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  • 随机现象概率论是研究随机现象的数量规律的数学分支,那么什么是随机现象呢?首先,我们需要知道的是在自然界和人类社会中,存在着两种现象,一种是确定性现象,在一定条件下只有一种结果。比如,每天早晨太阳都是从...
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    CDA数据分析师 出品

    摘要

    本文作为学习概率论的前导知识,主要是为了帮助大家了解以下知识点:

    1. 什么是随机事件和随机变量?
    2. 什么是频率和概率?
    3. 事件之间有哪些基本关系?
    4. 事件之间有哪些基本运算?
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    随机现象

    概率论是研究随机现象的数量规律的数学分支,那么什么是随机现象呢?

    首先,我们需要知道的是在自然界和人类社会中,存在着两种现象,一种是确定性现象,在一定条件下只有一种结果。比如,每天早晨太阳都是从东方升起。第二种是随机现象,在一定条件下可能由多种结果。比如,抛一枚硬币可能出现正反两面。

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    因此,随机现象满足两个特点:

    1. 结果不止一个;
    2. 会出现哪一个结果,人们事先并不知道。

    随机现象的存在,使得我们生活中充满了不确定性的问题,因此,概率论和统计学就是帮我们解决不确定性问题的数学工具。

    在上面中,我们了解到了随机现象可能出现的结果不止一个,这些结果我们就称之为随机事件,因此,可以进一步理解概率论研究的问题:概率论是用数学的方法估算随机现象中各随机事件发生的概率

    那么什么是概率呢?我们用什么来估算概率呢?下面我们来介绍一些频率的稳定性。

    频率的稳定性

    事物的偶然性必然受其背后的必然性规律所支配,因此,随机现象产生的结果也必定有着某种客观规律。而对于某些可以重复试验的随机现象,我们就可以利用不断的重复试验来观察其中的规律,比如概率论中的经典问题:抛一枚硬币,出现正面的概率是多少。为了估算正面出现的概率,我们可以通过在一定条件下重复试验,统计正面和反面出现的次数,计算出现正面出现的频率(正面出现的频率 = 正面出现的次数/总次数),然后用这个频率去估计概率

    因此,通过以上描述,我们可以总结出以下几点:

    1. 大量试验可以得到随机现象的随机事件发生的频率;
    2. 随机现象在大量重复试验后会呈现出明显的规律性,这个规律性就是频率的稳定性,即频率稳定于概率。
    3. 频率是可以通过重复试验计算出来的,而概率是客观存在的,是一个理论值,只能通过频率估计出来。

    ( 作者注:这种用频率估计概率的估计思维,将贯穿概率论与统计学的整个学习过程,是整个学科的思想精髓,希望读者在之后的学习中慢慢体会它的妙处。)

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    随机变量

    数学是对客观事物的抽象认知,概率论也不例外,因此,为了研究随机现象的规律,我们得将问题抽象成数学符号来进行研究。

    通常,我们用大写字母$A$、$B$、$C$...来表示随机事件

    在上文中,我们了解到了随机现象的结果(即随机事件)可能有很多种,因此,用来表示随机现象结果的变量我们就称之为随机变量,常用大写字母$X$、$Y$、$Z$ 表示。

    下面,我们举一个例子,来学会如何将现实中的问题抽象成数学的表达方式。比如,我们要研究抛一枚骰子数字1出现的概率。

    那么,在上面这个问题中,随机现象是抛一枚骰子;随机事件是抛一枚骰子出现数字1。用数学进行抽象表达就是:

    设随机事件(可简称事件)$A$ = 抛一枚骰子出现数字1,随机变量$X$ 为抛一枚骰子得到的数字,研究事件A发生的概率,即$X = 1$的概率。

    易知,随机变量$X$ 的取值只有6种,分别是:$1,2,3,4,5,6$。$X$ 的所有取值就构成了样本空间,我们用集合来表示就是:样本空间 $Omega$ = { $1, 2, 3, 4,5, 6 $ }。样本空间中的基本元素就叫做样本点,如该样本空间中就有6个样本点。

    最后,留一个思考题给大家,如果想要研究:将一枚骰子抛两次,两次都大于3的概率。

    在上述问题中,随机现象、随机事件、随机变量、样本空间、样本点分别是什么,如何将他们抽象成数学的表达方式?

