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  • 数学物理方法·基础⑦基本初等复变函数的计算公式/方法 QQ:3020889729 小蔡复幂函数(指数为实数)复指数函数复三角函数反三角函数复反双曲函数复根式函数复对数函数一般复幂函数(指数为复...

                             QQ:3020889729                                                                                 小蔡

    理解公式多推导,了解过程来熟悉结论会更有效~

    复幂函数(指数为实整数)

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    直接运用复数的加减乘除即可~

    例子:(使用方法就是简单计算——运算同实数)
    先将复数化为指数形式,再进行指数运算~
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    复指数函数

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    可利用e的指数乘法展开,进而使用欧拉公式展开计算~(具体方法具体讨论,仅常用基本思路)
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    例子:(多使用展开方法来计算~)
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    补充:指数函数具有周期性——体现在欧拉展开的三角函数中
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    复三角函数

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    正弦计算的展开式:
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    余弦计算的展开式:
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    例子:
    (需要将正弦函数适当的展开,在使用公式转换为e指数求解)
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    反三角函数

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    直接上公式:

    例子:
    (先取反三角的三角值,再使用复三角函数公式——接着进行替换、配方来简化——最后进行反(对数)函数处理~)
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    复反双曲函数

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    双曲函数与三角函数的关系:
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    正双曲函数展开式:
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    反双曲函数展开式:
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    例子:
    (利用复三角与复双曲的关系,进而转化到三角形式,利用求解三角的方法解答——可能有时需要展开化简~)
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    复根式函数

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    应该考虑复数开根号的多值性——周期性:
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    例子:
    (转化指数形式,将复数转换成——模*e指数的形式)
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    复对数函数

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    计算方式:(补充,由于Arg为辐角,所以存在2kΠ,即多值情况)
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    复对数函数的运算规则:

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    运算误区:

    • 不能将Ln(Z^z)中的指数z直接提到Ln的前边

    例子:
    不能直接如同实数那样提取指数等操作,而是要先将复数部分转换成指数形式——再利用复对数的加减乘除规则来运算——实数Ln等价于实数ln
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    一般复幂函数(指数为复数)

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    计算时需要进行自然指数变换:
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    这时候需要考虑Lnz的多值性——不过呢,这时候的a确实是可以提到Ln前边的~

    例子:
    (复一般幂函数的计算,首先进行指数式转换以及公式的转换——再进行之前的那些运算)
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  • 复变函数第三章-复变函数的积分

    千次阅读 2017-11-26 22:30:48
    3 复变函数的积分 3.1 概念 3.2 柯西-古萨基本定理 3.3 复合闭路定理 3.4 原函数与不定积分 3.5 柯西积分公式 3.6 解析函数的高阶导数 3.7 调和函数 3 复变函数的积分 3.1 概念 闭曲线积分∮Cf(z)dz=−...

    3 复变函数的积分

    3.1 概念

    闭曲线积分 Cf(z)dz=Cf(z)dz ∮ C f ( z ) d z = − ∮ C − f ( z ) d z

    Cf(z)dz=Cudxvdy+iCvdx+udy ∮ C f ( z ) d z = ∫ C u d x − v d y + i ∫ C v d x + u d y

    Cf(z)dz=βαf[z(t)]z(t)dt ∮ C f ( z ) d z = ∫ α β f [ z ( t ) ] z ′ ( t ) d t

    |zz0|=rdz(zz0)n+1={2πi,0,n=0n0 ∮ | z − z 0 | = r d z ( z − z 0 ) n + 1 = { 2 π i , n = 0 0 , n ≠ 0

    估值不等式:曲线C长度为L,函数f(z)在C上满足|f(z)| M,则

    |Cf(z)dz|C|f(z)|dsML | ∫ C f ( z ) d z | ≤ ∫ C | f ( z ) | d s ≤ M L

    3.2 柯西-古萨基本定理

    积分与路线无关。

    柯西-古萨基本定理:如果f(z)在单连通域B内处处解析,那么f(z)在B内的任何一条封闭曲线C的积分为0。

    Cf(z)dz=0 ∮ C f ( z ) d z = 0

    3.3 复合闭路定理

    闭路变形原理:区域内一个解析函数沿闭曲线的积分,不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值,只要变形过程中不经过不解析的点。

    复合闭路定理:C为多连通域D内的一条简单闭曲线, C1,C2... C 1 , C 2 . . . 为C内部的简单闭曲线,塔门互不包含互不相交,以它们为边界的区域全含于D,如果f(z)在D内解析,则

