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2021-04-04 15:03:34
*全微分定义
z = f ( x , y ) 在 ( x , y ) 处 的 全 增 量 Δ a = A Δ x + B Δ y + o ( ρ ) 。 A , B 不 依 赖 于 Δ x 、 Δ y 且 仅 与 x , y 有 关 。 则 称 z = f ( x , y ) 在 ( x , y ) 处 可 微 。 z=f(x,y)在(x,y)处的全增量\varDelta a=A\varDelta x+B\varDelta y+o(\rho)。A,B不依赖于\varDelta x、\varDelta y且仅与x,y有关。则称z=f(x,y)在(x,y)处可微。 z=f(x,y)在(x,y)处的全增量Δa=AΔx+BΔy+o(ρ)。A,B不依赖于Δx、Δy且仅与x,y有关。则称z=f(x,y)在(x,y)处可微。
称 A Δ x + B Δ y 为 z = f ( x , y ) 在 ( x , y ) 处 的 全 微 分 。 称A\varDelta x+B\varDelta y为z=f(x,y)在(x,y)处的全微分。 称AΔx+BΔy为z=f(x,y)在(x,y)处的全微分。
记 作 d z = A Δ x + B Δ y = ∂ z ∂ x d x + ∂ z ∂ y d y \begin{aligned} 记作dz&=A\varDelta x+B\varDelta y\\ &=\cfrac{\partial z}{\partial x}dx+\cfrac{\partial z}{\partial y}dy \end{aligned} 记作dz=AΔx+BΔy=∂x∂zdx+∂y∂zdy
f(x,y)可微性判断
- 写出全增量 Δ z = f ( x 0 + Δ x , y 0 + Δ y ) − f ( x 0 , y 0 ) ; \varDelta z=f(x_0+\varDelta x,y_0+\varDelta y)-f(x_0,y_0); Δz=f(x0+Δx,y0+Δy)−f(x0,y0);
- 写出线性增量 A Δ x + B Δ y ， 其 中 A = f x ′ ( x 0 , y 0 ) ， B = f y ′ ( x 0 , y 0 ) ; A\varDelta x+B\varDelta y，其中A=f_x'(x_0,y_0)，B=f_y'(x_0,y_0); AΔx+BΔy，其中A=fx′(x0,y0)，B=fy′(x0,y0);
- 作极限 lim Δ x → 0 Δ y → 0 Δ z − ( A Δ x + B Δ y ) ( Δ x ) 2 + ( Δ y ) 2 = 0 ， 则 z = f ( x , y ) 在 ( x 0 , y 0 ) 处 可 微 。 \lim\limits_{\varDelta x\to0\atop \varDelta y\to0}\cfrac{\varDelta z-(A\varDelta x+B\varDelta y)}{\sqrt{(\varDelta x)^2+(\varDelta y)^2}}=0，则z=f(x,y)在(x_0,y_0)处可微。 Δy→0Δx→0lim(Δx)2+(Δy)2Δz−(AΔx+BΔy)=0，则z=f(x,y)在(x0,y0)处可微。
隐函数存在定理
设 函 数 F ( x , y ) 在 点 P ( x 0 , y 0 ) 的 某 一 邻 域 内 具 有 连 续 偏 导 数 , F ( x 0 , y 0 ) = 0 且 F y ′ ( x 0 , y 0 ) ≠ 0 , 则 方 程 F ( x , y ) = 0 在 点 ( x 0 , y 0 ) 的 某 一 邻 域 内 能 唯 一 确 定 一 个 连 续 且 具 有 连 续 导 数 的 函 数 y = f ( x ) , 它 满 足 条 件 y 0 = f ( x 0 ) , 并 有 d y d x = − F x ′ F y ′ . 设函数 F(x,y)在点P(x_0,y_0)的某一邻域内具有连续偏导数,\\ F(x_0,y_0)=0且F'_y (x_0,y_0)≠0,则方程F(x,y)=0在点(x_0,y_0)的某一邻域内\\ 能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数y=f(x),\\ 它满足条件y_0=f(x_0),并有\cfrac{dy}{dx}=-\cfrac{F_x'}{F_y'}. 设函数F(x,y)在点P(x0,y0)的某一邻域内具有连续偏导数,F(x0,y0)=0且Fy′(x0,y0)=0,则方程F(x,y)=0在点(x0,y0)的某一邻域内能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数y=f(x),它满足条件y0=f(x0),并有dxdy=−Fy′Fx′.
