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  • 大学物理上知识点总结
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    2022-05-17 14:24:04

    注意:本文首发于我的博客,如需转载,请注明出处!

    序言

      笔者曾经试图详细阐述《大学物理》每一章的每一个知识点。但由于工作量太大,很多时候这些文章的写作实际上都被搁置了。因此,笔者试图只选取重要的知识点、概念和公式来整理。不仅可以降低文章的篇幅,也便于查找关键点。当然,之前的重要概念也会慢慢加以补充。希望这个概念手册可以帮助到更多的人。

      文章按教材章节顺序整理知识点

    第1章 质点运动学

      本章知识点难度不高,但是对于我们熟悉的物理量都有了更深刻的定义。本章的知识点不完全按照书上章节分类,而根据物理量引入顺序排序。

    第四节 位移、速度

    位移

      位移我们更多的时候用分量式来表示,写作
    r ⃗ = x i ⃗ + y j ⃗ + z k ⃗ . \vec{r}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}. r =xi +yj +zk .
    其他矢量也可以写成这种形式,这有别与我们高中的写法。

      当然了,在极坐标系下,位移被写成
    r ⃗ = r ( t ) e r ⃗ ( t ) , \vec{r}=r(t)\vec{e_r}(t), r =r(t)er (t),
    其中 r r r也被称为位移的大小,是时间 t t t的标量函数。这个式子在后面十分重要。要特别注意, r r r r ⃗ \vec{r} r 不是一个东西,因此 ∣ r ⃗ ∣ |\vec{r}| r r r r是不一样的。但是特别的, ∣ d r ⃗ ∣ |\textrm{d}\vec{r}| dr d r \textrm{d}r dr是相等的

    速度

      用数学表述,速度就是位移对时间的一阶导数,记作
    v ⃗ = d r ⃗ d t = d x d t i ⃗ + d y d t j ⃗ + d z d t k ⃗ . \vec{v}=\frac{\textrm{d}\vec{r}}{\textrm{d}t}=\frac{\textrm{d}x}{\textrm{d}t}\vec{i}+\frac{\textrm{d}y}{\textrm{d}t}\vec{j}+\frac{\textrm{d}z}{\textrm{d}t}\vec{k}. v =dtdr =dtdxi +dtdyj +dtdzk .
    这是比较好理解的分量表达式。如果用极坐标表达式,由于 r ( t ) r(t) r(t) e r ⃗ ( t ) \vec{e_r}(t) er (t)都是 t t t的函数,于是求导结果就应该有两项,即
    v ⃗ = d r ⃗ d t = d r d t e r ⃗ + r d θ d t e θ ⃗ . \vec{v}=\frac{\textrm{d}\vec{r}}{\textrm{d}t}=\frac{\textrm{d}r}{\textrm{d}t}\vec{e_r}+r\frac{\textrm{d}\theta}{\textrm{d}t}\vec{e_\theta}. v =dtdr =dtdrer +rdtdθeθ .
    这个式子带来一组特别容易混淆的概念,即 d r ⃗ d t \dfrac{\textrm{d}\vec{r}}{\textrm{d}t} dtdr d r d t \dfrac{\textrm{d}r}{\textrm{d}t} dtdr。前者是速度,是矢量;后者是径向速率,是标量。两者不仅类型不同,数值也不同。上式的第二项就是圆周运动的线速度即 r ω r\omega rω,不多赘述。

      当然,在自然坐标系下,速度还可以写成
    v ⃗ = v ( t ) e τ ⃗ . \vec{v}=v(t)\vec{e_\tau}. v =v(t)eτ .
    这个又和加速度推导有关系。

    第五节 加速度

    加速度

      加速度也可以由速度分量式求导得到,或者由极坐标式求导得到,都是计算问题。这里讲一讲自然坐标系求导结果。如下
    a ⃗ = d v d t e τ ⃗ + v d θ d t e n ⃗ = d v d t e τ ⃗ + v 2 d θ d s e n ⃗ = d v d t e τ ⃗ + v 2 ρ e n ⃗ . \vec{a}=\frac{\textrm{d}v}{\textrm{d}t}\vec{e_\tau}+v\frac{\textrm{d}\theta}{\textrm{d}t}\vec{e_n}=\frac{\textrm{d}v}{\textrm{d}t}\vec{e_\tau}+v^2\frac{\textrm{d}\theta}{\textrm{d}s}\vec{e_n}=\frac{\textrm{d}v}{\textrm{d}t}\vec{e_\tau}+\frac{v^2}{\rho}\vec{e_n}. a =dtdveτ +vdtdθen =dtdveτ +v2dsdθen =dtdveτ +ρv2en .
    得到的结果第一项是切向加速度;第二项是法向加速度。所以我们又要区分 d v d t \dfrac{\textrm{d}v}{\textrm{d}t} dtdv d v ⃗ d t \dfrac{\textrm{d}\vec{v}}{\textrm{d}t} dtdv 是不同的概念。法向加速度公式是 v 2 ρ \dfrac{v^2}{\rho} ρv2,对圆来说就是 v 2 R \dfrac{v^2}{R} Rv2,就是我们熟悉的样子。

    科里奥利加速度

      变换参考系时,位移、速度、加速度都遵循伽利略变换,即矢量的合成。但是有一种情况例外,就是非惯性系是转动参考系,这时相对于地面的加速度等同于参考系相对地面加速度、物体相对于参考系加速度和科里奥利加速度的矢量和,其大小
    a c ⃗ = 2 ω ⃗ × v ′ ⃗ , \vec{a_c}=2\vec{\omega}\times\vec{v^{\prime}}, ac =2ω ×v ,
    转动参考系角速度和相对速度矢量积的两倍,这时加速度合成式表示为
    a ⃗ = a ′ ⃗ + a c ⃗ + ω ⃗ × ( ω ⃗ × r ⃗ ) . \vec{a}=\vec{a^\prime}+\vec{a_c}+\vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\vec{r}). a =a +ac +ω ×(ω ×r ).
    这个加速度来源于科里奥利力,是一种虚拟力,只在非惯性系中存在,其表示方式为
    F c ⃗ = − m a c ⃗ . \vec{F_c}=-m\vec{a_c}. Fc =mac .

    第7章 狭义相对论

      本章简要介绍了狭义相对论体系的知识,重点是理解并接受相对论时空观

    第二节 狭义相对论的基本假设

    狭义相对性原理

      所有物理定律在一切参考系中都具由相同的形式,即所有惯性系对一切物理定律等价。

    光速不变原理

      光在真空中的传播速度和参考系无关,即光速与光源或者观察者的运动无关。

    第三节 时空相对性

    钟慢效应

      钟慢效应用一句话概括就是:运动的时钟减缓。但是在实际运用中笔者常常出错。所以笔者用另一种表述方式:固有时最短。至于不同参考系中的时间变换,直接乘上洛伦兹因子即可。(注意:这是相对于固有时说的。)

    尺缩效应

      与钟慢效应相同的,笔者采用更不容易出错的表述方式:固有长度最长。变换也只需要除以洛伦兹因子。

    第四节 洛伦兹变换和爱因斯坦速度变换

    洛伦兹变换

      洛伦兹变换是对发生在四维时空中的事件的时空坐标的变换。为了方便记忆,我们引入第四维度 ω = i c t \omega=ict ω=ict,其中 i i i是虚数单位, c c c为真空中的光速,这样洛伦兹变换式可以被简化地记作
    ( ω ′ x ′ y ′ z ′ ) = ( γ − i β γ 0 0 i β γ γ 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ) ( ω x y z ) . \begin{pmatrix} \omega^{\prime}\\ x^{\prime}\\ y^{\prime}\\ z^{\prime} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \gamma&-i\beta\gamma&0&0\\ i\beta\gamma&\gamma&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1&\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \omega\\ x\\ y\\ z \end{pmatrix}. ωxyz=γiβγ00iβγγ0000100001ωxyz.

