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  • 本文档通过案例的形式展示了平稳性检验和纯随机性检验的完整过程、结果及具体分析,能让初学者更好的理解和掌握检验的真正作用,使知识更加融汇贯通。
  • 平稳性检验(描述性)与纯随机性检验

    万次阅读 多人点赞 2019-04-19 11:46:41
    本章主要介绍进行时序分析前的预处理,即平稳性检验与纯随机性检验。 平稳性检验(描述性) 平稳性检验的方法分为描述性方法与计量性方法。前者主要指时序图检验、ACF 图检验,后者主要指 DF 检验、ADF 检验与PP...

    这篇博客主要记录人大出版《应用时间序列分析》第二章的笔记。本章主要介绍进行时序分析前的预处理,即平稳性检验与纯随机性检验。

    平稳性检验(描述性)

    平稳性检验的方法分为描述性方法与计量性方法。前者主要指时序图检验、ACF 图检验,后者主要指 DF 检验、ADF 检验与PP检验。由于计量性方法需要 ARMA 模型的相关知识,这篇博客仅仅介绍描述性方法。

    时序图检验

    时序图检验即是通过观察时序图来判断时间序列是否平稳。Python 中画时序图的代码如下:

    import pandas as pd
    import matplotlib.pyplot as plt
    data = pd.DataFrame({'2010-01-01': 10.00, '2010-01-02': 13.00, '2010-01-04': 13.50, '2010-01-05': 13.50, '2010-01-06': 14.50, '2010-01-07': 16.00, '2010-01-08': 20.50, '2010-01-10': 24.50, '2010-01-11': 27.50, '2010-01-12': 30.50}, index=['price'])
    data = data.T
    data['price'].plot()
    plt.show()

    作图结果如下:

    其实就是使用 pandas 中内置的折线图。

    具体如何通过时序图来检验平稳性呢?平稳时序定义要求均值、方差为常数,协方差仅仅与时间间隔相关。从定义入手,时序图满足以下任一条件的不是平稳时序:

    • 时序存在明显的趋势,即均值不为常数
    • 时序存在集群效应,即某段时间的波动幅度较其它时段明显较大或者较小,即方差不为常数

    下图为集群效应的一个例子:

     

     

    时序中间时段的波动幅度明显大于两端,可以认为时序存在集群效应,为非平稳时序。集群效应在金融时间序列中往往十分常见。

    ACF图检验

    上篇博客中介绍了自协方差函数的定义与作图方法,链接:https://blog.csdn.net/weixin_44607126/article/details/89086035

    平稳时序往往仅具有短期自相关性,长期的 ACF 会振荡随机趋近于0。因此,当 ACF 图不满足这一条件时,可以认为时序非平稳。如何理解振荡与随机呢?下面给出几个 ACF 图检验的例子。

    上图在 k >= 2 时就已经趋于 0 了,但是并没有满足随机趋于 0 的条件,该图中的 ACF(k) 先连续4项正值,然后连续6项负值,整个图形呈现出倒三角的形状,这意味着时序中存在明显的趋势,为非平稳时序。事实上,这是一条单增时序的 ACF 图。

    上图是平稳时序的 ACF 图的一个例子,可以看到 ACF(k) 没有出现规律性,振荡随机趋近于0,可以认为时序平稳。

    总结来看,当 ACF 图满足下列任一条件时,可以认为时序为非平稳时序

    • ACF 图正项与负项连续交替出现,呈现倒三角形,意味着时序中存在趋势
    • ACF 图拖尾,即当 k 很大时仍有 ACF(k) 显著

    描述性检验方法的注意事项

    无论是时序图还是 ACF 图,使用它们作为检验方法时都具有较强的主观性,没有引入客观的统计量。因此,时序图与 ACF 图仅能用来排除非平稳时序,不能用来判断一个时序是否是平稳时序!即描述性检验方法仅仅是为计量性检验方法作一个初步筛选,如果时序没有通过描述性检验方法,就不需要进行计量性检验了;而即使时序通过了描述性检验方法,仍需要进行计量性检验来进一步确认时序为平稳时序。

    纯随机性检验

    在进行时序分析之前,我们需要确认这个时序不是一个单纯的噪音,而是蕴含着可以用模型描述的信息。因此需要对时序进行纯随机性检验。

    白噪声的定义

    我们称满足下列条件的时序为白噪声(纯随机时序):

    1. EX_{t}=\mu
    2. Var(X_{t})=\sigma ^2
    3. Cov(X_{t}, X_{t+k})=0, \forall t, k

    白噪声满足均值与方差均为常数,且不同时刻上的随机变量不相关。显然,白噪声是一种平稳时序。

    从白噪声的定义中可以看出,对于白噪声时序,历史数据不能提供关于未来的信息,此时建立时序模型将会是徒劳的。因此在蚝时序建模前需要进行白噪声检验。同时,白噪声还可以用来判断时序模型总体的显著性,当模型残差是白噪声序列时,就可以认为模型已经充分提取了时序信息。

    Barlett定理

    如果一个时序是纯随机的,得到一个观察期数为 n 的观察序列,那么该序列的延迟非零期样本自相关系数近似服从 N(0, \frac{1}{n})的正态分布。

    仅仅想在应用层面理解时序则不必深究上述定理。

    BP检验

    根据 Barlett 定理,可以构建 Q 统计量:Q=n\sum_{k=1}^{m}\widehat{\rho}_{k}^2

    则有 Q$\sim$\chi^2(m),其中 m 为指定最大延迟期数,\widehat{\rho}_{k}^2 为 k 期延迟样本自相关系数。原假设为时序是白噪声序列,当 Q 大于单侧检验临界值时认为时序不是白噪声序列。

    LB检验

    LB 检验是在 BP 检验的基础上进行了一些修正,使其更适用于小样本。LB 统计量表达式为:LB=n(n+2)\sum_{k=1}^{m}\widehat{\rho}_{k}^2/(n-k)

    在实际应用中通常使用 LB 检验。

    在python中进行 LB 检验的代码如下:

    from statsmodels.stats.diagnostic import acorr_ljungbox
    print(acorr_ljungbox(np.random.rand(100), lags=[6, 12]))

    lags 即上面公式中的m , 通常取 6 与 12。

    输出如下:

    (array([2.02502998, 8.28247283]), array([0.91738225, 0.76268484]))

    第一个 array 是 LB 统计量的数值,第二个 array 是 p 值。当 p 值小于显著性水平时认为时序不是白噪声。

    总结

    1. 在进行正式的时序建模前需要检验时序的平稳性与纯随机性
    2. 平稳性检验可以通过时序图、ACF 图等描述性方法,但依然要使用 ADF 检验、PP 检验来最终判断
    3. 纯随机性检验可以使用 BP 统计量与 LB 统计量,通常使用 LB 统计量

