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  • 2021-04-04 15:03:34


    在这里插入图片描述

    *全微分定义

    z = f ( x , y ) 在 ( x , y ) 处 的 全 增 量 Δ a = A Δ x + B Δ y + o ( ρ ) 。 A , B 不 依 赖 于 Δ x 、 Δ y 且 仅 与 x , y 有 关 。 则 称 z = f ( x , y ) 在 ( x , y ) 处 可 微 。 z=f(x,y)在(x,y)处的全增量\varDelta a=A\varDelta x+B\varDelta y+o(\rho)。A,B不依赖于\varDelta x、\varDelta y且仅与x,y有关。则称z=f(x,y)在(x,y)处可微。 z=f(x,y)(x,y)Δa=AΔx+BΔy+o(ρ)A,BΔxΔyx,yz=f(x,y)(x,y)

    称 A Δ x + B Δ y 为 z = f ( x , y ) 在 ( x , y ) 处 的 全 微 分 。 称A\varDelta x+B\varDelta y为z=f(x,y)在(x,y)处的全微分。 AΔx+BΔyz=f(x,y)(x,y)

    记 作 d z = A Δ x + B Δ y = ∂ z ∂ x d x + ∂ z ∂ y d y \begin{aligned} 记作dz&=A\varDelta x+B\varDelta y\\ &=\cfrac{\partial z}{\partial x}dx+\cfrac{\partial z}{\partial y}dy \end{aligned} dz=AΔx+BΔy=xzdx+yzdy

    f(x,y)可微性判断

    1. 写出全增量 Δ z = f ( x 0 + Δ x , y 0 + Δ y ) − f ( x 0 , y 0 ) ; \varDelta z=f(x_0+\varDelta x,y_0+\varDelta y)-f(x_0,y_0); Δz=f(x0+Δx,y0+Δy)f(x0,y0);
    2. 写出线性增量 A Δ x + B Δ y , 其 中 A = f x ′ ( x 0 , y 0 ) , B = f y ′ ( x 0 , y 0 ) ; A\varDelta x+B\varDelta y,其中A=f_x'(x_0,y_0),B=f_y'(x_0,y_0); AΔx+BΔyA=fx(x0,y0)B=fy(x0,y0);
    3. 作极限 lim ⁡ Δ x → 0 Δ y → 0 Δ z − ( A Δ x + B Δ y ) ( Δ x ) 2 + ( Δ y ) 2 = 0 , 则 z = f ( x , y ) 在 ( x 0 , y 0 ) 处 可 微 。 \lim\limits_{\varDelta x\to0\atop \varDelta y\to0}\cfrac{\varDelta z-(A\varDelta x+B\varDelta y)}{\sqrt{(\varDelta x)^2+(\varDelta y)^2}}=0,则z=f(x,y)在(x_0,y_0)处可微。 Δy0Δx0lim(Δx)2+(Δy)2 Δz(AΔx+BΔy)=0z=f(x,y)(x0,y0)

    隐函数存在定理

    设 函 数 F ( x , y ) 在 点 P ( x 0 , y 0 ) 的 某 一 邻 域 内 具 有 连 续 偏 导 数 , F ( x 0 , y 0 ) = 0 且 F y ′ ( x 0 , y 0 ) ≠ 0 , 则 方 程 F ( x , y ) = 0 在 点 ( x 0 , y 0 ) 的 某 一 邻 域 内 能 唯 一 确 定 一 个 连 续 且 具 有 连 续 导 数 的 函 数 y = f ( x ) , 它 满 足 条 件 y 0 = f ( x 0 ) , 并 有 d y d x = − F x ′ F y ′ . 设函数 F(x,y)在点P(x_0,y_0)的某一邻域内具有连续偏导数,\\ F(x_0,y_0)=0且F'_y (x_0,y_0)≠0,则方程F(x,y)=0在点(x_0,y_0)的某一邻域内\\ 能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数y=f(x),\\ 它满足条件y_0=f(x_0),并有\cfrac{dy}{dx}=-\cfrac{F_x'}{F_y'}. F(x,y)P(x0,y0),F(x0,y0)=0Fy(x0,y0)=0,F(x,y)=0(x0,y0)y=f(x),y0=f(x0),dxdy=FyFx.

