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  • 二重积分求导

    万次阅读 2019-05-10 09:47:00
    转载于:https://www.cnblogs.com/dugudongfangshuo/p/10842669.html

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    前言

    本笔记不涉及基础知识,重点在于分析考研数学的出题角度和对应策略。笔记随着做题的增多,不定时更新。且为了提高效率,用表线性梳理的形式代替思维导图,望谅解。

    如有缺漏错误,欢迎补充指正!

    最近更新时间:2020.07.13 添加形心计算公式

    二重积分

    • 二重积分的计算
    • 二重积分的求导
    • 二重积分的证明相关定理
    • 二重积分不等式问题
    • 二重积分综合问题

    我认为在充分理解的情况下,考研数学解题就是解题方法和技巧的堆砌,再加一点点想象力。大部分题只会用到章程相关的解题方法,综合题会有跨章节技巧,比如泰勒公式,夹逼定理,放缩,微分方程,三角函数等,也可以说这些是基础。

    所以在解题方法之后我会标注该方法为节、章、综合三类方法之中的一种。表示该方法会在什么范围内用到。

    1. 二重积分的计算

    • 基础计算
    • 技巧计算
    • 特殊形式被积函数和积分区域的计算
    基础计算 —— 章

    直角坐标系:根据题目情况,x轴和y轴的积分次序可颠倒。
    极坐标系:绝大部分先对极径积分,再对转角积分。极径的积分区间可以是常数,也可以随角度变化,这个要根据题目情况确定(利用圆的性质,在圆内做辅助线)。

    技巧计算 —— 章

    对称性和奇偶性:

    • 关于x,y轴对称,相应y,x函数根据奇偶性定积分为0或一半积分域的2倍。
    • 关于y=x对称,f(y,x)的积分 = f(x,y)的积分,非常常用,在x,y轴对称计算复杂时可考虑。
    • 关于y = b或x = b对称,使用变量代换,如X = x-b,进行简化计算。

    积分区域划分
    当完整区域不容易积分时,分割区域。

    华里士公式(点火公式)
    用于提升解题速度,常用于极坐标系下的积分求解,一定要掌握。

    交换积分次序
    在给定积分的题目中出现,一般直接给出的积分次序都不容易求解。画出积分域之后再确定坐标系和积分次序。

    形心计算公式
    用于提升解题速度,适用于两重积分和三重积分。运用公式需要满足两个条件,一是形心显而易见,而是被积函数可分解为单个变量的一次形式。
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    特殊形式被积函数和积分域的计算 ——章

    分段、绝对值作被积函数,参数方程和全平面作积分域的积分
    这些特殊形式和普通形式的积分求解步骤相同,需要适当练习。

    • 首先判断积分域有无对称性、奇偶性,如有必要分割积分域。
    • 选择合适的坐标系
    • 选择合适的积分次序
    • 计算

    2. 二重积分的求导——节

    • 二重积分可以直接求导
    • 二重积分无法直接求导
    二重积分可以直接求导

    二重积分求导的方式和定积分相似,把首先积分的变量看作后积分的变量的被积函数,按照定积分的方式求导。

    二重积分无法直接求导
    • 交换积分次序使之可以求导
    • 化为一元定积分进行求导,其实就是先积一个变量。

    3. 二重积分的证明相关定理——节

    • 中值定理
    • 估值定理
    • 比较定理

    4. 二重积分的综合问题——节

    两个定积分乘积转化为重积分

    与基本不等式一起,证明二重积分的不等式问题。

    转化条件:两个定积分的上下限都为常数,且积分变量互不干扰
    形式:两个定积分相乘,将其中一个定积分中的积分变量改写为y,积分域必定关于x=y对称。

    微分方程

    等式题目的证明,一般方程左右两边有函数和函数的积分形式,求导后化为一阶线性微分方程。

    求极限相关

    包括洛必达,泰勒等求极限相关方法,证明二重积分不等式。
    综合问题要考虑到微分方程和求极限相关的方法对一元定积分最为适用,所以在使用前要把二重积分化为一元定积分。

    三重积分

    三重积分相比于二重积分题型更固定一点,主要考查三重积分的计算和交换积分次序。毕竟三重积分画出积分域也是难点了。
    熟练掌握直角坐标系、柱坐标系和球坐标系的三重积分计算,会利用对称性和奇偶性。交换积分次序时两两互换,画出积分域进行辅助。

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  • 但对于二重积分的牛顿-莱布尼兹的公式却鲜为人知,屈指可数,这是本篇的重点 提前告知我们的小伙伴们,二重积分的牛顿-莱布尼兹公式就是如下形式,你知道它是怎么来的吗? 我们来看如何证明这个结论: 首先F...

    我们都知道牛顿-莱布尼兹的公式,关于这方面的各类文章资料可以说数不胜数,多如牛毛,我们不在此作任何赘述

    但对于二重积分的牛顿-莱布尼兹的公式却鲜为人知,屈指可数,这是本篇的重点

    提前告知我们的小伙伴们,二重积分的牛顿-莱布尼兹公式就是如下形式,你知道它是怎么来的吗?

    我们来看如何证明这个结论:

    首先F(x,y)对x,y的偏导数是如下形式,这个大家一目了然

    我们令(这是有上面的式子得到)

    如果我们取原函数F(x,y)与上式只差,得到一个新的有关x,y的函数

    很明显,对上式G(x,y)取偏导数,就等于0,对于这个式子你学过偏导数就很容易理解哦

    因此Gy(x,y)是不依赖于x的,仅与y有关的连续函数:Gy(x,y)=β(y),若令

    其中很明显B(y)中含有y的项与G(x,y)中含有y的项是相同的,G(x,y)-B(y)中仅含有与y无关的项,所以就会得到

    或者可以理解G(x,y)-B(y)是不依赖于y的,仅与x有关的连续函数A(x),即

    根据上述得出的式子,我们就得到

    根据文章开头F0(x,y)的二重积分,我们得到

    结合上面两个式子所以我们很容易得到

    这个就是二重积分的牛顿-莱布尼兹公式形式

    如果将b,d 换成x, y就变成如下样式

    以上证明比较简单,但逻辑性很强,希望对伙伴们有所帮助

     

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