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  • 多项式

    千次阅读 2013-09-17 14:18:32
    多项式中每一个 x n 皆称之为多项式的项 次数:多项式 x n 中每一项的n为此项的次数 同次项:若有多个多项式,其中每一项的 x k 项称之为同次项 首项:指多项式的项中次数最大者,若多项式首项为n,则称此多项式为n...

    在数学领域里多项式是由变量以及标量(一般是实数复数)经乘法加法构法而成,属于整式代数式。下列四种都是多项式: 多项式中每一个 x n 皆称之为多项式的项 次数:多项式 x n 中每一项的n为此项的次数 同次项:若有多个多项式,其中每一项的 x k 项称之为同次项 首项:指多项式的项中次数最大者,若多项式首项为n,则称此多项式为n次多项式


    • x-10\!
    • y^2+2y-5\!
    • x^2+y+5\!
    • \frac{2}{3}+ \frac{c}{12}\!

    非多项式的例子:

    • \frac{12}{z}\!
    • \frac{2}{x}+ \frac{y}{30}\!

    这些式子的变量位在分母,称作分式,并非多项式。

    \ 2xy-yx+5  及 \ xy+5  也是多项式,但若然\ x \ y 可置换的变量,即\ xy=yx ,则这两个多项式是相同的。

    单项式是指可以纯粹由乘法构法的多项式,如: \ 10 \ x  及 \ 10x^2y^2z^3 单项式其实是不含加法减法运算的整式.

    (注:有说单项式不是多项式,而多项式是由起码两个或以上的单项式相加起来而成。这是最常见单项式及多项式的定义。但多项式相加也可以是单项式,如\ (3x+4)+(-2x-4)=x,这个区分令理论研究变得复杂。若然把单项式也归纳为多项式,则多项式相加的也是多项式,情况比较简单。)

    几何学中,多项式是最简单的平滑曲线简单是指它仅由乘法加法构法;平滑皆因它类同口语中的平滑——以数学述语来说,它是无限可微,即可以对它的所有高次微分都存在。事实上,多项式的微分也是多项式。

    简单及平滑的特点,使它在数值分析图论,以及电脑绘图等,都发挥极大的作用。

    历史

    多项式的研究,源于“代数方程”, 是最古老数学问题之一。有些代数方程,如x+1=0,在负数被接受前,被认为是无解的。另一些多项式,如f(x)=x² + 1,是没有任何的——严格来说,是没有任何实数根。若我们容许复数,则实数多项式或复数多项式都是有根的,这就是代数基本定理

    能否用根式求解的方法,表达出多项式的根,曾经是文艺复兴后欧洲数学主要课题。一元二次多项式的根相对容易。三次多项式的根需要引入复数来表示,即使是实数多项式的实数根。四次多项式的情况也是如此。经过多年,数学家仍找不到用根式求解五次多项式的一般方法,终于在1824年阿贝尔证明了这种一般的解法不存在,震掝数坛。数年后,伽罗华引入了的概念,证明不存在用根式求解五次或以上的多项式的一般方法,其理论被引申为伽罗瓦理论。伽罗瓦理论也证明了古希腊难题三等分角不可能。另一个难题化圆为方的不可能证明,亦与多项式有关,证明的中心是圆周率乃一个超越数,即它不是有理数多项式的根。

    正式定义

    给一个 R(可以是实数环,复数环或其他)及一个变量 x,则多项式是以下代数式:

    \ f(x) = a_0 + a_1 x + \cdots + a_{n - 1} x^{n - 1} + a_n x^n

    当中 a0, …, an 是 R 的元素。用 Σ表达法,有

    \ f(x) = \sum_{i = 0}^{n} a_{i} x^{i}

    容易证明,多项式的和或积都是多项式,即多项式组成一个环 R[x],称为 R 上的(一元)多项式环。(注:在最一般的定义,a2xxa2 及 axa 可以当作是不同的多项式,是不可置换环的例子。)

    对于多变量多项式,我们可以类似方式定义。一个有 n 个变量的多项式,称为 n元多项式。通常以 R[x,y,z] 表示 R 为系数环,xy 及 z 为变量的多项式环。

    在  R[x_1,\ldots,x_n]  中, ax_1^{k_1}x_2^{k_2}\cdots x_n^{k_n}  称为单项式,其中 a∈ R系数而 k_1,\ldots,k_n为非负整数,是 x_1,\ldots,x_n 的次数k_1+\cdots+k_n 是这个单项式的次数。

