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  • 向量点乘和叉乘区别

    千次阅读 2020-09-09 19:48:11
    如何看待向量之间的叉乘和点乘 首先明显的区别在于:两个向量点乘的结果是一个标量,而两个向量叉乘的结果则还是一个向量。如下面的例子: 点乘: 向量a = (a1, a2, a3), 是一个1行3列的向量。向量b=(b1, 是一个3...

    如何看待向量之间的叉乘和点乘

    首先明显的区别在于:两个向量点乘的结果是一个标量,而两个向量叉乘的结果则还是一个向量。如下面的例子:

    点乘:

    向量a = (a1, a2, a3), 是一个1行3列的向量。向量b=(b1, 是一个3行1列的向量。两者点乘的结果为 a1b1+a2b2+a3b3(若我们这里

                                                                                      b2,

                                                                                      b3)

    将a1,a2,a3,b1,b2,b3全部赋值为1,那么向量a 点乘 向量b = 1 + 1 + 1 = 3,是一个标量

     

    叉乘:

    向量a = (a1, a2, a3), 是一个1行3列的向量。向量b=(b1, b2, b3)同样是一个1行3列的向量。两者叉乘的结果如下:

    向量a 叉乘 向量b =

    解上面的行列式可以得到:向量a 叉乘 向量b = (a2*b3-a3*b2)i + (a3*b1-a1*b3)j + (a1*b2 - a2*b1)k,这里的i = (1,0,0),j=(0,1,0), k=(0,0,1), 所以最后向量a 叉乘 向量b = (a2*b3-a3*b2,a3*b1-a1*b3,a1*b2 - a2*b1),是一个向量

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  • 笔者是一个数学系的在读本科生,若是文章中有纰漏,欢迎指出。...作者3Blue1Brown的主页:3Blue1Brow的主页​space.bilibili.com一、叉乘叉乘是解析几何中介绍的第一个相对比较陌生的概念。因此在解...

    33c37464d82ac4a6fda33dc6756c3c25.png
    笔者是一个数学系的在读本科生,若是文章中有纰漏,欢迎指出。
    本篇笔记仅供交流学习。
    在这里再安利一次【3Blue1Brown的线性代数的本质(Essense of Linear Algebra)系列】,对直观理解线性代数的问题真的非常有帮助。
    作者3Blue1Brown的主页:
    3Blue1Brow的主页​space.bilibili.com

    一、叉乘

    叉乘是解析几何中介绍的第一个相对比较陌生的概念。因此在解析几何部分的笔记中优先介绍这个概念。

    一、叉乘的定义

    V=(V1,V2,V3), W=(W1,W2,W3)

    c8730fc0aa164a9735db7ac38d563b11.png

    二、如何理解叉乘

    为什么叉乘得到的这个向量垂直于原本的两个向量所在的平面呢?

    为什么叉乘得到的这个向量模长数值上等于原本两个向量所构成的平行四边形面积呢?

    为了帮助大家更好地理解,笔者强烈建议大家先观看一下下面这个视频:

    以线性变换的眼光看叉积​www.bilibili.com

    在看完这个视频之后,相信你已经对叉乘有了不一样的认识,下面笔者将结合视频内容为视频稍作解释。

    1. 按照视频作者3Blue1Brown的思路,我们先定义下面这个函数(三维空间到一维空间(向量)的一个变换):

    1398f3f81e2f6d345e1036cb9e4f010c.png
    由行列式的性质可知这个变换是线性的

    这个函数的定义是根据两个已知向量V、W定义的。

    由行列式的定义知,这是一个输入向量,输出与已知两个向量V、W构成的平行六面体有向体积的函数。

    2. 我们利用对偶性的思路:

    对偶性:在多维空间到一维空间的线性变换(矩阵乘法)中,我们可以将整个矩阵立起来,将矩阵乘法这个变换看作与某个 特定向量的点乘乘积。

    a8ec65e10a5ddb1805da1288488cda53.png

    对这个概念不是很清楚的同学可以观看一下下面这个视频:

    点积与对偶性​www.bilibili.com

    629e22285d0a8d790068ebd40d6ac6d1.png
    我们将这个特定的向量记为p

    3.由点乘的定义和行列式的定义我们不难得出:

    0fc70e5cd16eba774baf67cbaf2e7119.png

    到这里你就会发现,p1、p2、p3的表达式就是我们一开始定义的叉乘得到的叉积各个对应分量

    这是一个巧合吗?当然不是

    4.根据我们在【1】中定义的函数我们可以知道,当P与某个向量(x,y,z)点乘后得到的结果,相当于这个向量(x,y,z)与原有的两个向量V、W构成的平行六面体的有向体积。

    那么什么样的p能够满足这个性质呢?

    我们不妨从点乘的定义出发,来看看下面几幅图:

    e287b16cbbea1aff12b0ecd9300e5cdf.png
    我们将白色向量定义为输入向量(x,y,z),红色向量为我们叉乘得到的向量P

    7bf74c8d9c70128f2235a51f577c2778.png
    那么点乘的意义就相当于用输入向量往向量P做投影,求长度的乘积

    5.到这里一切就非常清楚了,:

    向量p的模长数值上等于已知向量V、W构成平行四边形面积,相当于底面面积

    输入向量在向量P上的投影相当于输入向量垂直于底面方向上的模长,相当于底面上的高

    那么这两个向量点乘起来,自然就等于输入向量与已知向量V、W构成的平行六面体有向体积了。

    那么看到这里,我想你也能得出混合积的几何意义了吧。(笑

    我们再来小结一下这次笔记的思路:

    1.根据已知向量V、W定义了求体积函数f

    2.然后我们找到他的对偶向量P,即使得应用f变换向量P点乘等价

    思考:这个向量P是唯一的吗,会不会存在其他向量P1也使得输入向量与其点乘等价于应用f变换?

