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  • 2019-09-04 11:03:23

    著名柯西-施瓦茨不等式是证明二范数三角不等式的重要工具。Holder不等式是柯西不等式的推广,它是证明 p p p范数三角不等式的重要工具。

    定义 R n \mathbb{R}^n Rn空间上的 p p p范数 ∣ ⋅ ∣ p |\cdot|_p p定义为
    ∣ x ∣ p = ( ∑ i = 1 n ∣ x i ∣ p ) 1 / p 。 |x|_p=(\sum_{i=1}^n |x_i|^p)^{1/p}。 xp=(i=1nxip)1/p
    这里的 p ≥ 1 p\geq 1 p1是正实数, x = ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) ∈ R n x=(x_1,x_2,...,x_n)\in\mathbb{R}^n x=(x1,x2,...,xn)Rn。特别地,对于 p = ∞ p=\infty p=定义
    ∣ x ∣ ∞ = max ⁡ 1 ≤ i ≤ n ∣ x i ∣ 。 |x|_{\infty}=\max_{1\leq i \leq n} |x_i|。 x=1inmaxxi

    p = 2 p=2 p=2时, ∣ ⋅ ∣ 2 |\cdot|_2 2就是我们的二范数。

    为了证明 p p p范数是一个范数,我们需要验证其是否满足三角不等式,也即是否有
    ∣ x + y ∣ p ≤ ∣ x ∣ p + ∣ y ∣ p |x+y|_p\leq |x|_p + |y|_p x+ypxp+yp
    对所有的 x , y ∈ R n x,y\in\mathbb{R}^n x,yRn成立。为了证明这个定理,我们需要Holder不等式。

    首先需要一个引理。

    引理 a λ b 1 − λ ≤ λ a + ( 1 − λ ) b a^{\lambda}b^{1-\lambda}\leq \lambda a + (1-\lambda)b aλb1λλa+(1λ)b这里的 a , b ≥ 0 , 0 ≤ λ ≤ 1 a,b\geq 0, 0\leq \lambda \leq 1 a,b0,0λ1

    证明 a a a b b b为0时显然成立,故只需证 a , b > 0 a,b>0 a,b>0的情况。由于 f ( x ) = ln ⁡ x f(x)=\ln x f(x)=lnx是关于 x x x的上凸函数,故对于任意的 a , b > 0 , 0 ≤ λ ≤ 1 a,b> 0, 0\leq \lambda \leq 1 a,b>0,0λ1
    f ( λ a + ( 1 − λ ) b ) ≥ λ f ( a ) + ( 1 − λ ) f ( b ) , f(\lambda a + (1-\lambda)b)\geq \lambda f(a) + (1-\lambda)f(b), f(λa+(1λ)b)λf(a)+(1λ)f(b)
    也即
    ln ⁡ ( λ a + ( 1 − λ ) b ) ≥ λ ln ⁡ a + ( 1 − λ ) ln ⁡ b 。 \ln (\lambda a + (1-\lambda)b) \geq \lambda \ln a + (1-\lambda)\ln b。 ln(λa+(1λ)b)λlna+(1λ)lnb
    上式两边求指数,便有题设的不等式成立。

    定理(Holder不等式) 对任意的 1 ≤ p , q ≤ ∞ , 1 / p + 1 / q = 1 1\leq p, q \leq \infty, 1/p+1/q=1 1p,q,1/p+1/q=1以及 x , y ∈ R n x,y\in\mathbb{R}^n x,yRn
    ∑ i = 1 n ∣ x i y i ∣ ≤ ∣ x ∣ p ∣ y ∣ q 。 \sum_{i=1}^n |x_iy_i|\leq |x|_p|y|_q。 i=1nxiyixpyq
    p = q = 2 p=q=2 p=q=2时,Holder不等式退化为柯西-施瓦茨不等式。

