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  • 数学建模方法—【03】拟合优度计算(python计算)

    万次阅读 多人点赞 2020-08-28 20:07:17
    拟合优度 1. 概念 引用百度百科定义: ...总而言之,拟合优度是用于度量拟合曲线对于原始数据拟合效果的好坏,拟合优度R2R^2R2越接近1说明拟合优度越好,一般来说,拟合优度到达0.8以上就可以说拟合效

    拟合优度

    1. 概念

    引用百度百科定义:
    拟合优度(Goodness of Fit)是指回归曲线对观测值的拟合程度。度量拟合优度的统计量是可决系数(亦称确定系数)R²。R²最大值为1。
    规则: R²的值越接近1,说明回归曲线对观测值的拟合程度越好;反之,R²的值越小,说明回归曲线对观测值的拟合程度越差。
        总而言之,拟合优度是用于度量拟合曲线对于原始数据拟合效果的好坏,拟合优度 R 2 R^2 R2越接近1说明拟合优度越好,一般来说,拟合优度到达0.8以上就可以说拟合效果不错了。

    2. 计算方法

             y y y为待拟合数据,y的均值为 y ‾ \overline{y} y,拟合数据为 y ^ \widehat{y} y ,则:
                    1. 总平方和 SST(total sum of squares) : ∑ i = 1 n ( y i − y ‾ ) 2 \sum\limits_{i=1}^{n}(y_i - \overline{y})^2 i=1n(yiy)2
                    2. 回归平方和 SSR(regression sum of squares) : ∑ i = 1 n ( y ^ i − y ‾ ) 2 \sum\limits_{i=1}^{n}(\widehat{y}_i - \overline{y})^2 i=1n(y iy)2
                    3. 残差平方和 SSE(error sum of squares) : ∑ i = 1 n ( y i − y ^ i ) 2 \sum\limits_{i=1}^{n}({y}_i - \widehat{y}_i)^2 i=1n(yiy i)2

    确定系数:
                     R 2 = S S R S S T = 1 − S S E S S T R^2 = \frac{SSR}{SST}=1-\frac{SSE}{SST} R2=SSTSSR=1SSTSSE


    3. Python代码

    # #################################拟合优度R^2的计算######################################
    def __sst(y_no_fitting):
        """
        计算SST(total sum of squares) 总平方和
        :param y_no_predicted: List[int] or array[int] 待拟合的y
        :return: 总平方和SST
        """
        y_mean = sum(y_no_fitting) / len(y_no_fitting)
        s_list =[(y - y_mean)**2 for y in y_no_fitting]
        sst = sum(s_list)
        return sst
    
    
    def __ssr(y_fitting, y_no_fitting):
        """
        计算SSR(regression sum of squares) 回归平方和
        :param y_fitting: List[int] or array[int]  拟合好的y值
        :param y_no_fitting: List[int] or array[int] 待拟合y值
        :return: 回归平方和SSR
        """
        y_mean = sum(y_no_fitting) / len(y_no_fitting)
        s_list =[(y - y_mean)**2 for y in y_fitting]
        ssr = sum(s_list)
        return ssr
    
    
    def __sse(y_fitting, y_no_fitting):
        """
        计算SSE(error sum of squares) 残差平方和
        :param y_fitting: List[int] or array[int] 拟合好的y值
        :param y_no_fitting: List[int] or array[int] 待拟合y值
        :return: 残差平方和SSE
        """
        s_list = [(y_fitting[i] - y_no_fitting[i])**2 for i in range(len(y_fitting))]
        sse = sum(s_list)
        return sse
    
    
    def goodness_of_fit(y_fitting, y_no_fitting):
        """
        计算拟合优度R^2
        :param y_fitting: List[int] or array[int] 拟合好的y值
        :param y_no_fitting: List[int] or array[int] 待拟合y值
        :return: 拟合优度R^2
        """
        SSR = __ssr(y_fitting, y_no_fitting)
        SST = __sst(y_no_fitting)
        rr = SSR /SST
        return rr
    

    举个栗子:

    import random
    import matplotlib.pyplot as plt
    # 生成待拟合数据
    a = np.arange(10)
    # 通过添加正态噪声,创造拟合好的数据
    b = a + 0.4 * np.random.normal(size=len(a))
    print("原始数据为: ", a)
    print("拟合数据为: ", b)
    rr = goodness_of_fit(b, a)
    print("拟合优度为:", rr)
    plt.plot(a, a, color="#72CD28", label='原始数据')
    plt.plot(a, b, color="#EBBD43", label='拟合数据')
    plt.legend() 
    plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']  # 用来正常显示中文标签
    plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False  # 用来正常显示负号
    plt.savefig(r"C:\Users\Yunger_Blue\Desktop\temp.jpg")
    plt.show()
    

    结果为:

    原始数据为:  [0 1 2 3 4 5 6 7 8 9]
    拟合数据为:  [0.23705933 1.20951491 2.37326542 3.00448608 3.48391211 4.30719527 5.95446175 7.50969723 8.97662945 8.27064816]
    拟合优度为: 0.9971013400436336
    

    在这里插入图片描述

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  • 在MATLAB中,计算回归问题的拟合优度(或判定系数)可用[B,BINT,R,RINT,STATS] = regress(Y,X)指令,其中的STATS的第一个返回值即为R2。 一般来说,R2在0到1的闭区间上取值,但在实验中,有时会遇到R2为inf(无穷大...

