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  • 隐函数求极值
    2020-12-24 12:33:50

    本文主要参考了高木贞治的《高等微积分》.为了内容的连续性,我们把第四篇小结里推广的隐函数存在定理重叙如下:

    Theorem1(隐函数存在定理的推广)设$f:\mathbf{R}^{n+m}\rightarrow\mathbf{R}^m$为连续可微函数,$\mathbf{R}^{n+m}$中的元素写成$(x_1,\cdots,x_{n+m})$的形式.当$f(a_1,\cdots,a_{n+m})=\mathbf{0}$时,我们把$f$在点$(a_1,\cdots,a_{n+m})$处的雅可比矩阵的第$i_1,\cdots,i_m$列挑选出来$(i_1

    Remark1注意,当我们建立$(x_{i_1},x_{i_2},\cdots,x_{i_m})$关于$(x_{j_1},x_{j_{2}}\cdots,x_{j_n})$的函数$g$时,变量$x_{j_1},x_{j_2},\cdots,x_{j_n}$已经处于函数无关的状态.

    设$D$是$\mathbf{R}^n$的开子集,$f:D\rightarrow\mathbf{R}$和$g:D\rightarrow\mathbf{R}^m$都是连续可微函数.且对于$D$中的每一点$\mathbf{x}$,都存在相应的$1\leq i_1

    我们有约束条件$g(\mathbf{x})=\mathbf{0}$,其中$x\in\mathbf{R}^n$,这样的约束条件确定了一个区域$D'$.在$D'$内的所有点都满足该约束条件,而在$D\backslash D'$中的所有点都不满足该约束条件.我们试图找出 $f|D'$ 在区域$D'$上的极值,其中$f|D'$表示函数$f$在区域$D'$上的限制.设$\mathbf{x}=(p_1,\cdots,p_n)$.且设$\mathbf{x_0}$是$f|D'$在$D'$上的极值点.由于$g$在$\mathbf{x_0}$处满足定理1的条件,因此我们可以在点$\mathbf{x_{0}}$附近定义一个$(p_{i_1},p_{i_2},\cdots,p_{i_m})$关于点$(p_{j_1},p_{j_2},\cdots,p_{j_{n-m}})$的函数$h$,其中$j_1

    ${\displaystyle \{j_1,\cdots,j_{n-m}\}\bigcup\{i_1,\cdots,i_m\}=\{1,\cdots,n\},}$

    使得只要$g(\mathbf{x_{0}})=0$,我们就有$h(p_{j_1},\cdots,p_{j_{n-m}})=(p_{i_1},\cdots,p_{i_m})$.为了简化论述,不失一般性地,我们不妨设$j_1

    ${\displaystyle z=f(p_{j_1},\cdots,p_{j_{n-m}},h(p_{j_1},\cdots,p_{j_{n-m}}))\\\\\ (1)}$

    的极值问题,根据注1,我们知道$p_{j_1},\cdots,p_{j_{n-m}}$函数无关.为了求1的极值,我们有两种其实是完全一样的方案.但是,我愿意不劳辛辞地把它们通通写出来.我们先来介绍第一种.为了求1的极值,只需要令

    ${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial p_{j_1}}=0,\cdots,\frac{\partial z}{\partial p_{j_{n-m}}}=0.\\\\\ (2)}$

    根据复合函数的求导法则,可得$\forall r\in\{1,\cdots,n-m\}$,我们有\begin{align*}\frac{\partial z}{\partial p_{j_r}}&=\begin{pmatrix}\frac{\partial f}{\partial p_{j_1}}&\cdots&\frac{\partial f}{\partial p_{j_{n-m}}}&\frac{\partial f}{\partial p_{i_1}}&\cdots&\frac{\partial f}{\partial p_{i_{m}}}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}

    0\\

    \vdots\\

    1\\

    \vdots\\

    0\\

    \vdots\\

    0\\

    \frac{\partial p_{i_1}}{\partial p_{j_1}}\\

    \vdots\\

    \frac{\partial p_{i_m}}{\partial p_{j_1}}\\

    \end{pmatrix}(n-m-1\mbox{个}0,1\mbox{位于第}r\mbox{行.})\\&=\frac{\partial f}{\partial p_{j_{r}}}+\sum_{k=1}^{m}\frac{\partial f}{\partial p_{i_k}}\frac{\partial p_{i_k}}{\partial p_{j_{r}}}.

    \end{align*}

    于是条件2化为如下:$\forall r\in\{1,\cdots,n-m\}$,

    ${\displaystyle \frac{\partial f}{\partial p_{j_r}}+\sum_{k=1}^{m}\frac{\partial f}{\partial p_{i_k}}\frac{\partial p_{i_k}}{\partial p_{j_{r}}}=0.\\\\\ (3)}$

    第二种方案只不过是对第一种方案的符号简化:为了求1的极值,我们先令$\mathbf{t}=(p_{j_1},\cdots,p_{j_{n-m}})$.则式1化为

    ${\displaystyle z=f(\mathbf{t},h(\mathbf{t})).\\\\\ (4)}$

    为了求式1的极值,只用让

    ${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial \mathbf{t}}=0.\\\\\ (5)}$

