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  • 积分变限函数求导的基本方法
    千次阅读
    2020-12-29 07:57:51

    科技论坛 积分上限函数 是高等数学中一类特殊的函数形式,是微积分基本公式(牛顿 - 莱布尼茨公式)的理论基础,是联系微分学和积分学的桥梁,在高等数学中具有重要的地位,因此,研究生入学考试和大学生数学竞赛,历来都把积分变限函数求导(包括积分上限函数和积分下限函数)作为测试的重点内容之一。但在高等数学教材中,对积分变限函数求导的方法讲解的都比较简略,以致很多学生都把这个知识点作为难点内容。本文对积分变限函数求导类型及方法概括总结,并详细解答例题,帮助学生深刻理解积分变限函数的实质及内涵,击破难点。1 积分变限函数基本求导公式积分变限函数求导,其基本原理是以下五个公式[3]: i)若 f(x)在[a,b]上连续,则 在[a,b]上可导,且 ; .同理, . ii)若 f(x)在[a,b]上连续,且 可导,则 ; 同理, . iii)若 f(x)在[a,b]上连续,且 , 可导,则 例 1(2016 考研.数一) . 解 当 时, , . 利用洛必达法则,得 在以上五个公式中,被积函数都不含参变量 x,而仅是积分变量t 的函数,求导时,把 f(t)中的 t 换成 x即可。但做题时经常遇到被积函数中既含有参变量 x,又含有积分变量 t 的情况,可总结为以下两种类型。 2 被积函数中参变量 x 和积分变量 t 可分离的情况定理[1] 若函数 f(x,t)关于变量 x,t 是可分离的,即 , 则 其基本原理,是 g(x)不参与积分运算,将其提到积分号前面,然后利用乘积的求导法则求解。 例 2(2012 天津大学生数学竞赛)设函数 f(x)有连续导数,f(0) =1&#x

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    类型1、下限为常数,上限为函数类型

    第一步:对于这种类型只需将62616964757a686964616fe4b893e5b19e31333365666262上限函数代入到积分的原函数中去,再对上限函数进行求导。

    第二步:对下面的函数进行求导,只需将“X”替换为“t”再进求导即可。

    类型2、下限为函数,上限为常数类型

    第一步:基本类型如下图,需要添加“负号”将下限的函数转换到上限,再按第一种类型进行求导即可。

    第二步:题例如下,添加“负号”转换为变上限积分函数求导即可。

    类型3、上下限均为函数类型

    第一步:这种情况需要将其分为两个定积分来求导,因为原函数是连续可导的,所以首先通过“0”将区间[h(x),g(x)]分为[h(x),0]和[0,g(x)]两个区间来进行求导。

    第二步:然后将后面的变下限积分求导转换为变上限积分求导。

    第三步:接着对两个区间的变上限积分分别求导即可得到下面公式。

    第四步:对于这种题,可以直接套公式,也可以自己推导

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    变限积分的求导公式及其应用

    周少波

    ;

    雷冬霞

    ;

    程生敏

    【期刊名称】

    《学园》

    【年

    (

    ),

    期】

    2012(000)019

    【摘要】

    本文针对学生难以掌握的变限定积分的最为一般的求导公式,给

    出了学生易于理解和接受的一元函数的证明,并用实例展现了这一公式在微积

    分及其后继课程中的重要应用,有力说明了向学生介绍这一公式的重要意义。

    【总页数】

    2

    (51-52)

    【关键词】

    变限积分

    ;

    求导公式

    ;

    极限

    ;

    应用

    【作者】

    周少波

    ;

    雷冬霞

    ;

    程生敏

    【作者单位】

    华中科技大学数学与统计学院

    ;

    华中科技大学数学与统计学院

    ;

    华中

    科技大学数学与统计学院

    【正文语种】

    中文

    【中图分类】

    O172

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    1.变限积分函数求导

    变限积分函数求导简单的分为三类:

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    ,第二、第三类被积函数里有x,由于需要对x求导,因此不能直接像第一类一样简单,需要转化一下,其中,第三类需要换元,换元三步走:

    其中①和③的符号可以抵消

    利用换元法,可以推导出以下公式:

    从而

    将这个公式应用到上述的公式③,我们会发现,公式③变成了公式②,

    因此我们得到以下式子:

    将这些式子记牢可以在考试时节省大量时间。

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