    爱因斯坦速度变换

      爱因斯坦速度变换分成两种:即速度方向与参考系相对速度在同一直线上和垂直方向两种情况。我们假设两参考系相对速度 v ⃗ = u i ⃗ \vec{v}=u\vec{i} v =ui ,那么在 x x x方向上速度变换为
    v x ′ = v x − u 1 − u c 2 v x , v_x^{\prime}=\dfrac{v_x-u}{1-\dfrac{u}{c^2}v_x}, vx=1c2uvxvxu,
    垂直方向上为
    v y ′ = v y 1 − u 2 c 2 1 − u c 2 v y . v_y^{\prime}=\dfrac{v_y\sqrt{1-\dfrac{u^2}{c^2}}}{1-\dfrac{u}{c^2}v_y}. vy=1c2uvyvy1c2u2 .
    逆变换只要把上式中的 u u u − u -u u替代即可

      上面的式子中,若令 v x = c v_x=c vx=c,可得结果仍为 c c c,这说明了光速在任何参考系中都相同,也证明了光速是自然界速度的极限

    第五节 相对论质量和动量

    相对论质量和动量

      相对论质量的推导我们略去,其结果是
    m = γ m 0 , m=\gamma m_0, m=γm0,
    于是相对论动量就是
    p = γ m 0 v . p=\gamma m_0v. p=γm0v.

    相对论中的力

      同时还应指出,相对论中的力不再由 F = m d 2 x d t 2 F=m\dfrac{\textrm{d}^2x}{\textrm{d}t^2} F=mdt2d2x定义,而采用如下定义:
    F = d p d t = d d t ( m 0 v 1 − u 2 c 2 ) . F=\dfrac{\textrm{d}p}{\textrm{d}t}=\dfrac{\textrm{d}}{\textrm{d}t}(\dfrac{m_0v}{\sqrt{1-\dfrac{u^2}{c^2}}}). F=dtdp=dtd(1c2u2 m0v).

    上式对时间做无穷积分,也可以得到速度最终收敛于 c c c再次印证了光速是自然界速度极限的结论

    第六节 相对论能量和质能关系

    相对论能量

      相对论能量的公式大家耳熟能详,是
    E = m c 2 , E=mc^2, E=mc2,
    这里的 m m m是相对论质量。因此,当物体静止时,其能量为
    E 0 = m 0 c 2 . E_0=m_0c^2. E0=m0c2.
    对其合理的解释是静止物体所具有的一切能量的总和,包括但不仅限于分子间势能、分子动能等。因此我们就可以知道,在相对论中,物体由于运动而具有的能量即动能的表示方式应该是
    E k = m c 2 − m 0 c 2 . E_k=mc^2-m_0c^2. Ek=mc2m0c2.

    质能方程

      相对论统一了质量和能量的关系。当物体的静质量有所损失时,会放出巨大的能量,这个过程叫做质量亏损。构建起的等式是
    E = Δ m c 2 = ( m ′ − m ) c 2 . E=\Delta mc^2=(m^{\prime}-m)c^2. E=Δmc2=(mm)c2.
    特别声明这里一定是静质量亏损。因为动质量的总和与能量是有关系的,然而能量守恒定律告诉我们能量是不会凭空产生和消失的。因而,动质量的总和是不改变的

    第8章 热力学平衡态

      本章节主要讲述了分子热运动的规律

    第一节 热力学系统、平衡态

    平衡态

      对于系统而言,不论系统初始状态如何,在经过一定时间后,必将达到一种定态。这种定态被称为热力学平衡态

    状态参量

      系统处于平衡状态时,其宏观属性可以用一组独立的宏观量描述。这一组相互独立的宏观量称为状态参量

    广延量、强度量

      广延量:整个系统的参量值等于系统各部分参量值之和的参量值,我们称为广延量

      强度量:这类参量值可以在系统任何一处测得,这种量称为强度量

    第二节 热力学第零定律、温度和温标

    热力学第零定律

      当 A A A B B B C C C同时达到热平衡时, A A A B B B也必然处于热平衡。也就是说,热平衡具有传递性

    温度

      刻画热平衡所对应的系统内部属性的参量。

    第三节 理想气体温标和状态方程

    玻意耳定律

      一定质量的气体在温度不变时,其压强和体积的乘积是定值,数学表述为
    P V = C . PV=C. PV=C.

      严格满足这个关系的气体称为理想气体

    理想气体温标

      根据玻意耳定律,我们可以利用之来建立温标,方法是
    T = T t r P P t r . T=T_{tr}\frac{P}{P_{tr}}. T=TtrPtrP.
    值得注意的是,选取的测温质不同,计算所得的待测温度也会有所偏差。但理论上,当测温质十分稀薄时,用不同测温质测得的温度是相同的。这种情况下建立起来的温标我们称为理想气体温标。当然了,实际操作上我们用拟合直线法拟合 T − P t r T-P_{tr} TPtr的关系,求出其截距来计算待测温度。

    理想气体状态方程

      理想气体满足如下恒等式
    p V = ν R T . pV=\nu RT. pV=νRT.
    引入玻尔兹曼常量
    k = R N A , k=\dfrac{R}{N_A}, k=NAR,
    理想气体状态方程还可以表示成
    p V = N k T , pV=NkT, pV=NkT,
    其中, N N N表示气体分子数。上式还可以表示成
    p = n k T , p=nkT, p=nkT,
    其中, n n n表示气体分子密度。

    第四节 理想气体微观模型和温度的统计意义

    理想气体的压强公式

      理想气体的压强公式
    p = ∑ i m n i v i x 2 = m n v x 2 ‾ = 1 3 m n v 2 ‾ . p=\sum_{i}mn_iv_{ix}^2=mn\overline{v_x^2}=\dfrac{1}{3}mn\overline{v^2}. p=imnivix2=mnvx2=31mnv2.
    单个分子的平均动能可以记为
    E t ‾ = 1 2 m v 2 ‾ . \overline{E_t}=\dfrac{1}{2}m\overline{v^2}. Et=21mv2.
    于是
    p = 2 3 n E t ‾ . p=\dfrac{2}{3}n\overline{E_t}. p=32nEt.

      笔者建议大家记住前两个公式。

    道尔顿分压原理

      假设系统是由不同组分相同温度的气体混合而成,它们的摩尔质量分别是 M i M_i Mi,质量分别为 m i m_i mi,那么理想气体方程改写为
    p V = ∑ i ( m i M i ) R T . pV=\sum_i(\frac{m_i}{M_i})RT. pV=i(Mimi)RT.

