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  • 本文用多元函数的二阶泰勒展式给出了多元二次函数极值存在的充分必要条件,同时证明极值也是最值;用线性代数知识刻画了多元二次函数无极值时的特性.将这些方法和结论融人教学,设计了若干思考题.
  • 在单变量函数中,梯度其实就是函数的微分形式,代表着在某点处,函数的切线的斜率; 在多变量函数中,梯度是一个向量,(向量具有方向,有该点指向上升最快的方向); 梯度的方向:函数中某切点上升最快的方向 梯度...

    梯度

    在单变量函数中,梯度其实就是函数的微分形式,代表着在某点处,函数的切线的斜率;
    在多变量函数中,梯度是一个向量,(向量具有方向,有该点指向上升最快的方向);
    梯度的方向:函数中某切点上升最快的方向

    梯度下降法的基本思想

    可以将函数类比一座山,梯度下降法相当于移步到达山谷。我们都知道沿着最陡峭的山坡,到达山谷的速度最快。在数学中就是特定点梯度,沿着梯度的反方向,就能让函数下降的最快方向。反复的下降(移步),就能到达局部最小值(全局最小值)。

    损失函数(Loss Function)

    损失函数有多种,本次演例使用MSE损失函数。
    在这里插入图片描述
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    计算二次函数极值

    # 函数: x**2 + 3*x + 4的极值点
    # 导数为:2*x + 3,在x=-1.5出有极小值
    x_pre = -5  # 初始值
    n_now = 1  # 梯度下降的初始值
    lr = 0.01  # 学习率
    count = 0  # 迭代次数
    pression = 0.0001  # 精度
    while abs(x_pre - x_now) >= pression:
    	x_pre = x_now
    	x_now = x_pre - lr*(2 * x_pre + 3)
    	count += 1
    print(count)   
    print(x_now)   
    
    309
    -1.4951381965479744
    

    拟合一次曲线

    对离散数据点,拟合一次曲线

    m = 100           # 数据点数量
    lr = 0.01         # 学习率
    epochs = 1000     # 迭代次数
    theta = np.random.randn(2, 1)                # 随机生成权重
    x = np.sort(np.random.rand(100, 1), axis=0)  # 随机生成横坐标(服从正太分布), 相当于做归一化
    x_c = np.c_[np.ones((100, 1)), x]            # 在数据前面,添加数据
    y = 4 + 3 * x + np.random.randn(100, 1)      # 生成纵坐标, 
    for _ in range(epochs):
        gradient = (1/m) * np.dot(x_c.T, (np.dot(x_c, theta) - y))
        theta = theta - lr * gradient
    
    print(theta)
    plt.scatter(x, y)
    plt.plot(x, theta[1] * x + theta[0])
    plt.show()
    
    [[3.99855097]
     [2.98841104]]
    

    在这里插入图片描述

    拟合二次曲线

    lr = 0.01     # 学习率
    m = 100       # 数据数量
    epochs = 100  # 迭代次数
    np.random.seed(10)
    theta = np.random.randn(3, 1)                      # 随机初始化权重,符合正太分布
    x = np.sort(np.random.randn(m, 1), axis=0)         # 生成随机横坐标,服从正太分布,相当与对横坐标做归一化处理
    x_c = np.c_[np.ones_like(x), x, x**2]              # 在数据前和后,添加数据
    y = 4 * x ** 2 + 3 * x + 10 + np.random.randn(m, 1)  # 生成纵坐标
    # 梯度下降
    for _ in range(epochs):
        gradient = (1 / m) * np.dot(x_c.T, np.dot(x_c, theta) - y)
        theta = theta - lr * gradient
    
    plt.scatter(x, y)
    plt.plot(x, theta[2] * x ** 2 + theta[1] * x + theta[0])
    plt.show()
    
    [[6.99941591]
     [2.26086401]
     [5.01650791]]
    