    事件间的关系和运算

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    在一个样本空间中显然可以定义不止一个事件,概率论的重要研究课题之一是希望从简单事件的概率推算出复杂事件的概率。

    事件间的关系,我们用以下概率论语言来表示:

    1. 包含关系:事件$A$包含事件$B$ $=> Bsubset A$
    2. 相等关系:事件$A$与事件$B$等价 $=> Bsubset A$ 且 $Asubset B$
    3. 互补相容:事件$A$与$B$不可能同时发生 $=> AB = emptyset $

    事件间的运算,我们用以下概率论语言来表示:

    1. 事件$A$与$B$的并:事件$A、B$至少发生一个 $=> Abigcup B$
    2. 事件$A$与$B$的交:事件$A$、$B$同时发生 $=> Abigcap B$ 或 $AB$
    3. 事件$A$与$B$的差:事件$A$发生,但$B$不发生$=> A-B$
    4. A的对立事件(逆事件):$A$不发生 $=> overline{A}$

    学会用概率论的语言表示事件是我们学习概率计算的第一步,若$A,B,C$ 是某个随机现象的三个事件,大家可以尝试用概率论的语言表示以下事件:

    • $A$ 与$B$ 发生,$C$ 不发生
    • $A,B,C$ 中至少有一个发生
    • $A,B,C$ 中至少有两个发生
    • $A,B,C$ 中恰好有两个发生
    • $A,B,C$ 同时发生
    • $A,B,C$ 都不发生
    • $A,B,C$ 不全发生

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  • 估计量的数学期望等于被估计参数的真实值;假如X1,X2,…Xn样本是来自正态分布总体 , 是均值,则有 。 22.蒙特卡罗采样: 当解决的问题可以转化求解随机分布特征数:概率,期望等,采用蒙特卡罗采用;主要思想,...

    1.随机变量:X。随机变量的产生具有概率性,且具有多种可能产生的情况。可以看成一个事物的特征、属性。

    2.CDF 累积分布函数:F(x);PDF积分;CDF的反函数可以得到服从CDF分布的随机变量;F(b)-F(a)=P(a<X<b),表示发生在情况a和b之间的概率值大小;用于计算区间的概率分布,无法描述特定情况a或者b发生的概率;

    3.PDF概率密度函数:f(x);主要描述连续的随机变量;它的积分才是概率;曲线形状的峰值为随机变量的期望;胖瘦对应对X的方差;整体曲线下面积值为1;

    4.PMF概率质量函数:主要描述离散的随机变量;它的值是特定情况a或者b发生的概率。p(a)=P(X=a);

    CDF、PDF、PMF这些函数可以描述随机变量。我们大多数关注随机变量发生的概率,以及在某区间内发生的概率。我们实际获得的都是离散类的数据,在机器学习中,数据可以进行分类,那么同一类别的数据可以看成服从同一种概率分布,用函数分类很困难,用常量数字特征分类很轻松。因此,对于服从一种特定PDF曲线形状的随机变量,具有特定的数字特征,这些数字特征也可以代替函数来描述随机变量,例如期望、方差、协方差等。

    5.期望E:变量;随机变量可能取值的加权平均,权重就是该取值的概率p(x);当各个随机情况概率相等的时候,期望大小等于平均值;;大多数情况下我们不能计算出期望,因为我们不知道数据发生的概率以及它的PDF。

    6.大数定理(主要适用于信号处理,图像处理):很大数量的样本,会出现一个规律,期望值并不是变量了,它等于常量均值;因此我们会经常看到信号处理,图像处理中,求数据的期望,直接求的是平均值(若是小样本会有偏差);因为我们总不能得到无限的大量的样本数据,只能得到小样本数据,因此在计算样本方差的时候用N-1。用小样本来估计整体,具体原理可以看无偏估计,极大似然估计。

    7.方差;每一个样本与期望的偏离程度;

    8.样本方差:知道期望值可以求出方差,但是一般情况下,只能得到固定的样本数据,不能准确得到这些数据发生的概率,不能计算期望,只能计算均值,因此我们大多数计算的都是样本方差!!!!!!;样本方差与均值有关;用均值估计期望,用样本方差估计方差;

    9.中央极限定理:大量的相互独立(各自产生不受到别人的影响)随机变量的均值经标准化后收敛于正态分布;表明了若有独立同分布的随机变量,不管各自的分布如何,只要n足够大,随机变量之和服从于正态分布;我们常用高斯噪声,因为它的概率密度函数服从正态分布,一般在信号噪声分析,图像噪声处理等,都假定为高斯噪声,知道期望方差,就可以计算。然而期望往往计算为平均值,更加简单;这个定理会让我们在数据处理中考虑用高斯函数表示数据分布,这会假定数据是独立同分布的,假定数据是高斯分布的,不同类别的数据指的是具有不同的方差和期望;

    10.协方差(标准协方差=相关系数):不同的PDF具有不同的随机变量。我们知道相同PDF的随机变量的方差,那么不同的随机变量的总体误差称为协方差。当cov(x,y)>0,x>E(x),y>E(y)的时候x,y正相关,cov(x,y)<0,x<E(x),y>E(x)x,y负相关,cov(x,y)=0,x=E(x),y=E(y),x,y不相关;;当我们无法求出数据的期望的时候,就用均值代替。