    温度的统计意义

      对比 p = 2 3 n E t ‾ p=\dfrac{2}{3}n\overline{E_t} p=32nEt P = n k T P=nkT P=nkT可以得到
    E t ‾ = 3 2 k T . \overline{E_t}=\dfrac{3}{2}kT. Et=23kT.
    所以温度反应了微观分子运动的平均动能的大小。这个结论可以和能量均分定理相互印证。

      值得注意的是,当容器壁存在吸收时 P = n k T P=nkT P=nkT不再适用,但是 E t ‾ = 3 2 k T \overline{E_t}=\dfrac{3}{2}kT Et=23kT依然是有效的。此时的压强我们需要通过微观推导得出

    第五节 能量均分定理

    自由度

      刻画分子所在空间位置需要的坐标的个数称为自由度。通常,单原子分子的自由度是3( x , y , z x,y,z x,y,z),刚性双原子分子的自由度是5( x , y , z , α , φ x,y,z,\alpha,\varphi x,y,z,α,φ),非刚性的双原子分子的自由度是6( x , y , z , α , φ , r x,y,z,\alpha,\varphi,r x,y,z,α,φ,r)。

    能量均分定理

      对于处在温度为 T T T的平衡态下的系统,其每个自由度都具有 1 2 k T \dfrac{1}{2}kT 21kT的平均动能。对于具有 t t t个平移自由度、 r r r个转动自由度、 s s s个振动自由度的分子,其具有的平均能量是
    E ‾ = t + r + 2 s 2 k T . \overline{E}=\dfrac{t+r+2s}{2}kT. E=2t+r+2skT.

    第六节 麦克斯韦速率和速度分布函数

    速度分布函数和速率分布函数

      速度分布函数是
    F ( v x , v y , v z ) d v x d v y d v z = ( m 2 π k T ) 3 2 e − m 2 k T ( v x 2 + v y 2 + v z 2 ) d v x d v y d v z , F(v_x,v_y,v_z)\textrm{d}v_x\textrm{d}v_y\textrm{d}v_z=(\dfrac{m}{2\pi kT})^\frac{3}{2}e^{-\frac{m}{2kT}(v_x^2+v_y^2+v_z^2)}\textrm{d}v_x\textrm{d}v_y\textrm{d}v_z, F(vx,vy,vz)dvxdvydvz=(2πkTm)23e2kTm(vx2+vy2+vz2)dvxdvydvz,
    速率分布函数是
    f ( v ) d v = 4 π ( m 2 π k T ) 3 2 e − m 2 k T v 2 d v . f(v)\textrm{d}v=4\pi(\dfrac{m}{2\pi kT})^\frac{3}{2}e^{-\frac{m}{2kT}v^2}\textrm{d}v. f(v)dv=4π(2πkTm)23e2kTmv2dv.

      其实我觉得是不用背的。

    给定温度下的三个具有统计意义的速度的值

      最概然速率
    v p = 2 k T m , v_p=\sqrt{\dfrac{2kT}{m}}, vp=m2kT ,
    平均速率
    v ‾ = 8 k T π m , \overline{v}=\sqrt{\dfrac{8kT}{\pi m}}, v=πm8kT ,
    方均根速率
    v 2 ‾ = 3 k T m . \sqrt{\overline{v^2}}=\sqrt{\dfrac{3kT}{m}}. v2 =m3kT .

      这三个倒是要熟练掌握的。

      另有一个结论:单位时间撞到容器壁上的分子数目
    n ′ = 1 4 n v ‾ . n^{\prime}=\dfrac{1}{4}n\overline{v}. n=41nv.
    证明是很好证的,只要对麦克斯韦速度分布函数三重积分即可( x x x方向上从零积到无穷,其余两方向上从负无穷积到正无穷)。可是太难算了,大家也不妨记一记

    第七节 玻尔兹曼分布

    玻尔兹曼分布

      玻尔兹曼分布揭示了势能和分子密度的关系,用数学表述为
    n = n 0 e − E p k T . n=n_0e^{-\frac{E_p}{kT}}. n=n0ekTEp.
    其中 n 0 n_0 n0是势能零点的分子密度。

    大气压强计算式

      由玻尔兹曼的表达式可以推得
    p = n k T = n 0 k T e − E p k T = p 0 e − m g h k T = p 0 e − M g h R T . p=nkT=n_0kTe^{-\frac{E_p}{kT}}=p_0e^{-\frac{mgh}{kT}}=p_0e^{-\frac{Mgh}{RT}}. p=nkT=n0kTekTEp=p0ekTmgh=p0eRTMgh.
    这就是大气压强计算式.

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    文章目录大学物理知识点总结一、质点动力二、刚体的定轴转动三、机械振动基础四、机械波五、波动光学六、热力七、气体动理论参考资料 一、质点动力 速度: v⃗=dr⃗dt\vec v = \frac{d\vec r}{dt}v=dtdr...

    大学物理(上)知识点总结

    期末,总结一下大学物理知识点
    对于大学物理(以下简称大物)的知识点总结,采取以公式为主线的方式进行
    

    一、质点动力学

    速度:
    v ⃗ = d r ⃗ d t \vec v = \frac{d\vec r}{dt} v =dtdr
    加速度:
    a ⃗ = d 2 r ⃗ d t 2 = d v ⃗ d t \vec a = \frac{d^2\vec r}{dt^2} = \frac{d\vec v}{dt} a =dt2d2r =dtdv
    圆周运动:
    a ⃗ = a ⃗ n + a ⃗ τ = v ⃗ 2 R ⋅ n ⃗ + d v ⃗ d t \vec a = \vec a_n + \vec a_\tau = \frac{\vec v^2}{R} \cdot \vec n + \frac{d\vec v}{dt} a =a n+a τ=Rv 2n +dtdv
    β = d ω ⃗ d t = d 2 θ d t 2 \beta = \frac{d\vec\omega}{dt} = \frac{d^2\theta}{dt^2} β=dtdω =dt2d2θ
    a ⃗ = a ⃗ n + a ⃗ τ = r ⋅ β ⃗ + r ⋅ w ⃗ 2 \vec a = \vec a_n + \vec a_\tau = r \cdot \vec \beta + r \cdot \vec w^2 a =a n+a τ=rβ +rw 2
    功:
    保守力做功仅与相对位置有关,存在保守立场,蕴含的能量称为势能,即保守力做功 = 势能的增量的负值,而势能只存在相对意义,即必须选取零势能面(点)
    非保守力做功与相对移动有关
    A = ∫ a b F ⃗ d r ⃗ A = \int_a^b\vec Fd\vec r A=abF dr
    势能:
    E p = ∫ M 参 F ⃗ d r E_p = \int_M^参 \vec F dr Ep=MF dr
    引力势能为 ∫ r ∞ − G m M r 2 d r = − G M m r \int_r^\infty -G\frac{mM}{r^2}dr = -G\frac{Mm}{r} rGr2mMdr=GrMm
    功率:
    P ‾ = Δ A Δ t \overline P = \frac{\Delta A }{\Delta t} P=ΔtΔA
    P = d A d t = F ⃗ r ⃗ d t = F ⃗ ⋅ v = F ⃗ v c o s θ P = \frac{dA}{dt} = \frac{\vec F \vec r}{dt} = \vec F \cdot v = \vec F v cos\theta P=dtdA=dtF r =F v=F vcosθ
    动能定理:(空间积累)
    合外力做功 = 物体始末的动能变化量
    A = 1 2 m v 2 2 − 1 2 m v 1 2 A = \frac{1}{2}mv_2^2 - \frac{1}{2}mv_1^2 A=21mv2221mv12
    功能原理:
    A 外 A_外 A
    A 内 = A 非 + A 保 A_内 = A_非 + A_保 A=A+A
    机械能守恒为 ∑ A 外 + A 非 = 0 \sum_{A_外} + A_非 = 0 A+A=0时刻满足
    动量定理:(时间积累)
    条件: ∑ F ⃗ 外 = 0 \sum{\vec F_外} = 0 F =0 or 内力>>外力
    I ⃗ = ∫ t 1 t 2 F ⃗ d t = ∫ t 1 t 2 d m v ⃗ = m v 1 − m v 2 \vec I = \int_{t1}^{t2}\vec F dt = \int_{t1}^{t2}dm\vec v = mv_1 - mv_2 I =t1t2F dt=t1t2dmv =mv1mv2
    碰撞(对心):
    完全非弹性碰撞:机械能损失最大
    弹性碰撞:动能增量为零
    非弹性碰撞:动能增量不为零(一般不讨论)
    质心:意会