    多项式的项数

    多项式最少的单项式之和呈现,则每一个单项式都被称为此多项式的,而项的数目称为项数

    例如多项式 \ y^3+2x+5-\frac{c}{12}  的项数是四,故称为四项式。当中的 \ y^3 、 \ 2x\ 5、  -\frac{c}{12}、都是此多项式的项。

    以上例子中的多项式可以写成四个以上单项式的和,如 \ y^3+2x+5-\frac{c}{12}=y^3+3x-x+5-\frac{c}{12} 是五个单项式的和。是以必须强调最少的单项式之和 。

    另外的例子是 \ x-10  共有二项,此多项式称二项式。

    (注:若把 \ y^3+2x+5-\frac{c}{12}  看作成在 R[c][x,y]=(R[c])[x,y] 中的多项式,则它只是三项式,分别是 \ y^3 、 \ 2x、及 5-\frac{c}{12}。 )

    若是未知数X、Y、Z等若出现在分母里、根号里或是绝对值中,就不能定义为“多项式”。例如:

    • \ \frac{1}{x} +x^2+3,因为出现在分母里,所以不是多项式。
    • \ \sqrt{x} +x^2+3,因为出现在根号里,所以不是多项式。
    • \ |x| +x^2+3,因为出现在绝对值里,所以不是多项式。

    变项与常数项

    多项式中含有变量的称为变项,祇有数字的项称为常数项。 例如多项式:\ y^3+2x+5-\frac{c}{12}  中的 \ y^3  、 \ 2x  、  -\frac{c}{12}  、 都是此多项式的变项。而\ 5 常数项

    (注:若把  y^3+2x+5-\frac{c}{12}  看作成在 R[c][x,y]=(R[c])[x,y] 中的多项式,则 5-\frac{c}{12} 才是常数项。 )

    多项式的“元”

    多项式中的变量种类称为,各种变量以各字母表达(注:通常是x、y、z),一个多项式有n种变量就称为n元多项式。

    例如:\ y^9+5x^7-\frac{y^6}{12}+2x  中有\ x \ y  二元,是二元多项式。因有四项,可称二元四项式。

    多项式的次数

    多项式中次数最高的的次数,即此多项式的次数。

    例如多项式:\ y^3+2x+5-\frac{c}{12}  中 \ y^3  的次数最高,有三次方,故此多项式的次数为三。 因而此多项式可称为三元三次四项式。\ y^3 称为三次项,\ 2x 及 \ \frac{c}{12} 称为一次项或线性项,而 5 是 0 次项或常数项。

    又例如多项式\ x+y+3  ,\ y  与 \ x  二项都是一次方,而常数项\ 3 是零次方。故此多项式的次数为一。而此多项式项数为三,可称为一次三项式。

    常数项\ 3 是零次方因为可被视为是 3\times x^0。而任何非零数字零次方都是1,故3\times x^0;=3\times 1=3 ,常数项的次数都为0。

    又例如 \ c^2x^3+3y^4  的首项是五次,次项是四次,所以是个三元五次多项式。(注:若把 \ c^2x^3+3y^4  看作成在 R[c][x,y]=(R[c])[x,y] 中的多项式,则第一项是三次而系数为 c2 ,第二项是四次,是个二元四次多项式。 )

    多项式 p 的次数,记作 deg(p),由英语 degree 而来。\ 0=0x^{-1}=0x^0=0x^2=....,所以0这一多项式不计次数,故称为零多项式。常数多项式分为零次多项式和零多项式。所谓零次多项式是指每一个项(常数项除外)的系数都是0,而零多项式则指每一项的系数(包括常数项)都是0。1 次多项式又称为 线性多项式。多项式中的一次项又称为线性项。

    多项式的升幂及降幂排列

    多项式可依各单项式的次数排列。

    次数从低到高是升幂排列。 例如:以下多项式,从\ a_0 x^0 排到\ a_n x^n

    \ f(x) = a_0 x^0 + a_1 x^1 + \cdots + a_{n - 1} x^{n - 1} + a_n x^n.

    次数从高到低是降幂排列。 例如:以下多项式,从\ a_nx^n 排到\ a_0 x^0

    \ f(x) = a_n x^n + a_{n - 1} x^{n - 1}+ \cdots + a_1 x^1 + a_0 x^0.

