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  • 模运算性质

    2018-03-27 12:03:50
    给定一个正整数p,任意...对于正整数 p 和整数 a,b,定义如下运算:取模运算:a % p(或a mod p),表示a除以p的余数。p加法: ,其结果是a+b算术和除以p的余数。p减法: ,其结果是a-b算术差除以p的余数。p乘...
    给定一个正整数p,任意一个整数n,一定存在等式 :
    n = kp + r ;
    其中 k、r 是整数,且 0 ≤ r < p,则称 k 为 n 除以 p 的商,r 为 n 除以 p 的余数。
    对于正整数 p 和整数 a,b,定义如下运算:
    取模运算:a % p(或a mod p),表示a除以p的余数。
    模p加法: ,其结果是a+b算术和除以p的余数。
    模p减法: ,其结果是a-b算术差除以p的余数。
    模p乘法: ,其结果是 a * b算术乘法除以p的余数。
    说明:
    1. 同余式:正整数a,b对p取模,它们的余数相同,记做 或者a ≡ b (mod p)。
    2. n % p 得到结果的正负由被除数n决定,与p无关。例如:7%4 = 3, -7%4 = -3, 7%-4 = 3, -7%-4 = -3

    基本性质

    1. 若p|(a-b),则a≡b (% p)。例如 11 ≡ 4 (% 7), 18 ≡ 4(% 7)
    2. (a % p)=(b % p)意味a≡b (% p)
    3. 对称性:a≡b (% p)等价于b≡a (% p)
    4. 传递性:若a≡b (% p)且b≡c (% p) ,则a≡c (% p)

    运算规则

    模运算与基本四则运算有些相似,但是除法例外。其规则如下:
    1. (a + b) % p = (a % p + b % p) % p (1)
    2. (a - b) % p = (a % p - b % p) % p (2)
    3. (a * b) % p = (a % p * b % p) % p (3)
    4. a ^ b % p = ((a % p)^b) % p (4)
    • 结合律:
      ((a+b) % p + c) % p = (a + (b+c) % p) % p (5)
    ((a*b) % p * c)% p = (a * (b*c) % p) % p (6)
    • 交换律:
      (a + b) % p = (b+a) % p (7)
    (a * b) % p = (b * a) % p (8)
    • 分配律:
      ((a +b)% p * c) % p = ((a * c) % p + (b * c) % p) % p (9)

    重要定理

    • 若a≡b (% p),则对于任意的c,都有(a + c) ≡ (b + c) (%p);(10)
    • 若a≡b (% p),则对于任意的c,都有(a * c) ≡ (b * c) (%p);(11)
    • 若a≡b (% p),c≡d (% p),则 (a + c) ≡ (b + d) (%p),(a - c) ≡ (b - d) (%p),
      (a * c) ≡ (b * d) (%p),(a / c) ≡ (b / d) (%p); (12)

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  • 模运算性质及其证明

    千次阅读 2019-05-18 00:47:19
    有的时候数字a太大,题目会要求对m取模(a=a%m), 从而使得a<m. 如果 a%mb%m 则a和b对m同余。记为 a=b(mod m) ab(mod m) 等价于 (a-b) 0(mod m) ...then 性质一a+b c+d (mod m) 性质二 a-b c-d (mod m) ...

    的时候数字a太大,题目会要求对m取模(a=a%m), 从而使得a<m.  

    如果 a%m\equivb%m abm同余。记为 a=b(mod m)

    a\equivb(mod m)  等价于  (a-b) {\equiv\color{Red} }0(mod m)

    if a\equivc(mod m),   b\equivd(mod m)

    then 性质一 a+b \equivc+d (mod m)

             性质二 a-b  \equiv c-d  (mod m)   

            性质三 a*b  \equiv c*d  (mod m)

    前两个很简单,两边同时减去(c+d),(c-d)

    a-c+b-d \equiv 0(mod m)

    a-c-(b-d)  \equiv 0 (mod m) 

    下面证性质三

    a=k_{a}\cdot m+r_{a}

    b= k_{b}\cdot m+r_{a}

    c=k_{c}\cdot m+r_{a}

    d=k_{d}\cdot m+r_{a}.

    \becausea\equivc(mod m),   b\equivd(mod m)

    \therefore r_{a}= r_{c}, r_{b}= r_{d}

    \Rightarrow r_{a}\cdot r_{b}\equiv r_{c}\cdot r_{d}(mod (m))

    \Rightarrow (k_{a}\cdot m+r_{a})\cdot (k_{b}\cdot m+r_{b})\equiv (k_{c}\cdot m+r_{c})\dot(k_{d}\cdot m+r_{d})(mod(m))

    \Rightarrow a\cdot b \equiv c\cdot d (mod (m))

    要求运算结果对m求余时, 运算的量可以先求余,以避免中间溢出

    很明显a\equiva%m(mod m),b\equivb%m(mod m)

    性质一a+b = (a%m+b%m) (mod m)

    a-b,a*b同理

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  • 模运算性质及应用

    千次阅读 2016-01-30 10:15:36
    RSA 算法的核心是大整数的运算(Modular Power),运算又称为乘方运算。用数学表达式表示运算就是: C=AB%n C=A^B\;\%\;n 无论是乘方还是除法求余数的计算量都非常大,除此之外,乘方计算的中间结果 ...
    • (a%n)%n=(a%n)

    一个数(无论正负),对 m 取余,是将其映射到 [0,m1] 的区间;