    Cf(z)dz=k=1nCkf(z)dz ∮ C f ( z ) d z = ∑ k = 1 n ∮ C k f ( z ) d z

    3.4 原函数与不定积分

    如果函数在单连通区域内处处解析,那么积分与路线无关。

    如果f(z)在单连通域B内处处解析,那么函数F(z)必为B内的解析函数。

    3.5 柯西积分公式

    f(z0)=12πiCf(z)zz0dz f ( z 0 ) = 1 2 π i ∮ C f ( z ) z − z 0 d z

    如果C是圆周 z=z0+Reiθ z = z 0 + R e i θ ,那么

    f(z0)=12π2π0f(z0+Reiθ)dθ f ( z 0 ) = 1 2 π ∫ 0 2 π f ( z 0 + R e i θ ) d θ

    即,一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值。

    逆定理:魔勒拉

    3.6 解析函数的高阶导数

    f(n)(z0)=n!2πiCf(z)(zz0)n+1dz f ( n ) ( z 0 ) = n ! 2 π i ∮ C f ( z ) ( z − z 0 ) n + 1 d z

    3.7 调和函数

    如果二元实变函数 φ(x,y) φ ( x , y ) 在区域D内具有二阶连续偏导数并且满足拉普拉斯方程

    2φx2+2φy2=0 ∂ 2 φ ∂ x 2 + ∂ 2 φ ∂ y 2 = 0

    那么称 φ(x,y) φ ( x , y ) 为D内的调和函数。

    D内的解析函数的虚部为实部的共轭调和函数。

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  • 本文主要介绍复变函数的积分及其计算方法,其中柯西积分定理和柯西积分公式是研究解析函数的重要工具。

    3 复变函数的积分

    3.1 复积分的计算

    复变函数的积分定义与实变函数中的 Riemann-Stieltjes 积分有很多类似之处,因此在这篇笔记中就不占篇幅赘述。本文将主要聚焦在复积分的各种计算方法和计算技巧。

    假设 f ( z ) = u ( x ,   y ) + i v ( x ,   y ) f(z) = u(x,\,y) + iv(x,\,y) f(z)=u(x,y)+iv(x,y) 在曲线 C C C 上连续,则函数 f ( z ) f(z) f(z) 的复积分一定存在且有
    ∫ C f ( z ) d z = ∫ C u d x − v d y + i ∫ C v d x + u d y \int_Cf(z)dz=\int_Cudx-vdy+i\int_Cvdx+udy Cf(z)dz=Cudxvdy+iCvdx+udy
    假设 f ( z ) f(z) f(z) 在曲线 C C C 上连续, C C C 的参数表示式为 z ( t ) = x ( t ) + i y ( t )      ( α ≤ t ≤ β ) z(t) = x(t) + iy(t) \ \ \ \ (\alpha \leq t \leq \beta) z(t)=x(t)+iy(t)    (αtβ) ,则函数 f ( z ) f(z) f(z) C C C 上可积且
    ∫ C f ( z ) d z = ∫ α β f ( z ( t ) )   z ′ ( t ) d t \int_Cf(z)dz=\int_\alpha^\beta f(z(t))\,z'(t)dt Cf(z)dz=αβf(z(t))z(t)dt
    复积分的性质:

    f ( z ) ,   g ( z ) f(z),\,g(z) f(z),g(z) 在逐段光滑的有向曲线 C C C 上连续,

    (1) 线性性
    ∫ C ( a f ( z ) + b g ( z ) ) d z = a ∫ C f ( z ) d z + b ∫ C g ( z ) d z \int_C(af(z)+bg(z))dz=a\int_Cf(z)dz+b\int_Cg(z)dz C(af(z)+bg(z))dz=aCf(z)dz+bCg(z)dz
    (2) 设 C − C^- C C C C 的逆向曲线
    ∫ C − f ( z ) d z = − ∫ C f ( z ) d z \int_{C^-}f(z)dz=-\int_Cf(z)dz Cf(z)dz=Cf(z)dz
    (3) 设 C = C 1 + C 2 C=C_1+C_2 C=C1+C2
    ∫ C f ( z ) d z = ∫ C 1 f ( z ) d z + ∫ C 2 f ( z ) d z \int_Cf(z)dz=\int_{C_1}f(z)dz+\int_{C_2}f(z)dz Cf(z)dz=C1f(z)dz+C2f(z)dz
    (4) 设 L L L 为曲线 C C C 的长度,对于 z ∈ C z\in C zC ∣ f ( z ) ∣ ≤ M |f(z)|\leq M f(z)M
    ∣ ∫ C f ( z ) d z ∣ ≤ ∫ C ∣ f ( z ) ∣ ∣ d z ∣ = ∫ C ∣ f ( z ) ∣ d s ≤ M L |\int_Cf(z)dz|\leq \int_C|f(z)||dz|=\int_C|f(z)|ds\leq ML Cf(z)dzCf(z)dz=Cf(z)dsML