    误区

    1. 仅仅通过时序图与 ACF 图就断定一个时序是平稳时序:时序图与 ACF 图仅仅只能用于判断非平稳时序,不能用于判断平稳时序
    2. 不画时序图与 ACF 图,直接对时序进行 ADF 检验与 PP 检验:描述统计是必不可少的步骤,通过时序图与 ACF 图可以清楚看出时序的趋势性与周期性
    3. 在正式建模之前不检验时序的纯随机性,认为仅仅检验时序的平稳性就足够了:白噪声时序也是平稳序列,但是没有分析的价值
    4. 在正式建模之后不检验残差序列的纯随机性:残差序列的纯随机性检验有点类似于多元回归中的 F 检验,检验的是模型总体的显著性水平
    展开全文
  • 时间序列的平稳性检验、协整检验和误差修正模型等的博文。 2.博主是一个普普通通的大学生,没有很厉害的技术,写的内容都是不太正经的偏小白简单的,写的也是学校教过的知识消化后自己的见解,不是很学术研究的博文...

    一、简介

    1.本篇博文是一篇关于线性回归的基本操作;时间序列的平稳性检验、协整检验和误差修正模型(在下一篇博文里延续传送门)等的博文。

    2.博主是一个普普通通的大学生,没有很厉害的技术,写的内容都是不太正经的偏小白简单的,写的也是学校教过的知识消化后自己的见解,不是很学术研究的博文。

    3.配置:Window 7旗舰版+64位操作系统+StataIC 14(64-bit)

    二、数据描述性统计分析

    1.导入数据

    (1)打开StataIC软件,在软件的上栏目中找到下图圈出的图标,那个图标就是导入数据的入口
    在这里插入图片描述
    (2)点进去之后,StataIC软件会新弹出另一个窗口出来给你放数据,如下图。
    在这里插入图片描述
    (3)一般下载到的数据都是Excel文件格式的xsl文件,是无法直接用StataIC打开的。我们可以打开Excel文件,把需要的数据选择之后复制,再打开StataIC的数据界面粘贴。

    粘贴后StataIC会弹一个提示窗口,你只需按红色圈起来的那个Variable names的按钮就能把数据导入StataIC。因为有时候数据的第一行是变量名 (例:x,y,z),你就需要选Variable names;但你的x,y,z之类的变量是要作为数据的,就选择Data按钮。
    在这里插入图片描述
    (5)最后导入成功数据就会出现下图页面。
    在这里插入图片描述

    2.设置时间序列

    (1)tsset是定义数据是一个时间序列数据。如果想对数据文件定义year为时间变量,则输入命令:

    tsset year
    

    若你的数据文件里的时间变量名不为year,你就需要用你的变量名去替换掉我给的命令里的year,如:

    tsset ***                  #***代表你的时间变量名
    

    (2)输入命令,命令输入的地方在StataIC软件的最先下面,输入之后Enter键即可。

    在这里插入图片描述
    StatarIC对输入的内容有要求,和Java一样,不能用中字输入法去输入英文字符串,不然StataIC软件会报错。

    (3)时间序列设置成功就会显示如下图:

    在这里插入图片描述
    如果没有成功,输入栏上方就会显示红色英文句子。但一般出现短横线(如:-)即说明命令成功。

    3.数据描述性统计分析

    1. 命令:sum
      在这里插入图片描述
      结果如下图所示:
      在这里插入图片描述
    2. 命令:sum 变量1 变量2,detail (更详细的描述性统计分析)
      在这里插入图片描述
      结果如下图所示:
      在这里插入图片描述

    三、绘图——趋势图和散点图

    1. 趋势图

    1. 命令:
    line varname,title(图表名)xtitle(变量x的名称)ytitle(xxx)     #若是不需要显示名称,让括号里面为空即可                           
    
    1. 例:

    命令:
    line gdpr consr year,title(增长率)xtitle(年)ytitle()
    在这里插入图片描述
    绘图结果会以新的窗口形式弹出来,结果如下图显示:
    在这里插入图片描述

    2、散点图

    1. 第一种:

    (1)命令:

    twoway(scatter varname1 varname2)(lfit varname1 varname2 )      
    
    #varname1 varname2是变量1和变量2的名称的意思
    
    • 其中“ lfit"表示”linear fit"(线性拟合),形状为直线。
    • 如果想在散点图上同时画出二次回归曲线,直接将“ lfit"改为“qfit",(二次拟合),形状为曲线。

    (2)例一(lfit):
    输入命令:twoway (scatter infla unemp) (lfit infla unemp)
    在这里插入图片描述
    结果如下图所示:
    在这里插入图片描述

    (3)例二(qfit):
    输入命令:twoway (scatter infla unemp) (qfit infla unemp)
    在这里插入图片描述
    结果如下图所示:
    在这里插入图片描述
    要区别于例一,一个为lfit,一个为qfit。

    1. 第二种:

    (1)命令:

    aaplot varname1 varname2               #varname1 varname2是变量1和变量2的名称的意思
    
    • 第一步:先安装外部命令aaplot,输入命令:ssc install aaplot
    • 第二步:输入命令 aaplot varname1 varname2

    (2) 例:
    输入命令:aaplot infla unemp
    在这里插入图片描述
    结果如下图所示:
    在这里插入图片描述

    3.变量差分后的趋势图

    1. 命令:
    line dvarname1 dvarname2 时间变量名
    
    1. 例:

    输入命令line dinfla dunemp year:
    在这里插入图片描述
    结果如下图所示:
    在这里插入图片描述

    四、数据相关性分析

    第一步:

    1. 命令:
    correlate varname1 varname2                #varname1 varname2是变量1和变量2的名称的意思
    
    1. 1.例:
      输入命令:correlate gdpr consr
      在这里插入图片描述
      结果如下图所示:
      在这里插入图片描述

    第二步:

    1. 命令:
    pwcorr varname1 varname2,sig 
    
    1. 1例:
      输入命令pwcorr gdpr consr,sig:
      在这里插入图片描述
      结果如下图所示:
      在这里插入图片描述

    五、数据平稳性分析

    1.单位根检验

    1. 命令:
    dfuller varname
    

    例:

    • (1)输入命令(检验第一个变量gdpr)dfuller gdpr:
      在这里插入图片描述

    • 结果如下图所示:
      结论:gdpr不平稳
      在这里插入图片描述

    • (2)输入命令(检验第一个变量consr) dfuller consr:
      在这里插入图片描述

    • 结果如下图所示:
      结论:consr不平稳
      在这里插入图片描述

    2.CF和PACF图

    1. 绘制自相关图,命令:
    ac varname
    
    1. 绘制偏自相关图,命令:
    pac varname     
    
    1. 例一:
      (1)输入命令ac gdpr(做gdpr的自相关图):
      在这里插入图片描述
      结果如下图所示:
      在这里插入图片描述
      (2)输入命令ac consr(做consr的自相关图):
      在这里插入图片描述
      结果如下图所示:
      在这里插入图片描述
    2. 例二
      (1)输入命令pac infla:
      在这里插入图片描述
      结果如下图所示:
      在这里插入图片描述
      (2)输入命令pac unemp:
      在这里插入图片描述
      结果如下图所示:
      在这里插入图片描述

    3.若序列不平稳,生成差分变量,再做单位根检验

    1. 生成差分变量

    命令:

    gen dvarname1=d.varname1                        #别忘了变量名前的d
    gen dvarname2=d.varname2                        #varname1 varname2是变量1和变量2的名称的意思
    

    例:
    (1) 输入命令:
    gen dgdpr=d.gdpr
    gen dconsr=d.consr
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    结果如下图所示:
    在这里插入图片描述
    2. 对差分后的新变量,做单位根检验:

    命令:

    dfuller dvarname1                #别忘了变量名前的d
    

    例:

    1. 输入命令:dfuller dgdpr
      在这里插入图片描述
      结果如下图所示:
      结论:dgdpr平稳
      在这里插入图片描述
      输入命令:dfuller dconsr
      在这里插入图片描述
      结果如下图所示:
      结论:dconsr不平稳
      在这里插入图片描述

    六、总结

    • 由于俩时间序列是非平稳的,gdpr和consr都是一阶单整的。

    七、后续

    • 下一篇博文会在这篇博文的基础上写关于协整检验和误差修正模型的操作。

    在这里插入图片描述
    码字总结不易,点个赞吧(*・ω< )

    展开全文
  • 时间序列的平稳性检验方法汇总。主要检验方法为:DF检验、ADF检验、PP检验、DF-GLS检验、KPSS检验等,含代码示例,并增加了预备知识:时间序列的确定趋势、随机趋势、d阶单整及单位根概念的解释。

    上文我们已经知道了什么是时间序列的平稳性,也见到了一些平稳时间序列和非平稳的时间序列,那么当我们有一个新的时间序列数据时,怎么判断它是否是平稳的呢?

    时间序列平稳性检验方法,大体可分为三类:

    1. 图形分析方法
    2. 简单统计方法
    3. 假设检验方法

    一、图形分析方法

    图形分析方法是一种最基本、最简单直接的方法,即绘制图形,肉眼判断。

    可直接可视化时间序列数据,也可以可视化时间序列的统计特征。

    可视化数据

    可视化数据即绘制时间序列的折线图,看曲线是否围绕某一数值上下波动(判断均值是否稳定),看曲线上下波动幅度变化大不大(判断方差是否稳定),看曲线不同时间段波动的频率[~紧凑程度]变化大不大(判断协方差是否稳定),以此来判断时间序列是否是平稳的。

    以下绘制几张图,大家来直观判断一下哪些是平稳的,哪些是非平稳的。

    import numpy as np
    import pandas as pd
    import akshare as ak
    from matplotlib import pyplot as plt
    
    np.random.seed(123)
    
    # -------------- 准备数据 --------------
    # 白噪声
    white_noise = np.random.standard_normal(size=1000)
    
    # 随机游走
    x = np.random.standard_normal(size=1000)
    random_walk = np.cumsum(x)
    
    # GDP
    df = ak.macro_china_gdp()
    df = df.set_index('季度')
    df.index = pd.to_datetime(df.index)
    gdp = df['国内生产总值-绝对值'][::-1].astype('float')
    
    # GDP DIFF
    gdp_diff = gdp.diff(4).dropna()
    
    
    # -------------- 绘制图形 --------------
    fig, ax = plt.subplots(2, 2)
    
    ax[0][0].plot(white_noise)
    ax[0][0].set_title('white_noise')
    ax[0][1].plot(random_walk)
    ax[0][1].set_title('random_walk')
    
    ax[1][0].plot(gdp)
    ax[1][0].set_title('gdp')
    ax[1][1].plot(gdp_diff)
    ax[1][1].set_title('gdp_diff')
    
    plt.show()
    


    a. 白噪声,曲线围绕0值上下波动,波动幅度前后、上下一致,为平稳序列。
    b. 随机游走,曲线无确定趋势,均值、方差波动较大,非平稳序列。
    c. GDP数据趋势上升,均值随时间增加,非平稳序列。
    d. GDP季节差分后数据,曲线大致在一条水平线上上下波动,波动幅度前后变化较小,可认为是平稳的。

    可视化统计特征

    可视化统计特征,是指绘制时间序列的自相关图和偏自相关图,根据自相关图的表现来判断序列是否平稳。

    自相关,也叫序列相关,是一个信号与自身不同时间点的相关度,或者说与自身的延迟拷贝–或滞后–的相关性,是延迟的函数。不同滞后期得到的自相关系数,叫自相关图。

    (这里有一个默认假设,即序列是平稳的,平稳序列的自相关性只和时间间隔k有关,不随时间t的变化而变化,因而可以称自相关函数是延迟(k)的函数)

    平稳序列通常具有短期相关性,对于平稳的时间序列,自相关系数往往会迅速退化到零(滞后期越短相关性越高,滞后期为0时,相关性为1);而对于非平稳的数据,退化会发生得更慢,或存在先减后增或者周期性的波动等变动。

    自相关的计算公式为根据滞后期k将序列拆成等长的两个序列,计算这两个序列的相关性得到滞后期为k时的自相关性。

    举例:

    X = [ 2 , 3 , 4 , 3 , 8 , 7 ] \small X = [2,3,4,3,8,7] X=[2,3,4,3,8,7]

    A = [ 2 , 3 , 4 , 3 , 8 ] \small A = [2,3,4,3,8] A=[2,3,4,3,8]

    B = [ 3 , 4 , 3 , 8 , 7 ] \small B = [3,4,3,8,7] B=[3,4,3,8,7]

    X ˉ = ∑ i = 1 6 X i = 4.5 \small \bar{X}=\sum_{i=1}^{6}X_i=4.5 Xˉ=i=16Xi=4.5

    s 2 ( X ) = 1 6 ∑ i = 1 6 ( X i − X ˉ ) ( X i − X ˉ ) = 4.916. \small s^2(X)=\frac{1}{6}\sum_{i=1}^{6}{(X_i-\bar{X})(X_i-\bar{X})}=4.916. s2(X)=61i=16(XiXˉ)(XiXˉ)=4.916.