    这里
    F ( x 0 , y 0 ) = 0 F(x_0,y_0)=0 F(x0,y0)=0:函数值存在;
    F y ′ ( x 0 , y 0 ) ≠ 0 F'_y (x_0,y_0)≠0 Fy(x0,y0)=0:偏导数值存在;

    偏导数

    f具有二阶连续偏导数,求导次序可以交换。

    定义法

    z = f ( x , y ) 在 ( x 0 , y 0 ) 处 对 x 的 偏 导 数 ; z=f(x,y)在(x_0,y_0)处对x的偏导数; z=f(x,y)(x0,y0)x;

    f x ′ ( x 0 , y 0 ) = lim ⁡ Δ x → 0 f ( x 0 + Δ x , y 0 ) − f ( x 0 , y 0 ) Δ x f_x'(x_0,y_0)=\lim\limits_{\varDelta x\to 0}\cfrac{f(x_0+\varDelta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\varDelta x} fx(x0,y0)=Δx0limΔxf(x0+Δx,y0)f(x0,y0)

    公式法

    f x ( x , y ) 直 接 对 x 求 导 f_x(x,y)直接对x求导 fx(x,y)x

    偏导数连续性判断

    1. 定义法求 f x ′ ( x 0 , y 0 ) , f y ′ ( x 0 , y 0 ) ; f_x'(x_0,y_0),f_y'(x_0,y_0); fx(x0,y0),fy(x0,y0);
    2. 公式法求 f x ′ ( x , y ) , f y ′ ( x , y ) ; f_x'(x,y),f_y'(x,y); fx(x,y),fy(x,y);
    3. 计算 lim ⁡ Δ x → x 0 Δ y → y 0 f x ′ ( x , y ) , lim ⁡ Δ x → x 0 Δ y → y 0 f y ′ ( x , y ) ; \lim\limits_{\varDelta x\to x_0\atop \varDelta y\to y_0}f_x'(x,y),\lim\limits_{\varDelta x\to x_0\atop \varDelta y\to y_0}f_y'(x,y); Δyy0Δxx0limfx(x,y),Δyy0Δxx0limfy(x,y);
    4. lim ⁡ Δ x → x 0 Δ y → y 0 f x ′ ( x , y ) = f x ′ ( x 0 , y 0 ) , lim ⁡ Δ x → x 0 Δ y → y 0 f y ′ ( x , y ) = f y ′ ( x 0 , y 0 ) , 则 z = f ( x , y ) 在 ( x 0 , y 0 ) 处 连 续 。 \lim\limits_{\varDelta x\to x_0\atop \varDelta y\to y_0}f_x'(x,y)=f_x'(x_0,y_0),\lim\limits_{\varDelta x\to x_0\atop \varDelta y\to y_0}f_y'(x,y)=f_y'(x_0,y_0),则z=f(x,y)在(x_0,y_0)处连续。 Δyy0Δxx0limfx(x,y)=fx(x0,y0),Δyy0Δxx0limfy(x,y)=fy(x0,y0)z=f(x,y)(x0,y0)

    极值

    无条件极值

    1. 二元函数取极值的必要条件;
      设 z = f ( x , y ) 在 ( x 0 , y 0 ) { 一 阶 偏 导 数 存 在 取 极 值 , 则 f x ′ ( x 0 , y 0 ) = 0 , f y ′ ( x 0 , y 0 ) = 0. 设z=f(x,y)在(x_0,y_0)\begin{cases} 一阶偏导数存在 \\ 取极值 \end{cases},则f_x'(x_0,y_0)=0,f_y'(x_0,y_0)=0. z=f(x,y)(x0,y0){fx(x0,y0)=0,fy(x0,y0)=0.
    2. 二元函数取极值的充分条件;
      { f x x ′ ′ ( x 0 , y 0 ) = a f x y ′ ′ ( x 0 , y 0 ) = b f y y ′ ′ ( x 0 , y 0 ) = c , Δ = b 2 − a c { < 0 ⇒ 极 值 { a < 0 ⇒ 极 大 值 a > 0 ⇒ 极 小 值 > 0 ⇒ 非 极 值 = 0 ⇒ 方 法 失 效 \begin{cases} f_{xx}''(x_0,y_0)=a \\ f_{xy}''(x_0,y_0)=b\\ f_{yy}''(x_0,y_0)=c \end{cases},\varDelta = b^2-ac\begin{cases} \lt0\rArr极值\begin{cases} a<0\rArr极大值 \\ a>0\rArr极小值 \end{cases}\\ \gt0\rArr非极值\\ =0\rArr方法失效 \end{cases} fxx(x0,y0)=afxy(x0,y0)=bfyy(x0,y0)=c,Δ=b2ac<0{a<0a>0>0=0