    一个重要的例子:

    计算 I = ∮ C d z ( z − z 0 ) n    ,    n ∈ Z I=\displaystyle\oint_C\displaystyle\frac{dz}{(z-z_0)^n}\ \ ,\ \ n\in\mathbb{Z} I=C(zz0)ndz  ,  nZ C : ∣ z − z 0 ∣ = r > 0 C:|z-z_0|=r>0 C:zz0=r>0

    C C C 的参数方程为 z = z 0 + r e i θ z=z_0+re^{i\theta} z=z0+reiθ 0 ≤ θ ≤ 2 π 0\leq\theta\leq2\pi 0θ2π ,有 d z = i r e i θ d θ dz=ire^{i\theta}d\theta dz=ireiθdθ .

    n ≠ 1 n\neq1 n=1 时,这个积分恒为零
    I = ∫ 0 2 π i r e i θ ( r e i θ ) n d θ = i r i − n ∫ 0 2 π e i ( 1 − n ) θ d θ = r 1 − n 1 − n e i ( 1 − n ) θ ∣ n 2 π = 0 I=\int_{0}^{2\pi} \frac{ire^{i\theta}}{(re^{i\theta})^n}d\theta=ir^{i-n}\int_0^{2\pi}e^{i(1-n)\theta}d\theta=\frac{r^{1-n}}{1-n}e^{i(1-n)\theta}\bigg|^{2\pi}_n=0 I=02π(reiθ)nireiθdθ=irin02πei(1n)θdθ=1nr1nei(1n)θn2π=0
    n = 1 n=1 n=1 时,这个积分很常用
    I = ∮ C d z z − z 0 = 2 π i I=\displaystyle\oint_C\displaystyle\frac{dz}{z-z_0}=2\pi i I=Czz0dz=2πi

    3.2 柯西积分定理

    柯西积分定理:设函数 f ( z ) f(z) f(z) 在单连通区域 D D D 内处处解析,则它在 D D D 内任何一条封闭曲线 C C C 上积分为零。
    ∮ C f ( z ) d z = 0 \oint_Cf(z)dz=0 Cf(z)dz=0
    注 1 :定理中的曲线 C C C 可以不是简单曲线;此定理成立的条件之一是
    曲线 C C C 要属于区域 D D D ,即完全被包含即可。

    注 2 :如果 C = ∂ D C = \partial D C=D ,则函数 f ( z ) f(z) f(z) D D D 内与 C C C 上解析, 即在闭区域 D + C D + C D+C 上解析,定理仍然成立。

    推论:如果函数 f ( z ) f(z) f(z) 在单连通区域 D D D 内解析,则 f ( z ) f(z) f(z) D D D 内任意分段光滑曲线 C C C 上的积分 ∫ C f ( z ) d z \displaystyle\int_Cf(z)dz Cf(z)dz 与路径无关,仅与 C C C 的起点和终点有关。

    闭路形变原理:假设 C C C C 1 C_1 C1 为任意两条简单闭曲线, C 1 C_1 C1 C C C 的内部。设函数 f ( z ) f(z) f(z) C C C C 1 C_1 C1 所围成的二连域 D D D 内解析,在边界上连续,则
    ∮ C f ( z ) d z = ∮ C 1 f ( z ) d z \oint_Cf(z)dz=\oint_{C_1}f(z)dz Cf(z)dz=C1f(z)dz
    形变原理说明解析函数沿简单闭曲线积分不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值,因此利用形变原理可以把复杂的(不易参数化的)闭曲线上的积分转化为简单的(易于参数化的)闭曲线上的积分。

    复合闭路原理:设 C 1 ,   C 2 ,   ⋅ ⋅ ⋅ ,   C n C_1,\,C_2,\, · · · ,\,C_n C1,C2,,Cn 为互不包含且互不相交的简单闭曲线,它们都被包含在简单闭曲线 C C C 中。 D D D 为由边界曲线 Γ = C ∪ C 1 − ∪ C 2 − ∪   . . . ∪   C n − \Gamma = C \cup C_1^-\cup C_2^- \cup\,...\cup\, C_n^− Γ=CC1C2...Cn 所围成的多连通区域, f ( z ) f(z) f(z) D D D 内解析,在 D ‾ = D ∪   Γ \overline{D} = D \cup\,\Gamma D=DΓ 上连续,则
    ∮ Γ f ( z ) d z = 0 \oint_\Gamma f(z)dz=0 Γf(z)dz=0