    r ( 1 ) = 1 5 ∑ i = 1 5 ( A i − X ˉ ) ( B i − X ˉ ) = 1.75 \small r(1)=\frac{1}{5}\sum_{i=1}^{5}{(A_i-\bar{X})(B_i-\bar{X})}=1.75 r(1)=51i=15(AiXˉ)(BiXˉ)=1.75

    A C F ( 1 ) = r ( 1 ) s 2 ( X ) = 1.75 4.91666667 = 0.3559322 \small ACF(1)=\frac{r(1)}{s^2(X)}=\frac{1.75}{4.91666667}=0.3559322 ACF(1)=s2(X)r(1)=4.916666671.75=0.3559322

    import statsmodels.api as sm
    X = [2,3,4,3,8,7]
    print(sm.tsa.stattools.acf(X, nlags=1, adjusted=True))
    

    > [1, 0.3559322]
    其中第一个元素为滞后期为0时的自相关性,第二个元素为滞后期为1时的自相关性

    根据ACF求出滞后k自相关系数时,实际上得到并不是X(t)与X(t-k)之间单纯的相关关系。

    因为X(t)同时还会受到中间k-1个随机变量X(t-1)、X(t-2)、……、X(t-k+1)的影响,而这k-1个随机变量又都和X(t-k)具有相关关系,所以自相关系数里面实际掺杂了其他变量对X(t)与X(t-k)的影响。

    在剔除了中间k-1个随机变量X(t-1)、X(t-2)、……、X(t-k+1)的干扰之后,X(t-k)对X(t)影响的相关程度,叫偏自相关系数。不同滞后期得到的偏自相关系数,叫偏自相关图。(偏自相关系数计算较复杂,后期再来具体介绍)

    下面我们就来看看几个实战案例(上图中的数据再来看一下它们的自相关图和偏自相关图):

    # 数据生成过程在第一个代码块中
    from statsmodels.graphics.tsaplots import plot_acf, plot_pacf
    
    fig, ax = plt.subplots(4, 2)
    fig.subplots_adjust(hspace=0.5)
    
    plot_acf(white_noise, ax=ax[0][0])
    ax[0][0].set_title('ACF(white_noise)')
    plot_pacf(white_noise, ax=ax[0][1])
    ax[0][1].set_title('PACF(white_noise)')
    
    plot_acf(random_walk, ax=ax[1][0])
    ax[1][0].set_title('ACF(random_walk)')
    plot_pacf(random_walk, ax=ax[1][1])
    ax[1][1].set_title('PACF(random_walk)')
    
    plot_acf(gdp, ax=ax[2][0])
    ax[2][0].set_title('ACF(gdp)')
    plot_pacf(gdp, ax=ax[2][1])
    ax[2][1].set_title('PACF(gdp)')
    
    plot_acf(gdp_diff, ax=ax[3][0])
    ax[3][0].set_title('ACF(gdp_diff)')
    plot_pacf(gdp_diff, ax=ax[3][1])
    ax[3][1].set_title('PACF(gdp_diff)')
    
    plt.show()
    


    (1) 白噪声的自相关系数很快就衰减到0附近,是明显的平稳序列。滞后期为0时自相关系数和偏自相关系数其实就是序列自己和自己的相关性,故为1;滞后期为1时,自相关系数为0,表示白噪声无自相关性。
    (2) 随机游走,自相关系数下降非常缓慢,故为非平稳序列;另从偏自相关系数中可以看到随机游走只和前一项有关。
    (3) GDP数据的自相关图中也可以看到存在一定的周期性,滞后4、8、12等自相关系数较大下降较慢,差分后下降多一些起到一定效果,认为差分后序列是平稳的。同可视化数据一样,直观判断带有较强主观性,但能让我们对数据有更直观的认识。

    二、简单统计方法

    计算统计量的方法只是作为一个补充,了解即可。宽平稳中有两个条件是均值不变和方差不变,可视化数据中我们可以直观看出来,其实还可以具体计算一下看看。

    很有意思的逻辑,直接将序列前后拆分成2个序列,分别计算这2个序列的均值、方差,对比看是否差异明显。(其实很多时序异常检验也是基于这种思想,前后分布一致则无异常,否则存在异常或突变)

    我们来算白噪声和随机游走序列不同时间段的均值、方差:

    import numpy as np
    
    np.random.seed(123)
    
    white_noise = np.random.standard_normal(size=1000)
    
    x = np.random.standard_normal(size=1000)
    random_walk = np.cumsum(x)
    
    def describe(X):
        split = int(len(X) / 2)
        X1, X2 = X[0:split], X[split:]
        mean1, mean2 = X1.mean(), X2.mean()
        var1, var2 = X1.var(), X2.var()
        print('mean1=%f, mean2=%f' % (mean1, mean2))
        print('variance1=%f, variance2=%f' % (var1, var2))
    
    print('white noise sample')
    describe(white_noise)
    
    print('random walk sample')
    describe(random_walk)
    

    white noise sample:
    mean1=-0.038644, mean2=-0.040484
    variance1=1.006416, variance2=0.996734

    random walk sample:
    mean1=5.506570, mean2=8.490356
    variance1=53.911003, variance2=126.866920

    白噪声序列均值和方差略有不同,但大致在同一水平线上;
    随机游走序列的均值和方差差异就比较大,因此为非平稳序列。


    三、假设检验方法

    平稳性的假设检验方法当前主流为单位根检验,检验序列中是否存在单位根,若存在,则为非平稳序列,不存在则为平稳序列。

    在介绍检验方法之前,有必要了解一些相关补充知识,这样对后面的检验方法理解上就会更清晰一些。



    预备知识


    确定趋势

    如果时间序列有“确定趋势”,比如
    y t = β 0 + β 1 t + ε t y_t=\beta_0+\beta_1t+\varepsilon_t yt=β0+β1t+εt
    其中, β 1 t \beta_1 t β1t 即为确定趋势。
    E ( y t ) = β 0 + β 1 t \small E(y_t)=\beta_0+\beta_1t E(yt)=β0+β1t
    期望 E ( y t ) \small E(y_t) E(yt)中有时间变量,随时间变化,所以不是平稳时间序列。