这里
F ( x 0 , y 0 ) = 0 F(x_0,y_0)=0 F(x0,y0)=0：函数值存在；
F y ′ ( x 0 , y 0 ) ≠ 0 F'_y (x_0,y_0)≠0 Fy′(x0,y0)=0：偏导数值存在；偏导数
f具有二阶连续偏导数，求导次序可以交换。
定义法
z = f ( x , y ) 在 ( x 0 , y 0 ) 处 对 x 的 偏 导 数 ; z=f(x,y)在(x_0,y_0)处对x的偏导数; z=f(x,y)在(x0,y0)处对x的偏导数;
f x ′ ( x 0 , y 0 ) = lim Δ x → 0 f ( x 0 + Δ x , y 0 ) − f ( x 0 , y 0 ) Δ x f_x'(x_0,y_0)=\lim\limits_{\varDelta x\to 0}\cfrac{f(x_0+\varDelta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\varDelta x} fx′(x0,y0)=Δx→0limΔxf(x0+Δx,y0)−f(x0,y0)
公式法
f x ( x , y ) 直 接 对 x 求 导 f_x(x,y)直接对x求导 fx(x,y)直接对x求导
偏导数连续性判断
- 定义法求 f x ′ ( x 0 , y 0 ) , f y ′ ( x 0 , y 0 ) ; f_x'(x_0,y_0),f_y'(x_0,y_0); fx′(x0,y0),fy′(x0,y0);
- 公式法求 f x ′ ( x , y ) , f y ′ ( x , y ) ; f_x'(x,y),f_y'(x,y); fx′(x,y),fy′(x,y);
- 计算 lim Δ x → x 0 Δ y → y 0 f x ′ ( x , y ) , lim Δ x → x 0 Δ y → y 0 f y ′ ( x , y ) ; \lim\limits_{\varDelta x\to x_0\atop \varDelta y\to y_0}f_x'(x,y),\lim\limits_{\varDelta x\to x_0\atop \varDelta y\to y_0}f_y'(x,y); Δy→y0Δx→x0limfx′(x,y),Δy→y0Δx→x0limfy′(x,y);
- 若 lim Δ x → x 0 Δ y → y 0 f x ′ ( x , y ) = f x ′ ( x 0 , y 0 ) , lim Δ x → x 0 Δ y → y 0 f y ′ ( x , y ) = f y ′ ( x 0 , y 0 ) ， 则 z = f ( x , y ) 在 ( x 0 , y 0 ) 处 连 续 。 \lim\limits_{\varDelta x\to x_0\atop \varDelta y\to y_0}f_x'(x,y)=f_x'(x_0,y_0),\lim\limits_{\varDelta x\to x_0\atop \varDelta y\to y_0}f_y'(x,y)=f_y'(x_0,y_0)，则z=f(x,y)在(x_0,y_0)处连续。 Δy→y0Δx→x0limfx′(x,y)=fx′(x0,y0),Δy→y0Δx→x0limfy′(x,y)=fy′(x0,y0)，则z=f(x,y)在(x0,y0)处连续。
极值
无条件极值
- 二元函数取极值的必要条件；
设 z = f ( x , y ) 在 ( x 0 , y 0 ) { 一 阶 偏 导 数 存 在 取 极 值 ， 则 f x ′ ( x 0 , y 0 ) = 0 , f y ′ ( x 0 , y 0 ) = 0. 设z=f(x,y)在(x_0,y_0)\begin{cases} 一阶偏导数存在 \\ 取极值 \end{cases}，则f_x'(x_0,y_0)=0,f_y'(x_0,y_0)=0. 设z=f(x,y)在(x0,y0){一阶偏导数存在取极值，则fx′(x0,y0)=0,fy′(x0,y0)=0. - 二元函数取极值的充分条件；
