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  • 约当标准型
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    2021-01-17 19:15:36

    线性变换及其矩阵表示和相似变换

    给定一组有限维向量空间V的基{e1, e2, ... en},一个线性变换T: V->V'的关于这组基的“矩阵分量”[T(i,j)],定义为:

    T ej = sigma(i = 1 to n, T(i,j) ei) = T(1,j) e1 + T(2,j) e2 + ... T(n,j) en

    也就是说,这个线性变换把基向量ej变换成一个新向量,它是基向量的如是的一个线性组合,而系数是这个(nxn)矩阵[T]的列向量,第j列对应ej。故而在一组基向量下,就有这么个一个线性变换到矩阵(系数矩阵或坐标变换矩阵)的一一对应:

    T (e1,e2,...,en) = (e1,e2,...,en) [T]

    再次注意T代表线性变换,[T]是T在基向量组(e1,e2,...,en)下的对应矩阵。如果换一组基向量,同样的线性组合就有不同的对应矩阵。

    现在考虑基向量组的线性变换A(将一组基向量变换到另一组基向量)及其逆变换A',套用上面公式

    (e1,e2,...,en) = A(e1',e2',...,en') = (e1',e2',...,en') [A]

    (e1',e2',...,en') = A'(e1,e2,...,en) = (e1,e2,...,en) [A']

    显然有[A'][A] = [I]

    一个向量v = (e1,e2,...,en) [v],其中列向量[v]显然就是坐标。

    那么它由另一组基表示v = (e1',e2',...,en') [v'],则有 [A][v] = [v']。这就是基变换下的对应的坐标变换。

    由线性变换的性质可得:

    T(e1,e2,...,en) [v] = Te1 v1 + Te2 v2 + ... Ten vn = T ((e1,e2,...,en)[v])

    于是:(e1',e2',...,en')[T'][x'] = T(e1',e2',...,en') [x'] = TA'(e1,e2,...,en) [A][x] = (e1,e2,...,en)[A'][T'][A][x] = (e1,e2,...,en)[T][x]

    注意,TA'(e1,e2,...,en) [A]并不等于ATA'(e1,e2,...,en)(由此会得出荒唐结论),因为[A]不是基向量组TA'(e1,e2,...,en)下A的对应的变换矩阵。

    上述说明,同一个线性变换T,在基向量组[e']下的矩阵是[T'],则在基向量组[e]下的矩阵为[T] = [A'][T'][A]。

    特征值与特征向量

    如果存在非零的向量v,有S v = l v,则l是S的一个特征值,v是对应的特征向量。

    对于任意l,容易证明Vl = {u | S u = l u} 是一个线性空间。它包含所有l对应的特征的向量。如果l不是S的特征值,则显然Vl = {0}。

    (未完待续)

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  • 系统的传递函数为试用MATLAB求其约当标准型状态空间表达式。>> num=[2,1];>> den=[1 7 14 8];>> [A,B,C,D]=tf2ss(num,den);>> L=eig(A);>> K1=L(1)*eye(3)-A;>> syms p11 p12 ...

    系统的传递函数为

    296c510c0a35e9454d70057b1bac89da.png

    试用MATLAB求其约当标准型状态空间表达式。

    >> num=[2,1];

    >> den=[1 7 14 8];

    >> [A,B,C,D]=tf2ss(num,den);

    >> L=eig(A);

    >> K1=L(1)*eye(3)-A;

    >> syms p11 p12 p13

    >> f=K1*[p11;p12;p13];

    >> p11=1;

    >> p12=solve(subs(f(2)));

    >> p13=solve(subs(f(3)));

    >> p1=[p11;p12;p13];

    >> K2=L(2)*eye(3)-A;

    >> syms p21 p22 p23

    >> f=K2*[p21;p22;p23];

    >> p21=1;

    >> p22=solve(subs(f(2)));

    >> p23=solve(subs(f(3)));

    >> p2=[p21;p22;p23];

    >> K3=L(3)*eye(3)-A;

    >> syms p31 p32 p33

    >> f=K3*[p31;p32;p33];

    >> p31=1;

    >> p32=solve(subs(f(2)));

    >> p33=solve(subs(f(3)));

    >> p3=[p31;p32;p33];

    >> T=[p1,p2,p3];

    >> A0=inv(T)*A*T

    A0 =

    [ -4, 0, 0]

    [ 0, -2, 0]

    [ 0, 0, -1]

    >> B0=inv(T)*B

    B0 =

    8/3

    -2

    1/3

    >> C0=C*T

    C0 =

    [ -7/16, -3/4, -1]

    为什么我的c0不是[1,1,1]呢?可是验算K1*p1..K2*p2..K3*p3都是0啊..所以应该是没算错的..这题没有重根..难道这是不能化为约当标准型的原因吗??