    二、刚体的定轴转动

    力矩:
    M ⃗ 0 = r ⃗ × F ⃗ \vec M_0 = \vec r \times \vec F M 0=r ×F
    定轴转动定理:
    M = J β M = J\beta M=Jβ
    转动惯量:
    J = ∑ Δ m i r i 2 J = \sum \Delta m_i r_i^2 J=Δmiri2
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    平行轴定理:
    J z = J c + m d 2 J_z = J_c + md^2 Jz=Jc+md2
    定轴转动刚体动能:
    E k = 1 2 J ω 2 E_k = \frac{1}{2}J\omega^2 Ek=21Jω2
    注:平动动能依然为: E k = 1 2 m v 2 E_k = \frac{1}{2}mv^2 Ek=21mv2
    力矩的功:
    A = ∫ θ 1 θ 2 M d θ A = \int_{\theta_1}^{\theta_2}Md\theta A=θ1θ2Mdθ
    定轴转动的动能定理:
    A = ∫ ω 1 ω 2 d ( 1 2 J ω 2 ) = 1 2 J ω 2 2 − 1 2 J ω 1 2 A = \int_{\omega_1}^{\omega_2}d(\frac{1}{2}J\omega^2) = \frac{1}{2}J\omega_2^2 - \frac{1}{2}J\omega_1^2 A=ω1ω2d(21Jω2)=21Jω2221Jω12
    角动量:
    L ⃗ 0 = r ⃗ × m v ⃗ \vec L_0 = \vec r \times m\vec v L 0=r ×mv
    角动量定理:
    M ⃗ 0 = d L ⃗ 0 d t \vec M_0 = \frac{d\vec L_0}{dt} M 0=dtdL 0
    角动量守恒定理:(有心力)
    M 0 = 0 M_0 = 0 M0=0 L ⃗ = 常 矢 量 \vec L = 常矢量 L =
    定轴转动的角动量:
    L ⃗ z = J z ω \vec L_z = J_z \omega L z=Jzω
    定轴转动的角动量定理:
    若J为恒量 M ⃗ z = J z d w d t = J z β \vec M_z = J_z\frac{dw}{dt} = J_z \beta M z=Jzdtdw=Jzβ
    定轴转动的角动量守恒定理:(有心力)
    M z = 0 M_z = 0 Mz=0 L ⃗ z = J z ω = 常 矢 量 \vec L_z = J_z\omega = 常矢量 L z=Jzω=
    进动:选学

    三、机械振动基础

    简谐振动:
    x ( t ) = A c o s ( ω t + ϕ ) x(t) = Acos(\omega t + \phi) x(t)=Acos(ωt+ϕ)其中, ω = 2 π T \omega = \frac{2\pi}{T} ω=T2π
    旋转矢量法
    在这里插入图片描述
    单摆:
    ω = g l \omega = \sqrt{\frac{g}{l}} ω=lg
    T = 2 π l g T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}} T=2πgl
    复摆:
    ω = m g h J ( M = J β ) \omega = \sqrt{\frac{mgh}{J}} (M = J\beta) ω=Jmgh M=Jβ
    简谐振动的能量:
    动能:
    E k = 1 2 m v 2 = 1 2 m ω 2 A 2 s i n 2 ( ω t + ϕ ) E_k = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m\omega^2A^2sin^2(\omega t + \phi) Ek=21mv2=21mω2A2sin2(ωt+ϕ)
    ω = k m \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} ω=mk 则$E_k = 1 2 k A 2 s i n 2 ( ω t + ϕ ) \frac{1}{2}kA^2sin^2(\omega t + \phi) 21kA2sin2(ωt+ϕ)
    平均动能:
    E ‾ k = 1 T ∫ t t + T E k d t = 1 4 k A 2 \overline E_k =\frac{1}{T}\int_t^{t+T}E_kdt = \frac{1}{4}kA^2 Ek=T1tt+TEkdt=41kA2
    势能:
    E p = 1 2 k x 2 = 1 2 k A 2 c o s 2 ( ω t + ϕ ) E_p = \frac{1}{2}kx^2 =\frac{1}{2}kA^2cos^2(\omega t +\phi) Ep=21kx2=21kA2cos2(ωt+ϕ)
    机械能:
    E = E k + E p = 1 2 k A 2 E = E_k + E_p = \frac{1}{2}kA^2 E=Ek+Ep=21kA2
    两个同频率振动的相位关系:
    超前 or 落后
    同相 or 反相
    谐振动的合成:
    1、同方向同频率谐振动的合成:
    x 1 = A 1 c o s ( ω t + ϕ 1 ) x_1 = A_1cos(\omega t + \phi_1) x1=A1cos(ωt+ϕ1)
    x 2 = A 2 c o s ( ω t + ϕ 2 ) x_2 = A_2cos(\omega t + \phi_2) x2=A2cos(ωt+ϕ2)
    x = x 1 + x 2 = ⋯ = A c o s ( ω t + ϕ ) x = x_1 + x_2 = \dots=Acos(\omega t +\phi) x=x1+x2==Acos(ωt+ϕ)
    (用旋转矢量的方法思考问题)
    在这里插入图片描述
    2、同方向不同频率谐振动合成:
    x 1 = A 1 c o s ω 1 t x_1 = A_1cos\omega_1 t x1=A1cosω1t
    x 2 = A 2 c o s ω 2 t x_2 = A_2cos\omega_2 t x2=A2cosω2t
    x = x 1 + x 2 = A 1 c o s ω 1 t + A 2 c o s ω 2 t = 2 A c o s ( ω 2 − ω 1 2 t ) ⋅ 2 A c o s ( ω 2 + ω 1 2 t ) x = x_1 + x_2 =A_1cos\omega_1 t + A_2cos\omega_2 t = 2Acos(\frac{\omega_2-\omega_1}{2}t)\cdot2Acos(\frac{\omega_2+\omega_1}{2}t) x=x1+x2=A1cosω1t+A2cosω2t=2Acos(2ω2ω1t)2Acos(2ω2+ω1t)
    和振动不再是简谐振动 A = A 1 2 + A 2 2 + 2 A 1 A 2 c o s [ ( ω 2 − ω 1 ) t ] A= \sqrt{A_1^2+A_2^2+2A_1A_2cos[(\omega_2-\omega_1)t]} A=A12+A22+2A1A2cos[(ω2ω1)t]

    ω 1 ≈ ω 2 \omega_1 \approx \omega_2 ω1ω2时可以近似看作振幅缓慢变化的简谐振动,这就是“拍”,拍频指单位时间内合振动振幅强弱变化的次数,即 v = ∣ ω 2 − ω 1 2 π ∣ = ∣ v 2 − v 1 ∣ v = |\frac{\omega_2-\omega_1}{2\pi}| = |v_2 - v_1| v=2πω2ω1=v2v1
    在这里插入图片描述
    3、两个同频率相互垂直谐振动的合成
    x = A 1 c o s ( ω t + ϕ 1 ) x = A_1cos(\omega t+\phi_1) x=A1cos(ωt+ϕ1)
    y = A 2 c o s ( ω t + ϕ 2 ) y = A_2cos(\omega t+\phi_2) y=A2cos(ωt+ϕ2)
    s i n 2 ( ϕ 2 − ϕ 1 ) sin^2(\phi_2 - \phi_1) sin2(ϕ2ϕ1)
    在这里插入图片描述
    (李萨如图)
    阻尼振动:
    线形恢复力+阻尼力
    受迫振动:
    弹性力+阻尼力+周期性策动力
    在这里插入图片描述