    在MATLAB中,计算回归问题的拟合优度(或判定系数)可用[B,BINT,R,RINT,STATS] = regress(Y,X)指令,其中的STATS的第一个返回值即为R2
    一般来说,R2在0到1的闭区间上取值,但在实验中,有时会遇到R2为inf(无穷大)的情况,这时我们会用到R2的计算公式:
    R 2 = S S R S S T = 1 − S S E S S T R^2 = \frac {SSR}{SST} = 1- \frac {SSE}{SST} R2=SSTSSR=1SSTSSE
    其中SSR为回归平方和,SSE为残差平方和,SST为总离差平方和,三者还存在下列关系:
    S S T = S S R + S S E SST = SSR + SSE SST=SSR+SSE
    若用 y i y_i yi表示真实的观测值,用 y ˉ \bar{y} yˉ表示真实观测值的平均值,用 y i ^ \hat{y_i} yi^表示拟合值,则SSR、SSE、SST公式可以写成下列形式:
    S S R = ∑ i = 1 n ( y i ^ − y ˉ ) 2 SSR = \sum_{i=1}^{n}(\hat{y_i} - \bar{y})^2 SSR=i=1n(yi^yˉ)2
    S S E = ∑ i = 1 n ( y i − y i ^ ) 2 SSE = \sum_{i=1}^{n}(y_i-\hat{y_i} )^2 SSE=i=1n(yiyi^)2
    S S T = S S R + S S E = ∑ i = 1 n ( y i − y ˉ ) 2 SST =SSR + SSE= \sum_{i=1}^{n}(y_i - \bar{y})^2 SST=SSR+SSE=i=1n(yiyˉ)2

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  • 回归的拟合优度

    2020-11-28 11:50:15
    7)拟合优度:R2(R-Square) 注:直线回归的R2取值范围是[0,1],R2值越接近1越好 2. 代码实现 2.1 estimator.score 使用estimator的score函数来苹果模型的性能,默认情况下 分类器对应于准确率:sklearn.accuracy_...

     1. 评价指标

    i 为样本编号,y_{i} 为真实值,\widehat{y}_{i} 为预测值,\overline{y_{i}} 是真实值的平均数,则

    1)均方误差MSE(Mean Squared Error)MSE=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\left ( y_{i}-\widehat{y_{i}} \right )^{2}
    2)均方根误差RMSE(Root Mean Squard Error)RMSE=\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\left ( y_{i}-\widehat{y_{i}} \right )^{2}}=\sqrt{MSE}
    3)平均绝对误差MAE(Mean Absolute Error)MAE=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\left | (y_{i}-\widehat{y_{i}}) \right |

    4)回归平方和SSR(Sum of Squares forregression)

                              = ESS (explained sum of squares)

    SSR=\sum_{i=1}^{n}\left (\widehat{ y_{i}}-\overline{y} \right )^{2}

    5)残差平方和:SSE(Sum of Squares for Error)

                             = RSS(residual sum of squares)

    SSE=\sum_{i=1}^{n}\left ( y_{i}-\widehat{y_{i}} \right )^{2}

    6)总离差平方和SST(Sum of Squares fortotal)

                                 = TSS(total sum of squares)

    SST=SSR+SSE=\sum_{i=1}^{n}\left ( y_{i}-\overline{y} \right )^{2}
    7)拟合优度R2(R-Square)R^{2}=\frac{SSR}{SST}=1-\frac{SSE}{SST}=\frac{ \sum_{i=1}^{n}(\widehat{y_{i}}-\overline{y_{i}})^{2}}{\sum_{i=1}^{n}(y_{i}-\overline{y_{i}})^{2}}=1-\frac{ \sum_{i=1}^{n}(y_{i}-\widehat{y_{i}})^{2}}{\sum_{i=1}^{n}(y_{i}-\overline{y_{i}})^{2}}

    注:直线回归的R2取值范围是[0,1],R2值越接近1越好

    2. 代码实现

    2.1 estimator.score

    使用estimator的score函数来苹果模型的性能,默认情况下

    • 分类器对应于准确率:sklearn.accuracy_score
    • 回归器对应于R2得分:sklearn.r2_score

    以XGboost回归为例:

    reg = XGBR(n_estimators=100).fit(Xtrain,Ytrain) 
    reg.score(Xtest,Ytest) 

    使用Shift+Tab键,可以看到官方给的解释,可知score函数计算的是R2

     