    11.协方差矩阵:方差是对应于一维数据的,一维数据用通俗的话讲,就是单个属性,多个样本,每一个样本只有一个属性,我们可以计算这个属性的均值与方差来描述它,当一个随机变量具有多个维度,即一个样本具有多种属性,我们可以计算单个属性的方差,也可以计算不同属性之间的方差判断这些属性之间是否有一定的联系,因此需要协方差矩阵,协方差矩阵中每一个元素是对应两两属性的样本方差;协方差矩阵怎么求?首先:在计算协方差矩阵的时候,一定要判断每一个样本占一行还是占一列。若每一个样本占一行,那么不同列就是不同属性,协方差计算的是不同列之间,即不同属性的关系。下面的计算,每一行代表一个样本。

    从上面式子可以得出,协方差对角线是计算每一个属性的样本方差。cov(c2,c1)=cov(c1,c2)

    得到协方差矩阵的具体步骤:首先计算c1,c2,…cn的均值。之后将X 的每一列减去对应的均值。

    然后

    12.联合概率分布函数:也称为多维分布函数,随机向量的分布函数,(x,y)表示坐标,那么F(x,y)的值就是随机点(x,y)落在以点(x,y)为顶点且位于该点左下方无穷矩形区域内的概率;这两个变量中存在线性关系,可以互相表达;

    13.概率分布模型:一个随机实验结果,可以根据他的性质来确定模型,比如投硬币正反面,婴儿性别用伯努利,出厂钢钉的误差可以用正态分布等,下面主要介绍几种常见的分布模型,以及含义。

    14.伯努利分布:离散;用于只有两个可能的结果1或0;1的概率为p,0的概率为(1-p)第k次成功的伯努利概率质量函数PMF为:,期望:p,方差:p(1-p)

    15.二项分布:离散;n次实验的伯努利分布,当n=1的时候,就是伯努利分布,期望np,方差np(1-p);

    16几何分布:离散;独立重复实验,成功概率为p,进行n次成功,前n-1次失败,那么PMF,期望为1/p,方差为

    17泊松分布:离散;单位时间内发生的次数可以用泊松分布刻画,例如某段高速公路一年内的交通事故数,办公室一天接到电话的次数,PMF,表示单位时间内随机事件的平均发生率。

    18.指数分布:连续;元器件随着时间寿命减短,类似这种不断衰减的事件,采用指数分布。概率密度函数PDF:,期望:,方差:概率分布函数CDF:

    19.正态分布:连续;误差产生主要集中在一定的区间,例如信道噪声,工艺钉子误差,经常描述误差;

    20.均匀分布:在一定区间内,随机变量落在次区间内的概率相同。

    21无偏估计:估计量的数学期望等于被估计参数的真实值;假如X1,X2,…Xn样本是来自正态分布总体是均值,则有

    22.蒙特卡罗采样:当解决的问题可以转化求解随机分布特征数:概率,期望等,采用蒙特卡罗采用;主要思想,已知一个CDF,求出它的反函数,获取随机变量值,采样后的随机变量的分布接近CDF函数;

     

     

     

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  • 序号 大写 小写 英文注音 国际音标注音 中文注音 1 Α α alpha a:lf 阿尔法 2 Β β beta bet 贝塔 3 Γ γ gamma ga:m 伽马 4 Δ δ delta delt 德尔塔 5 Ε ε epsilon epsilon 伊普西龙 6 Ζ ζ zeta zat 截塔 7...
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  • 关于一些数学符号和概率的阐述;

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    求和符号

    是数学中常用的符号,主要用于求多项数的和,用∑表示。

    举例:

    累乘符号

    读pai,跟圆周率那个π是一样的读法,是希腊字母π的大写,符号表示Π。
    举例:

    数学期望

    首先对于题目你先得保证每次可能结果的概率和结果要算对,或者已知;
    如果随机变量只取得有限个值或无穷能按一定次序一一列出,其值域为一个或若干个有限或无限区间,这样的随机变量称为离散型随机变量。
    如果X是离散型随机变量,它的全部可能取值是a1,a2,…,an,…,取这些值的相应概率是p1,p2,…,pn,…,则其数学期望E(X)=(a1)(p1)+(a2)(p2)+…+(an)(pn)+…; 
    离散型随机变量X举例(来自百度,其实有很多例子,例子很形象的):
    Y =x^2-2x
    y 0 -1 0
    【期望】E(X)=Xi*Pi=0*(1/12)+(-1)*(1/6)+0*(3/4)=(-1/6);
    连续性随机变量X的分布函数F(x)可表示成一个非负可积函数f(x)的积分,则称X为连续性随机变量,f(x)称为X的概率密度函数(分布密度函数)。
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