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  • 子空间正交
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    2018-07-05 18:01:59

    相信所有研究DOA方向的同学一定看过一个理论,就是子空间算法中导向矢量张成的子空间与噪声子空间正交。由此,若干个子空间类算法也因此得到了各种求得DOA估计值的方法,那么你是不是跟我一样,迷惑为什么导向矢量和噪声子空间就正交了呢?

    为了更好地帮助理解,我这篇博客也必须使用一系列的公式推导,首先简单说一下各个符号代表的含义。

    设有 P P P个阵元(天线), M M M个信号, N N N快拍,信号来波方向为{ θ 1 , θ 2 , ⋯   , θ M \theta_1,\theta_2,\cdots,\theta_M θ1,θ2,,θM};

    信号表示成 Y = A X + N \mathbf{Y}=\mathbf{AX}+\mathbf{N} Y=AX+N
    那么信号的协方差矩阵即为
    1. R = E [ y ( n ) y ( n ) H ] = A R x A H + σ 2 I \mathbf{R}=E[y(n)y(n)^{H}]=\mathbf{A}\mathbf{R}_x\mathbf{A}^H+\sigma^2\mathbf{I} R=E[y(n)y(n)H]=ARxAH+σ2I,其中 ( ) H ()^H ()H表示共轭转置。
    2.因为 A \mathbf{A} A是列满秩的(因为假设所有信号来自于不同的方向),且信号的自相关矩阵即 R x \mathbf{R}_x Rx肯定是非奇异的Hermitian矩阵,那么 A R x A H \mathbf{A}\mathbf{R}_x\mathbf{A}^H ARxAH肯定是一个PXP的非负正定Hermitian矩阵,且秩为M。
    3.由此 R \mathbf{R} R一定可以被酉矩阵对角化。
    4.假设这个酉矩阵叫 B \mathbf{B} B,即 B B H = I \mathbf{B}\mathbf{B}^H=\mathbf{I} BBH=I,毫无疑问, B \mathbf{B} B一定是一个PXP的酉矩阵,且 B = [ B S , B N ] \mathbf{B}=[\mathbf{B}_S,\mathbf{B}_N] B=[BS,BN]
    5.则
    B H R B = B H ( A R x A H + σ 2 I ) B = D i a g [ ( μ 1 + σ 2 ) , ⋯   , ( μ M + σ 2 ) , σ 2 , ⋯   , σ 2 ] \mathbf{B}^H\mathbf{R}\mathbf{B} =\mathbf{B}^H(\mathbf{A}\mathbf{R}_x\mathbf{A}^H+\sigma^2\mathbf{I})\mathbf{B}\\ =Diag[(\mu_1+\sigma^2),\cdots,(\mu_M+\sigma^2),\sigma^2, \cdots,\sigma^2] BHRB=BH(ARxAH+σ2I)B=Diag[(μ1+σ2),,(μM+σ2),σ2,,σ2]
    显示,前M项是被噪声污染的信号的能量,后(P-M)项是噪声能量。
    6.现在记
    Λ 1 = D i a g [ λ 1 , λ 2 , ⋯   , λ M ] , λ i = μ i + σ 2 , f o r   i = 1 , 2 , ⋯   , M Λ 2 = D i a g [ λ M + 1 , λ M + 2 , ⋯   , λ P ] , λ M + i = σ 2 , f o r   i = 1 , 2 , ⋯   , P − M \mathbf{\Lambda}_1=Diag[\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_M], \\ \lambda_i=\mu_i+\sigma^2,for\ i=1,2,\cdots,M \\ \mathbf{\Lambda}_2=Diag[\lambda_{M+1},\lambda_{M+2},\cdots,\lambda_P],\\ \lambda_{M+i}=\sigma^2,for\ i=1,2,\cdots,P-M Λ1=Diag[λ1,λ2,,λM],λi=μi+σ2,for i=1,2,,MΛ2=Diag[λM+1,λM+2,,λP],λM+i=σ2,for i=1,2,,PM
    7.现在5可以重写为
    B H R B = [ B S , B N ] H ( A R x A H ) [ B S , B N ] + σ 2 I = D i a g [ Λ 1   Λ 2 ] \mathbf{B}^H\mathbf{R}\mathbf{B}=[\mathbf{B}_S,\mathbf{B}_N]^H(\mathbf{A}\mathbf{R}_x\mathbf{A}^H)[\mathbf{B}_S,\mathbf{B}_N]+\sigma^2\mathbf{I}=Diag[\mathbf{\Lambda}_1\ \mathbf{\Lambda}_2] BHRB=[BS,BN]H(ARxAH)[BS,BN]+σ2I=Diag[Λ1 Λ2]
    8.把7展开就可以得到
    A R x A H B S = B S Λ 1 − B S ( σ 2 I ) = B S D i a g [ μ 1 , μ 2 , ⋯   , μ M ] A R x A H B N = B N Λ 2 − B N ( σ 2 I ) = 0 ( Λ 2 = D i a g [ σ 2 , ⋯   , σ 2 ] ) \mathbf{A}\mathbf{R}_x\mathbf{A}^H\mathbf{B}_S=\mathbf{B}_S\mathbf{\Lambda}_1-\mathbf{B}_S(\sigma^2\mathbf{I})\\ =\mathbf{B}_SDiag[\mu_1,\mu_2,\cdots,\mu_M]\\ \mathbf{A}\mathbf{R}_x\mathbf{A}^H\mathbf{B}_N=\mathbf{B}_N\mathbf{\Lambda}_2-\mathbf{B}_N(\sigma^2\mathbf{I})=0\\(\mathbf{\Lambda}_2=Diag[\sigma^2,\cdots,\sigma^2]) ARxAHBS=BSΛ1BS(σ2I)=BSDiag[μ1,μ2,,μM]ARxAHBN=BNΛ2BN(σ2I)=0Λ2=Diag[σ2,,σ2])
    9.因为 A \mathbf{A} A列满秩, R x \mathbf{R}_x Rx非奇异,所以 A R x A H B N = 0 \mathbf{A}\mathbf{R}_x\mathbf{A}^H\mathbf{B}_N=0 ARxAHBN=0
    只能是 A H B N = 0 \mathbf{A}^H\mathbf{B}_N=0 AHBN=0
    即导向矢量与噪声子空间正交,证毕。