    含有确定趋势的序列的差分过程是过度差分:
    y t − y t − 1 = α + ε t − ε t − 1 y_t-y_{t-1}=\alpha+\varepsilon_t-\varepsilon_{t-1} ytyt1=α+εtεt1
    过度差分不但会使序列样本容量减少,还会使序列的方差变大。差分后的序列会存在自相关性,但这种自相关性是毫无意义的。

    所以应该使用“退势”的方法获得平稳序列,如下:
    y t ∗ = y t − β 1 t = β 0 + e t y_t^*=y_t-\beta_1t=\beta_0+e_t yt=ytβ1t=β0+et
    但是 β 1 \beta_1 β1 如何确定,趋势拟合。消除序列中的时间趋势后,即为平稳序列,所以称这样的序列为“趋势平稳”序列或“退势平稳”序列。

    随机趋势

    另一种导致时间序列非平稳的因素为“随机趋势”。比如随机游走模型:
    y t = y t − 1 + ε t y_t=y_{t-1}+\varepsilon_t yt=yt1+εt,其中 { ε t } \small \{ \varepsilon_t \} {εt} 为白噪声
    y t − y t − 1 = ε i y_t-y_{t-1}=\varepsilon_i ytyt1=εi
    来自 { ε t } \small \{ \varepsilon_t \} {εt} 的任何波动对 { y t } \small \{ y_t \} {yt} 都具有永久性的冲击,最主要的是其影响力不随时间而衰减,称 { ε t } \small \{ \varepsilon_t \} {εt} 为这个模型的“随机趋势”。

    带漂移项的随机游走模型:
    y t = β 0 + y t − 1 + ε t y_t=\beta_0+ y_{t-1}+\varepsilon_t yt=β0+yt1+εt, 其中 β 0 ≠ 0 \beta_0 \neq 0 β0=0 为常数
    y t − y t − 1 = β 0 + ε t y_t-y_{t-1}=\beta_0+\varepsilon_t ytyt1=β0+εt

    除持续受到来自随机趋势 { ε t } \small \{ \varepsilon_t \} {εt} 的影响外,还受一个常数项 β 0 \small \beta_0 β0 的影响。

    以上对随机游走或带漂移项的随机游走进行一阶差分,均可消除随机趋势的影响,得到一个平稳序列,故称“差分平稳”序列。

    d阶单整

    称平稳的时间序列为“零阶单整”(Integrated of order zero),记为 I ( 0 ) \small I(0) I(0)

    如果时间序列的一阶差分是平稳的,则称为“一阶单整”(Integrated of order one),记为 I ( 1 ) \small I(1) I(1),也称为“单位根过程”(unit root process)。

    更一般地,如果时间序列的 阶差分为平稳过程,则称为“d阶单整”(Integrated of order d),记为 I ( d ) \small I(d) I(d)

    什么是单位根

    考虑如下基础模型:
    y t = β 1 y t − 1 + ε t y_t=\beta_1 y_{t-1}+\varepsilon_t yt=β1yt1+εt,其中 { ε t } \small \{ \varepsilon_t \} {εt} 为白噪声
    和随机游走模型很像,只不过多了个系数 β 1 \beta_1 β1

    我们知道随机游走是非平稳的,但是当 ∣ β 1 ∣ < 1 \small |\beta_1|<1 β1<1 时,这个序列就变成平稳的了。

    y t = ( β 1 ) t [ y 0 ] + ∑ i = 1 t − 1 ( β 1 ) i ε i y_t=(\beta_1)^{t}[y_0]+\sum_{i=1}^{t-1}(\beta_1)^i \varepsilon_i yt=(β1)t[y0]+i=1t1(β1)iεi
    ∣ β 1 ∣ < 1 \small |\beta_1|<1 β1<1 时,随着 t t t 的增大, y t y_t yt 最终会收敛,长期来看 { y t } \{ y_t \} {yt} 是平稳的。
    β 1 = 1 \small \beta_1=1 β1=1 时, { y t } \{ y_t \} {yt} 为无规律非平稳的随机游走过程;
    β 1 > 1 \small \beta_1>1 β1>1 时, { y t } \{ y_t \} {yt} 为爆炸式增长的非平稳过程。

    β 1 \beta_1 β1 等于1时 β 1 \beta_1 β1 就是我们所说的单位根。

    画图对比以下可能会更清晰一些:

    import numpy as np
    from matplotlib import pyplot as plt
    
    np.random.seed(123)
    
    def simulate(beta):
        y = np.random.standard_normal(size=1000)
        for i in range(1, len(y)):
            y[i] = beta * y[i - 1] + y[i]
        return y
    
    plt.figure(figsize=(20, 4))
    for i, beta in enumerate([0.9, 1.0, 1.1]):
        plt.subplot(1, 3, i+1)
        plt.plot(simulate(beta))
        plt.title('beta: {}'.format(beta))
    plt.show()
    

    一阶差分方程

    $y_t=\beta_0+\beta_1y_{t-1}+\varepsilon_t $ ( a ) (a) (a)
    $y_t=\beta_0+\beta_1y_{t-1} $ ( b ) (b) (b)
    $y_t=\beta_1y_{t-1} $ ( c ) (c) (c)
    ( a ) (a) (a) 为一阶随机差分方程(因为含有随机项)
    ( b ) (b) (b) 无随机项为确定性差分方程(但非齐次,因为含常数项 β 0 \beta_0 β0
    ( c ) (c) (c) 为对应的齐次差分方程

    根据差分方程理论, ( a ) (a) (a) 的稳定性和 ( b ) (b) (b) 的稳定性是一样的,而 ( b ) (b) (b) 是否稳定取决于 ( c ) (c) (c) 是否稳定,所以判断一个差分方程是否稳定,只要看它对应的齐次差分方程是否有稳定的通解即可。

    以上齐次差分方程对应的特征方程为: λ − β 1 = 0 \lambda - \beta_1=0 λβ1=0 λ \lambda λ 称为差分方程的特征根。

    只有 ∣ λ ∣ < 1 |\lambda|<1 λ<1,即特征方程的根落在复平面的单位圆以内的时候,过程才会平稳。若果根正好落在圆上,称为单位根,为非平稳过程,比如随机游走的情形。如果落在圆外,则为爆炸式增长的非平稳过程。

    差分方程写成滞后算子的形式是这样的: ( 1 − β 1 L ) y t = 0 (1-\beta_1L)y_t=0 (1β1L)yt=0,[ L \small L L 为滞后算子]

    对应特征方程(逆特征方程)为: 1 − β 1 z = 0 1-\beta_1z=0 1β1z=0,[ z z z 称为自回归滞后算子多项式的特征根。]