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  • matlab求约当标准型

    千次阅读 2021-04-20 03:55:58
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  • 一.幂零变换的约当标准型 1.强循环子空间 (1)概念: (2)将线性空间分解成强循环子空间: 二.线性变换的约当标准型

    一.幂零变换的约当标准形(9.7)
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    1.强循环子空间
    (1)概念:
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    (2)将线性空间分解成强循环子空间:
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    定理1:设 B \mathcal{B} B是域 F F F r r r维线性空间 W W W上的幂零变换,其幂零指数为 l l l,则 W W W能分解成 d i m   W 0 dim\,W_0 dimW0 B − \mathcal{B}- B强循环子空间的直和,其中 W 0 W_0 W0 B \mathcal{B} B的属于特征值0的特征子空间
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    2.幂零变换的约当标准形:

    定理2:设 B \mathcal{B} B是域 F F F r r r维线性空间 W W W上的幂零变换,其幂零指数为 l l l,则 W W W中存在1个基,使得 B \mathcal{B} B在此基下的矩阵 B B B为1个约当形矩阵,其中每个约当块的主对角元都是0,且级数不超过 l l l;约当块的总数等于 dim ⁡ ( K e r   B ) = r − r a n k ( B ) \dim(Ker\,\mathcal{B})=r-rank(\mathcal{B}) dim(KerB)=rrank(B) t t t级约当块的个数 N ( t ) = r a n k ( B t + 1 ) + r a n k ( B t − 1 ) − 2 r a n k ( B t ) ( 7 ) N(t)=rank(\mathcal{B}^{t+1})+rank(\mathcal{B}^{t-1})-2rank(\mathcal{B}^t)\qquad(7) N(t)=rank(Bt+1)+rank(Bt1)2rank(Bt)(7) B B B称为 B \mathcal{B} B约当标准形;除约当块的排列次序外, B \mathcal{B} B的约当标准形是唯一的
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    推论1:设 B B B是域 F F F上的 r r r级幂零矩阵,其幂零指数为 l l l,则 B B B相似于1个约当形矩阵,其中每个约当块的主对角元为0,且级数不超过 l l l,约当块的总数为 r − r a n k ( B ) ( 13 ) r-rank(B)\qquad(13) rrank(B)(13) t t t级约当块的个数 N ( t ) = r a n k ( B t + 1 ) + r a n k ( B t − 1 ) − 2 r a n k ( B t ) ( 14 ) N(t)=rank(B^{t+1})+rank(B^{t-1})-2rank(B^t)\qquad(14) N(t)=rank(Bt+1)+rank(Bt1)2rank(Bt)(14)这个约当形矩阵称为 B B B约当标准型;除去约当块的排列次序外, B B B的约当标准形是唯一的

    二.线性变换的约当标准形(9.8)
    1.线性变换的约当标准型
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    (1)线性变换的约当标准型:

    定理3:设 A \mathcal{A} A是域 F F F n n n维线性空间 V V V上的线性变换,如果 A \mathcal{A} A的最小多项式 m ( λ ) m(λ) m(λ) F [ λ ] F[λ] F[λ]中的标准分解式为 m ( λ ) = ( λ − λ 1 ) l 1 ( λ − λ 2 ) l 2 . . . ( λ − λ s ) l s ( 1 ) m(λ)=(λ-λ_1)^{l_1}(λ-λ_2)^{l_2}...(λ-λ_s)^{l_s}\qquad(1) m(λ)=(λλ1)l1(λλ2)l2...(λλs)ls(1)那么 V V V中存在1个基,使得 A \mathcal{A} A在此基下的矩阵 A A A为约当形矩阵,其全部主对角元是 A \mathcal{A} A的全部特征值,特征值 λ j λ_j λj在主对角线上出现的次数等于 λ j λ_j λj的代数重数,主对角元为 λ j λ_j λj的约当块的总数 N j N_j Nj N j = n − r a n k ( A − λ j I ) ( 2 ) N_j=n-rank(\mathcal{A}-λ_j\mathcal{I})\qquad(2) Nj=nrank(AλjI)(2)其中 t t t级约当块 J t ( λ j ) J_t(λ_j) Jt(λj)的个数 N j ( t ) N_j(t) Nj(t) N j ( t ) = r a n k ( A − λ j I ) t + 1 + r a n k ( A − λ j I ) t − 1 − 2 r a n k ( A − λ j I ) t ( 3 ) N_j(t)=rank(\mathcal{A}-λ_j\mathcal{I})^{t+1}+rank(\mathcal{A}-λ_j\mathcal{I})^{t-1}-2rank(\mathcal{A}-λ_j\mathcal{I})^t\qquad(3) Nj(t)=rank(AλjI)t+1+rank(AλjI)t12rank(AλjI)t(3)其中 1 ≤ t ≤ l j   ( j = 1 , 2... s ) 1≤t≤l_j\,(j=1,2...s) 1tlj(j=1,2...s);这个约当形矩阵 A A A称为 A \mathcal{A} A约当标准形;除去约当块的排列次序外, A \mathcal{A} A的约当标准形是唯一的
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    (2)矩阵的约当标准型:

    (定理3的)推论1:设 A A A是域 F F F上的 n n n级矩阵,如果 A A A的最小多项式 m ( λ ) m(λ) m(λ) F [ λ ] F[λ] F[λ]中的标准分解式为 m ( λ ) = ( λ − λ 1 ) l 1 ( λ − λ 2 ) l 2 . . . ( λ − λ s ) l s ( 10 ) m(λ)=(λ-λ_1)^{l_1}(λ-λ_2)^{l_2}...(λ-λ_s)^{l_s}\qquad(10) m(λ)=(λλ1)l1(λλ2)l2...(λλs)ls(10)那么 A A A相似于1个约当形矩阵,该约当形矩阵的全部主对角元是 A A A的全部特征值,特征值 λ j λ_j λj在主对角线上出现的次数等于 λ j λ_j λj的代数重数,主对角元为 λ j λ_j λj的约当块的总数 N j N_j Nj N j = n − r a n k ( A − λ j I ) ( 11 ) N_j=n-rank(A-λ_jI)\qquad(11) Nj=nrank(AλjI)(11)其中 t t t级约当块 J t ( λ j ) J_t(λ_j) Jt(λj)的个数 N j ( t ) N_j(t) Nj(t) N j ( t ) = r a n k ( A − λ j I ) t + 1 + r a n k ( A − λ j I ) t − 1 − 2 r a n k ( A − λ j I ) t ( 12 ) N_j(t)=rank(A-λ_jI)^{t+1}+rank(A-λ_jI)^{t-1}-2rank(A-λ_jI)^t\qquad(12) Nj(t)=rank(AλjI)t+1+rank(AλjI)t12rank(AλjI)t(12)其中 1 ≤ t ≤ l j   ( j = 1 , 2... s ) 1≤t≤l_j\,(j=1,2...s) 1tlj(j=1,2...s);这个约当形矩阵 A A A称为 A A A约当标准形;除去约当块的排列次序外, A A A的约当标准形是唯一的
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    (3)线性变换和矩阵有约当标准型的充要条件:

    (定理3的)推论2:域 F F F n n n维线性空间 V V V上的线性变换 A \mathcal{A} A有约当标准形当且仅当 A \mathcal{A} A的最小多项式 m ( λ ) m(λ) m(λ) F [ λ ] F[λ] F[λ]中可分解成1次因式的乘积
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    (定理3的)推论3:域 F F F n n n维线性空间 V V V上的线性变换 A \mathcal{A} A有约当标准形当且仅当 A \mathcal{A} A的特征多项式 f ( λ ) f(λ) f(λ) F [ λ ] F[λ] F[λ]中可分解成1次因式的乘积
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    (定理3的)推论4:域 F F F上的 n n n级矩阵 A A A相似于1个约当形矩阵当且仅当 A A A的最小多项式 m ( λ ) m(λ) m(λ)(或特征多项式 f ( λ ) f(λ) f(λ))在 F [ λ ] F[λ] F[λ]中可分解成1次因式的乘积