    证明 由上面的引理
    ∣ x i ∣ ∣ y i ∣ ∣ x ∣ p ∣ y ∣ q = ( ∣ x i ∣ p ∣ x ∣ p p ) 1 / p ( ∣ y i ∣ q ∣ y ∣ q q ) 1 / q ≤ 1 p ∣ x i ∣ p ∣ x ∣ p p + 1 q ∣ y i ∣ q ∣ y ∣ q q \frac{|x_i||y_i|}{|x|_p|y|_q}=(\frac{|x_i|^{p}}{|x|_p^p})^{1/p}(\frac{|y_i|^{q}}{|y|_q^q})^{1/q} \leq \frac{1}{p} \frac{|x_i|^{p}}{|x|_p^p} + \frac{1}{q}\frac{|y_i|^{q}}{|y|_q^q} xpyqxiyi=(xppxip)1/p(yqqyiq)1/qp1xppxip+q1yqqyiq
    不等式左右两边对 i i i求和便有
    1 ∣ x ∣ p ∣ y ∣ q ∑ i = 1 n ∣ x i ∣ ∣ y i ∣ ≤ 1 p ∣ x ∣ p p ∑ i = 1 n ∣ x i ∣ p + 1 q ∣ y ∣ q q ∑ i = 1 n ∣ y i ∣ q = 1 p + 1 q = 1 , \frac{1}{|x|_p|y|_q}\sum_{i=1}^n |x_i||y_i|\leq \frac{1}{p|x|_p^p} \sum_{i=1}^n |x_i|^p + \frac{1}{q|y|_q^q} \sum_{i=1}^n |y_i|^q = \frac{1}{p} + \frac{1}{q}=1, xpyq1i=1nxiyipxpp1i=1nxip+qyqq1i=1nyiq=p1+q1=1
    其中倒数第二个等号成立是因为 ∑ ∣ x i ∣ p = ∣ x ∣ p p \sum |x_i|^p = |x|_p^p xip=xpp ∑ ∣ y i ∣ q = ∣ y ∣ q q \sum |y_i|^q = |y|_q^q yiq=yqq。定理证毕。

    下面的Minkowski不等式证明了 p p p范数的三角不等式。

    首先,我们需要一个小小的等式。如果 1 / p + 1 / q = 1 1/p+1/q=1 1/p+1/q=1那么
    ( p − 1 ) q = ( p − 1 ) ⋅ 1 1 − 1 / p = p 。 (p-1)q=(p-1)\cdot \frac{1}{1-1/p}=p。 (p1)q=(p1)11/p1=p

    定理(Minkowski不等式) 对任意的 p ≥ 1 p\geq 1 p1以及 x , y ∈ R n x,y\in\mathbb{R}^n x,yRn
    ∣ x + y ∣ p ≤ ∣ x ∣ p + ∣ y ∣ p 。 |x+y|_p \leq |x|_p + |y|_p。 x+ypxp+yp
    证明 只需考虑 1 &lt; p &lt; ∞ 1&lt;p&lt;\infty 1<p<的情况, p = 1 p=1 p=1 ∞ \infty 的情形易证。当 1 &lt; p &lt; ∞ 1&lt;p&lt;\infty 1<p<时有
    ∣ x + y ∣ p p = ∑ i = 1 n ∣ x i + y i ∣ p = ∑ i = 1 n ∣ x i + y i ∣ p − 1 ∣ x i + y i ∣ ≤ ∑ i = 1 n ∣ x i + y i ∣ p − 1 ( ∣ x i ∣ + ∣ y i ∣ ) . |x+y|_p^p=\sum_{i=1}^n |x_i+y_i|^p=\sum_{i=1}^n |x_i+y_i|^{p-1}|x_i+y_i|\leq\sum_{i=1}^n |x_i+y_i|^{p-1}(|x_i|+|y_i|). x+ypp=i=1nxi+yip=i=1nxi+yip1xi+yii=1nxi+yip1(xi+yi).
    由Holder不等式
    ∑ i = 1 n ∣ x i + y i ∣ p − 1 ∣ x i ∣ ≤ ( ∑ i = 1 n ∣ x i + y i ∣ ( p − 1 ) q ) 1 / q ( ∑ i = 1 n ∣ x i ∣ p ) 1 / p = ( ∑ i = 1 n ∣ x i + y i ∣ ( p − 1 ) q ) 1 / q ∣ x ∣ p = ( ∑ i = 1 n ∣ x i + y i ∣ p ) 1 / q ∣ x ∣ p = ∣ x + y ∣ p p / q ∣ x ∣ p , \begin{array}{lll} \displaystyle\sum_{i=1}^n|x_i+y_i|^{p-1}|x_i| &amp;\leq&amp; \displaystyle\Big(\sum_{i=1}^n|x_i+y_i|^{(p-1)q}\Big)^{1/q}\Big(\sum_{i=1}^n|x_i|^{p}\Big)^{1/p} \\ &amp;=&amp;\displaystyle\Big(\sum_{i=1}^n|x_i+y_i|^{(p-1)q}\Big)^{1/q} |x|_p\\ &amp;=&amp;\displaystyle\Big(\sum_{i=1}^n|x_i+y_i|^{p}\Big)^{1/q} |x|_p\\ &amp;=&amp; |x+y|_p^{p/q}|x|_p, \end{array} i=1nxi+yip1xi===(i=1nxi+yi(p1)q)1/q(i=1nxip)1/p(i=1nxi+yi(p1)q)1/qxp(i=1nxi+yip)1/qxpx+ypp/qxp
    其中 1 / p + 1 / q = 1 1/p+1/q=1 1/p+1/q=1。同理还有
    ∑ i = 1 n ∣ x i + y i ∣ p − 1 ∣ y i ∣ ≤ ∣ x + y ∣ p p / q ∣ y ∣ p 。 \displaystyle\sum_{i=1}^n|x_i+y_i|^{p-1}|y_i| \leq |x+y|_p^{p/q}|y|_p。 i=1nxi+yip1yix+ypp/qyp