    显然,差分方程的特征值λ与自回归滞后算子多项式的特征根z是互为倒数。
    ∣ λ ∣ |\lambda| λ 均小于1(特征方程的根都在单位圆内)时是平稳的,对应的 ∣ z ∣ |z| z 均大于1(逆特征方程的根都在圆外)时是平稳的。

    更一般的n阶差分方程
    y t = β 1 y 1 + β 2 y 2 + . . . + β n y n y_t=\beta_1y_1+\beta_2y_2+...+\beta_ny_n yt=β1y1+β2y2+...+βnyn

    对应的齐次差分方程为:
    y t − β 1 y 1 − β 2 y 2 − . . . − β n y n = 0 y_t-\beta_1y_1-\beta_2y_2-...-\beta_ny_n=0 ytβ1y1β2y2...βnyn=0

    该齐次差分方程的特征方程为:
    λ n − β 1 λ n − 1 − β 2 λ n − 2 − . . . − β n = 0 \lambda^n-\beta_1\lambda^{n-1}-\beta_2\lambda^{n-2}-...-\beta_n=0 λnβ1λn1β2λn2...βn=0
    根均在单位圆内是平稳的。

    滞后算子形式(逆特征方程)为:
    1 − β 1 z − β 2 λ 2 − . . . − β λ n = 0 1-\beta_1z-\beta_2\lambda^2-...-\beta\lambda^n=0 1β1zβ2λ2...βλn=0

    根均在单位圆外是平稳的。

    一般直接计算高阶差分方程的根比较复杂,有些简单规则可以用来检验高阶差分方程的稳定性。

    n阶差分方程中,所有特征根均位于单位圆内的充分条件为:

    ∑ i = 1 n β i < 1 \small \displaystyle \sum_{i=1}^{n}\beta_i<1 i=1nβi<1

    n阶差分方程中,所有特征根均位于单位圆内的必要条件为:

    ∑ i = 1 n ∣ β i ∣ < 1 \small \displaystyle \sum_{i=1}^{n}|\beta_i|<1 i=1nβi<1

    如果 ∑ β i = 1 \small \sum \beta_i=1 βi=1,至少有一个特征根等于1。

    一个或多个特征根等于1的时间序列,称为单位根过程

    单位根(unit root)检验就是检验该差分方程的特征方程(characteristic equation)的各个特征根(characteristic root)是均小于1,还是存在等于1的情况。没有检验均大于1的情况,是因为当根均大于1时为爆炸型发散序列,日常数据中基本不存在。




    检验方法


    DF检验

    ADF检验(Augmented Dickey-Fuller Testing)是最常用的单位根检验方法之一,通过检验序列是否存在单位根来判断序列是否是平稳的。ADF检验是DF检验的增强版,在介绍ADF之前,我们先来看一下DF检验。

    迪基(Dickey)和弗勒(Fuller)1979年基于非平稳序列的基本特征将其大致归为三类并提出DF检验:

    (1) 当序列基本走势呈现无规则上升或下降并反复时,将其归为无漂移项自回归过程;
    (2) 当序列基本走势呈现明显的随时间递增或递减且趋势并不太陡峭时,将其归为带漂移项自回归过程;
    (3) 当序列基本走势随时间快速递增时,则将其归为带趋势项回归过程。

    对应检验回归式为:
    (i) 无漂移项自回归过程:
    Y t = ρ Y t − 1 + ε t , ( t = 1 , 2 , . . . , n ) , Y 0 = 0 \small Y_t=\rho Y_{t-1}+\varepsilon_t,(t=1,2,...,n),Y_0=0 Yt=ρYt1+εt,(t=1,2,...,n),Y0=0
    (ii) 带漂移项自回归过程:
    Y t = μ + ρ Y t − 1 + ε t , ( t = 1 , 2 , . . . , n ) , Y 0 = 0 \small Y_t=\mu + \rho Y_{t-1}+\varepsilon_t,(t=1,2,...,n),Y_0=0 Yt=μ+ρYt1+εt,(t=1,2,...,n),Y0=0
    (iii) 带漂移项和趋势项自回归过程:
    Y t = μ + β t + ρ Y t − 1 + ε t , ( t = 1 , 2 , . . . , n ) , Y 0 = 0 \small Y_t=\mu + \beta t+\rho Y_{t-1}+\varepsilon_t,(t=1,2,...,n),Y_0=0 Yt=μ+βt+ρYt1+εt,(t=1,2,...,n),Y0=0
    其中 μ \mu μ 是常数项, β t \beta t βt 是时间趋势项, ε t \varepsilon_t εt 为白噪声无自相关性。

    • 原假设 H 0 : ρ = 1 \small H_0: \rho=1 H0:ρ=1(存在单位根,时间序列是非平稳的)
    • 备择假设 H 1 : ρ < 1 \small H_1: \rho<1 H1:ρ<1(不存在单位根,时间序列是平稳的–不含截距项和趋势项平稳/含截距项平稳/含截距项和趋势平稳)

    若检验统计量大于临界值(p值大于显著性水平 α \alpha α),不能拒绝原假设,序列是非平稳的;
    若检验统计量小于临界值(p值小于显著性水平 α \alpha α),拒绝原假设,认为序列是平稳的。

    下图是网络中看到的单位根检验流程图以供参考(根据该流程可以确定序列是何种类型下的平稳,即便非平稳也可知道是何种类型下的非平稳序列):

    单位根检验流程

    ADF检验

    DF的检验公式为一阶自回归过程,为了能适用于高阶自回归过程的平稳性检验,迪基等1984年对DF检验进行了一定的修正,引入了更高阶的滞后项,ADF的检验回归式修正为:

    假设条件不变:

    • 原假设 H 0 : ρ = 1 \small H_0: \rho=1 H0:ρ=1(存在单位根,时间序列是非平稳的)
    • 备择假设 H 1 : ρ < 1 \small H_1: \rho<1 H1:ρ<1(不存在单位根,时间序列是平稳的–不含截距项和趋势项平稳/含截距项平稳/含截距项和趋势平稳)

    检验流程同DF检验一致。若要严格判断序列是否是宽平稳的,可以直接检验是否不含截距项和趋势项平稳;若不能拒绝原假设(如p>0.05),序列非平稳,其实仍有必要检验序列是否是趋势平稳的。非平稳且非趋势平稳,可以使用一阶差分等平稳化方法处理后再做检验,若是趋势平稳,困于过度差分则不宜使用差分方式平稳化。

    生成一个趋势平稳序列:

    import numpy as np
    from matplotlib import pyplot as plt
    
    np.random.seed(123)
    
    y = np.random.standard_normal(size=100)
    for i in range(1, len(y)):
        y[i] = 1 + 0.1*i + y[i]
    
    plt.figure(figsize=(12, 6))
    plt.plot(y)
    plt.show()
    