{ f x x ′ ′ ( x 0 , y 0 ) = a f x y ′ ′ ( x 0 , y 0 ) = b f y y ′ ′ ( x 0 , y 0 ) = c , Δ = b 2 − a c { < 0 ⇒ 极 值 { a < 0 ⇒ 极 大 值 a > 0 ⇒ 极 小 值 > 0 ⇒ 非 极 值 = 0 ⇒ 方 法 失 效 \begin{cases} f_{xx}''(x_0,y_0)=a \\ f_{xy}''(x_0,y_0)=b\\ f_{yy}''(x_0,y_0)=c \end{cases},\varDelta = b^2-ac\begin{cases} \lt0\rArr极值\begin{cases} a<0\rArr极大值 \\ a>0\rArr极小值 \end{cases}\\ \gt0\rArr非极值\\ =0\rArr方法失效 \end{cases} ⎩⎪⎨⎪⎧fxx′′(x0,y0)=afxy′′(x0,y0)=bfyy′′(x0,y0)=c,Δ=b2−ac⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧<0⇒极值{a<0⇒极大值a>0⇒极小值>0⇒非极值=0⇒方法失效
条件极值与拉格朗日乘数法
求 u = f ( x , y , z ) 在 条 件 { φ ( x , y , z ) = 0 Φ ( x , y , z ) = 0 下 的 最 值 。 求u=f(x,y,z)在条件\begin{cases} \varphi(x,y,z)=0\\ \varPhi(x,y,z)=0 \end{cases}下的最值。 求u=f(x,y,z)在条件{φ(x,y,z)=0Φ(x,y,z)=0下的最值。
- 构 造 辅 助 函 数 F ( x , y , z , λ , μ ) = f ( x , y , z ) + λ φ ( x , y , z ) + μ Φ ( x , y , z ) . 构造辅助函数F(x,y,z,\lambda,\mu)=f(x,y,z)+\lambda\varphi(x,y,z)+\mu\varPhi(x,y,z). 构造辅助函数F(x,y,z,λ,μ)=f(x,y,z)+λφ(x,y,z)+μΦ(x,y,z).
- 令 { F x ′ = f x ′ + λ Φ x ′ + μ φ x ′ = 0 F y ′ = f y ′ + λ Φ y ′ + μ φ y ′ = 0 F z ′ = f z ′ + λ Φ z ′ + μ φ z ′ = 0 F λ ′ = Φ ( x , y , z ) = 0 F μ ′ = φ ( x , y , z ) = 0 \begin{cases} F_x'=f_x'+\lambda\varPhi_x'+\mu\varphi_x'=0\\ F_y'=f_y'+\lambda\varPhi_y'+\mu\varphi_y'=0\\ F_z'=f_z'+\lambda\varPhi_z'+\mu\varphi_z'=0\\ F_{\lambda}'=\varPhi(x,y,z)=0\\ F_{\mu}'=\varphi(x,y,z)=0 \end{cases} ⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧Fx′=fx′+λΦx′+μφx′=0Fy′=fy′+λΦy′+μφy′=0Fz′=fz′+λΦz′+μφz′=0Fλ′=Φ(x,y,z)=0Fμ′=φ(x,y,z)=0
- 解 上 述 方 程 得 若 干 点 ( x 0 , y 0 , z 0 ) … ( x n , y n , z n ) ， 取 u m a x o r u m i n . 解上述方程得若干点(x_0,y_0,z_0)\dots(x_n,y_n,z_n)，取u_{max}\ \ \ or\ \ \ u_{min}. 解上述方程得若干点(x0,y0,z0)…(xn,yn,zn)，取umax or umin.