    2.2 cross_validation中的scoring参数

    模型选择工具中都有一个参数“scoring”,该参数用来指定网格搜索GridSearchCV()、学习曲线learning_curve()、交叉验证曲线cross_val_score()的度量指标,评价“estimator”的性能。默认情况下,该参数为“None”,则调用“estimator”自己的“score”函数,我们也可以为“scoring”参数指定别的性能度量标准。

    • 学习曲线:(learning curve)

           数据集大小 与 模型score的关系

    
    train_sizes, train_scores, valid_scores = sklearn.model_selection.learning_curve(estimator, 
    X, y, *, groups=None, train_sizes=array([0.1, 0.33, 0.55, 0.78, 1. ]), cv=None, 
    scoring=None, exploit_incremental_learning=False, n_jobs=None, pre_dispatch='all', 
    verbose=0, shuffle=False, random_state=None, error_score=nan, return_times=False
    • 验证曲线:(validation curve)

          模型中某个参数 与 模型score的关系

    sklearn.learning_curve.validation_curve(estimator, X, y, param_name, 
    param_range, cv=None, scoring=None, n_jobs=1, pre_dispatch='all', verbose=0)
    • 交叉验证曲线 (cross_val_score)

    sklearn.model_selection.cross_val_score(estimator, X, y=None, *, groups=None, scoring=None,
     cv=None, n_jobs=None, verbose=0, fit_params=None, pre_dispatch='2*n_jobs', error_score=nan)

    scoring参考文档:

    https://scikit-learn.org/stable/modules/model_evaluation.html#scoring-parameter

     

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  • Matlab计算决定性系数(拟合优度)R2

    千次阅读 2021-10-15 21:59:17
    2 计算公式 【注意】 拟合优度数值越大,说明自变量对因变量的解释程度越高,自变量引起的变动占总变动的百分比高。散点在回归直线附近越聚集,一般认为 R2 > 0.8 时,拟合效果较好! 对于上述回归直线,其可以...

    1 定义

    决定系数(coefficient of determination),也称为拟合优度(goodness of fit)。

    决定系数反应了因变量 y y y 的波动有多少百分比能被 x x x 的波动所描述,即表征因变量 y y y 的变异中有多少百分比可由自变量 x x x 来解释。


    2 如果用不同的线型拟合散点,则 R 2 R^2 R2是会随着变化的,因此要深刻理解公式

    【提前提示】

    1. 拟合优度数值越大,说明自变量对因变量的解释程度越高,自变量引起的变动占总变动的百分比高。散点在 回归直线(注意这里并不一定是1:1线) 附近越聚集,一般认为 R 2 R^2 R2 > 0.8 时,拟合效果较好!
    2. 对于上述回归直线,其可以是通过线性拟合得到的直线或曲线,也可以是自己指定的某一条线(如1:1线)。因此,如果是对线性拟合得到的直线求 R 2 R^2 R2, 则表明该回归直线对散点的拟合程度。
    3. 如果是对1:1线进行求 R 2 R^2 R2,可以反映观测值和模拟值的接近程度(这有些类似于相关系数CC的特性)。

    2.1 求 R 2 R^2 R2的通用公示(网上搞的太乱了,满天飞)

    在这里插入图片描述

    3 Matlab 实现(以线性拟合为例)

    在这里插入图片描述

    % 创建样本
    x = 1:100';
    data = x + 50*rand(1, 100);
    
    % 拟合线性回归模型,
    mdl = fitlm(x, data)
    
    mdl = 
    
    Linear regression model:
        y ~ 1 + x1
    
    Estimated Coefficients:
                       Estimate       SE       tStat       pValue  
                       ________    ________    ______    __________
    
        (Intercept)    24.751        2.8809    8.5912    1.3673e-13
        x1             1.0266      0.049528    20.727     1.334e-37
    
    
    Number of observations: 100, Error degrees of freedom: 98
    Root Mean Squared Error: 14.3
    R-squared: 0.814,  Adjusted R-Squared 0.812
    F-statistic vs. constant model: 430, p-value = 1.33e-37
    >> mdl.Rsquared.Ordinary
    ans =
    
        0.8143
    

    【注意】上面通过Matlab自带的线性拟合工具,可以得到一阶线性或者高阶非线性的拟合曲线,和该线的对于样本的拟合优度。通过查看 mdl 对象的属性可以找到 R 2 R^2 R2 = 0.8143, 注意,这里计算的是对最优回归线的,并不是1:1线的!,不信化,你看下面。

    通过使用polyfit 函数可以对线性拟合直线进行检验,如下:

    >> P = polyfit(x, data, 1);
    >> P
    
    P =
    
        1.0266   24.7510
    

    这两个参数就是ax+b的a和b,和上面计算的结果Estimate一致!

    致谢知乎 “十一” 提供灵感
    https://zhuanlan.zhihu.com/p/108464743

    展开全文
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拟合优度计算公式

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