    条件极值与拉格朗日乘数法

    求 u = f ( x , y , z ) 在 条 件 { φ ( x , y , z ) = 0 Φ ( x , y , z ) = 0 下 的 最 值 。 求u=f(x,y,z)在条件\begin{cases} \varphi(x,y,z)=0\\ \varPhi(x,y,z)=0 \end{cases}下的最值。 u=f(x,y,z){φ(x,y,z)=0Φ(x,y,z)=0

    1. 构 造 辅 助 函 数 F ( x , y , z , λ , μ ) = f ( x , y , z ) + λ φ ( x , y , z ) + μ Φ ( x , y , z ) . 构造辅助函数F(x,y,z,\lambda,\mu)=f(x,y,z)+\lambda\varphi(x,y,z)+\mu\varPhi(x,y,z). F(x,y,z,λ,μ)=f(x,y,z)+λφ(x,y,z)+μΦ(x,y,z).
    2. { F x ′ = f x ′ + λ Φ x ′ + μ φ x ′ = 0 F y ′ = f y ′ + λ Φ y ′ + μ φ y ′ = 0 F z ′ = f z ′ + λ Φ z ′ + μ φ z ′ = 0 F λ ′ = Φ ( x , y , z ) = 0 F μ ′ = φ ( x , y , z ) = 0 \begin{cases} F_x'=f_x'+\lambda\varPhi_x'+\mu\varphi_x'=0\\ F_y'=f_y'+\lambda\varPhi_y'+\mu\varphi_y'=0\\ F_z'=f_z'+\lambda\varPhi_z'+\mu\varphi_z'=0\\ F_{\lambda}'=\varPhi(x,y,z)=0\\ F_{\mu}'=\varphi(x,y,z)=0 \end{cases} Fx=fx+λΦx+μφx=0Fy=fy+λΦy+μφy=0Fz=fz+λΦz+μφz=0Fλ=Φ(x,y,z)=0Fμ=φ(x,y,z)=0
    3. 解 上 述 方 程 得 若 干 点 ( x 0 , y 0 , z 0 ) … ( x n , y n , z n ) , 取 u m a x     o r     u m i n . 解上述方程得若干点(x_0,y_0,z_0)\dots(x_n,y_n,z_n),取u_{max}\ \ \ or\ \ \ u_{min}. (x0,y0,z0)(xn,yn,zn)umax   or   umin.

    二元函数在区域D下的最值

    ①只需求出D的内部及 ⇒ 无 条 件 极 值 问 题 , 求 出 f x ′ = 0 , f y ′ = 0 的 所 有 可 疑 点 。 \rArr无条件极值问题,求出f_x'=0, f_y'=0的所有可疑点。 fx=0,fy=0
    ②D的边界 ⇒ { 直 接 带 入 求 驻 点 或 导 数 不 存 在 的 点 拉 格 朗 日 乘 数 法 \rArr\begin{cases} 直接带入求驻点或导数不存在的点 \\ 拉格朗日乘数法 \end{cases} {
    上的驻点导数不存在的点(不用判断它们是否为极值点),
    并求出这些点的函数值,然后比较它们的大小,求出最大值和最小值.

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    解析

     

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    答案解析

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    (1)利用定义,即\Delta z=A\Delta x+B\Delta y+o(\rho )

    若极限

    存在且为0,则可微,否则不可微

    (2)利用可微的必要条件:可微必可导。这一条一般是用来反证,通过证明不可导来证明不可微

    (3)利用可微的充分条件:有连续一阶偏导数。注意,是连续,仅仅存在偏导数是不够的。

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    原标题:如何理解多元函数可微与可偏导的关系?