    在这里插入图片描述

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  • 实验五 用matlab求二元函数的极值 1计算二元函数的极值 对于二元函数的极值问题,根据二元函数极值的必要和充分条件,可分为以下几个步骤: z?f(x,y. 定义二元函数步骤1.f(x,y?0,f(x,y?0yx,得到驻点. 步骤2.求解方程组...
  • 用Java实现简单遗传算法来求一元二次函数极值,这个代码本来是C友用C#写的,我翻译了过来,GA中的编码为二进制编码,选择算法为轮盘赌,代码简单易懂,适合于遗传算法初学者。
  • 点击蓝字关注我们本文主要分两部分:第一部分介绍matlab中非线性方程求解,第部分将介绍如何用matlab去求解函数极值。+一、非线性方程数值求解1、单变量非线性方程求解函数的调用格式为:x= fzero(filename,x0)...

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    本文主要分两部分:

    第一部分介绍matlab中非线性方程求解,

    第二部分将介绍如何用matlab去求解函数的极值。

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    一、非线性方程数值求解

    1、单变量非线性方程求解

    函数的调用格式为:
    x= fzero(filename,x0)
    其中,filename是待求根方程左端的函数表达式,x0是初始值。
    对于此函数,需要注意的是,迭代值初始值x0的选取,在使用该函数进行问题求解时,需要对问题进行多角度分析,大概确定出方程待求根所在范围,由于是单变量非线性方程,根所在范围还是易于确定,而不能机械地直接套用命令或程序。


    例、求解方程x-1/x+5=0的根。

    >> f

    本例所举的方程较为简单,但要说明一个问题,方程的前两个根都是经过分析,大致判断出方程会在-5和1两处有根,所以迭代初始值选了-5和1,对于x3,是随便取的一个迭代初始值,结果显然错误,因此该函数在使用时要注意先去判断根大概的范围,再进行编写代码,才能得出正确的结果。
    因此,在使用此函数求解方程的根时,若方程的根难以判断所在范围,不妨将方程左边写成函数形式,绘制出函数一定范围内的图像,找到根的大致区域后再去使用此函数,求解出方程的根。

    2、非线性方程组的求解

    在 MATLAB 的最优化工具箱中提供了非线性方程组的求解函数fsolve,其调用格式如下:


    x= fsolve(filename,x0,option)


    其中,x为返回的近似解,filename是待求根方程左端的函数表达式,x0是初值,option用于设置优化工具箱的优化参数,可以调用 optimset函数来完成。例如,Display参数设置为 ‘off’ 时不显示中间结果。


    如果用fsolve函数去求解上一个例子的问题,会有什么不同,一起来看一下吧

    >> x1

    前两种结果x1和x2和fzero函数求解出的结果没有区别,但x3的结果确是正确结果,因为不同函数的实现方法不同,适用的场合也不同。总之,多角度选择和分析是很有必要的。

    二、函数极值的计算

    函数极值包括极大值和极小值,或者叫最大值和最小值。MATLAB 只考虑最小值问题的计算,如果要求 f(x) 的最大值,可以通过求- - f(x) 的最小值来解决。

    1、无约束最优化问题

    字面理解就是没有其它的限制条件,只是求出给定区间上函数的最值即可。
    求最小值的函数为:

    [ xmin,fmin ]= fminbnd(filename,x1,x2,option)[ xmin,fmin ]= fminsearch(filename,x0,option)[ xmin,fmin ]= fminunc(filename,x0,option)

    其中,xmin 表示极小值点,fmin 表示最小值,filename 是定义的目标函数。第一个函数的输入变量 xl 、x2分别表示被研究区间的左、右边界。后两个函数的输入变量x0是一个向量,表示极值点的初值。option为优化参数,可以通过optimset函数来设置(参见第一部分)。


    关于 option优化参数,可以参考这篇文章(https://blog.csdn.net/listener51/article/details/25164847)