    检验是否平稳:

    from arch.unitroot import ADF
    adf = ADF(y)
    # print(adf.pvalue)
    print(adf.summary().as_text())
    
    adf = ADF(y)
    adf.trend = 'ct'
    print(adf.summary().as_text())
    

    说明:
    arch包中ADF检验可指定trend为
    ‘n’(不含截距项和时间趋势项)
    ‘c’(含截距项)
    ‘ct’(含截距项和时间趋势项)
    ‘ctt’(含截距项和时间趋势项和二次型时间趋势项)
    分别对应不同平稳类型的检验。(滞后期lags默认为AIC最小)


    以上第一个文本输出中,不指定trend默认为检验是否含截距项平稳,显著性水平p=0.836>0.05,不拒绝原假设,非平稳;
    以上第二个文本输出中,指定trend为检验是否含截距项和时间趋势项平稳,显著性水平p=0.000<0.05,拒绝原假设,故为趋势项平稳。

    我们再来看看GDP季节差分前后数据是否为平稳的:

    # 数据在第一个代码块中
    from arch.unitroot import ADF
    adf = ADF(gdp)
    print(adf.summary().as_text())
    
    adf = ADF(gdp_diff)
    print(adf.summary().as_text())
    

    可以看到差分前p值为0.998>0.05,不能拒绝原假设,数据非平稳;差分后p值为0.003<0.05,故在5%的显著性水平下可拒绝原假设,差分后的数据是平稳的。

    # 数据在第一个代码块中
    from arch.unitroot import ADF
    adf = ADF(gdp)
    adf.trend = 'ct'
    print(adf.summary().as_text())
    

    指定检验平稳类型为含截距项和时间趋势项平稳,p值为0.693>0.05,同样不能拒绝原假设,故差分前亦非趋势平稳。

    PP检验

    Phillips和Perron(1988) 提出一种非参数检验方法,主要是为了解决残差项中潜在的序列相关和异方差问题,其检验统计量的渐进分布和临界值与 ADF检验相同。同样出现较早,假设条件一样,用法相似,可作为ADF检验的补充。

    • 原假设 H 0 : ρ = 1 \small H_0: \rho=1 H0:ρ=1(存在单位根,时间序列是非平稳的)
    • 备择假设 H 1 : ρ < 1 \small H_1: \rho<1 H1:ρ<1(不存在单位根,时间序列是平稳的–不含截距项和趋势项平稳/含截距项平稳/含截距项和趋势平稳)

    同样构造一个趋势平稳序列,看下PP检验结果:

    import numpy as np
    from arch.unitroot import PhillipsPerron
    
    np.random.seed(123)
    
    y = np.random.standard_normal(size=100)
    for i in range(1, len(y)):
        y[i] = 1 + 0.1*i + y[i]
    
    
    pp = PhillipsPerron(y)
    print(pp.summary().as_text())
    
    pp = PhillipsPerron(y)
    pp.trend = 'ct'
    print(pp.summary().as_text())
    

    不指定trend为默认检验是否为带截距项的平稳过程,检验结果p值为0.055>0.05,对应检验统计量为-2.825大于5%显著性水平下的临界值-2.89,所以5%显著性水平下不拒绝原假设,为非平稳序列;但是检验统计量小于10%显著性水平下的临界值-2.58,故在10%的显著性水平下可拒绝原假设,认为是平稳序列。

    指定trend=‘ct’为检验是否为带截距项和时间趋势项的平稳过程,检验结果p值为0.000<0.05,故为趋势平稳;其实检验统计量为-10.009小于1%显著性水平下的临界值-4.05,所以即便在1%显著性水平下也是平稳的。

    基于以上检验结果,可以判定序列是趋势平稳的。

    DF-GLS检验

    DF-GLS检验,是Elliott, Rothenberg, and Stock 1996年提出的一种单位根检验方法,全称Dickey-Fuller Test with GLS Detredding,即“使用广义最小二乘法去除趋势的检验”,是目前最有功效的单位根检验。

    DF-GLS检验利用广义最小二乘法,首先对要检验的数据进行一次“准差分”,然后利用准差分的数据对原序列进行去除趋势处理,再利用ADF检验的模型形式对去除趋势后的数据进行单位根检验,但此时ADF检验模型中不再包含常数项或者时间趋势变量。

    • 原假设:序列存在单位根(时间序列是非平稳的)
    • 备择假设:序列不存在单位根(时间序列是平稳的或趋势平稳的)

    同样构造一个趋势平稳序列看下检验效果:

    import numpy as np
    from arch.unitroot import DFGLS
    
    np.random.seed(123)
    
    y = np.random.standard_normal(size=100)
    for i in range(1, len(y)):
        y[i] = 1 + 0.1*i + y[i]
    
    dfgls = DFGLS(y)
    print(dfgls.summary().as_text())
    
    dfgls = DFGLS(y)
    dfgls.trend = 'ct'
    print(dfgls.summary().as_text())
    

    不指定trend情况下不能拒绝原假设,非平稳;指定trend='ct’时p值小于0.05,拒绝原假设,带截距项和时间趋势平稳。

    再来构造一个含单位根的非平稳序列看一下检验结果:

    import numpy as np
    from arch.unitroot import DFGLS
    
    np.random.seed(123)
    
    y = np.random.standard_normal(size=100)
    for i in range(1, len(y)):
        y[i] = 0.1 + y[i-1] + y[i]
    
    dfgls = DFGLS(y)
    print(dfgls.summary().as_text())
    
    dfgls = DFGLS(y)
    dfgls.trend = 'ct'
    print(dfgls.summary().as_text())
    

    p值一个为0.645,一个为0.347,均大于0.05/0.1。指不指定检验类型,均未能通过检验,故该序列为非平稳序列。(DF-GLS检验trend只能指定为’c’或者’ct’)

    KPSS检验

    另一个著名的单位根存在的检验是Kwiatkowski, Phillips, and Shin 1992年提出的KPSS检验。与以上三种检验方法相比,最大的不同点就是它的原假设是平稳序列或趋势平稳序列,而备择假设是存在单位根。

    • 原假设:序列不存在单位根(时间序列是平稳的或趋势平稳的)
    • 备择假设:序列存在单位根(时间序列是非平稳的)
    import numpy as np
    from arch.unitroot import KPSS
    
    np.random.seed(123)
    
    y = np.random.standard_normal(size=100)
    for i in range(1, len(y)):
        y[i] = 0.1 + y[i-1] + y[i]
    
    kpss = KPSS(y)
    print(kpss.summary().as_text())
    
    kpss = KPSS(y)
    kpss.trend = 'ct'
    print(kpss.summary().as_text())
    

