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  • 对偶 千次阅读
    2018-10-30 19:30:08

    K K K 为一个锥,那么它的对偶锥的定义为:
    K ∗ = { y ∣ x ⋅ y ≥ 0  for all  x ∈ K } K^\ast=\{y\mid x\cdot y\geq 0 \text{ for all } x\in K\} K={yxy0 for all xK}

    上式中的点表示内积。(两个矩阵的内积等于他们乘积的迹)

    在几何意义上,对偶锥上的一条线 y y y 一定属于 K K K 其中一个支撑超平面的法线。例如下图
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    上图中的红色区域就是 C C C 的对偶锥。

    几个实例

    • 子空间(线性子空间) V V V 的对偶锥是它的正交补.
      V ∗ = V ⊥ = { y ∣ y T v = 0 } V^\ast=V^{\perp}=\{y\mid y^Tv=0\} V=V={yyTv=0}
      利用了一个性质:若 x ∈ V x\in V xV,则 − x ∈ V -x\in V xV.
    • 非负象限的对偶锥是它自身.
    • 半正定矩阵的对偶锥是它自身.
    • 范式锥的对偶锥是它的对偶范式锥.
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  • 一、对称理论、 二、对偶理论示例、 三、对偶理论示例 2、 四、求对偶技巧 ★★、





    一、对称理论



    参考 【运筹学】对偶理论 : 对称形式 ( 对称形式 | 对偶模型转化实例 | 对偶问题规律分析 ) 写出原问题线性规划的对偶问题线性规划 ,

    原问题的线性规划模型 : 注意原问题的线性规划 目标函数求最大值 , 约束方程都是 小于等于不等式 ;

    m a x Z = C X s . t { A X ≤ b X ≥ 0 \begin{array}{lcl} \rm maxZ = C X \\\\ \rm s.t\begin{cases} \rm AX \leq b \\\\ \rm X \geq 0 \end{cases}\end{array} maxZ=CXs.tAXbX0

    如果原问题是求最大值 , 约束方程有大于等于不等式 , 需要在这些大于等于不等式 左右两边乘以 − 1 \rm -1 1 , 将 大于等于不等式 转为 小于等于不等式 ;

    如果进行了上述操作 , 则最终求出对偶问题后 , 系数矩阵肯定不互为转置矩阵 , 还要进行一次代换 , 令 y ′ = − y \rm y' = -y y=y 吗使用 − y ′ = y \rm -y' = y y=y 替换对偶问题中的变量 ;


    对偶问题的线性规划模型 : 对偶问题 目标函数求最小值 , 约束方程都是 大于等于不等式 ;

    m i n W = b T Y s . t { A T Y ≥ C T Y ≥ 0 \begin{array}{lcl} \rm minW = b^T Y \\\\ \rm s.t\begin{cases} \rm A^TY \geq C^T \\\\ \rm Y \geq 0 \end{cases}\end{array} minW=bTYs.tATYCTY0


    矩阵转置 : 1 1 1 列变第 1 1 1 行 , ⋯ \cdots , 第 n \rm n n 列变第 n \rm n n 行 ;

    在这里插入图片描述





    二、对偶理论示例



    对偶示例 : 给出如下线性规划 ,

    m a x Z = 2 x 1 + x 2 s . t { x 1 − 2 x 2 ≤ 8 x 1 , x 2 ≥ 0 \begin{array}{lcl} \rm maxZ = 2 x_1 + x_2 \\\\ \rm s.t\begin{cases} \rm x_1 - 2x_2 \leq 8 \\\\ \rm x_1, x_2 \geq 0 \end{cases}\end{array} maxZ=2x1+x2s.tx12x28x1,x20

    上述线性规划原问题 ① 目标函数求最大值 ② 约束方程是小于等于不等式 , ③ 约束变量大于等于 0 0 0 , 符合标准 ;


    写出其对偶问题 :

    ( 1 ) 目标函数求最小 , 且目标函数的系数是原方程的约束方程常数 ;

    m i n Z = 8 y 1 \rm minZ = 8y_1 minZ=8y1


    ( 2 ) 约束条件 :

    对偶问题约束方程系数 : 约束方程矩阵是 ( 1 − 2 ) \begin{pmatrix} &1 & -2 & \\ \end{pmatrix} (12) 的转置矩阵 ( 1 − 2 ) \begin{pmatrix} &1 & \\ &-2 & \\ \end{pmatrix} (12) ;

    对偶问题变量个数 : 约束方程的变量个数是矩阵的列数 , 这里只有 1 1 1 列 , 则只有 1 1 1 个变量 y 1 \rm y_1 y1 ;

    约束方程中间符号 : 约束条件的符号是由 原问题 变量符号决定 ( 都是 ≥ 0 \geq 0 0 ) , 因此对偶问题的约束方程符号也是 ≥ \geq ;

    约束方程右侧常数 : 是原问题目标函数的系数转置 , 分别是 2 , 1 2 , 1 2,1 ;

    变量符号 : 对偶问题变量符号与原问题约束方程符号相反 ; 原问题约束方程是小于等于符号 , 对偶问题的变量是大于等于 0 0 0 的 ;