    ∮ C f ( z ) d z = ∑ i = 1 n ∮ C i f ( z ) d z \oint_C f(z)dz=\sum_{i=1}^n\oint_{C_i}f(z)dz Cf(z)dz=i=1nCif(z)dz

    原函数定理

    由柯西积分定理的推论,解析函数的积分与路径无关。因此固定起点 z 0 z_0 z0 时,可以在单连通区域 D D D 上定义一个变上限的单值函数
    F ( z ) = ∫ z 0 z f ( ξ ) d ξ F(z)=\int_{z_0}^zf(\xi)d\xi F(z)=z0zf(ξ)dξ
    设函数 f ( z ) f(z) f(z) 在单连通区域 D D D 内解析,则 F ( z ) F(z) F(z) D D D 内也解析,且 F ′ ( z ) = f ( z ) F'(z)=f(z) F(z)=f(z) .

    推论 1 : f ( z ) f(z) f(z) 的任意原函数 Φ ( z ) \Phi(z) Φ(z) 在单连通区域 D D D 可以写成
    Φ ( z ) = F ( z ) + C = ∫ z 0 z f ( ξ ) d ξ + C      ( C ∈ C ) \Phi(z)=F(z)+C=\int_{z_0}^zf(\xi)d\xi+C \ \ \ \ (C\in\mathbb{C}) Φ(z)=F(z)+C=z0zf(ξ)dξ+C    (CC)
    推论 2 :牛顿-莱布尼兹公式
    ∫ z 0 z 1 f ( ξ ) d ξ = Φ ( z 1 ) − Φ ( z 0 ) \int_{z_0}^{z_1}f(\xi)d\xi=\Phi(z_1)-\Phi(z_0) z0z1f(ξ)dξ=Φ(z1)Φ(z0)

    3.3 柯西积分公式

    柯西积分公式:设函数 f ( z ) f(z) f(z) 在有界闭区域 D ‾ = D + C    ( C = ∂ D ) \overline{D}=D+C \ \ (C=\partial D) D=D+C  (C=D) 上解析, z 0 z_0 z0 D D D 内的任一点,则
    f ( z 0 ) = 1 2 π i ∮ C f ( z ) z − z 0 d z f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint_C\frac{f(z)}{z-z_0}dz f(z0)=2πi1Czz0f(z)dz
    柯西积分公式说明:在区域 D D D 及其边界 ∂ D \partial D D 上解析的函数 f ( z ) f(z) f(z) ,在区域 D D D 内任意一点处的函数值可以由它在边界上的值完全确定。

    解析函数的积分平均值定理:如果曲线 C C C 是以 z 0 z_0 z0 为中心, R R R 为半径的圆周 z = z 0 + R e i θ z=z_0+Re^{i\theta} z=z0+Reiθ ,则柯西积分公式为
    f ( z 0 ) = 1 2 π ∫ 0 2 π f ( z 0 + R e i θ ) d θ f(z_0)=\frac{1}{2\pi } \int_0^{2\pi} f(z_0+Re^{i\theta})d\theta f(z0)=2π102πf(z0+Reiθ)dθ
    即一个解析函数在圆心的值等于它在圆周上的平均值。

    3.4 解析函数的高阶导数

    高阶导数的柯西积分公式:设函数 f ( z ) f(z) f(z) 在闭区域 D ‾ \overline{D} D 上解析, C = ∂ D C=\partial D C=D ,则 f ( z ) f(z) f(z) D D D 内的任意阶导数存在,且
    f ( n ) ( z 0 ) = n ! 2 π i ∮ C f ( z ) ( z − z 0 ) n + 1 d z f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_C\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}dz f(n)(z0)=2πin!C(zz0)n+1f(z)dz
    高阶导数的应用不在于求导,而在于通过求导来求积分,即
    ∮ C f ( z ) ( z − z 0 ) n + 1 d z = 2 π i n ! f ( n ) ( z 0 ) \oint_C\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}dz=\frac{2\pi i}{n!}f^{(n)}(z_0) C(zz0)n+1f(z)dz=n!2πif(n)(z0)
    柯西不等式:设函数 f ( z ) f(z) f(z) 在闭圆盘 C R : { z ; ∣ z − z 0 ∣ ≤ R } C_R:\{z;|z-z_0|\leq R\} CR:{z;zz0R} 上解析,且有 M = max ⁡ C R ∣ f ( z ) ∣ M=\displaystyle\max_{C_R}|f(z)| M=CRmaxf(z) ,则有
    ∣ f ( n ) ( z 0 ) ∣ ≤ n ! R n M |f^{(n)}(z_0)|\leq\frac{n!}{R^n}M f(n)(z0)Rnn!M
    Liouville 定理:有界整函数 f ( z ) f(z) f(z) 必为常数。