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    为什么导向矢量和噪声子空间正交?

    前情提要 :在DOA估计的传统方法中,子空间类方法通常需要一个非常重要的性质——导向矢量与噪声子空间正交,书上一般都是直接说的结果,在这里证明一下。

    证明

    接收信号简写

    [公式]

    源信号自协方差矩阵

    [公式]

    接收信号自协方差矩阵

    [公式]

    对R做特征分解

    [公式]

    按大小特征值分成信号子空间和噪声子空间

    [公式]

    默认噪声为白噪声有

    [公式]

    对式(3)两边乘以Un有

    [公式]

    对式(5)两边乘以Un有

    [公式]

    由式(7)和(8)可得

    [公式]

    易知导向矢量可逆,信源不相干时 Rs 也是可逆的,所以有

    [公式]

    所以,导向矢量与噪声子空间正交。

    PS:可以从式(10)前面的条件看出,必须得是信源不相干时 Rs 才可逆,才能导出MUSIC算法的核心,导向矢量与噪声子空间正交。然而信源相干时,Rs 就不可逆了,MUSIC算法会失效。那就需要通过平滑的方法对 R 处理后再求噪声子空间了。

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    1. 正交子空间

    两个向量垂直,意味着 v T w = 0 v^Tw=0 vTw=0

    两个子空间 V \boldsymbol V V W \boldsymbol W W 是正交的,如果 V \boldsymbol V V 中的每个向量 v v v 都垂直于 W \boldsymbol W W 中的每个向量 w w w

    想象你处在一个房间里,那么地面是一个子空间 V \boldsymbol V V,两面墙的交线是另一个子空间 W \boldsymbol W W,这两个子空间是正交的。

    两面看起来垂直的墙不是正交的,因为它们相交于一条直线,这条直线同时存在于两个子空间,它不可能自己垂直于自己。

    两个 R 3 \boldsymbol R^3 R3 空间中的二维平面不可能正交,当两个子空间的维数之和大于整个空间的维数时,这两个子空间肯定不是正交的。

    如果一个向量同时位于两个正交的子空间内,那这个向量一定是零向量,只有零向量自己垂直于自己

    零向量是零空间和行空间的唯一交点,并且零空间和行空间是 R n \boldsymbol R^n Rn 中正交的两个子空间。

    A x = 0 Ax=0 Ax=0 可得,行空间中的每个向量和零空间中的每个向量都是垂直的,因此它们是正交的子空间。

    另一方面, A T y A^Ty ATy 是对 A A A 的行的线性组合,那么有

    x T ( A T y ) = ( x T A T ) y = ( A x ) T y = 0 x^T(A^Ty) = (x^TA^T)y = (Ax)^Ty = 0 xT(ATy)=(xTAT)y=(Ax)Ty=0