    四、机械波

    机械波的几个概念:
    横波:质点振动方向垂直波传播的方向
    纵波:质点振动方向平行于波传播方向
    波面:在波传播过程中,振动相位相同的点联结成的面
    波线:沿波传播方向的直线
    波前:在某一时刻,波传播到最前面的波面
    在各向同性均匀媒质中,波线与波面相互垂直
    波长:同一波线上相差为 2 π 2\pi 2π的相邻两点间的距离
    周期:波前进一个周期的距离为一个波长
    频率:周期的倒数
    波速:振动状态在媒质中传播的速度 u = λ T = v λ u = \frac{\lambda}{T} = v\lambda u=Tλ=vλ
    其中,波速由媒质决定,频率与媒质无关,是波的特质
    波动方程:
    o 点 振 动 方 程 : y 0 = A c o s ( ω t + ϕ 0 ) o点振动方程:y_0 = Acos(\omega t+ \phi_0) oy0=Acos(ωt+ϕ0)
    经过 Δ t = x u \Delta t = \frac{x}{u} Δt=ux传播到p点,则p点落后于o点,振动方程为: y = A c o s [ ω ( t − x u ) + ϕ 0 ] y = Acos[\omega(t-\frac{x}{u})+\phi_0] y=Acos[ω(tux)+ϕ0]
    波函数的其他形式:
    y = A c o s [ 2 π ( v t − x λ ) + ϕ 0 ] y = Acos[2\pi(vt-\frac{x}{\lambda})+\phi_0] y=Acos[2π(vtλx)+ϕ0]
    y = A c o s [ 2 π ( t T − x λ ) + ϕ 0 ] y = Acos[2\pi(\frac{t}{T}-\frac{x}{\lambda})+\phi_0] y=Acos[2π(Ttλx)+ϕ0]
    y = A c o s [ 2 π λ ( u t − x ) + ϕ 0 ] y = Acos[\frac{2\pi}{\lambda}(ut-x)+\phi_0] y=Acos[λ2π(utx)+ϕ0]
    小技巧:x,t异号正向传播,x,t同号逆向传播
    平面简谐波的波动微分方程:意会
    波的能量:
    动能: ω k = 1 2 Δ m v 2 = 1 2 μ Δ x ω 2 A 2 s i n 2 ( ω [ t − x u ) + ϕ 0 ] ( μ 为 线 密 度 ) \omega _k = \frac{1}{2}\Delta mv^2 = \frac{1}{2}\mu\Delta x\omega^2A^2sin^2(\omega[t-\frac{x}{u})+\phi_0](\mu为线密度) ωk=21Δmv2=21μΔxω2A2sin2(ω[tux)+ϕ0]μ线
    势能: ω p = 1 2 μ Δ x A 2 ω 2 s i n 2 [ ω ( t − x u ) + ϕ 0 ] \omega_p = \frac{1}{2}\mu\Delta xA^2\omega^2sin^2[\omega(t-\frac{x}{u})+\phi_0] ωp=21μΔxA2ω2sin2[ω(tux)+ϕ0]
    我们会发现势能等于动能,即机械能不守恒
    总能量:
    ω = 2 ω = μ Δ x A 2 ω 2 s i n 2 [ ω ( t − x u ) + ϕ 0 ] \omega = 2\omega = \mu\Delta xA^2\omega^2sin^2[\omega(t-\frac{x}{u})+\phi_0] ω=2ω=μΔxA2ω2sin2[ω(tux)+ϕ0]
    能量密度:(单位体积中波的能量)
    设质元横截面为S,体密度为 ρ \rho ρ,则单位线元中的机械能为: ω = W S Δ x = ρ A 2 ω 2 s i n 2 [ ω ( t − x u ) + ϕ 0 ] \omega = \frac{W}{S\Delta x} = \rho A^2\omega^2 sin^2[\omega(t-\frac{x}{u})+\phi_0] ω=SΔxW=ρA2ω2sin2[ω(tux)+ϕ0]
    一个周期内的平均能量密度:
    ω ‾ = 1 T ∫ 0 T ω d t = 1 2 ρ A 2 ω 2 \overline \omega = \frac{1}{T}\int_0^T\omega dt = \frac{1}{2}\rho A^2\omega^2 ω=T10Tωdt=21ρA2ω2
    一个周期内通过S的能量:
    Δ w = w ‾ u T S \Delta w = \overline w uTS Δw=wuTS
    能流密度:(波的强度)
    I = Δ w T S = w ‾ u = 1 2 ρ A 2 w 2 u I = \frac{\Delta w}{TS} = \overline wu = \frac{1}{2}\rho A^2w^2u I=TSΔw=wu=21ρA2w2u
    波的强度与振幅的平方成正比
    球面波的振幅:
    A = A 0 r A =\frac{A_0}{r} A=rA0
    则球面波的振幅随r增大而减小
    惠更斯原理:理解
    波的干涉:
    相干条件为频率相同,振动方向相同,相位差恒定
    A 2 = A 1 2 + A 2 2 + 2 A 1 A 2 c o s Δ ϕ A^2 = A_1^2+A^2_2+2A_1A_2cos\Delta\phi A2=A12+A22+2A1A2cosΔϕ
    Δ ϕ = ϕ 1 − ϕ 2 − 2 π r 2 − r 1 λ \Delta\phi = \phi_1 - \phi_2 - 2\pi\frac{r_2-r_1}{\lambda} Δϕ=ϕ1ϕ22πλr2r1
    I = I 1 + I 2 + I 1 I 2 c o s Δ ϕ I = I_1+ I_2+\sqrt{I_1I_2}cos\Delta\phi I=I1+I2+I1I2 cosΔϕ
    强度分布显然可见
    干涉相长的条纹为 Δ ϕ = ± 2 k π \Delta \phi = \pm2k\pi Δϕ=±2kπ δ = r 2 − r 1 = k λ \delta = r_2 - r_1 = k\lambda δ=r2r1=kλ
    干涉相消的条纹为 Δ ϕ = ± ( 2 k + 1 ) π \Delta \phi = \pm(2k+1)\pi Δϕ=±(2k+1)π δ = r 2 − r 1 = ( k + 1 2 ) λ \delta = r_2 - r_1 = (k+\frac{1}{2})\lambda δ=r2r1=(k+21)λ
    驻波:
    两列等振幅,传播方向相反的相干波叠加形成驻波
    波腹和波节
    半波损失:
    当波由波疏介质射入波密介质,再返回波疏介质时会产生半波损失,若反射时无能量损失,则形成驻波
    对于驻波,其能量在波节和波腹来回振动,势能和动能相互转化
    多普勒效应:
    v s v_s vs为波原始频率, v v v为波新的相对频率
    1、波源静止,观察者运动
    v = u + v 0 u v s = ( 1 + v 0 u ) v s v =\frac{u+v_0}{\frac{u}{v_s}} = (1+\frac{v_0}{u})v_s v=vsuu+v0=(1+uv0)vs
    2、观察者静止,波源运动
    v = u u − v s v s v =\frac{u}{u-v_s} v_s v=uvsuvs
    3、波源和观察者同时运动
    v = u + v 0 λ − v s T = ( u + v 0 u − v s ) v s v =\frac{u+v_0}{\lambda -v_sT} = (\frac{u+v_0}{u-v_s})v_s v=λvsTu+v0=(uvsu+v0)vs
    注意:波源的运动与观察者运动不等价