    ——————————————答案分界线——————————————

    答案是肯定的,这个向量P是唯一的。

    有些读者可能会有疑问,如果把p稍微倾斜,那么并且拉长,那么p和(x,y,z)的点乘不就有可能依旧等于(x,y,z)和v、w围成的六面体的体积吗?难道不是有无数个三维向量P,使得p点乘(x,y,z)的结果与平行六面体的体积相等,其中一种就是p垂直于v、w吗?

    不是的,你可以画图解决这个问题,当p不垂直于v、w构成的平面时,输入向量的选取就受到了限制,不再是任意可取的了。

    以上思考来自B站yellow1918,鱼排桑,不考上交大不改名了。

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  • 点乘和叉乘

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    向量 向量是由n个实数组成的一个n行1列(n1)或一个1行n列(1n)的有序数组; 点乘 向量的点乘,也叫向量的内积、数量积,对两个向量执行点乘运算,就是对这两个向量对应位一一相乘...aXb等于由向量a向量b构成的...

    向量点乘(内积)和叉乘(外积、向量积)

    向量
    向量是由n个实数组成的一个n行1列(nX1)或一个1行n列(1Xn)的有序数组;

    点乘
    向量的点乘,也叫向量的内积、数量积,对两个向量执行点乘运算,就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作,点乘的结果是一个标量。

    叉乘
    两个向量的叉乘,又叫向量积、外积、叉积,叉乘的运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量组成的坐标平面垂直。

    计算意义
    aXb等于由向量a和向量b构成的平行四边形的面积

    点乘再叉乘相当于计算体积

    叉乘公式
    在这里插入图片描述

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  • 向量矩阵的点乘和叉乘

    千次阅读 2021-01-29 10:40:23
    向量 定义:向量是由N个实数组成的一...叉乘:又叫向量积、外积、叉积,叉乘,向量a[x1,y1,z1]向量b[x2,y2,z2]叉乘的运算结果是一个向量,并且两个向量的叉积与这两个向量组成的坐标平面垂直,记作axb; 计算方式:.

    向量


    定义:向量是由N个实数组成的一行N列或N行一列的的数组。

    • 点乘:又叫做点积、内积、数量积、标量积,向量a[a1,a2,...,an]和向量b[b1,b2b...,bn]点乘的结果是一个标量,记作a.b

    几何解释:a.b = |a| |b| cos \theta,故而点乘可以计算出两个向量的夹角,且向量垂直,点乘结果为零。

    • 叉乘:又叫向量积、外积、叉积,叉乘,向量a[x1,y1,z1]和向量b[x2,y2,z2]叉乘的运算结果是一个向量,并且两个向量的叉积与这两个向量组成的坐标平面垂直,记作axb

    计算方式:利用行列式方式,设i[1,0,0],j[0,1,0],k[0,0,1],则如下图:

    几何解释:axb =  |a| |b| sin \Theta,故两个向量平行,则其叉乘等于零。

    几何意义:叉积的长度|a×b|可以解释成这两个叉乘向量ab共起点时,所构成平行四边形的面积。

    Numpy实现向量的点乘和叉乘

    点乘需要用到numpy库的dot函数,得到一个标量。叉乘需要用到numpy库的cross函数。

    In [1]: import numpu as np   
    In [2]: a = np.array([1,2,3]) 
    In [3]: b = np.array([2,2,3])   
    In [4]: np.dot(a,b)  
    Out[4]: 15
    In [5]: np.cross(a,b)                                                                                                                                            
    Out[5]: array([ 0,  3, -2])

    矩阵直接使用*相乘的处理方式是向量对应位置相乘,维数不变,它与np.multiply函数效果一样,均是元素相乘。

    In [6]: a*b               
    Out[6]: array([2, 4, 9])
    In [7]: np.multiply(a,b)                                                                
    Out[7]: array([2, 4, 9])

    矩阵


    定义:是一个按照长方阵列排列的复数实数集合。

    • 矩阵点乘:是矩阵各个对应元素相乘, 这个时候要求两个矩阵必须同样大小。
    • 矩阵叉乘:矩阵的乘法就是矩阵a的第m行乘以矩阵b的第n列,各个元素对应相乘然后求和作为第m行n列元素的值。

    Numpy实现矩阵的点乘和叉乘

    矩阵的点乘直接使用*号即可,也可以使用 numpy库的multiply函数,叉乘使用dot函数,这与向量相反

    In [1]: a = np.array([[1,2],[3,4]])                 
    In [2]: b = np.array([[5,6],[7,8]]) 
    In [3]: a*b                                                                                
    Out[3]: 
    array([[ 5, 12],
           [21, 32]])
    In [4]: np.dot(a,b)                                                
    Out[4]: 
    array([[19, 22],
           [43, 50]])
    In [34]: np.multiply(a,b)                                                                                                                                         
    Out[34]: 
    array([[ 5, 12],
           [21, 32]])

    总结Numpy库


    numpy库的对象有数组和矩阵,两者看起来长得差不多,但在性质、运算上有很大不同。可通过array函数mat函数相互转化。

    • dot函数

    对于秩为1的数组,执行对应位置相乘,然后再相加,等价于向量的点乘

    对于秩不为1的二维数组,执行矩阵乘法运算,等价于矩阵的叉乘

    • multiply函数

    数组和矩阵对应位置相乘,输出与相乘数组/矩阵的大小一致,效果上与运算符*对数组效果一样。

    • 运算符*号

    对数组执行对应位置相乘,等价于multiply函数

    对矩阵执行矩阵乘法运算,等价于dot函数

    展开全文
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空空如也

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