    结合上面的三个不等式有
    ∣ x + y ∣ p p ≤ ∣ x + y ∣ p p / q ( ∣ x ∣ p + ∣ y ∣ p ) 。 |x+y|_p^p \leq |x+y|_p^{p/q}(|x|_p+|y|_p)。 x+yppx+ypp/q(xp+yp)
    不等式两边同时乘 ∣ x + y ∣ p − p / q |x+y|_p^{-p/q} x+ypp/q便有Minkowski不等式成立。

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    Holder不等式 设ai,bi>0a_i,b_i>0ai​,bi​>0 p,q>1,1p+1q=1p,q>1,\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1p,q>1,p1​+q1​=1 有∑i=1naibi≤(∑i=1naip)1p(∑i=1nbiq)1q\sum_{i=1}^{n} a_i b_i \le (\sum_{i=1...

    Holder不等式

    标量形式

    p>1

    a i , b i > 0 a_i,b_i>0 ai,bi>0
    p , q > 1 , 1 p + 1 q = 1 p,q>1,\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1 p,q>1,p1+q1=1
    ∑ i = 1 n a i b i ≤ ( ∑ i = 1 n a i p ) 1 p ( ∑ i = 1 n b i q ) 1 q \sum_{i=1}^{n} a_i b_i \le (\sum_{i=1}^{n}a_i^{p})^{\frac{1}{p}}(\sum_{i=1}^{n}b_i^{q})^{\frac{1}{q}} i=1naibi(i=1naip)p1(i=1nbiq)q1
    当且仅当 a i ∑ i = 1 n a i p = b i ∑ i = 1 n b i q ( i = 1 , 2 , . . n ) \frac{a_i}{\sum_{i=1}^{n} a_i^{p} }=\frac{b_i}{\sum_{i=1}^{n} b_i^{q} }(i=1,2,..n) i=1naipai=i=1nbiqbi(i=1,2,..n) 时取等