    五、波动光学

    光源:
    1)热辐射;2)电致发光;3)光致发光;4)化学发光
    以上属于自发辐射,初相不相关
    一下属于受激辐射,具有统一性
    5)同步辐射光源;6)激光光源
    光的干涉:
    相长干涉: I m a x = I 1 + I 2 + 2 I 1 I 2 I_{max} = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1I_2} Imax=I1+I2+2I1I2
    相消干涉: I m i n = I 1 + I 2 − 2 I 1 I 2 I_{min} = I_1 + I_2 - 2\sqrt{I_1I_2} Imin=I1+I22I1I2
    如果 ϕ ! = ϕ 2 \phi_! = \phi_2 ϕ!=ϕ2
    相长干涉: δ = r 2 − r 1 = ± k λ \delta = r2-r1 = \pm k\lambda δ=r2r1=±kλ
    相消干涉: δ = r 2 − r 1 = ± ( 2 k + 1 ) λ 2 \delta = r2-r1 = \pm (2k+1)\frac{\lambda}{2} δ=r2r1=±(2k+1)2λ
    其中,k为干涉级
    杨氏双缝干涉:(分波阵面法)
    只有把同一个波列分割成两个波列,让这两个波列在空间相遇,才能获得相干波
    在这里插入图片描述
    明纹: Δ ϕ = ± 2 k π , δ = ± k λ , x k = ± k D λ d \Delta\phi = \pm 2k\pi,\delta = \pm k\lambda,x_k = \pm k\frac{D\lambda}{d} Δϕ=±2kπ,δ=±kλ,xk=±kdDλ
    暗纹: Δ ϕ = ± ( 2 k + 1 ) π , δ = ± ( k + 1 2 ) λ , x k = ± ( k + 1 2 ) D λ d \Delta\phi = \pm (2k+1)\pi,\delta = \pm (k+\frac{1}{2})\lambda,x_k = \pm (k+\frac{1}{2})\frac{D\lambda}{d} Δϕ=±(2k+1)π,δ=±(k+21)λ,xk=±(k+21)dDλ
    获得单色光的方法:
    1)棱镜散射法;2)滤光片;3)单色光源;4)激光
    洛埃镜:
    在这里插入图片描述
    存在半波损失
    δ = r 2 − r 1 + λ 2 \delta = r_2 - r_1 + \frac{\lambda}{2} δ=r2r1+2λ
    明纹: δ = ± k λ \delta = \pm k\lambda δ=±kλ
    暗纹: δ = ± ( k + 1 2 ) λ \delta = \pm (k+\frac{1}{2})\lambda δ=±(k+21)λ
    薄膜干涉:
    在这里插入图片描述
    光程差为 δ = n 2 ( A B + B C ) − n 1 D C = ⋯ = 2 d n 2 2 − n 1 2 s i n 2 i \delta =n_2(AB+BC)-n_1DC=\dots=2d\sqrt{n_2^2-n1^2sin^2i} δ=n2(AB+BC)n1DC==2dn22n12sin2i
    n 2 n_2 n2最大或最小,则需要考虑半波损失,否则,不需要
    明纹: δ = ± k λ \delta = \pm k\lambda δ=±kλ
    暗纹: δ = ± ( k + 1 2 ) λ \delta = \pm (k+\frac{1}{2})\lambda δ=±(k+21)λ
    若从薄膜下方看,反射光干涉加强时,透射光干涉相消;反射光干涉相消时,透射光干涉加强
    几种等厚干涉:
    1、劈尖干涉:
    在这里插入图片描述
    δ = 2 d + λ 2 \delta = 2d+\frac{\lambda}{2} δ=2d+2λ
    相邻条纹之间的距离 a s i n θ = λ 2 asin\theta = \frac{\lambda}{2} asinθ=2λ
    明纹: δ = ± k λ , d = 2 k − 1 4 λ \delta = \pm k\lambda,d = \frac{2k-1}{4}\lambda δ=±kλ,d=42k1λ
    暗纹: δ = ± ( k + 1 2 ) λ , d = 1 2 k λ \delta = \pm (k+\frac{1}{2})\lambda,d = \frac{1}{2}k\lambda δ=±(k+21)λ,d=21kλ
    检测工件表面的不平整
    牛顿环:
    在这里插入图片描述
    δ = 2 d + λ 2 \delta = 2d + \frac{\lambda}{2} δ=2d+2λ
    明纹: δ = ± k λ , d = 2 k − 1 4 λ \delta = \pm k\lambda,d = \frac{2k-1}{4}\lambda δ=±kλ,d=42k1λ
    暗纹: δ = ± ( k + 1 2 ) λ , d = 1 2 k λ \delta = \pm (k+\frac{1}{2})\lambda,d = \frac{1}{2}k\lambda δ=±(k+21)λ,d=21kλ
    3、增透膜
    原理为使反射光相消,则透射光加强(能量守恒)
    增反膜同理
    麦克尔逊干涉仪:
    在这里插入图片描述
    明纹: δ = ± k λ \delta = \pm k\lambda δ=±kλ
    暗纹: δ = ± ( k + 1 2 ) λ \delta = \pm (k+\frac{1}{2})\lambda δ=±(k+21)λ
    条纹特点:
    当M1水平、M2竖直时为等倾条纹(圆环)
    当M1和M2有小夹角时,会出现等厚条纹
    M1移动 λ \lambda λ,光程差改变 2 λ 2\lambda 2λ,视场中有两个条纹移动
    惠更斯—菲涅尔原理:
    光的衍射现象:
    当光遇到障碍物时,能够改变方向并绕过障碍物的边缘前进
    惠更斯菲涅尔原理:
    同一波前的各点发出的都是相干次波
    各次波在空间某点的相干叠加,就决定了该波的强度
    单缝的夫琅禾费衍射:
    菲涅尔半波带法:
    在这里插入图片描述
    半波带数 N = b s i n θ λ 2 N = \frac{bsin\theta}{\frac{\lambda}{2}} N=2λbsinθ
    暗纹条件: N = ± 2 k , b s i n θ = ± k λ N = \pm 2k , bsin\theta = \pm k\lambda N=±2k,bsinθ=±kλ
    明纹条件: N = ± ( 2 k + 1 ) , b s i n θ = ± ( k + 1 2 ) λ N = \pm (2k+1) , bsin\theta = \pm (k+\frac{1}{2})\lambda N=±(2k+1),bsinθ=±(k+21)λ
    明纹强度来自于一个半波带的贡献
    中央明纹: b s i n θ = 0 bsin\theta = 0 bsinθ=0
    条纹在屏上的位置为(f为透镜的焦距) x = f t a n θ ≈ f s i n θ x = ftan\theta \approx fsin\theta x=ftanθfsinθ
    则,暗纹坐标: x = ± k f λ a x =\pm k\frac{f\lambda}{a} x=±kafλ
    明纹坐标: x = ± ( 2 k + 1 ) f λ 2 a x =\pm (2k+1)\frac{f\lambda}{2a} x=±(2k+1)2afλ
    中央明纹宽度: 2 f λ a \frac{2f\lambda}{a} a2fλ
    k级明纹宽度: f λ a \frac{f\lambda}{a} afλ
    注:
    θ 增 加 , 半 波 带 面 积 减 小 , 明 纹 强 度 减 弱 \theta增加,半波带面积减小,明纹强度减弱 θ
    狭缝上下移动条纹不动
    透镜上下移动,条纹跟着移动
    瑞利判据:
    对于两个等光强的非相干点,如果一个像斑中心恰好落在另一个像斑边缘,则认为这两个像恰好可辨
    衍射光栅:
    在这里插入图片描述
    光栅常数d = a + b
    狭缝数目N
    主极大级数:
    d s i n ϕ = ± k λ ( k = 0 , 1 , 2 …   ) dsin\phi = \pm k\lambda(k = 0,1,2\dots) dsinϕ=±kλ(k=0,1,2)其中 ∣ s i n ϕ ∣ ≤ 1 , k < d λ |sin\phi|\leq1,k<\frac{d}{\lambda} sinϕ1,k<λd
    暗纹条件:
    非主极大就是暗纹
    若N为狭缝数目,则两主极大之间有N-1个极小,N-2个次级大
    随着N增大,主极大更为尖锐
    主极大强度正比于 N 2 N^2 N2
    缺级:
    主极大明纹位置与单缝衍射暗纹位置重合
    主极大明纹: d s i n ϕ = ± k λ dsin\phi = \pm k \lambda dsinϕ=±kλ
    单缝衍射暗纹: a s i n ϕ = ± k ′ λ asin\phi = \pm k'\lambda asinϕ=±kλ
    则, k = d a k ′ k = \frac{d}{a}k' k=adk(k为整数即可)
    主极大条纹的坐标:
    x = ± k f f λ d x = \pm kf\frac{f\lambda}{d} x=±kfdfλ
    间距 Δ x = f λ d \Delta x = \frac{f\lambda}{d} Δx=dfλ
    斜入射光栅方程:
    在这里插入图片描述
    光程差: δ = d ( s i n θ + s i n ϕ ) \delta = d(sin\theta+sin\phi) δ=d(sinθ+sinϕ)
    剩余与正射无异
    偏振光的表示:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    自然光转化为偏振光: I = 1 2 I 0 I = \frac{1}{2}I_0 I=21I0
    马吕斯定律:
    线偏振光通过一个偏振片后,透射光强 I I I与入射光强 I 0 I_0 I0之间满足: I = I 0 c o s 2 α ( α 为 入 射 光 与 偏 振 化 方 向 的 夹 角 ) I = I_0cos^2\alpha(\alpha为入射光与偏振化方向的夹角) I=I0cos2α(α)
    布儒斯特定律:
    自然光反射后,垂直振动对于平行振动
    自然光折射后,平行振动多于垂直振动
    在这里插入图片描述
    晶体的双折射现象:
    遵循折射定律的叫做o光,反之叫做e光
    一般情况下,认为o光和e光的振动相互垂直
    o光与e光传播速度不同,o光波面为球面,e光波面为椭球面,沿光轴方向,o光和e光速度相同,垂直光轴方向,o光和e光速度相差最大
    在这里插入图片描述

