在数学领域里，多项式是由变量以及标量（一般是实数或复数）经乘法及加法构法而成，属于整式的代数式。下列四种都是多项式： 多项式中每一个 x n 皆称之为多项式的项 次数：多项式 x n 中每一项的n为此项的次数 同次项：若有多个多项式，其中每一项的 x k 项称之为同次项 首项：指多项式的项中次数最大者，若多项式首项为n，则称此多项式为n次多项式
 
 
 
 
 
 非多项式的例子：
 
 
 这些式子的变量位在分母，称作分式，并非多项式。
 
  及  也是多项式，但若然及是可置换的变量，即，则这两个多项式是相同的。
 
 单项式是指可以纯粹由乘法构法的多项式，如: 、 及 。单项式其实是不含加法或减法运算的整式.
 
 （注：有说单项式不是多项式，而多项式是由起码两个或以上的单项式相加起来而成。这是最常见单项式及多项式的定义。但多项式相加也可以是单项式，如，这个区分令理论研究变得复杂。若然把单项式也归纳为多项式，则多项式相加的和也是多项式，情况比较简单。）
 
 几何学中，多项式是最简单的平滑曲线。简单是指它仅由乘法及加法构法；平滑皆因它类同口语中的平滑——以数学述语来说，它是无限可微，即可以对它的所有高次微分都存在。事实上，多项式的微分也是多项式。
 
 简单及平滑的特点，使它在数值分析，图论，以及电脑绘图等，都发挥极大的作用。
 
 历史
 
 多项式的研究，源于“代数方程求解”， 是最古老数学问题之一。有些代数方程，如x+1=0，在负数被接受前，被认为是无解的。另一些多项式，如f(x)=x² + 1，是没有任何根的——严格来说，是没有任何实数根。若我们容许复数，则实数多项式或复数多项式都是有根的，这就是代数基本定理。
 
 能否用根式求解的方法，表达出多项式的根，曾经是文艺复兴后欧洲数学主要课题。一元二次多项式的根相对容易。三次多项式的根需要引入复数来表示，即使是实数多项式的实数根。四次多项式的情况也是如此。经过多年，数学家仍找不到用根式求解五次多项式的一般方法，终于在1824年阿贝尔证明了这种一般的解法不存在，震掝数坛。数年后，伽罗华引入了群的概念，证明不存在用根式求解五次或以上的多项式的一般方法，其理论被引申为伽罗瓦理论。伽罗瓦理论也证明了古希腊难题三等分角不可能。另一个难题化圆为方的不可能证明，亦与多项式有关，证明的中心是圆周率乃一个超越数，即它不是有理数多项式的根。
 
 正式定义
 
 给一个环 R（可以是实数环，复数环或其他）及一个变量 x，则多项式是以下代数式：
 
 
 
 
  ，
 
 
 当中 a0, …, an 是 R 的元素。用 Σ表达法，有
 
 
 
 
  
 
 
 容易证明，多项式的和或积都是多项式，即多项式组成一个环 R[x]，称为 R 上的（一元）多项式环。（注：在最一般的定义，a2x、xa2 及 axa 可以当作是不同的多项式，是不可置换环的例子。）
 
 对于多变量多项式，我们可以类似方式定义。一个有 n 个变量的多项式，称为 n元多项式。通常以 R[x,y,z] 表示 R 为系数环，x，y 及 z 为变量的多项式环。
 
 在  中， 称为单项式，其中 a∈ R是系数而 为非负整数，是  的次数。 是这个单项式的次数。
 
 多项式的项数
 
 若多项式以最少的单项式之和呈现，则每一个单项式都被称为此多项式的项，而项的数目称为项数。
 
 例如多项式  的项数是四，故称为四项式。当中的 、 、、 、都是此多项式的项。
 
 以上例子中的多项式可以写成四个以上单项式的和，如  是五个单项式的和。是以必须强调最少的单项式之和 。
 
 另外的例子是  共有二项，此多项式称二项式。
 
 （注：若把  看作成在 R[c][x,y]=(R[c])[x,y] 中的多项式，则它只是三项式，分别是 、 、及 。 ）
 
 若是未知数X、Y、Z等若出现在分母里、根号里或是绝对值中，就不能定义为“多项式”。例如：
 
，因为出现在分母里，所以不是多项式。
，因为出现在根号里，所以不是多项式。
，因为出现在绝对值里，所以不是多项式。
 
 变项与常数项
 
 多项式中含有变量的项称为变项，祇有数字的项称为常数项。 例如多项式: 中的  、  、  、 都是此多项式的变项。而是常数项。
 
 （注：若把  看作成在 R[c][x,y]=(R[c])[x,y] 中的多项式，则  才是常数项。 ）
 
 多项式的“元”
 
 多项式中的变量种类称为元，各种变量以各字母表达(注:通常是x、y、z)，一个多项式有n种变量就称为n元多项式。
 
 例如： 中有、 二元，是二元多项式。因有四项，可称二元四项式。
 
 多项式的次数
 
 多项式中次数最高的项的次数,即此多项式的次数。
 
 例如多项式： 中  的次数最高，有三次方，故此多项式的次数为三。 因而此多项式可称为三元三次四项式。称为三次项，及 称为一次项或线性项，而 5 是 0 次项或常数项。
 