    证明:
    A = a i ( ∑ i = 1 n a i p ) 1 p , B = b i ( ∑ i = 1 n b i q ) 1 q A=\frac{a_i}{(\sum_{i=1}^{n} a_i^{p})^{\frac{1}{p}} },B=\frac{b_i}{(\sum_{i=1}^{n} b_i^{q} )^{\frac{1}{q}}} A=(i=1naip)p1ai,B=(i=1nbiq)q1bi
    由Young不等式
    A B ≤ A p p + B q q a i b i ( ∑ i = 1 n a i p ) 1 p ( ∑ i = 1 n b i q ) 1 q ≤ 1 p a i p ∑ i = 1 n a i p + 1 q b i q ∑ i = 1 n b i q ∑ i = 1 n a i b i ( ∑ i = 1 n a i p ) 1 p ( ∑ i = 1 n b i q ) 1 q ≤ ∑ i = 1 n ( 1 p a i p ∑ i = 1 n a i p + 1 q b i q ∑ i = 1 n b i q ) ∑ i = 1 n a i b i ( ∑ i = 1 n a i p ) 1 p ( ∑ i = 1 n b i q ) 1 q ≤ ( 1 p ∑ i = 1 n a i p ∑ i = 1 n a i p + 1 q ∑ i = 1 n b i q ∑ i = 1 n b i q ) ∑ i = 1 n a i b i ≤ ( ∑ i = 1 n a i p ) 1 p ( ∑ i = 1 n b i q ) 1 q \begin{aligned} AB &\le \frac{A^{p}}{p}+\frac{B^{q}}{q}\\ \frac{a_i b_i}{(\sum_{i=1}^{n} a_i^{p})^{\frac{1}{p}}(\sum_{i=1}^{n} b_i^{q} )^{\frac{1}{q}}}&\le \frac{1}{p}\frac{a_i^p}{\sum_{i=1}^{n} a_i^{p} }+\frac{1}{q}\frac{b_i^q}{\sum_{i=1}^{n} b_i^{q}}\\ \sum_{i=1}^{n}\frac{a_i b_i}{(\sum_{i=1}^{n} a_i^{p})^{\frac{1}{p}}(\sum_{i=1}^{n} b_i^{q} )^{\frac{1}{q}}}&\le \sum_{i=1}^{n}(\frac{1}{p}\frac{a_i^p}{\sum_{i=1}^{n} a_i^{p} }+\frac{1}{q}\frac{b_i^q}{\sum_{i=1}^{n} b_i^{q}})\\ \frac{\sum_{i=1}^{n}a_i b_i}{(\sum_{i=1}^{n} a_i^{p})^{\frac{1}{p}}(\sum_{i=1}^{n} b_i^{q} )^{\frac{1}{q}}}&\le (\frac{1}{p}\frac{\sum_{i=1}^{n}a_i^p}{\sum_{i=1}^{n} a_i^{p} }+\frac{1}{q}\frac{\sum_{i=1}^{n}b_i^q}{\sum_{i=1}^{n} b_i^{q}})\\ \sum_{i=1}^{n} a_i b_i &\le (\sum_{i=1}^{n}a_i^{p})^{\frac{1}{p}}(\sum_{i=1}^{n}b_i^{q})^{\frac{1}{q}} \end{aligned} AB(i=1naip)p1(i=1nbiq)q1aibii=1n(i=1naip)p1(i=1nbiq)q1aibi(i=1naip)p1(i=1nbiq)q1i=1naibii=1naibipAp+qBqp1i=1naipaip+q1i=1nbiqbiqi=1n(p1i=1naipaip+q1i=1nbiqbiq)(p1i=1naipi=1naip+q1i=1nbiqi=1nbiq)(i=1naip)p1(i=1nbiq)q1

    0<p<1

    a i , b i > 0 a_i,b_i>0 ai,bi>0
    0 < p < 1 , 1 p + 1 q = 1 0<p<1,\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1 0<p<1,p1+q1=1
    ∑ i = 1 n a i b i ≥ ( ∑ i = 1 n a i p ) 1 p ( ∑ i = 1 n b i q ) 1 q \sum_{i=1}^{n} a_i b_i \ge (\sum_{i=1}^{n}a_i^{p})^{\frac{1}{p}}(\sum_{i=1}^{n}b_i^{q})^{\frac{1}{q}} i=1naibi(i=1naip)p1(i=1nbiq)q1
    当且仅当 a 1 b 1 − q p = a 2 b 2 − q p = ⋯ = a n b n − q p a_1 b_1^{-\frac{q}{p}}=a_2 b_2^{-\frac{q}{p}}=\dots =a_n b_n^{-\frac{q}{p}} a1b1pq=a2b2pq==anbnpq 时取等