    根据复合函数的求导法则,式5即

    ${\displaystyle \frac{\partial f}{\partial \mathbf{t}}+\frac{\partial f}{\partial h(\mathbf{t})}\frac{\partial h(\mathbf{t})}{\partial \mathbf{t}}=0.\\\\\ (6)}$

    式6和方程组3是一样的.于是与其看繁琐的方程组3,我们不如来看式5.事情做到这一步,其实还没完,因为$\frac{\partial h(\mathbf{t})}{\partial \mathbf{t}}$是很难知道的,因为我们很难确定$h$.幸运的是,根据隐函数定理,我们能继续求出$\frac{\partial h(\mathbf{t})}{\partial \mathbf{t}}$.下面具体地来做.我们知道,

    ${\displaystyle g(\mathbf{x})=\mathbf{0},}$

    ${\displaystyle g(\mathbf{t},h(\mathbf{t}))=\mathbf{0},}$

    因此对两边对$\mathbf{t}$求导,我们有

    ${\displaystyle \frac{\partial g}{\partial \mathbf{t}}+\frac{\partial g}{\partial h(\mathbf{t})}\frac{\partial h(\mathbf{t})}{\partial \mathbf{t}}=0.\\\\\ (7)}$

    把式7代入式6,我们得到

    ${\displaystyle \frac{\partial f}{\partial \mathbf{t}}=\frac{\partial f}{\partial h(\mathbf{t})}(\frac{\partial g}{\partial h(\mathbf{t})})^{-1}\frac{\partial g}{\partial \mathbf{t}}.\\\\\ (8)}$

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    展开全文
  • 多元函数极值及其

    千次阅读 2020-03-11 22:58:47
    1.1.1、二元函数极值定义 例如: z=x2+y2z=\sqrt{x^2+y^2}z=x2+y2​在(0,0)处取得极小值 z=−x2+y2z=-\sqrt{x^2+y^2}z=−x2+y2​在(0,0)处取得极大值 KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '}' at position 5: z...

    一、多元函数的极值与最值

    1.1、极值

    1.1.1、二元函数极值定义

    在这里插入图片描述
    例如:
    z = x 2 + y 2 z=\sqrt{x^2+y^2} z=x2+y2 在(0,0)处取得极小值
    z = − x 2 + y 2 z=-\sqrt{x^2+y^2} z=x2+y2 在(0,0)处取得极大值
    z = x y z=xy z=xy在(0,0)处,既不是极大值,又不是极小值

    1.1.2、推广到n元函数

    在这里插入图片描述

    1.2、极值存在的必要条件

    在这里插入图片描述

    1.3、极值存在的充分条件

    • 一元函数极值的第二充分条件 二阶导数存在

    在这里插入图片描述

    最值问题

    有界闭区域连续,必定存在最值
    最值可能出现的位置: 极值,驻点,边界上
    问题: 多元函数中求取边界上的最值,是很困难的

    2.1、条件极值

    将极值问题转换为无条件极值

    在这里插入图片描述

    2.2、拉格朗日乘法

    2.2.1、推导

    2.2.2、具体步骤

    在这里插入图片描述

    2.2.3、多个拉格朗日乘子

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    展开全文
  • 解出原函数的两种方法①偏积分②凑微分。求导后的f1,f2,仍然是复合!奇数个负1偶数个正1。

    一、多元函数微分法

    1、链式求导法

     

     

     

     

     

     

     

     


     2、全微分形式不变性

     全微分运算的四则运算性质


     3、隐函数微分法

    3.1 一个方程的情形

    •  经典例题

     

     

     

    奇数个负1 偶数个正1

     3.2 方程组的情形

     

    个人总结:(仅供参考)

    1、方程组法(最简单,考试无脑用这个)
    直接分析自由变量个数,每个方程两边同时直接对x求导,解方程组

    2、链式求导法
    第一种 分析变量之间关系:①根据题目中所给函数关系,画出树状关系图,注意叶子结点必须是自变量,且不能循环,然后按照复合函数求导来做
    第二种 确定自由变量个数后,全部代成一个变量来做,使用公式法若有函数关系注意要将函数代入到最简 

    3、全微分形式不变性


    三、多元函数的极值与最值

    1、无约束极值

     2、条件极值与拉格朗日乘数法

     3、最大最小值


    四、常考题型与经典例题

    1、连续、偏导数、全微分的概念及其之间的关系

    可导但不连续的反例

     

     

     

    2.复合函数的偏导数与全微分

     

     求导后的f1,f2,仍然是复合!

     

    3.隐函数的偏导数与全微分

     4.求极值(无条件)

     

     解出原函数的两种方法:①偏积分  ②凑微分

     5.求连续函数f(x,y)在有界闭区域D上的最大最小值

     

     6.最大最小值应用题.

     

    更新一道很多人都可能搞不清的题:

     

    【答疑】

    这里求 dz/dx 有些小机灵鬼想用隐函数存在定理即公式法。我们说了,公式法不就是把什么什么都看成常数吗,那y也看成常数,这题就显然不对了。

    为什么呢?

    你想用的隐函数存在定理 是 二元函数 z=f(x,y) 由 隐函数F(x,y,z)=0 所确定,这个时候才看成常数,而本题中,是 z=f(x) 是一元函数,就该用一元函数背景下的隐函数存在定理。

    运算过程中y是x函数。

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