 又例如多项式 ， 与  二项都是一次方，而常数项是零次方。故此多项式的次数为一。而此多项式项数为三，可称为一次三项式。
 
 常数项是零次方因为可被视为是 。而任何非零数字零次方都是1，故，常数项的次数都为0。
 
 又例如  的首项是五次，次项是四次，所以是个三元五次多项式。（注：若把  看作成在 R[c][x,y]=(R[c])[x,y] 中的多项式，则第一项是三次而系数为 c2 ，第二项是四次，是个二元四次多项式。 ）
 
 多项式 p 的次数，记作 deg(p)，由英语 degree 而来。，所以0这一多项式不计次数，故称为零多项式。常数多项式分为零次多项式和零多项式。所谓零次多项式是指每一个项（常数项除外）的系数都是0，而零多项式则指每一项的系数（包括常数项）都是0。1 次多项式又称为 线性多项式。多项式中的一次项又称为线性项。
 
 多项式的升幂及降幂排列
 
 多项式可依各单项式元的次数排列。
 
 次数从低到高是升幂排列。 例如：以下多项式，从排到
 
 
 
 
  
 
 
 次数从高到低是降幂排列。 例如：以下多项式，从排到
 
 
 
 
  
 
 
 若一多项式为多元多项式，可依照其中一元排列。
 
 例如:是依X的次数排列。
 
 亦可以y的次数排列。
 
 例如:
 
 一元多项式
 
 一元多项式中次数最高的项，称为首项，其系数称为该多项式的首项系数。如  的首项系数为 3。首项系数为 1 的多项式称为首一多项式，如 。
 
 因式分解
 
 把一多项式分成几个整式的积，称为因式分解。这些整式可称因式。
 
 以下是常用的因式分解公式
 
 
  
 
 
 多项式的运算
 
 多项式乘法
 
 把两个多项式相乘时，第一个多项式的每一个项都要与第二个多项式的每一个项相乘。例如：
 
 
 
 也可以利用矩阵乘法来进行：
 
 
 
 多项式除法
 

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 综合除法
 
 多项式的除法与整数的除法类似。
 
 （1）把被除式、除式按某个字母作降幂排列，并把所缺的项用零补齐．
 
 （2）用被除式的第一项去除除式的第一项，得商式的第一项．
 
 （3）用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），消去相等项，把不相等的项结合起来．
 
 （4）把减得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止．被除式=除式×商式+余式
 
 　　如果一个多项式除以另一个多项式，余式为零，就说这个多项式能被另一个多项式整除
 
 例如，计算。
 
 
 
 
  
 
 
 因此，商是，余式是。 缺项补0
 
 多项式座标图例子
 
 一些低次数的多项式座标图：
 
 
    
 
     
 
       
      
 
       
 
        
       
 2次多项式:
       
 
       f(
       x) = 
       x
       2 - 
       x - 2
       
 = (
       x+1)(
       x-2)
      
 
     
 
    
 
 
    
 
     
 
       
      
 
       
 
        
       
 3次多项式:
       
 
       f(
       x) = 
       x
       3/5 + 4
       x
       2/5 
       
 - 7
       x/5 - 2
       
 = 1/5 (
       x+5)(
       x+1)(
       x-2)
      
 
     
 
    
 
 
    
 
     
 
       
      
 
       
 
        
       
 4次多项式:
       
 
       f(
       x) = 1/14 (
       x+4)(
       x+1)(
       x-1)(
       x-3) + 0.5
      
 
     
 
    
 
 
    
 
     
 
       
      
 
       
 
        
       
 5次多项式:
       
 
       f(
       x) = 1/20 (
       x+4)(
       x+2)(
       x+1)(
       x-1)(
       x-3) + 2
      
 
     
 
    
 
 
 多项式函数及多项式的根
 
 给出多项式 f∈R[x1,...,xn] 以及一个 R-代数 A。对 (a1...an)∈An，我们把 f 中的 xj 都换成 aj，得出一个 A 中的元素，记作 f(a1...an)。如此，f 可看作一个由 An 到 A 的函数。
 
 若然 f(a1...an)=0，则 (a1...an) 称作 f 的根或零点。
 
 例如 f=x2+1。若然考虑 x 是实数、复数、或矩阵，则 f 会无根、有两个根、及有无限个根！
 
 例如 f=x-y。若然考虑 x 是实数或复数，则 f 的零点集是所有 (x,x) 的集合，是一个代数曲线。事实上所有代数曲线由此而来。
 
 代数基本定理
 
 代数基本定理是指所有一元 n 次（复数）多项式都有 n 个（复数）根。
 
 多项式的几何特性
 
 多项式是简单的连续函数，它是平滑的，它的微分也必定是多项式。
 
 泰勒多项式的精神便在于以多项式逼近一个平滑函数，此外闭区间上的连续函数都可以写成多项式的均匀极限。
 
 任意环上的多项式
 
 多项式可以推广到系数在任意一个环的情形，请参阅条目多项式环。