    证明:
    0 < p < 1 ⇒ 1 p > 1 , q < 0 ⇒ 1 − 1 q > 0 0<p<1\Rightarrow \frac{1}{p}>1,q<0 \Rightarrow 1-\frac{1}{q}>0 0<p<1p1>1,q<01q1>0
    y = x p y=x^p y=xp
    y ′ ′ = p ( p − 1 ) x p − 2 < 0 ( x > 0 ) y''=p(p-1)x^{p-2}<0(x>0) y=p(p1)xp2<0(x>0)
    由Jensen不等式
    ( ∑ i = 1 n p i x i ∑ i = 1 n p i ) p ≥ ∑ i = 1 n p i x i p ∑ i = 1 n p i ∑ i = 1 n p i x i ≥ ( ∑ i = 1 n p i x i p ) 1 p ( ∑ i = 1 n p i ) p − 1 p ∑ i = 1 n p i x i ≥ ( ∑ i = 1 n p i x i p ) 1 p ( ∑ i = 1 n p i ) 1 q \begin{aligned} (\frac{\sum_{i=1}^{n}p_ix_i}{\sum_{i=1}^{n} p_i })^p &\ge \frac{\sum_{i=1}^{n}p_ix_i^p}{\sum_{i=1}^{n} p_i }\\ \sum_{i=1}^{n}p_ix_i &\ge (\sum_{i=1}^{n}p_ix_i^p)^{\frac{1}{p}}(\sum_{i=1}^{n}p_i)^{\frac{p-1}{p}}\\ \sum_{i=1}^{n}p_ix_i &\ge (\sum_{i=1}^{n}p_ix_i^p)^{\frac{1}{p}}(\sum_{i=1}^{n}p_i)^{\frac{1}{q}}\\ \end{aligned} (i=1npii=1npixi)pi=1npixii=1npixii=1npii=1npixip(i=1npixip)p1(i=1npi)pp1(i=1npixip)p1(i=1npi)q1
    { p i x i p = a i p p i = b i q ⇒ { p i = b i q x i = a i b i − q p \begin{cases} p_ix_i^p=a_i^p\\ p_i=b_i^q \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} p_i=b_i^q\\ x_i=a_i b_i^{-\frac{q}{p}} \end{cases} {pixip=aippi=biq{pi=biqxi=aibipq
    ∑ i = 1 n a i b i ≥ ( ∑ i = 1 n a i p ) 1 p ( ∑ i = 1 n b i q ) 1 q \sum_{i=1}^{n} a_i b_i \ge (\sum_{i=1}^{n}a_i^{p})^{\frac{1}{p}}(\sum_{i=1}^{n}b_i^{q})^{\frac{1}{q}} i=1naibi(i=1naip)p1(i=1nbiq)q1

    积分形式

    p>1

    p , q > 1 , 1 p + 1 q = 1 p,q>1,\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1 p,q>1,p1+q1=1时,有
    ∫ a b ∣ f ( x ) g ( x ) ∣ d x ≤ ( ∫ a b ∣ f ( x ) ∣ p d x ) 1 p ( ∫ a b ∣ g ( x ) ∣ q d x ) 1 q \int_{a}^{b} \left|f(x)g(x) \right| \mathrm{d}x \le (\int_{a}^{b}\left|f(x) \right|^p\mathrm{d}x)^{\frac{1}{p}}(\int_{a}^{b}\left|g(x) \right|^q\mathrm{d}x)^{\frac{1}{q}} abf(x)g(x)dx(abf(x)pdx)p1(abg(x)qdx)q1
    积分形式证明:
    A = ∣ f ( x ) ∣ ( ∫ a b ∣ f ( x ) ∣ p d x ) 1 p , B = ∣ g ( x ) ∣ ( ∫ a b ∣ g ( x ) ∣ q d x ) 1 q A=\frac{\left|f(x)\right|}{(\int_{a}^{b}\left|f(x) \right|^p\mathrm{d}x)^{\frac{1}{p}} },B=\frac{\left|g(x)\right|}{(\int_{a}^{b}\left|g(x) \right|^q\mathrm{d}x)^{\frac{1}{q}} } A=(abf(x)pdx)p1f(x),B=(abg(x)qdx)q1g(x)
    与上面差不多,把求和换成积分

    展开全文
  • Holder不等式是范数理论中重要的不等式,表述如下: ∥xy∥1≤∥x∥p∥y∥q,&nbsp;where&nbsp;p&amp;gt;0,q&amp;gt;0,&nbsp;and&nbsp;&nbsp;1p+1q=1(1) \Vert xy\Vert_1\le \Vert x \...