    六、热力学

    符号规定:
    V : 体 积 V:体积 V:
    P : 压 强 P:压强 P:
    T : 温 度 T:温度 T:
    ν : 摩 尔 数 \nu:摩尔数 ν:
    R : 普 适 气 体 常 数 = 8.31 ( J ⋅ m o l − 1 ⋅ K − 1 ) R:普适气体常数 = 8.31(J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}) R:=8.31(Jmol1K1)
    A : 功 A:功 A:
    Q : 热 量 Q:热量 Q:
    E : 内 能 E:内能 E:
    γ : 热 容 比 C p C v \gamma:热容比\frac{C_p}{C_v} γ:CvCp

    平衡态:在没有外界影响的情况下,系统各部分的宏观性质在长时间内不发生变化的状态
    准静态过程:热力学过程中,系统从某一状态开始经历一系列的中间状态达到另一状态的过程,如果过程进行的无限缓慢,则在这个过程中系统经历的每一个中间态都可以看作平衡态
    理想气体状态方程:
    P V = ν R T PV = \nu RT PV=νRT
    热力学第一定律:
    系统从外界吸收的热量Q,一部分使其内能增加 Δ E , 另 一 部 分 用 以 对 外 界 做 功 \Delta E,另一部分用以对外界做功 ΔE
    Q = E 2 − E 1 + A Q = E_2-E_1+A Q=E2E1+A
    功和热量的计算:
    A = ∫ V 1 V 2 p d V A = \int_{V_1}^{V_2}pdV A=V1V2pdV
    注:气体向真空自由膨胀时,不做功
    两个常用热容:
    定容摩尔热容: C v = ( d Q d T ) v C_v = (\frac{dQ}{dT})_v Cv=(dTdQ)v
    定压摩尔热容: C p = ( d Q d T ) p C_p = (\frac{dQ}{dT})_p Cp=(dTdQ)p
    C p = C v + R C_p = C_v + R Cp=Cv+R
    Q = ν ∫ T 1 T 2 C x d T Q = \nu\int_{T_1}^{T_2}C_xdT Q=νT1T2CxdT
    在这里插入图片描述
    热力学第一定律对理想气体在典型准静态过程中的应用:
    1、等体过程:
    A = 0 A = 0 A=0
    Q = ν C v ( T 2 − T 1 ) Q = \nu C_v(T_2 - T_1) Q=νCv(T2T1)
    Δ E = Q \Delta E = Q ΔE=Q
    2、等压过程:
    A = p ( V 2 − V 1 ) = ν R ( T 2 − T 1 ) A = p(V_2 - V_1) = \nu R (T_2 - T_1) A=p(V2V1)=νR(T2T1)
    Q = ν C p ( T 2 − T 1 ) Q = \nu C_p(T_2 - T_1) Q=νCp(T2T1)
    Δ E = ν C v ( T 2 − T 1 ) \Delta E = \nu C_v(T_2 - T_1) ΔE=νCv(T2T1)
    3、等温过程:
    A = ∫ V 1 V 2 p d V = ∫ V 1 V 2 ν R T V d V = ν R T l n V 2 V 1 = ν R T l n p 1 p 2 A = \int_{V_1}^{V_2}pdV = \int _{V_1}^{V_2}\frac{\nu RT}{V}dV = \nu RT ln\frac{V_2}{V_1} = \nu RT ln\frac{p_1}{p_2} A=V1V2pdV=V1V2VνRTdV=νRTlnV1V2=νRTlnp2p1
    Q = A Q = A Q=A
    Δ E = 0 \Delta E = 0 ΔE=0

