个矩阵分解成这些“更简单”的矩阵。操作复杂性的降低提高了可伸缩性。然而，即使这些矩阵都是特殊的，它们也不是罕见的。在机器学习和许多应用...

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除此之外，矩阵的特征分解与矩阵的特征值和特征向量有关联，之前在【线性代数】理解特征值和特征向量文章中，对于特征值和特征向量的一些相关概念没有涉及到的，会在此进行补充。内容为自己的学习总结，其中多...

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线性代数复习：矩阵的特征值与特征向量
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高等代数矩阵的相抵和相似(第5章)2 相似,特征值与特征向量,对角化
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