二元函数在区域D下的最值
①只需求出D的内部及 ⇒ 无 条 件 极 值 问 题 ， 求 出 f x ′ = 0 , f y ′ = 0 的 所 有 可 疑 点 。 \rArr无条件极值问题，求出f_x'=0, f_y'=0的所有可疑点。 ⇒无条件极值问题，求出fx′=0,fy′=0的所有可疑点。
②D的边界 ⇒ { 直 接 带 入 求 驻 点 或 导 数 不 存 在 的 点 拉 格 朗 日 乘 数 法 \rArr\begin{cases} 直接带入求驻点或导数不存在的点 \\ 拉格朗日乘数法 \end{cases} ⇒{直接带入求驻点或导数不存在的点拉格朗日乘数法
上的驻点和导数不存在的点(不用判断它们是否为极值点),
并求出这些点的函数值,然后比较它们的大小,求出最大值和最小值.更多相关内容 -
660多元函数偏导微分判断问题
2020-08-10 00:17:02235 答案解析 假设构造出一个函数的方法还是比较简单的展开全文234
多元函数判断偏导连续跟一元函数差不多，思想是一样的，只不过是分别对x偏导连续判断和y偏导进行连续判断
解析
235
答案解析
假设构造出一个函数的方法还是比较简单的
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讨论多元函数可微性
2020-05-29 17:20:40(1)利用定义，即 ...(2)利用可微的必要条件：可微必可导。这一条一般是用来反证，通过证明不可导来证明不可微 (3)利用可微的充分条件：有连续一阶偏导数。注意，是连续，仅仅存在偏导数是不够的。 ...展开全文(1)利用定义，即
若极限
存在且为0，则可微，否则不可微
(2)利用可微的必要条件：可微必可导。这一条一般是用来反证，通过证明不可导来证明不可微
(3)利用可微的充分条件：有连续一阶偏导数。注意，是连续，仅仅存在偏导数是不够的。
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如何理解多元函数可微与可偏导的关系？
2021-01-14 06:50:52原标题：如何理解多元函数可微与可偏导的关系？谈到多元函数可微与可偏导时，相信不少人头皮有点发麻。一元函数中，可微与可导是等价的，但是在多元函数中，可微与可偏导之间的关系就没那么简单了，这是为什么呢？...展开全文原标题：如何理解多元函数可微与可偏导的关系？
谈到多元函数可微与可偏导时，相信不少人头皮有点发麻。一元函数中，可微与可导是等价的，但是在多元函数中，可微与可偏导之间的关系就没那么简单了，这是为什么呢？本文小编将以二元函数为例进行详细的说明。
1.二元函数的可偏导
在二元函数中，一元函数的可导的概念变为可偏导，导函数的概念变为偏导函数，具体看下例：
二元函数f(x,y)对x、y的偏导函数分别为：
在求二元函数的偏导函数时，都是假设另外一个变量为常量，然后对余下那个变量求导数。例如，f(x,y)对x的偏导函数，就是假设y为常量，然后f(x,y)对变量x求导数即得。
对于某一点，函数f(x, y)在该点的两个偏导数可能都存在、可能只存在一个、也可能都不存在。
在点(0, 0)的两个偏导数只存在一个的函数例子：
在点(0, 0)的两个偏导数都不存在的函数例子：
在点(0, 0)的两个偏导数都存在的函数例子：
对于上面三个例子，小编建议大家亲手去算算偏导数，这样能加深对二元函数偏导数的理解。
2.二元函数的可微
某一点可微描述的是函数增量与自变量增量之间的线性关系。在一元函数中，若线性主部的系数只与该点有关，则可微。以此类推，在二元函数中，若多个自变量的线性主部的系数都只与该点有关，则可微。下面分别列出一元函数、二元函数函数增量与自变量增量之间的关系式：
对于一特定点，当A、B为常数时，即A、B与自变量增量无关，则函数在该点可微，且A、B分别为函数在该点对x、y求偏导后的偏导数。
3.可微、可偏导、连续、导函数连续之间的关系
为了方便比较一元函数，小编先给出一元函数在某点C上关于可微、可导、连续、导函数连续的关系图。在图1中，函数f(x)可微与可导等价，因此可微与可导之间是双向箭头；在点C可微、可导必能得出函数f(x)在点C连续，但连续不能推出f(x)在点C可导、可微。因此可微、可导与连续之间是单向箭头。而导函数在点C连续，很明显就能推出函数在点C可导、可微、连续，但反过来，无法推出导函数在点C连续。
图1.一元函数可微、可导关系示意图
小编提醒大家，一定要经常记忆上图，而且是要理解性地记忆，比如说一元函数可微，要能明白可微是什么，关系式如何写！
相比于一元函数，二元函数就复杂多了，下面先给出二元函数可微、可偏导、连续、导函数连续的关系图。
图2.多元函数可微、可偏导关系示意图