    注意KPSS检验中原假设为不存在单位根。默认检验趋势类型下p值为0.000,拒绝原假设,存在单位根,序列非平稳。指定trend='ct’后,p值0.115>0.05,不拒绝原假设,认为序列趋势平稳,检验错误。以上几种检验中均不能100%保证检验正确,PP检验可认为是ADF检验的补充,KPSS检验同样也可和其他检验一同使用,当均认为是平稳或趋势平稳时方判定为平稳。

    除以上检验方法外,还有Zivot-Andrews检验、Variance Ratio检验等检验方法。

    以上代码实现中使用的是Python中的arch包,另外还有一个常用的包statsmodels中也实现了单位根检验方法,结果是一样的。

    Method/ModelPackage/Module (function/class)
    Augmented Dickey-Fuller teststatsmodels.tsa.stattools (adfuller)
    arch.unitroot (ADF)
    Phillip-Perron testarch.unitroot (PhillipsPerron)
    Dickey-Fuller GLS Testarch.unitroot (DFGLS)
    KPSS teststatsmodels.tsa.stattools (kpss)
    arch.unitroot (KPSS)
    Zivot-Andrew teststatsmodels.tsa.stattools (zivot_andrews)
    arch.unitroot (ZivotAndrews)
    Variance Ratio testarch.unitroot (VarianceRatio)

    参考链接

    [1]http://course.sdu.edu.cn/G2S/eWebEditor/uploadfile/20140525165255371.pdf [2]https://max.book118.com/html/2016/0518/43276093.shtm [3]https://doc.mbalib.com/view/ef1783f2fa1892f6ad016281ed743d78.html [4]https://www.stata.com/manuals13/tsdfgls.pdf [5]https://zhuanlan.zhihu.com/p/50553021 [6]https://arch.readthedocs.io/en/latest/index.html

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  • 2.1 平稳性检验 一 、概率分布与特征统计量 Xt,t=1,2,⋅⋅⋅,tX_t,t=1,2,···,tXt​,t=1,2,⋅⋅⋅,t 在描述一个随机变量时是用 分布函数F(x)F(x)F(x) 特征统计量: 期望E(Xt)E(X_t)E(Xt​),方差D(Xt)D(X_t...

    本文为本科课程笔记
    原创思路是老师的~~
    不知道会不会侵犯啥权益,所以声明一下~~
    用作记录~~

    2.1 平稳性检验

    一 、概率分布与特征统计量


    X t , t = 1 , 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , t X_t,t=1,2,···,t Xt,t=1,2,t

    • 在描述一个随机变量时是用

      • 分布函数 F ( x ) F(x) F(x)
      • 特征统计量: 期望 E ( X t ) E(X_t) E(Xt),方差 D ( X t ) D(X_t) D(Xt)
      • 自协方差 γ k \gamma_k γk
      • 滞后 k k k 阶的自相关系数 ρ k \rho_k ρk

      进行描述
      在这里插入图片描述

    • 之前学的协方差和相关系数描述的是两个不同的随机事件之间的相关性。
      现在这个自协方差和自相关是一个变量在不同时期的相关性。


    二、平稳时间序列的定义

    • 严平稳:所有统计量都不随时间推移而变化(好多阶矩)
    • 宽平稳(弱平稳):它认为序列的统计性质主要由它的低阶矩决定,所以只要保证序列低阶矩平稳(二阶,一阶),就能保证序列的主要性质近似稳定。
    • 宽平稳无法推出严平稳,但是严平稳可推出宽平稳(条件是有一阶矩和二阶矩)。

    在这里插入图片描述

    三、平稳时间序列的统计性质

    • 常数均值
    • 自协方差函数和自相关函数只依赖于时间的平移长度而与时间的起止点无关
    • 延迟 k k k 自协方差函数
      γ ( k ) = γ ( t , t + k ) , ∀ k 为 整 数 \gamma(k)=\gamma(t,t+k),\forall k为整数 γ(k)=γ(t,t+k),k
    • 延迟 k k k 自相关系数
      ρ k = γ ( k ) γ ( 0 ) \rho_k= \frac{\gamma(k)}{\gamma(0)} ρk=γ(0)γ(k)

    自相关系数的性质

    • 规范性 ρ = 1 , 且 ∣ ρ k ∣ ≤ 1 , ∀ k \rho=1,且|\rho_k| \le 1,\forall k ρ=1,ρk1,k

    • 对称性 ρ k = ρ − k \rho_k=\rho_{-k} ρk=ρk

    • 非负定性 Γ m = ( ρ 0 ρ 1 ⋯ ρ m − 1 ρ 1 ρ 0 ⋯ ρ m − 2 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ρ m − 1 ρ m − 2 ⋯ ρ 0 ) \Gamma_m= \left( \begin{matrix} \rho_0 & \rho_1 & \cdots &\rho_{m-1} \\ \rho_1 & \rho_0 & \cdots & \rho_{m-2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \rho_{m-1} & \rho_{m-2} & \cdots & \rho_0 \\ \end{matrix} \right) Γm=ρ0ρ1ρm1ρ1ρ0ρm2ρm1ρm2ρ0

    • 非唯一性
      一个平稳时间序列一定唯一决定了他的自相关函数,但一个自相关函数未必唯一对应着一个平稳时间序列。

    四、平稳时间序列的意义

    • 在平稳序列场合,序列的均值等于常数,这意味着原本含有可列多个随机变量 的均值序列变成了只含有一个变量的常数序列。
      { μ t , t ∈ T } ⇒ { μ , t ∈ T } \lbrace \mu_t,t\in T \rbrace\Rightarrow\lbrace \mu,t\in T \rbrace {μt,tT}{μ,tT}
    • 原本每个随机变量的均值(方差,自相关系数)只能依靠唯一的一个样本观察值去估计,现在由于平稳性,每一个统计量都将拥有大量的样本观察值。
    • 这极大地减少了随机变量的个数,并增加了待估变量的样本容量。极大地简化了时序分析的难度,同时也提高了对特征统计量的估计精度。

    五、平稳性的检验(图检验方法)

    • 时序图检验
      根据平稳时间序列均值、方差为常数的性质,平稳序列的时序图应该显示出该序列始终在一个常数值附近随机波动,而且波动的范围有界、无明显趋势及周期特征
    • 自相关图检验
      平稳序列通常具有短期相关性。该性质用自相关系数来描述就是随着延迟期数的增加,平稳序列的自相关系数会很快地衰减向零
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