    绝热过程
    p V γ = C 1 pV^\gamma = C_1 pVγ=C1
    T V γ = C 2 TV^\gamma = C_2 TVγ=C2
    p γ − 1 T − γ = C 3 p^{\gamma -1}T^{-\gamma} = C_3 pγ1Tγ=C3
    A = ∫ V 1 V 2 p d V = ∫ V 1 V 2 p 1 V 1 γ d V V γ = 1 γ − 1 ( p 1 V 1 − p 2 V 2 ) 因 为 [ p 1 V 1 γ = p 2 V 2 γ = p V γ ] A = \int_{V_1}^{V_2}pdV = \int_{V_1}^{V_2}p_1V_1^\gamma\frac{dV}{V^\gamma} = \frac{1}{\gamma - 1}(p_1V_1 - p_2V_2)因为[p1V_1^\gamma = p_2V_2^\gamma = pV^\gamma] A=V1V2pdV=V1V2p1V1γVγdV=γ11(p1V1p2V2)[p1V1γ=p2V2γ=pVγ]
    Q = 0 Q = 0 Q=0
    Δ E = − A \Delta E = -A ΔE=A
    如何判断等温线和绝热线
    在这里插入图片描述
    由于 γ > 1 \gamma >1 γ>1所以绝热线比等温线要陡
    绝热自由膨胀:
    Δ E = 0 A = 0 Q = 0 \Delta E = 0 A = 0 Q = 0 ΔE=0A=0Q=0
    该过程不是准静态过程,所以热力学许多方程均不适用
    循环过程:
    Δ E = 0 \Delta E = 0 ΔE=0
    1、正循环(热机循环)(顺时针)
    Q = A > 0 Q = A > 0 Q=A>0
    系统从高温热源吸收热量 Q 1 Q_1 Q1一部分转化为做功A,另一部分以热量形式是放到低温热源去
    热机效率: η = A Q 1 = Q 1 − Q 2 Q 1 = 1 − Q 2 Q 1 \eta = \frac{A}{Q_1} = \frac{Q_1-Q_2}{Q_1} = 1 - \frac{Q_2}{Q_1} η=Q1A=Q1Q1Q2=1Q1Q2
    2、逆循环(制冷循环)(逆时针)
    系统做功A,使其从低温热源吸收 Q 2 Q_2 Q2的热量,连同A的能量以热量形式 Q 1 Q_1 Q1释放到高温热源去
    制冷系数: ω = Q 2 A = Q 2 Q 1 − Q 2 \omega = \frac{Q_2}{A} = \frac{Q_2}{Q_1-Q_2} ω=AQ2=Q1Q2Q2
    在这里插入图片描述
    卡诺循环:
    在这里插入图片描述
    DC、AB为绝热过程
    AD、BC为等温过程
    T 1 V 2 γ − 1 = T 2 V 3 γ − 1 T_1V_2^{\gamma -1} = T_2V_3^{\gamma-1} T1V2γ1=T2V3γ1
    T 1 V 1 γ − 1 = T 2 V 4 γ − 1 T_1V_1^{\gamma -1} = T_2V_4^{\gamma-1} T1V1γ1=T2V4γ1
    则, V 2 V 1 = V 3 V 4 \frac{V_2}{V_1} = \frac{V_3}{V_4} V1V2=V4V3
    Q 1 = ν R T 1 l n V 2 V 1 Q_1 = \nu RT_1ln{\frac{V_2}{V_1}} Q1=νRT1lnV1V2
    Q 2 = ν R T 2 l n V 3 V 4 Q_2 = \nu RT_2ln{\frac{V_3}{V_4}} Q2=νRT2lnV4V3
    故,若做正循环,热机效率为 η = A Q 1 = 1 − T 2 T 1 \eta = \frac{A}{Q_1} = 1-\frac{T_2}{T_1} η=Q1A=1T1T2
    若做逆循环,制冷效率为 η = Q 2 A = 1 − T 2 T 1 − T 2 \eta = \frac{Q_2}{A} = 1-\frac{T_2}{T_1-T_2} η=AQ2=1T1T2T2

    热力学第二定律
    1、开尔文表述:不可能从单一热源吸热,使之完全转化为功,而不引起其它变化
    2、克劳修斯表述:不可能将热量从低温物体传向高温物体而不引起其他变化
    这两种表述是等价的
    在这里插入图片描述
    可逆与不可逆过程:
    可逆过程:若系统经历了一个过程,而过程的每一步都可以沿相反方向进行,同时不引起外界的任何变化
    不可逆过程:如对某一过程,用任何方法都不能使系统和外界恢复到原来的状态
    热力学第二定律的本质就解释了自然界的一切自发过程都是单方向进行的不可逆过程
    可逆卡诺热机的效率是最高的

    七、气体动理论

    符号规定:
    V : 体 积 V:体积 V:
    p : 压 强 p:压强 p:
    T : 温 度 T:温度 T:
    μ : 分 子 质 量 \mu:分子质量 μ:
    R : 普 适 气 体 常 数 = 8.31 ( J ⋅ m o l − 1 ⋅ K − 1 ) R:普适气体常数 = 8.31(J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}) R:=8.31(Jmol1K1)
    N : 分 子 总 数 N:分子总数 N:
    n : 分 子 密 度 n:分子密度 n:
    K : 波 尔 兹 曼 常 数 1.38 × 1 0 − 23 J / K K:波尔兹曼常数 1.38 \times10^{-23}J/K K:1.38×1023J/K其中 K = R N 0 K = \frac{R}{N_0} K=N0R
    N 0 : 阿 伏 伽 德 罗 常 数 6.02 × 1 0 23 N_0:阿伏伽德罗常数6.02 \times 10^{23} N0:6.02×1023
    M : 摩 尔 质 量 M:摩尔质量 M:
    Ω : 各 部 分 微 观 状 态 数 之 积 \Omega:各部分微观状态数之积 Ω:
    S : 熵 S:熵 S:
    标 准 状 态 : 0 摄 氏 度 , 101 k p a 标准状态:0摄氏度,101kpa :0,101kpa
    0 摄 氏 度 = 273.15 开 尔 文 0 摄氏度 = 273.15 开尔文 0=273.15

    平衡状态时,气体分子沿各个方向的运动概率相等,则 v ‾ x 2 = v ‾ y 2 = v ‾ z 2 = 1 3 v ‾ 2 \overline v_x^2 = \overline v_y^2 =\overline v_z^2 = \frac{1}{3}\overline v^2 vx2=vy2=vz2=31v2
    理想气体的微观模型:
    1、忽略分子大小
    2、除碰撞一瞬间外,分子间作用力忽略不计,分子做自由运动
    3、分子与分子之间,分子与容器之间的碰撞为完全弹性碰撞
    p = n μ v ‾ x 2 = n μ ( 1 3 v ‾ 2 ) = 2 3 n ( 1 2 μ v ‾ 2 ) = 2 3 n ε ‾ p = n\mu \overline v_x^2 = n\mu(\frac{1}{3}\overline v^2) = \frac{2}{3}n(\frac{1}{2}\mu \overline v^2) = \frac{2}{3}n\overline\varepsilon p=nμvx2=nμ(31v2)=32n(21μv2)=32nε
    分子平均动能为: ε ‾ = 1 2 μ v ‾ 2 \overline\varepsilon = \frac{1}{2}\mu\overline v^2 ε=21μv2
    麦克斯韦速率分布规律:
    f ( v ) d v = d N N f(v)dv = \frac{dN}{N} f(v)dv=NdN曲线下面积表示该区间的分子数比率
    分子速率的三种统计平均值:
    1、平均速率: v ‾ = ∫ 0 ∞ v f ( v ) d v = 8 K T μ π = 8 R T M π \overline v = \int_0^\infty vf(v)dv = \sqrt{\frac{8KT}{\mu\pi}} = \sqrt{\frac{8RT}{M\pi}} v=0vf(v)dv=μπ8KT =Mπ8RT
    2、方均根速率: v ‾ 2 = 1 N ∫ 0 ∞ v 2 d v = ∫ 0 ∞ v 2 f ( v ) d v = 3 K T μ \overline v^2 = \frac{1}{N}\int_0^\infty v^2dv = \int_0^\infty v^2f(v)dv = \frac{3KT}{\mu} v2=N10v2dv=0v2f(v)dv=μ3KT
    v ‾ 2 = 3 K T μ = 3 R T M \sqrt{\overline v^2} = \sqrt{\frac{3KT}{\mu}} = \sqrt{\frac{3RT}{M}} v2 =μ3KT =M3RT
    3、最概燃速率: v p = 2 K T