    最终的对偶问题是 :

    m i n W = 8 y 1 s . t { y 1 ≥ 2 − 2 y 1 ≥ 1 y 1 ≥ 0 \begin{array}{lcl} \rm minW = 8y_1 \\\\ \rm s.t\begin{cases} \rm y_1 \geq 2 \\\\ \rm -2y_1 \geq 1 \\\\ \rm y_1 \geq 0 \end{cases}\end{array} minW=8y1s.ty122y11y10





    三、对偶理论示例 2



    如果给出的原问题目标函数是求最小值 :

    m i n Z = 2 x 1 + x 2 s . t { x 1 − 2 x 2 ≤ 8 x 1 , x 2 ≥ 0 \begin{array}{lcl} \rm minZ = 2 x_1 + x_2 \\\\ \rm s.t\begin{cases} \rm x_1 - 2x_2 \leq 8 \\\\ \rm x_1, x_2 \geq 0 \end{cases}\end{array} minZ=2x1+x2s.tx12x28x1,x20


    上述线性规划的对偶问题的目标函数是求最大值 ;

    参考下图列表 :

    在这里插入图片描述


    写出其对偶问题 ( 上述表格中的右侧 ) :

    ( 1 ) 目标函数求最大 , 且目标函数的系数是原方程的约束方程常数 ;

    m i n W = 8 y 1 \rm minW = 8y_1 minW=8y1


    ( 2 ) 约束条件 :

    对偶问题约束方程系数 : 约束方程矩阵是 ( 1 − 2 ) \begin{pmatrix} &1 & -2 & \\ \end{pmatrix} (12) 的转置矩阵 ( 1 − 2 ) \begin{pmatrix} &1 & \\ &-2 & \\ \end{pmatrix} (12) ;

    对偶问题变量个数 : 约束方程的变量个数是矩阵的列数 , 这里只有 1 1 1 列 , 则只有 1 1 1 个变量 y 1 \rm y_1 y1 ;

    约束方程中间符号 : 约束条件的符号是由 原问题 变量符号决定 ( 都是 ≥ 0 \geq 0 0 ) , 这里如果目标函数求最小值时原问题 , 其对偶问题约束方程符号 与 原问题变量符号相反 , 因此对偶问题的约束方程符号也是 ≤ \leq ;

    约束方程右侧常数 : 是原问题目标函数的系数转置 , 分别是 2 , 1 2 , 1 2,1 ;

    变量符号 : 对偶问题变量符号与原问题约束方程符号相同 ; 原问题约束方程是小于等于符号 , 对偶问题的变量是小于等于 0 0 0 的 ;


    最终的对偶问题是 :

    m a x Z = 8 y 1 s . t { y 1 ≤ 2 − 2 y 1 ≤ 1 y 1 ≤ 0 \begin{array}{lcl} \rm maxZ = 8y_1 \\\\ \rm s.t\begin{cases} \rm y_1 \leq 2 \\\\ \rm -2y_1 \leq 1 \\\\ \rm y_1 \leq 0 \end{cases}\end{array} maxZ=8y1s.ty122y11y10





    四、求对偶技巧 ★★



    写出对偶定理的标准对称形式 ★ : 记住下面的标准形式

    原问题 :

    m a x Z = C X s . t { A X ≤ b X ≥ 0 \begin{array}{lcl} \rm maxZ = C X \\\\ \rm s.t\begin{cases} \rm AX \leq b \\\\ \rm X \geq 0 \end{cases}\end{array} maxZ=CXs.tAXbX0

    对偶问题 :

    m i n W = b T Y s . t { A T Y ≥ C T Y ≥ 0 \begin{array}{lcl} \rm minW = b^T Y \\\\ \rm s.t\begin{cases} \rm A^TY \geq C^T \\\\ \rm Y \geq 0 \end{cases}\end{array} minW=bTYs.tATYCTY0



    查看 约束变量的符号 与 其另外一个对偶问题的 约束方程的符号 一致性 , 来确定对偶问题的约束方程符号 ;


    约束方程符号 :

    如果当前线性规划问题 目标函数是求最大值 , 原问题就是上面的问题 , 其对偶问题 ( 下面的 ) 的约束方程符号是 ≥ \geq , 因此 对偶问题的约束方程符号原问题变量 符号一致 ;

    如果当前线性规划问题 目标函数是求最小值 , 原问题就是下面的问题 , 其对偶问题 ( 上面的 ) 的约束方程符号是 ≤ \leq , 因此 对偶问题的约束方程符号原问题变量 符号相反 ;


    变量符号 :

    如果当前线性规划问题 目标函数是求最大值 , 原问题就是上面的问题 , 其对偶问题 ( 下面的 ) 的约束方程符号是 ≥ \geq , 因此 对偶问题的变量符号原问题约束方程符号 符号相反 ;

    如果当前线性规划问题 目标函数是求最大值 , 原问题就是上面的问题 , 其对偶问题 ( 下面的 ) 的约束方程符号是 ≥ \geq , 因此 对偶问题的变量符号原问题约束方程符号 符号一致 ;

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  • 平面图,对偶图

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    我们假设上面的例图是图G, 与其对应的对偶图G*, 那么对于G*来说, G*上面的每一个点, 对应的是G里面的每一个面. 比如说下面就是G*. 上面的点就是对偶图G里的点. 那么关于对偶图G*里的边呢 ? 对于G中本来的每...