    2.初等因子与相似矩阵
    (1)定义:
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    (2)矩阵相似的充要条件:

    (定理3的)推论5:设 A , B ∈ M n ( F ) A,B∈M_n(F) A,BMn(F),如果 A , B A,B A,B都有约当标准形,那么 A A A B B B相似当且仅当它们有相同的初等因子
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    注:①本行也是矩阵相似的充要条件,也可使用本条件

    (定理3的)推论6:2个 n n n级复矩阵相似当且仅当它们有相同的初等因子
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    3.空间分解的方法:
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    4.约当基
    (1)定义:
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    (2)求解:
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    三.相抵标准形(9.8)
    1.相抵标准形
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    (1)定义:

    定理4:任意1个非零的 n n n λ − λ- λ矩阵 A ( λ ) A(λ) A(λ)一定相抵于对角 λ − λ− λ矩阵: d i a g   { d 1 ( λ ) , d 2 ( λ ) . . . d n ( λ ) } ( 1 ) diag\,\{d_1(λ),d_2(λ)...d_n(λ)\}\qquad(1) diag{d1(λ),d2(λ)...dn(λ)}(1)其中 d i ( λ )   ∣   d i + 1 ( λ )   ( i = 1 , 2... n − 1 ) d_i(λ)\,|\,d_{i+1}(λ)\,(i=1,2...n-1) di(λ)di+1(λ)(i=1,2...n1);且对于任意1个非零的 d i ( λ ) d_i(λ) di(λ),其首项系数为1.满足这些要求的对角 λ − λ− λ矩阵 ( 1 ) (1) (1)称为 A ( λ ) A(λ) A(λ)的1个相抵标准形Smith标准形.将数域 K K K换成任一域 F F F,该定理仍成立

    (2)不变因子与行列式因子:
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    定理5:相抵的 λ − λ− λ矩阵有相同的秩和相同的各阶行列式因子

    (3)唯一性:
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    (4)矩阵相抵的判定:
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    定理6:2个 n n n λ − λ- λ矩阵相抵的充要条件是它们具有相同的不变因子或相同的各阶行列式因子

    2.初等因子
    (1)定义:
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    注意:这也就是 高等代数.线性映射(第9章)4.约当标准型.二.2 部分中定义1所定义的初等因子.今后把数域 K K K n n n级矩阵 A A A的特征矩阵 λ I − A λI-A λIA的不变因子叫做 A A A不变因子,把复矩阵 A A A的特征矩阵 λ I − A λI-A λIA的初等因子叫做 A A A初等因子

    (2)矩阵相抵的判定:

    定理7: C [ λ ] C[λ] C[λ]上2个满秩的 n n n级矩阵相抵的充要条件是它们有相同的初等因子
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    定理8:复数域上2个 n n n级矩阵的特征矩阵相抵的充要条件是它们具有相同的不变因子或相同的初等因子
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    (3)满秩矩阵的初等因子:

    定理9:设 A ( λ ) A(λ) A(λ) C [ λ ] C[λ] C[λ]上的 n n n级满秩矩阵,通过初等变换把 A ( λ ) A(λ) A(λ)化成对角形,然后把主对角线上每个次数大于0的多项式都分解成互不相同的1次因式的乘积,则所有这些1次因式的方幂(相同的按出现次数计算)就是 A ( λ ) A(λ) A(λ)的初等因子
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    因此,对 C [ λ ] C[λ] C[λ]上的 n n n级满秩矩阵 A ( λ ) A(λ) A(λ),可直接求其初等因子,不需要先求不变因子

    3.约当标准形
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    (1)矩阵相似的判定:

    定理10:数域 K K K上2个 n n n级矩阵 A , B A,B A,B相似的充要条件是它们的特征矩阵 λ I − A , λ I − B λI-A,λI-B λIA,λIB相抵
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    定理11:数域 K K K上2个 n n n级矩阵 A , B A,B A,B相似的充要条件是它们有相同的不变因子.2个 n n n级复矩阵相似的充要条件是它们有相同的不变因子或相同的初等因子
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    (2)约当标准形:
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    定理12:任意1个 n n n级复矩阵 A A A都与1个约当形矩阵相似,该约当形矩阵除去其中约当块的排列次序外被 A A A唯一决定,称其为 A A A的约当标准形
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    (定理12的)推论1: n n n级复矩阵 A A A的最小多项式 m ( λ ) m(λ) m(λ)等于 A A A的最后1个不变因子 d n ( λ ) d_n(λ) dn(λ)
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    (定理12的)推论2:数域 K K K n n n级矩阵 A A A的最小多项式 m ( λ ) m(λ) m(λ)等于 A A A的最后1个不变因子 d n ( λ ) d_n(λ) dn(λ)
    在这里插入图片描述
    ( 14 ) (14) (14),数域 K K K n n n级矩阵 A A A的特征多项式 f ( λ ) = D n ( λ ) = ∏ i = 1 n d i ( λ ) f(λ)=D_n(λ)=\displaystyle\prod_{i=1}^nd_i(λ) f(λ)=Dn(λ)=i=1ndi(λ)
    (定理12的)推论3:数域 K K K n n n级矩阵 A , B A,B A,B相似当且仅当把它们看成复矩阵后相似
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    在上述讨论中,把数域 K K K换成域 F F F,把复数域换成包含 F F F的代数封闭域,所有结论仍成立

    附录1.定理10的证明
    在这里插入图片描述

    引理1:设 A A A是域 F F F上任一非零矩阵, G ( λ ) G(λ) G(λ)是任一 n n n λ − λ- λ矩阵,则 ∃ n ∃n n λ − λ- λ矩阵 H 1 ( λ ) , H 2 ( λ ) H_1(λ),H_2(λ) H1(λ),H2(λ)和域 F F F上的 n n n级矩阵 T 1 , T 2 T_1,T_2 T1,T2,使得 G ( λ ) = H 1 ( λ ) ( λ I − A ) + T 1 ( 21 ) G ( λ ) = ( λ I − A ) H 2 ( λ ) + T 2 ( 22 ) G(λ)=H_1(λ)(λI-A)+T_1\qquad(21)\\G(λ)=(λI-A)H_2(λ)+T_2\qquad(22) G(λ)=H1(λ)(λIA)+T1(21)G(λ)=(λIA)H2(λ)+T2(22)
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    定理10’:域 F F F上2个 n n n级矩阵 A , B A,B A,B相似当且仅当 λ I − A , λ I − B λI-A,λI-B λIA,λIB相抵
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  • 矩阵化约当标准型和对角型的方法

    千次阅读 2020-11-25 10:20:45
  • (PRC) 矩阵约当标准化的一个新方法Ξ邱茂路 (山东财政学院基础部, 济南 250014) 摘要: 在线性和非线性问题的研究中, 常需要构造一个基, 使线性算子 T 在此基下的矩阵表示为约当标准型 . 本文介绍了构造这种基的一...
  • 求若当标准型的变换矩阵

    千次阅读 多人点赞 2020-11-19 14:52:29
    J = \begin{bmatrix} 2 & 0 &0 \\ 1 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 4 \end{bmatrix} J=⎣⎡​210​020​004​⎦⎤​ 注意:若当标准型的标准求法需要用到 λ \lambda λ-多项式(或 λ \lambda λ-矩阵),参见高等代数教材。...
  • 矩阵的 Jordan 标准型

    万次阅读 多人点赞 2016-11-24 17:07:27
    如果把矩阵化成对角矩阵,关于矩阵的函数计算问题就会大大简化。但一般的矩阵未必与对角矩阵相似。 矩阵的标准型有多重,Jordan (约当标准型是最接近对角矩阵的形式,在控制理论中经常用到。
  • 一般只要矩阵不特殊都是sI-A初等行列变换变成史密斯标准型,从而通过行列式因子或者直接算出来不变因子组,写成(x-si)^ni形式后,求初等因子组,初等因子组里相同因子方幂最大的相乘就得到了最小多项式.例如我们求得初等...
  • 求Jordan标准型的方法