    模幂运算 ⇒ 模乘运算

    RSA 算法的核心是大整数的模幂运算(Modular Power),模幂运算又称为模乘方运算。用数学表达式表示模幂运算就是:

    C=AB%n

    无论是乘方还是除法求余数的计算量都非常大,除此之外,乘方计算的中间结果 AB 将是一个非常大的数,大数必须支持非常多的位才能保存这个中间结果。

    由RSA算法的性质可知,模幂运算的性能直接决定了RSA算法的性能。为了解决模幂运算的效率问题,现代数学界提出了很多解决方案。这些方案的基本思想都是先将模幂运算转换成模乘运算,然后再用高效的算法处理模乘运算。

    2 个两位数相乘( a2 )结果最大接近一个 4 位数,10 个两位数相乘( a10 )结果最大接近于一个 10*2 = 20 位的数。
    同理一个 1024 bits(1024个二进制位)的大整数的乘方,其二次方的结果最大可能需要 1024×2=2048 个二进制位,其 1024 次方的结果最大可能需要 1024×1024=220=217Byte=128Kb 的存储空间。

    模幂运算的解决思路是将其转化为模乘运算,避免直接求幂带来的存储和效率的问题。模乘的数学表达式为:

    C=A×B(modn)

    将模幂运算转化为模乘运算,需要利用模运算的两个特性:

    (a×b)%n=(a%n×b%n)%n(a+b)%n=(a%n+b%n)%n

    a9%n 为例,利用平方乘降幂法,将其分解为 (a8%n×a%n)%n ,而 a8%n 又可分解为 (a4%n×a4%n)%n a4%n 又可继续分解为 (a2%n×a2%n)%n a2%n 最终分解为 (a%n×a%n)%n

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  • 模运算及其性质

    千次阅读 2020-01-12 23:26:10
    本文以c++语言为载体,对基本的模运算应用进行了分析和程序设计,以理论和实际相结合的方法向大家介绍模运算的基本应用。。 原文:https://blog.csdn.net/cckit/article/details/41629263 基本理论 一、基本概念...

    本文以c++语言为载体,对基本的模运算应用进行了分析和程序设计,以理论和实际相结合的方法向大家介绍模运算的基本应用。。

    原文:https://blog.csdn.net/cckit/article/details/41629263

    基本理论

    一、基本概念

      1、给定一个正整数p,任意一个整数n,一定存在等式 n = kp + r ;

      2、其中k、r是整数,且 0 ≤ r < p,称呼k为n除以p的商,r为n除以p的余数。

      3、对于正整数p和整数a,b,定义如下运算:

    取模运算:a % p(或a mod p),表示a除以p的余数。

    模p加法:(a + b) % p ,其结果是a+b算术和除以p的余数,也就是说,(a+b) = kp +r,则(a + b) % p = r。

    模p减法:(a-b) % p ,其结果是a-b算术差除以p的余数。

    模p乘法:(a * b) % p,其结果是 a * b算术乘法除以p的余数。

    说明:

      1. 同余式:正整数a,b对p取模,它们的余数相同,记做 a ≡ b % p或者a ≡ b (mod p)。

      2. n % p得到结果的正负由被除数n决定,与p无关。例如:7%4 = 3, -7%4 = -3, 7%-4 = 3, -7%-4 = -3。

    二、基本性质

      (1)若p|(a-b),则a≡b (% p)。例如 11 ≡ 4 (% 7), 18 ≡ 4(% 7)

      (2)(a % p)=(b % p)意味a≡b (% p)

      (3)对称性:a≡b (% p)等价于b≡a (% p)

      (4)传递性:若a≡b (% p)且b≡c (% p) ,则a≡c (% p)

    三、运算规则

      模运算与基本四则运算有些相似,但是除法例外。其规则如下:

      (a + b) % p = (a % p + b % p) % p (1)

      (a - b) % p = (a % p - b % p) % p (2)

      (a * b) % p = (a % p * b % p) % p (3)

      (a^b) % p = ((a % p)^b) % p (4)

      结合率: ((a+b) % p + c) % p = (a + (b+c) % p) % p (5)

                      ((a*b) % p * c)% p = (a * (b*c) % p) % p (6)

      交换率: (a + b) % p = (b+a) % p (7)

                     (a * b) % p = (b * a) % p (8)

      分配率: ((a +b)% p * c) % p = ((a * c) % p + (b * c) % p) % p (9)

      重要定理

      若a≡b (% p),则对于任意的c,都有(a + c) ≡ (b + c) (%p);(10)

      若a≡b (% p),则对于任意的c,都有(a * c) ≡ (b * c) (%p);(11)

      若a≡b (% p),c≡d (% p),则 (a + c) ≡ (b + d) (%p),(a - c) ≡ (b - d) (%p),

                                                     (a * c) ≡ (b * d) (%p) ,(a / c) ≡ (b / d) (%p)(12)

      除法:若ac ≡ bc (mod m),c≠0 则 a≡ b (mod m/gcd(c,m)) ,其中gcd(c,m)表示c,m的最大公约数。

                       特殊地 ,gcd(c,m)=1 则 a ≡ b (mod m)

      幂运算:如果a ≡ b (mod m),那么a^n ≡ b^n (mod m)

    基本应用:

    1.判别奇偶数  2.判别素数3. 最大公约数  4.模幂运算

    另见:

    https://blog.csdn.net/qq_36345036/article/details/77407069 

    https://blog.sengxian.com/algorithms/mod-world

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空空如也

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