    Holder不等式是范数理论中重要的不等式,表述如下:
    ∥ x y ∥ 1 ≤ ∥ x ∥ p ∥ y ∥ q ,  where  p &gt; 0 , q &gt; 0 ,  and   1 p + 1 q = 1 ( 1 ) \Vert xy\Vert_1\le \Vert x \Vert_p\Vert y \Vert_q,\quad \text{ where } p\gt 0, q\gt 0,\text{ and } \ \frac 1p+\frac 1q=1 \qquad(1) xy1xpyq, where p>0,q>0, and  p1+q1=1(1)
    p 和 q 称为共轭指数
    N维欧氏空间 R n R^n Rn l p l_p lp 范数定义为:
    ∥ x ∥ p = ( ∑ i = 1 n ∣ x i ∣ p ) 1 / p ( 2 ) \Vert x \Vert_p=\left( \sum_{i=1}^n |x_i|^p\right)^{1/p}\qquad(2) xp=(i=1nxip)1/p(2)
    于是,Holder不等式在欧氏空间中表示为:
    ∣ x T y ∣ ≤ ∥ x ∥ p ∥ y ∥ q = ( ∑ i = 1 n ∣ x i ∣ p ) 1 / p ( ∑ i = 1 n ∣ y i ∣ q ) 1 / q ( 3 ) |x^Ty|\le\Vert x\Vert_p\Vert y \Vert_q=\left( \sum_{i=1}^n |x_i|^p\right)^{1/p}\left( \sum_{i=1}^n |y_i|^q\right)^{1/q}\qquad(3) xTyxpyq=(i=1nxip)1/p(i=1nyiq)1/q(3)
    L p L^p Lp 空间中, L p L^p Lp 范数定义为:
    ∥ f ∥ p = ( ∫ E ∣ f ( x ) ∣ p d x ) 1 p \Vert f\Vert_p = \left(\int_E|f(x)|^pdx\right)^{\frac 1p} fp=(Ef(x)pdx)p1
    Holder不等式为:
    ∥ f g ∥ 1 ≤ ∥ f ∥ p ∥ g ∥ q ,  where  f ∈ L p ( E ) , g ∈ L q ( E ) ,  with  p − 1 + q − 1 = 1 ( 4 ) \Vert fg\Vert_1\le \Vert f\Vert_p\Vert g\Vert_q,\\ \text{ where }f\in L^p(E),g\in L^q(E),\quad \text{ with } p^{-1}+q^{-1}=1\qquad(4) fg1fpgq, where fLp(E),gLq(E), with p1+q1=1(4)
    f , g f,g f,g 是可测集 E ⊂ R n E\subset R^n ERn 上的可测函数,其中
    L p ( E ) : = { f ∈ M ( E ) ∣   ∥ f ∥ p &lt; ∞ } ( 5 ) L^p(E):=\{f\in \mathfrak M(E)|\ \Vert f\Vert_p\lt \infty\}\qquad(5) Lp(E):={fM(E) fp<}(5)
    M ( E ) \mathfrak M(E) M(E) 表示 E E E 上全体可测函数的集合。Holder定理证明如下。
    证明:
    p = 1 p=1 p=1,则 q = ∞ q=\infty q=,则有:
    ∥ f g ∥ 1 = ∫ E ∣ f ( x ) g ( x ) ∣ d x ≤ ∥ g ∥ ∞ ∫ E ∣ f ( x ) ∣ d x   where   ∥ g ∥ ∞ = inf ⁡ Δ ⊂ E , m ( Δ ) = 0 sup ⁡ x ∈ E ∖ Δ ∣ g ( x ) ∣   so   ∥ f g ∥ 1 ≤ ∥ g ∥ ∞ ⋅ ∥ f ∥ 1 \Vert fg\Vert_1=\int_E |f(x)g(x)|dx\le\Vert g\Vert_{\infty}\int_E |f(x)|dx\\ \text{ }\\ \text{where } \ \Vert g \Vert_{\infty}=\inf_{\Delta\subset E,m(\Delta)=0}\sup_{x\in E\setminus\Delta}|g(x)| \\ \text{ }\\ \text{so }\ \Vert fg\Vert_1\le \Vert g \Vert_{\infty}\cdot \Vert f\Vert_1 fg1=Ef(x)g(x)dxgEf(x)dx where  g=ΔE,m(Δ)=0infxEΔsupg(x) so  fg1gf1
    (4)式成立。接下来,证明 1 &lt; p &lt; ∞ 1\lt p\lt \infty 1<p< 的情况。
    ∥ f ∥ p = 0 \Vert f \Vert_p=0 fp=0 ∥ g ∥ p = 0 \Vert g \Vert_p=0 gp=0 时,总有 f ( x ) g ( x ) = 0 , a . e . [ E ] f(x)g(x)=0,a.e.[E] f(x)g(x)=0,a.e.[E],(4)式仍然成立,故只需考虑 ∥ f ∥ p ≥ 0 , ∥ g ∥ q ≥ 0 \Vert f\Vert_p\ge 0,\Vert g\Vert_q\ge 0 fp0,gq0
    由于 ln ⁡ x \ln x lnx x &gt; 0 x\gt 0 x>0 上是凸函数,所以:
    1 p ln ⁡ a + 1 q ln ⁡ b ≤ ln ⁡ ( a p + b q ) , with  1 p + 1 q = 1   ⇒ a 1 / p b 1 / q ≤ a p + b q \frac 1p \ln a + \frac 1q \ln b \le \ln \left( \frac ap+\frac bq\right),\quad \text{with} \ \frac 1p+\frac 1q=1 \\ \text{ } \\ \Rightarrow a^{1/p}b^{1/q} \le \frac ap +\frac bq p1lna+q1lnbln(pa+qb),with p1+q1=1 a1/pb1/qpa+qb