    平面图定义:

    图存在一种形式,所有的边只在顶点处相交,那么这个图就是平面图。

    对偶图定义:

    对于每一个平面图, 都有与其相对应的对偶图. 我们假设上面的例图是图G, 与其对应的对偶图G*, 那么对于G*来说, G*上面的每一个点, 对应的是G里面的每一个面. 比如说下面就是G*.

    这里写图片描述

    上面的点就是对偶图G里的点.  
    那么关于对偶图G*里的边呢 ? 对于G中本来的每条边e, 他是两个面(比如说面f1和f2)的交边, 那么在对偶图里, 我们对这两个面(f1, f2)所映射在G*里的点连线(f1* 连向f2*). 如果f1 == f2(比如说G中5, 6这条边, 边的两侧都是同一个面, 那我们就建一条回边. 
    图就长这样(回边在5, 6那里).

    这里写图片描述

    求网络流的最小割或最大流时,如果时平面图,就可以转化成对偶图,然后对对偶图求s',t'的最短路,就是原网络的最大流和最小割。就是对偶图的点需要自己对应好。。

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  • 对偶问题

    千次阅读 2021-04-11 19:24:06
    对偶理论深刻揭示了原问题与对偶问题的内在联系,由对偶问题引申出来的对偶解有着重要经济意义,是经济学中重要的概念工具之一,对偶理论充分显示线性规划理论逻辑上的严谨性与结构上的对称性,它是线性规划的重要...

    1.对偶问题

    随着线性规划应用的逐步深入,人们发现一个线性规划问题往往伴随着与之配对的、两者有着密切的联系的另一个线性规划问题,将其中一个称为原问题,另外一个称之为对偶问题。
    在这里插入图片描述

    对偶理论深刻揭示了原问题与对偶问题的内在联系,由对偶问题引申出来的对偶解有着重要经济意义,是经济学中重要的概念工具之一,对偶理论充分显示线性规划理论逻辑上的严谨性与结构上的对称性,它是线性规划的重要成果。

    原问题的例子

    某家具厂木器车间生产木门和木窗的两种产品,加工木门收入56\扇,加工木窗收入30\扇,生产一扇木盟需要木工4小时、油漆工需要2小时,生产一扇木窗需要木工3小时、油漆工1小时,该车间每日可用木工总工时120小时,油漆工总工时50小时,问该车间应该如何安排生产才能使得每日收入最大?

    解 令该车间每日安排生产木门x1扇,木窗x2扇,则数学模型为:

    在这里插入图片描述
    使用图解法或者单纯形表方法,可以求得最优解:
    在这里插入图片描述

    对偶问题

    现在从另外一个角度来考虑该车间的生产问题,假若有一个个体经营者,手中有一批木器家具生产订单,他想利用该车间的木工与油漆工来完成他的订单,他就要事先考虑付给该车间每个工时的价格
    需要考虑的问题:

    1. 木器车间觉得有利可图从而愿意替他加工这批订单;
    2. 他自己所付时费用总数最小;
      设W1为付给木工每个工时的价格,W2为付给油漆工每个工时的价格,则该个体经营者的目标函数每日所付工时总费用最小:
      在这里插入图片描述
      但是个体经营者所付的价格不能太低,至少不能低于该车间生产木门、木窗时候所得到的收入,否则该车间觉得无利可图就不会替他加工这批订单,因此w1、W2取值应该满足:
      在这里插入图片描述
      那么经过上面的问题梳理,我们把两个问题放在一起看
      在这里插入图片描述
      左边是车间老板的角度来看,右边的对偶问题是从个体经营者来看,一个求最大值,另外一个求最小值,我们来看一下原问题的max 式子的系数,在右边的对偶问题变成了 下面约束条件的值,而左边的约束条件的值变成了右边对偶问题的min式子的系数

    从最后的结果可以看到,虽然最优解的结果不一样,但是最这个最优解的框架下,相应的目标函数的结果都是1440,说明这个订单一定是成功的完成了

    转换到一般情况

    在这里插入图片描述
    LP我们定义就是原问题,DP是对偶问题,Max和Min的式子的系数称之为价值系数,下面的公式称之为约束条件

    可以看出:

    1. 原问题的价值系数在对偶问题提中成为约束条件的右端项,而原问题的约束条件的右端项在对偶问题成了价值系数;
    2. 原问题中约束不等式左端的决策变量的系数,在对偶问题中成为对偶问题决策变W1和W2的系数列向量P1,P2;
    3. 原问题中Xi的系数列向量Pi,在对偶问题中就是第i个约束不等式做端对偶变量前的系数

    如何迅速的从一个线性规划问题提出对偶问题

    在这里插入图片描述

    写出对偶问题的例子

    在这里插入图片描述

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