    例、求函数f(x)=x-1/x+5,在区间(-10 ,-1) 和 (1 ,10) 上的最小值点。

    >> f

    2、有约束最优化问题

    即求取一组x,使得目标函数 f(x)为最小,且满足约束条件G(x)≤0 。
    约束条件可以进一步细化为:线性不等式约束、线性等式约束、非线性不等式约束、非线性等式约束以及x的下界和上界。
    求有约束条件下最小值的函数为:

    [ xmin,fmin ]= fmincon (filename,x0,A,b,Aeq,beq,Lbnd,Ubnd,NonF,option)

    其中,xmin 、fmin 、filename 、x0 和 option 的含义与求最小值函数相同。其余参数为约束条件:
    参数值的线性不等式约束A,b
    参数值的等式线性约束Aeq,beq,
    参数值的上界和下界Lbnd,Ubnd
    非线性约束NonF


    例、求函数f(x)=0.4x2+x1(2)+x2(2)-x1x2+1/30x1(3)在限制条件x1+0.5x2>=0.4;0.5x1+x2>=0.5;x1>=0;x2>=0下的最小值。

    >> f
    967d21a8c01bd1bff60f53723a735954.gif

    本节就先讲到这里,

    下节将推出常微分方程数值求解,敬请期待!

    大家可以关注我们的知乎专栏——数据可视化和数据分析中matlab的使用:

    https://zhuanlan.zhihu.com/c_1131568134137692160

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    240cf23ecfd3e9255aa670f2d4613516.png在看点一下
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  • 梯度下降初识-求取凸函数极值 梯度下降:梯度下降是迭代法的一种,通过选择一个初始点,然后计算该点的导数,再通过导数和步长推进到下一个点,直到两个点之间的差值很小为止。 # 梯度下降 == 导数值下降 import ...

    梯度下降初识-求取凸函数极值

    梯度下降:梯度下降是迭代法的一种,通过选择一个初始点,然后计算该点的导数,再通过导数和步长推进到下一个点,直到两个点之间的差值很小为止。

    # 梯度下降 == 导数值下降
    import matplotlib.pyplot as plt
    import numpy as np
    from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
    
    #梯度下降算法是一个帮助我们找极值点的方法cost  #凸函数
    def targetFunc(x,y):        #目标函数
        return(x-100)**2+y**2
        pass
    def gradientFuncX(x):       #求解偏导数
        return 2*x - 200
        pass
    def gradientFuncY(y):       #求解偏导数
        return 2*y
    listx=[]
    listy=[]
    #猜测的过程
    def gradientCal(initX,initY,targetFunc,gradientFuncX,gradientFuncY,rating=0.1,tolent=0.0000000001,times=500000):
        '''
    
        :param initX: 猜测的点
        :param gradientFunc: 目标函数
        :param rating: 步进系数
        :param tolent: 收敛条件
        :return: 返回极值点x值
        '''
        result=targetFunc(initX,initY)             
    
        newX = initX - rating*gradientFuncX(initX)
        newY = initY-rating*gradientFuncY(initY)
        newResult = targetFunc(newX,newY)
    
        reResult=np.abs(result-newResult)
        t=0
        while reResult>tolent and t<times:
            t+=1
            initX=newX
            initY=newY
            result=newResult
            listx.append(initX)
            listy.append(initY)
            newX=newX-rating*gradientFuncX(newX)
            newY = newY - rating * gradientFuncY(newY)
            newResult=targetFunc(newX,newY)
            reResult=np.abs(result-newResult)
            pass
        return initX,initY
    
        pass
    
    if __name__=="__main__":
        print(gradientCal(-100,200,targetFunc,gradientFuncX,gradientFuncY))
        x=np.arange(-100,220+1,1)
        y=np.arange(-100,220,1)
        fig = plt.figure()
        ax = Axes3D(fig)
        X, Y = np.meshgrid(x, y)
        Z = np.add((x-100)**2, Y ** 2)
        a = np.array(listx)
        b = np.array(listy)
        plt.grid(linestyle='--')
        ax.scatter(np.array(listx), np.array(listy), np.array(listx)**2+np.array(listy)**2, s=20, c = 'r')
        ax.plot_surface(X, Y, Z, rstride=1, cstride=1, color="white",alpha =0.5)
        plt.show()
        print(a+b)   #最终结果
    