    a = ∣ f ( x ) ∣ p ∥ f ∥ p p , b = ∣ g ( x ) ∣ q ∥ g ∥ q q a=\frac {|f(x)|^p}{\Vert f \Vert^p_p},\quad b=\frac {|g(x)|^q}{\Vert g \Vert^q_q} a=fppf(x)p,b=gqqg(x)q
    可得,
    ∣ f ( x ) ∣ ∥ f ∥ p ⋅ ∣ g ( x ) ∣ ∥ g ∥ q ≤ 1 p ∣ f ( x ) ∣ p ∥ f ∥ p p + 1 q ∣ g ( x ) ∣ q ∥ g ∥ q q , 两边积分有   ∫ E ∣ f ( x ) ∣ ∥ f ∥ p ⋅ ∣ g ( x ) ∣ ∥ g ∥ q d x ≤ ∫ E 1 p ∣ f ( x ) ∣ p ∥ f ∥ p p d x + ∫ E 1 q ∣ g ( x ) ∣ q ∥ g ∥ q q d x \frac {|f(x)|}{\Vert f \Vert_p}\cdot \frac {|g(x)|}{\Vert g \Vert_q}\le\frac 1p \frac {|f(x)|^p}{\Vert f \Vert^p_p} + \frac 1q \frac {|g(x)|^q}{\Vert g\Vert^q_q} ,\text{两边积分有}\\ \text{ } \\ \int_E \frac {|f(x)|}{\Vert f \Vert_p}\cdot \frac {|g(x)|}{\Vert g \Vert_q}dx\le \int_E \frac 1p \frac {|f(x)|^p}{\Vert f \Vert^p_p}dx + \int_E \frac 1q \frac {|g(x)|^q}{\Vert g \Vert^q_q}dx fpf(x)gqg(x)p1fppf(x)p+q1gqqg(x)q,两边积分有 Efpf(x)gqg(x)dxEp1fppf(x)pdx+Eq1gqqg(x)qdx
    因为
    ∫ E ∣ f ( x ) ∣ p d x = ∥ f ∥ p p , ∫ E ∣ g ( x ) ∣ q d x = ∥ g ∥ q q \int_E |f(x)|^pdx=\Vert f \Vert^p_p, \quad \int_E |g(x)|^qdx=\Vert g \Vert^q_q Ef(x)pdx=fpp,Eg(x)qdx=gqq
    则得:
    1 ∥ f ∥ p ⋅ ∥ g ∥ q ∫ E ∣ f ( x ) g ( x ) ∣ d x ≤ 1 p + 1 q = 1   ∫ E ∣ f ( x ) g ( x ) ∣ d x ≤ ∥ f ∥ p ⋅ ∥ g ∥ q ⇒ ∥ f g ∥ 1 ≤ ∥ f ∥ p ⋅ ∥ g ∥ q \frac{1}{\Vert f \Vert_p\cdot\Vert g \Vert_q}\int_E |f(x)g(x)|dx\le \frac 1p+\frac 1q=1 \\ \text{ } \\ \int_E |f(x)g(x)|dx\le \Vert f \Vert_p\cdot\Vert g \Vert_q \quad \Rightarrow \quad \Vert fg\Vert_1 \le \Vert f \Vert_p\cdot\Vert g \Vert_q fpgq1Ef(x)g(x)dxp1+q1=1 Ef(x)g(x)dxfpgqfg1fpgq
    证毕。 □ \quad \square