    证明:对于任意的 z 0 z_0 z0 ,由柯西不等式,令 n = 1 n=1 n=1 R → ∞ R\to\infty R
    0 ≤ ∣ f ′ ( z 0 ) ∣ ≤ M R → 0 0\leq|f'(z_0)|\leq\frac{M}{R}\to0 0f(z0)RM0
    ∣ f ′ ( z 0 ) ∣ ≡ 0 |f'(z_0)|\equiv0 f(z0)0 ,因此 f ( z ) f(z) f(z) 恒为常数。

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  • 复变函数和积分变换(Integral Transform)

    千次阅读 2019-07-24 13:09:37
    数学物理方法解析延拓(Analytic Continuation)积分变换(Integral Transform)保形映射(Conformal Mapping)狄拉克δ函数和广义函数(Dirac...复变函数(Complex Function I) 复变函数(Complex Function II) 参考文献:...


    复变函数和积分变换(Complex Function I)
    复变函数和积分变换(Complex Function II)
    复变函数和积分变换(Integral Transform)


    参考文献:
    mooc国防科技大学《复变函数》
    王忠仁、张静《工程数学:复变函数和积分变换》
    焦红伟、尹景本《复变函数与积分变换》
    梁昆淼《数学物理方法》

    Fourier 变换

    所谓积分变换,就是把某函数类 A 中的函数 f ( t ) f(t) f(t) 乘上一个确定的二元函数 k ( t , p ) k(t, p) k(t,p),然后计算积分 F ( p ) = ∫ k ( t , p ) f ( t ) d t \displaystyle F(p)=\int k(t, p)f(t)dt F(p)=k(t,p)f(t)dt,这样变成另一个函数类 B 中的函数 F ( p ) F(p) F(p) 。这里二元函数 k ( t , p ) k(t, p) k(t,p)是一个确定的二元函数,通常称为该积分变换的核函数(kernel function) f ( t ) f(t) f(t) 称为象原函数(original image function), F ( p ) F(p) F(p) 称为 f ( t ) f(t) f(t)的象函数(image function)。如果取积分核 k ( ω , t ) = e − i ω t k(ω,t)=e^{-iωt} k(ω,t)=eiωt,就是著名的Fourier 变换。

    Fourier 变换

    • 周期函数的Fourier 级数:设 f T ( t ) f_T(t) fT(t) 是以T为周期的实值函数,在区间 [ − T 2 , T 2 ] [-\frac{T}{2},\frac{T}{2}] [2T,2T]上满足狄利克雷(Dirichlet)条件:
      (1)连续或只有有限个第一类间断点;
      (2)只有有限个极值点
      f T ( t ) f_T(t) fT(t)在连续点处可以展开成Fourier 级数: f T ( t ) = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ ( a n cos ⁡ n ω 0 t + b n sin ⁡ n ω 0 t ) (F0) \displaystyle f_T(t)=\dfrac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{∞}(a_n\cos nω_0 t+b_n\sin nω_0 t) \tag{F0} fT(t)=2a0+n=1(ancosnω0t+bnsinnω0t)(F0) 在间断点处,上式左端为 1 2 [ f T ( t − ) + f T ( t + ) ] \frac{1}{2}[f_T(t^-)+f_T(t^+)] 21[fT(t)+fT(t+)]
      其中 ω 0 = 2 π / T a n = 2 T ∫ − T / 2 T / 2 f T ( t ) cos ⁡ n ω 0 t d t ( n = 0 , 1 , 2 , ⋯   ) b n = 2 T ∫ − T / 2 T / 2 f T ( t ) sin ⁡ n ω 0 t d t ( n = 1 , 2 , 3 , ⋯   ) \displaystyle ω_0=2\pi/T \\ a_n=\frac 2T \int_{-T/2}^{T/2}f_T(t)\cos nω_0 t\text{d}t \quad(n=0,1,2,\cdots) \\ b_n=\frac 2T \int_{-T/2}^{T/2}f_T(t)\sin nω_0 t\text{d}t \quad(n=1,2,3,\cdots) ω0=2π/Tan=T2T/2T/2fT(t)cosnω0tdt(n=0,1,2,)bn=T2T/2T/2fT(t)sinnω0tdt(n=1,2,3,)
      式 (F0) 称为Fourier 级数的