    • 运行图片如图所示 :
      结果运行截图
    展开全文
  • 粒子群算法 求函数最小值,matlab代码。链接是讲解粒子群算法 https://blog.csdn.net/zyqblog/article/details/80829043 。 我用ubuntu下matlab编写的代码,你在windows下可能有中文乱码,不过都是注释,你可以去...
  • Matlab求一元函数极值

    万次阅读 2017-04-22 19:35:22
    MATLAB求一元函数极值命令介绍此次用的是机房的R2010版本命令: 1、x=fminbnd(fun,x1,x2) 求出目标函数fun在区间[x1,x2]上的极小值点x; 2、[x,fmin]=fminbnd(fun,x1,x2)求出极小值点x和极小值fmin 3、fminbnd...

    MATLAB求一元函数极值

    命令介绍

    此次用的是机房的R2010版本

    命令:
    1、x=fminbnd(fun,x1,x2) 求出目标函数fun在区间[x1,x2]上的极小值点x;
    2、[x,fmin]=fminbnd(fun,x1,x2)求出极小值点x和极小值fmin
    3、fminbnd算法基于黄金分割法和二次插值法,要求fun必须是连续函数
    4、fun可以用字符串定义也可以用inline函数定义,也可以用.m问加你定义。
    但是用M文件时,要在前面加上 句柄操作符 @
    [x,fmin]=fminbnd(@fun,x1,x2);

    附:ezplot用法:
    一元:ezplot(f,[xmin,xmax])

    %p191task1.m
    %求函数fx=2*exp(-x)*sin(x)在(0,8)内的最大值和最小值
    clc,clear;
    f='2*exp(-x)*sin(x)';
    ezplot(f,[0,8])
    %由图 fmax在x=1附近,fmin在x=4附近
    [xmin,fmin]=fminbnd(f,3,5);
    % f1='-2*exp(-x)*sin(x)';
    [xmax,fmax]=fminbnd(['-',f],0,4);
    fmax=-fmax
    fmin

    运行结果:运行结果

    %p191task2_1.m
    %求[1,8]之间 min(3*sin(x)+x);
    clc,clear;
    f='3*sin(x)+x';
    ezplot(f,[1,8])
    [x,fmin]=fminbnd(f,1,8)

    运行结果

    展开全文
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  • matlab共轭梯度法求目标函数的最小极值-共轭梯度-王.rar 我是地球物理专业的一名学生,把自己实习的作业发上来大家分享下
  • 遗传算法解决函数极值问题

    千次阅读 2019-04-27 14:20:00
    其中genEncodeing是自定义的一个简单随机生成序列的函数,具体实现如下 def geneEncoding(pop_size, chrom_length):  pop = [[]]  for i in range(pop_size):  temp = []  for j in range(chrom_length): ...
  • 自己在网上找的代码,修改了一番。 按照课上老师的格式,用类的方法写的。
  • 河北省元氏县实验中学九年级数学上册22.1二次函数所描述的极值问题课件新版新人教版
  • 牛顿法求极值python实现

    千次阅读 2020-07-06 00:20:43
    ** 理论和例题部分转载百度文库的PPT,本文以编程为主,锻炼自己...牛顿迭代法是用函数f(x)的泰勒级数的前面几项来寻找方程f(x)=0的根,这样做的有点就是方程f(x)=0在单根附近具有平方收敛,而且该法还可以用来求方程的
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二次函数极值