目录

一. 多项式的表示

1.1 多项式幂级数的表达形式

1.2 多项式的嵌套形式

1.3 因子形式

二. 多项式的零点

2.1 给定多项式求零点

例题 2

2.2 由零点求多项式

三. 计算多项式的值

例题4

四. 由点拟合多项式

例题5

五.多项式积分

例题6

六. 多项式微分

七.多项式的和差

八. 多项式的乘除

8.1 多项式相乘

8.2 多项式相除

例题7

---

一. 多项式的表示

多项式在数学中一共有三种表达形式。

1.1 多项式幂级数的表达形式

1.2 多项式的嵌套形式

1.3 因子形式

N阶多项式有n个根，其中就包含重根和复根。如果多项式所有的系数都是实数，那么全部的复根都会以共轭对的形式出现。

在MATLAB中，多项式用行向量表示，其元素为多项式的系数，从左到右按照降幂的形式排列，此种元素称之为幂系数。

例题1

将以下多项式利用MATLAB表示出来。

解：

MATLAB代码如下：

clc;clear;

p=[2 1 4 5]; %提取系数
poly2sym(p)

运行结果：

ans =
 
2*x^3 + x^2 + 4*x + 5

二. 多项式的零点

2.1 给定多项式求零点

多项式的零点可以由命令roots得到，求出的结果为一个列向量：

r=roots()

例题 2

求例题1中多项式的零点。

解：

MATLAB代码如下：

clc;clear;

p=[2 1 4 5]; %提取系数
r=roots(p)

2.2 由零点求多项式

由零点可得原始多项式的系数，当然，得到的结果可能相差一个倍数关系。MATLAB格式如下：

poly(r)  %r为其零点

例题3

求函数y的零点。

解：

很明显，函数y是可以合并的，如下：

易得此函数的零点是1。

但来看看MATLAB的运行，你会发现不一样的：

clc;clear;
r=roots([1 -6 15 -20 15 -6 1])

运行结果：

r =

   1.0030 + 0.0017i
   1.0030 - 0.0017i
   1.0000 + 0.0034i
   1.0000 - 0.0034i
   0.9971 + 0.0017i
   0.9971 - 0.0017i

分析：数学的分析和MATLAB运行的结果不太一样。由于舍入误差的影响，如果存在重根，这种MATLAB的计算会有误差。

三. 计算多项式的值

可以利用命令polyval计算多项式的值。如果输入的x含有多个横坐标值，那么对应的输出y也为与x长度相同的向量。

例题4

当x=2.5或3时，分别计算对应的多项式y的值。

解：

MATLAB代码如下：

clc;clear;
c=[3 -7 2 1 1];
x=[2.5,3];
y=polyval(c,x)

运行结果如下：

y =23.8125   76.0000

四. 由点拟合多项式

给定n+1个点，可以唯一确定一个n阶多项式。利用polyfit命令可以确定该多项式的系数。

例题5

某三阶多项式过四个点，，请求出该多项式。

解：

MATLAB代码如下：

clc;clear;
x=[1.1,2.3,3.9,5.1];
y=[3.887,4.276,4.651,2.117];%输入四个点
a=polyfit(x,y,length(x)-1)
%此函数的第三个参数代表多项式的阶数

poly2sym(a) %转为符号形式

运行结果：

a =

   -0.2015    1.4385   -2.7477    5.4370

 
ans =
 
- (361*x^3)/1792 + (15467*x^2)/10752 - (3093646650838585*x)/1125899906842624 + 3060758582605503/562949953421312

五.多项式积分

原多项式y如下：

积分后的Y如下：

MATLAB求多项式的积分，格式如下：

q=polyint(p,k) %k代表k阶积分

当然，也可以自己构造函数进行积分。思路如下：

%调用格式为 py=poly_itg(p)

function py=poly_itg(p)
n=length(p); %p代表被积多项式的系数
py=[p.*[n:-1:1].^(-1),0] %py代表求积后多项式的系数
end %此种方法不包括最后一项积分常数

例题6

按多项式的方法求解以下积分：

解：

MATLAB代码如下：

clc;clear;
p=[3 0 -4 10 -25]; %创建一个向量来表示多项式
q=polyint(p); %也可以写成 q=polyint(p,1)
a=-1;
b=3;
I=diff(polyval(q,[a b])) %diff函数代表相减

运行结果：
I =49.0667

六. 多项式微分

原多项式如下：

微分后的多项式，如下：

可以利用polyder()函数来求多项式的一阶导数的系数，c为多项式y的系数。MATLAB调用格式如下：

b=polyder(c) 

上式子中b是微分后的系数，可以表示为如下：

七.多项式的和差

多项式表示为如下：

多项式表示为如下：

由此，可自己定义两个多项式相加的函数poly_add(p1,p2)，自定义如下：

function p3=poly_add(p1,p2)
n1=length(p1);
n2=length(p2);
if n1=n2
    p3=p1+p2;
end
if n1>n2
    p3=p1+[zeros(1,n1-n2),p2];
end
if n1<n2
    p3=[zeros(1:n2-n1),p1]+p2;
end
end

 由此，两个多项式相加的调用格式如下：

c=poly_add(a,b) %c为求和后的系数数组

两个多项式相减，调用格式如下：

c=poly_add(a,-b)

八. 多项式的乘除

8.1 多项式相乘

根据数学经验，m阶多项式与n阶多项式的乘积是m+n阶的多项式。

多项式表示为如下：

多项式表示为如下：

由此两个多项式的乘积可表示如下：

计算系数的MATLAB命令，如下：

c=conv(a,b)

8.2 多项式相除

多项式除多项式，满足如下式子：

上式子中，代表商，代表除法的余数。

由此，多项式和，可以由MATLAB命令得到，如下：

[q,r]=deconv(a,b)

例题7

计算多项式a与多项式b相乘的结果。

解：

MATLAB代码如下：

clc;clear;

a=[2 -5 6 -1 9];
b=[3 -90 -18];
c=conv(a,b); %相乘
poly2sym(c)  %写成符号的形式

运行结果：

ans =6*x^6 - 195*x^5 + 432*x^4 - 453*x^3 + 9*x^2 - 792*x - 162

多项式的表示：

eg: p(x)=

在matlab中可以用数组表示：

p=[2 -3 0 -1]

 

多项式的根：

roots(p)

 

多项式的创建：poly函数的运用

p=[2 -3 0 -1]；r=roots(p)；

ss=poly(r)

ss

只知道多项式的零点，可以用poly函数来创建多项式的系数数组

poly函数的输入还可以是二维数组，此时返回的值为数组的特征多项式|lamdaE-A|

 

多项式求值：

p=[2 -3 0 -1]；

a=1.6 %the point you want to evaluate

polyval(p,a) $p=[2 -3 0 -1]；%compute the value in that point a.

polyvalm可以接受二维数组的输入参数。

 

多项式的运算：

conv函数可以直接计算两个function的乘积和。

conv(p,p1)

① （*）用于数组乘法，要求第一个数组的列数等于第二个数组的行数

② （.*）用于逐个元素乘法，要求两个数组具有相同尺寸

deconv函数用于除法

[q,r]=deconv(f,g)

q为商多项式，r为余多项式。

 

多项式的微分：

polyder函数：

polyder(p)  % 直接计算p的微分

polyder(a,b)  %计算conv(a,b)的微分

[q,r]=polyder(a,b) %计算deconv(a,b)的微分，namely,   q/r=(a/b)'

 

多项式的曲线拟合：

polyfit(x,y,n)