当然在记忆这些关系时，我们通常要花时间记忆的是那些不容易理解的关系，而这些不容易理解的关系是与一元函数相比较后的那些不同之处。
3.1可微与可偏导不等价
在阐述二元函数可微与可偏导不等价前，不妨先回顾下，为什么一元函数中可微与可导是等价的？
在一元函数中，如果函数f(x)在x=x0处可导，则有如下关系式：
假设在一元函数中，函数增量与自变量存在如下关系：
上式两边同除以△x，然后两边对△x取极限，可知A=m，则根据一元函数可微的定义，A只与x=x0有关，与△x无关，所以f(x)在x=x0可微。同理，不难得出在一元函数中，可微亦可推出可导。
那么在二元函数中，如何论证可微必可推导呢？
假设二元函数在点C(x0, y0)可微，则由可微的定义，必存在(x0, y0)的某邻域，使得下式成立：
不妨分别令△x=0、△y=0，根据①式可得：
之所以可以令△x=0、△y=0，是因为点(x0, y0+△y)和(x0+△x, y0)都在点(x0, y0)的可微邻域内。
对②中两式求极限，可得:
结合偏导数的定义和③中的两个极限，可知可微情况下，函数在点C的两个偏导数都存在，因此可微必可偏导。
尽管可微必可偏导，但反过来不成立，请看下面这个例子：
函数F在(0, 0)的两个偏导数都存在且为0，现在用反证法证明函数F在点(0, 0)不可微。假设函数F在原点可微，则根据可微定义，下列极限必存在，但是下列极限可以通过列举两条路径很容易验证不存在，原假设错误，所以可偏导不一定可微。
3.2 可偏导不一定连续
在二元函数关系图中，另外一个很让人费解的地方，是二元函数在某点的两个偏导数都存在，但是函数在这一点却不一定连续。为了说明这一点，请看下面这个函数：
相信大家都能很熟练地计算出函数F在原点对x、y的偏导数均为0，但是当曲线沿着y=x的路径趋于原点时，函数值会趋于1，不等于0，因此函数F在原点不连续。
从抽象的角度看，二元函数在某一点的两个偏导数都存在，只能说明二元函数沿x方向、沿y方向趋于该点的值等于函数在该点的定义值，但无法保证沿其它方向趋于该点的值也等于函数值。返回搜狐，查看更多
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2019-07-20 21:11:141.2 多元函数极限和连续性的定义方法与一元函数类似（判断多元函数极限是否存在的技巧：从y=kx的方向去趋近；分别从y=x和y=-x两个方向去趋近）。 1.3 有界性与最大值最小值定理。在有界闭区域D上... -
【多元函数微分学】易错点总结
2022-04-25 15:40:133.对于多元函数，偏导数都存在，函数未必有极限，更保证不了连续性 4.多元函数求偏导后仍为多元函数，即元数不变，不会变为一元函数。 5.偏导数不能理解成微商 6.混合偏导数连续，则混合偏导的值与求导次序无关 ... -
高等数学：第八章 多元函数微分法及其应用（1）多元函数微分法及其应用 偏导数 全微分
2016-03-02 12:47:53§8.1 多元函数的基本概念 本章将在一元函数微分学的基础上，讨论多元函数的微分法及其应用。讨论中，我们主要以二元函数为主，因为从一元函数到二元函数会产生许多新问题，而从二元函数到二元以上的函数则可以类... -
二元函数的连续、可偏导、可微、偏导数连续究竟意味着啥？
2021-07-09 14:32:55注：多元函数的偏导数在一点连续是指， 偏导数在该点的某个邻域内存在，于是偏导数在这个邻域内有定义，而且这个偏导函数在该点连续。理解这一点，才能理解后面的充分条件。 为什么函数 在原点可导... -
高数 | 【多元函数微分学】如何判断二元微分式是否为全微分
2022-04-21 13:53:18我们知道二元函数u(x,y)的全微分（如果存在的话）du具有Pdx+Qdy的形式，其中P,Q分别为u对x,y的偏导数。 现在要问，当P,Q满足什么条件时，形如Pdx+Qdy的表达式一定是某个函数u(x,y)的全微分？ 如何求出这个函数u(x,... -
多元函数泰勒展开与黑塞矩阵
2021-08-25 21:11:52设函数 y=f(x)y = f(x)y=f(x) 在点 x0x_0x0 处可导，则在点 x0x_0x0 的某邻域内，可以用下式表示原函数值 f(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+o(x−x0), x→x0f(x) = f(x_0)+f'(x_0)(x - x_0) + o(x - ... -
多元函数微分学（微积分）
2021-04-19 19:06:26多元函数微分法及其应用 由一元微分演化而来 7.1 多元函数 一、函数——极限——连续 分段函数-分片函数；趋于定点的方式；不连续点的证明方法，连续函数的性质 聚点=内点+边界 邻域(O(M,δ)O(M,\delta)O(M,...