    进一步讨论 L p L^p Lp 中的 Holder 不等式,令 ∥ g ∥ q = 1 \Vert g\Vert_q=1 gq=1,则有:
    ∣ ∫ E f ( x ) g ( x ) d x ∣ ≤ ∥ f ∥ p ( 6 ) \left | \int_E f(x)g(x) dx\right|\le \Vert f \Vert_p\qquad(6) Ef(x)g(x)dxfp(6)
    对于任意的函数 f ∈ L ∞ ( E ) f\in L^{\infty}(E) fL(E) 有:
    ∥ f ∥ ∞ = sup ⁡ ∥ g ∥ 1 = 1 { ∫ E f ( x ) g ( x ) d x } ( 7 ) \Vert f \Vert_{\infty} = \sup_{\Vert g \Vert_1=1}\left\{ \int_E f(x)g(x)dx \right\}\qquad (7) f=g1=1sup{Ef(x)g(x)dx}(7)
    (7)式证明如下:
    证明:
    ∥ f ∥ ∞ = M &gt; 0 \Vert f \Vert_{\infty}=M\gt 0 f=M>0。任取 ε &gt; 0 \varepsilon\gt 0 ε>0,存在可测子集 A ⊂ E A\subset E AE,使得
    ∣ f ( x ) ∣ &gt; M − ε , x ∈ A |f(x)|\gt M-\varepsilon,\quad x\in A f(x)>Mε,xA
    并且,集合 A A A 的测度 m ( A ) = a &gt; 0 m(A)=a\gt 0 m(A)=a>0。令:
    g ( x ) = 1 a χ A ( x ) ⋅ sign f ( x ) g(x) = \frac 1a \chi_A(x)\cdot\text{sign} f(x) g(x)=a1χA(x)signf(x)
    其中, χ A ( x ) \chi_A(x) χA(x) 表示集合 A A A 的特征函数。则
    ∥ g ∥ 1 = ∫ E ∣ g ( x ) ∣ = 1 a ∫ A χ A ( x ) d x = 1 \Vert g\Vert_1=\int_E\vert g(x) \vert = \frac 1a \int_A \chi_A(x) dx=1 g1=Eg(x)=a1AχA(x)dx=1
    而且
    ∫ E f ( x ) g ( x ) d x = 1 a ∫ E ∣ f ( x ) ∣ χ A ( x ) d x = 1 a ∫ A ∣ f ( x ) ∣ d x &gt; M − ε \int_E f(x)g(x)dx = \frac 1a \int_E |f(x)|\chi_A(x)dx = \frac 1a \int_A |f(x)|dx\gt M-\varepsilon Ef(x)g(x)dx=a1Ef(x)χA(x)dx=a1Af(x)dx>Mε
    ε \varepsilon ε 的任意性,即得到结论。

    参考文献:


    1、《实变函数与泛函分析》
    2、《最优化理论和方法》

    展开全文
  • 基于一些简单的观察给出了若干推广的Holder不等式的具有单调性的构成函数.
  • 4,Holder不等式 5,Schwarz不等式 和 Minkovski不等式 ​ 二:不等式的证明 1,Jensen不等式用数学归纳法证明 2,平均值不等式的证明:取对数后,用Jensen不等式证明 3,第三个不等式的证明:利用对数函数lnx...

    目录

    一:几个重要不等式的形式

    1,Jensen不等式

    2,平均值不等式

    3,一个重要的不等式

    4,Holder不等式

    5,Schwarz不等式 和 Minkovski不等式

    二:不等式的证明

    1,Jensen不等式用数学归纳法证明

    2,平均值不等式的证明:取对数后,用Jensen不等式证明

    3,第三个不等式的证明:利用对数函数lnx的凸性和单调递增的性质,不等式两边取对数

    4,Holder不等式的证明(利用第三个不等式):

    5, Schwarz不等式的证明:当p=q=1/2的时候,利用holder不等式,立得。


    一:几个重要不等式的形式

     

    1,Jensen不等式

    2,平均值不等式

    3,一个重要的不等式

    4,Holder不等式

    5,Schwarz不等式 和 Minkovski不等式

     

     

    二:不等式的证明

     

    1,Jensen不等式用数学归纳法证明

    2,平均值不等式的证明:取对数后,用Jensen不等式证明

    3,第三个不等式的证明:利用对数函数lnx的凸性和单调递增的性质,不等式两边取对数

    4,Holder不等式的证明(利用第三个不等式)

     

     

     

    5, Schwarz不等式的证明:当p=q=1/2的时候,利用holder不等式,立得。

    6,Minkovski不等式的证明:两边平方,去掉相对的项,再平方,即是Schwarz不等式。

     

     

     Reference:

     

    1,《数学分析》 陈纪修等, 高教出版社

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

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