    若一多项式为多元多项式,可依照其中一排列。

    例如:\ 2x^5 y^2 + 7x^3 y^4 + 8x^1 y^6 是依X的次数排列。

    亦可以y的次数排列。

    例如:\ 8y^6 x^1 +  7y^4 x^3 + 2y^2 x^5

    一元多项式

    一元多项式中次数最高的项,称为首项,其系数称为该多项式的首项系数。如 \ 3x^4-2x^2+x  的首项系数为 3。首项系数为 1 的多项式称为首一多项式,如 \ x^4-2x

    因式分解

    把一多项式分成几个整式的积,称为因式分解。这些整式可称因式。

    以下是常用的因式分解公式

    • \ a^2-b^2=(a+b)(a-b)= a(a-b)+b(a-b)
    • \ a^2+2ab+b^2=(a+b)^2
    • \ a^2-2ab+b^2=(a-b)^2
    • \ a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)
    • \ a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)
    •  ( a + b )^{n} = C^{n}_{0}a^{n} + C^{n}_{1} a^{n - 1} b + C^{n}_{2} a^{n - 2} b^{2} + ... + C^{n}_{n - 1} a b^{n - 1} + C^{n}_{n}b^{n}
      •  C^{n}_{m} = \frac{n!}{(n - m)!m!}
      •  C^{n}_{0} = C^{n}_{n} = 0! = 1

    多项式的运算

    多项式乘法

    把两个多项式相乘时,第一个多项式的每一个项都要与第二个多项式的每一个项相乘。例如:

    (x+2)(2x-5)=2x^2+4x-5x-10=2x^2-x-10

    也可以利用矩阵乘法来进行:

    \begin{bmatrix}1 & 0\\2 & 1\\0 & 2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2\\-5\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2\\-1\\-10\end{bmatrix}

    多项式除法

    多项式的除法与整数的除法类似。

    (1)把被除式、除式按某个字母作降幂排列,并把所缺的项用零补齐.

    (2)用被除式的第一项去除除式的第一项,得商式的第一项.

    (3)用商式的第一项去乘除式,把积写在被除式下面(同类项对齐),消去相等项,把不相等的项结合起来.

    (4)把减得的差当作新的被除式,再按照上面的方法继续演算,直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止.被除式=除式×商式+余式

      如果一个多项式除以另一个多项式,余式为零,就说这个多项式能被另一个多项式整除

    例如,计算\frac{x^3 - 12x^2 - 42}{x-3}

    \begin{matrix}\qquad\quad\;\, x^2 \; - 9x \quad - 27\\\qquad\quad x-3\overline{\vert x^3 - 12x^2 + 0x - 42}\\\;\; \underline{\;\;x^3 - \;\;3x^2}\\\qquad\qquad\quad\; -9x^2 + 0x\\\qquad\qquad\quad\; \underline{-9x^2 + 27x}\\\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad -27x - 42\\\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \underline{-27x + 81}\\\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\;\; -123\end{matrix}

    因此,商是\ x^2 - 9x - 27 ,余式是\ -123 。 缺项补0

    多项式座标图例子

    一些低次数的多项式座标图:

    2次多项式:
    f( x) =  x 2 -  x - 2
    = ( x+1)( x-2)
    3次多项式:
    f( x) =  x 3/5 + 4 x 2/5 
    - 7 x/5 - 2
    = 1/5 ( x+5)( x+1)( x-2)
    4次多项式:
    f( x) = 1/14 ( x+4)( x+1)( x-1)( x-3) + 0.5
    5次多项式:
    f( x) = 1/20 ( x+4)( x+2)( x+1)( x-1)( x-3) + 2

    多项式函数及多项式的根

    给出多项式 fR[x1,...,xn] 以及一个 R-代数 A。对 (a1...an)∈An,我们把 f 中的 xj 都换成 aj,得出一个 A 中的元素,记作 f(a1...an)。如此,f 可看作一个由 An 到 A 的函数。

    若然 f(a1...an)=0,则 (a1...an) 称作 f 的零点

    例如 f=x2+1。若然考虑 x 是实数、复数、或矩阵,则 f 会无根、有两个根、及有无限个根!

    例如 f=x-y。若然考虑 x 是实数或复数,则 f 的零点集是所有 (x,x) 的集合,是一个代数曲线。事实上所有代数曲线由此而来。

    代数基本定理

    代数基本定理是指所有一元 n 次(复数)多项式都有 n 个(复数)根。

    多项式的几何特性

    多项式是简单的连续函数,它是平滑的,它的微分也必定是多项式。

    泰勒多项式的精神便在于以多项式逼近一个平滑函数,此外闭区间上的连续函数都可以写成多项式的均匀极限

    任意环上的多项式

    多项式可以推广到系数在任意一个的情形,请参阅条目多项式环

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