    万次阅读 多人点赞 2018-02-28 16:30:55
  • 若尔当标准型求法

    万次阅读 多人点赞 2020-11-15 15:36:58
    若尔当(约当/约旦)标准型的求解方法: 方法一:初等变换法 例:求矩阵 的若尔当标准型。 STEP1:求的初等因子 注:定理指出,矩阵的特征矩阵()一定可以通过初等变换化为上述标准型,称为矩阵的标准型。 ...
  • 计算最小多项式,jordan标准型,矩阵范数
  • 矩阵Jordan标准型过渡矩阵的求解

    千次阅读 2020-09-20 11:51:41
    引用自: 程云鹏 《矩阵论》 第三版
  • 在建立系统空间模型时,由于状态变量选择的非唯一性,可以得到不同的状态空间表达式,本文下面是讲述怎么将一个状态空间表达式转换成标准型。 1.系统状态的线性变换 对于一个n阶控制系统,x1,x2,...,xn和是描述...
  • 关于行列式因子、不变因子、初等因子、smith标准型、Jordan标准型、最小多项式的定义 应用实例 *** 行列式因子、不变因子、初等因子、smith标准型、Jordan标准型、最小多项式的matlab实现 ...
  • C、 将矩阵变换为约当标准型 J为A的约当标准型矩阵,而V为相应的变换矩阵。若系统特征根有重根时,应该使用该函数求其约当标准型。D、 将系统线性变换为标准型(约当标准型或模态型)P为采用的变换矩阵当type项为...
  • 矩阵的约当标准形   k阶行列式因子的定义p83 讲这个定义之前,要先弄清楚下面两个基本概念: 其一,k阶子式的概念 其二,最大公因式的概念 k阶子式的概念可以追溯到线性代数中关于矩阵的介绍中有它的定义,即...
  • 主函数: clear; %三阶矩阵 A=[0,1,-1;...J=jordan(A)%约当阵输出 %判断是否能控 for i=0:n-1 Q1(:,i+1)=A^i*B; end n1=rank(Q1); %判断是否能观测 for j=0:n-1 Q2(j+1,:)=C*A^j; end.
  • 第三章: 矩阵的标准型 矩阵的相似对角形 n阶矩阵A能够相似于对角形矩阵 的充要条件 是什么? 若矩阵A能与对角形矩阵相似, 那么 该对角形矩阵的 对角线元素 是A的n个特征值 而且 可逆矩阵p的列向量 就是 对应于...
  • x˙=Ax+Bu\dot{x}=Ax+Bux˙=Ax+Bu略已知若矩阵A有n个互不相同的特征值,就可以变换成对角线标准型,若A有相同的特征值,就可以变换成一般的约当标准型。而且这种变换不改变传递函数和能控能观性。 然后就可以考察...
  • b=[2 14 24];%分子 a=[1 5 8 4];%分母 [r,p,~]=residue(b,a);%留数 %输出r为留数 %p为极点 %有重根时,按次数有da到xiao排列 conp=size(p,1); B=zeros(conp,1); k=zeros(conp,1); j=zeros(conp,1);....
  • 【矩阵论笔记】最小多项式与Jordan的关系

    万次阅读 多人点赞 2020-05-07 17:02:01
    最小多项式 方阵A的次数最低、且首一的零化多项式称为A的最小多项式。 最小多项式的一般形式 算这个没什么办法,只能暴力计算,从m=1开始算,把A带进去是不是等0。 Jordan块的最小多项式是他的特征多项式,阶数不...
  • 三、若当标准形 3.1 若当标准形定义 任何一个复数域上的 n n n 阶方阵都可以找到唯一的(不考虑顺序)Jordan标准形与之相似。Jordan标准形是准对角矩阵,非零元素只出现在对角线上或对角线上方一行,在对角线上方一...
  • 目录 题型1 :从系统框图转化为状态空间表达式 题型2 从系统机理出发建立状态空间表达式 题型3 实现问题 题型4:由状态空间表达式或模拟结构图求传递函数阵 题型5 特征矢量(基础知识点) 题型6 求约旦标准型 ...
  • 其中,J是A的约当标准型,P是将A变换为J的线性变换矩阵。 7.实例 二、应用MATLAB进行线性系统的运动分析 1.矩阵指数函数的计算 对e At 进行数值计算时: eAt=expm(A) 其中,eAt为计算结果。 对e At...

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