    谈到多元函数可微与可偏导时,相信不少人头皮有点发麻。一元函数中,可微与可导是等价的,但是在多元函数中,可微与可偏导之间的关系就没那么简单了,这是为什么呢?本文小编将以二元函数为例进行详细的说明。

    1.二元函数的可偏导

    在二元函数中,一元函数的可导的概念变为可偏导,导函数的概念变为偏导函数,具体看下例:

    二元函数f(x,y)对x、y的偏导函数分别为:

    在求二元函数的偏导函数时,都是假设另外一个变量为常量,然后对余下那个变量求导数。例如,f(x,y)对x的偏导函数,就是假设y为常量,然后f(x,y)对变量x求导数即得。

    对于某一点,函数f(x, y)在该点的两个偏导数可能都存在、可能只存在一个、也可能都不存在。

    在点(0, 0)的两个偏导数只存在一个的函数例子:

    在点(0, 0)的两个偏导数都不存在的函数例子:

    在点(0, 0)的两个偏导数都存在的函数例子:

    对于上面三个例子,小编建议大家亲手去算算偏导数,这样能加深对二元函数偏导数的理解。

    2.二元函数的可微

    某一点可微描述的是函数增量与自变量增量之间的线性关系。在一元函数中,若线性主部的系数只与该点有关,则可微。以此类推,在二元函数中,若多个自变量的线性主部的系数都只与该点有关,则可微。下面分别列出一元函数、二元函数函数增量与自变量增量之间的关系式:

    对于一特定点,当A、B为常数时,即A、B与自变量增量无关,则函数在该点可微,且A、B分别为函数在该点对x、y求偏导后的偏导数。

    3.可微、可偏导、连续、导函数连续之间的关系

    为了方便比较一元函数,小编先给出一元函数在某点C上关于可微、可导、连续、导函数连续的关系图。在图1中,函数f(x)可微与可导等价,因此可微与可导之间是双向箭头;在点C可微、可导必能得出函数f(x)在点C连续,但连续不能推出f(x)在点C可导、可微。因此可微、可导与连续之间是单向箭头。而导函数在点C连续,很明显就能推出函数在点C可导、可微、连续,但反过来,无法推出导函数在点C连续。

    图1.一元函数可微、可导关系示意图

    小编提醒大家,一定要经常记忆上图,而且是要理解性地记忆,比如说一元函数可微,要能明白可微是什么,关系式如何写!

    相比于一元函数,二元函数就复杂多了,下面先给出二元函数可微、可偏导、连续、导函数连续的关系图。

    图2.多元函数可微、可偏导关系示意图

    当然在记忆这些关系时,我们通常要花时间记忆的是那些不容易理解的关系,而这些不容易理解的关系是与一元函数相比较后的那些不同之处。

    3.1可微与可偏导不等价

    在阐述二元函数可微与可偏导不等价前,不妨先回顾下,为什么一元函数中可微与可导是等价的?

    在一元函数中,如果函数f(x)在x=x0处可导,则有如下关系式:

    假设在一元函数中,函数增量与自变量存在如下关系:

    上式两边同除以△x,然后两边对△x取极限,可知A=m,则根据一元函数可微的定义,A只与x=x0有关,与△x无关,所以f(x)在x=x0可微。同理,不难得出在一元函数中,可微亦可推出可导。

    那么在二元函数中,如何论证可微必可推导呢?

    假设二元函数在点C(x0, y0)可微,则由可微的定义,必存在(x0, y0)的某邻域,使得下式成立:

    不妨分别令△x=0、△y=0,根据①式可得:

    之所以可以令△x=0、△y=0,是因为点(x0, y0+△y)和(x0+△x, y0)都在点(x0, y0)的可微邻域内。

    对②中两式求极限,可得:

    结合偏导数的定义和③中的两个极限,可知可微情况下,函数在点C的两个偏导数都存在,因此可微必可偏导。

    尽管可微必可偏导,但反过来不成立,请看下面这个例子:

    函数F在(0, 0)的两个偏导数都存在且为0,现在用反证法证明函数F在点(0, 0)不可微。假设函数F在原点可微,则根据可微定义,下列极限必存在,但是下列极限可以通过列举两条路径很容易验证不存在,原假设错误,所以可偏导不一定可微。

    3.2 可偏导不一定连续

    在二元函数关系图中,另外一个很让人费解的地方,是二元函数在某点的两个偏导数都存在,但是函数在这一点却不一定连续。为了说明这一点,请看下面这个函数:

    相信大家都能很熟练地计算出函数F在原点对x、y的偏导数均为0,但是当曲线沿着y=x的路径趋于原点时,函数值会趋于1,不等于0,因此函数F在原点不连续。

    从抽象的角度看,二元函数在某一点的两个偏导数都存在,只能说明二元函数沿x方向、沿y方向趋于该点的值等于函数在该点的定义值,但无法保证沿其它方向趋于该点的值也等于函数值。返回搜狐,查看更多

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空空如也

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多元函数可导性判断