    即,所有 A A A 的行的线性组合都垂直于 x x x

    左零空间和列空间是 R m \boldsymbol R^m Rm 中正交的两个子空间。

    2. 正交补

    基本空间不仅仅是正交的,它们的维数也刚刚好。行空间的维数为 r r r,零空间的维数为 n − r n-r nr,和为 n n n。列空间的维数为 r r r,左零空间的维数为 m − r m-r mr,和为 m m m

    R 3 \boldsymbol R^3 R3 空间中的两条直线也可以是垂直的,但它们不可能是一个 3×3 矩阵的行空间和零空间。

    一个子空间 V \boldsymbol V V正交补(orthogonal complement)包含所有垂直于 V \boldsymbol V V 的向量 ,称为 V ⊥ \boldsymbol V^\perp V

    由这个定义,那么零空间 N ( A ) N(A) N(A) R n \boldsymbol R^n Rn 中行空间 C ( A T ) C(A^T) C(AT) 的正交补,左零空间 N ( A T ) N(A^T) N(AT) R m \boldsymbol R^m Rm 中列空间 C ( A ) C(A) C(A) 的正交补。

    补的意思是说每个向量 x x x,都可以表示为行空间分量 x r x_r xr 和零空间分量 x n x_n xn 的和,那么有:

    A x n = 0 Ax_n =0 Axn=0
    A x r = A x Ax_r =Ax Axr=Ax

    所有的向量都去到了列空间,乘以 A A A 后没有做其它的事情。

    而且,任何列空间中的向量 b b b 都来自于行空间中的唯一一个向量。如果有 A x r = A x r ′ Ax_r = Ax_r' Axr=Axr,那么 x r − x r ′ x_r-x_r' xrxr 就位于零空间中,而且它也位于行空间中,所以它一定为零向量,也就是 x r = x r ′ x_r=x_r' xr=xr

    3. 基和子空间

    任何 R n \boldsymbol R^n Rn 空间中的 n n n 个不相关向量一定扩充出 R n \boldsymbol R^n Rn 空间,因此它们是一个基。

    任何扩充出 R n \boldsymbol R^n Rn 空间的 n n n 个向量一定是不相关的,因此它们是一个基。

    如果 A A A 中的 n n n 列是不相关的,则它们扩充出 R n \boldsymbol R^n Rn 空间,因此 A x = b Ax=b Ax=b 是可解的。

    如果 n n n 列扩充出 R n \boldsymbol R^n Rn 空间,则它们是不相关的,因此 A x = b Ax=b Ax=b 有唯一解。

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  • 正交子空间投影的学习笔记

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    一、子空间的概念 (需要说明的是并非原创,只是看到某博主记录的相关内容对我来说比较有意义所以就总结整理了一下,第一次发,也不知道这样的格式对不对,希望以后自己可以把学习到的以及自己领悟到的都记在这里。...

    一、子空间的概念

    (需要说明的是并非原创,只是看到某博主记录的相关内容对我来说比较有意义所以就总结整理了一下,第一次发,也不知道这样的格式对不对,希望以后自己可以把学习到的以及自己领悟到的都记在这里。)

    矩阵的四个基本子空间

    1、零空间

    矩阵A的零空间就Ax=0的解的集合。假设矩阵的秩为r,矩阵为m*n的矩阵,则零空间的维数为n-r。因为秩为r,则自由变量的个数为n-r,有几个自由变量,零空间就可以表示层几个特解的线性组合,也即是零空间的维数为自由变量的个数。

    2、列空间

    矩阵A的列空间就是矩阵A中各列的线性组合。假设矩阵的秩为r,矩阵为m*n的矩阵,则列空间可以表示为r个主元的线性组合,即零空间的维数为r。

    3、行空间

    在线性代数中,我们一般习惯将矩阵看出是一组列向量的组合,matlab中矩阵的存储是按列存储的(c中不是)。因此,我们可以将矩阵A进行转置后来讨论行空间和左零空间。假设转置后的矩阵为AT,则A的行空间就是AT的列空间,A的左零空间为AT的零空间。注意这里AT为n*m的矩阵。则此时行空间的维数为r。

    4、左零空间

    左零空间是ATx=0的解的集合。由于秩为r,则自由变量的个数为m-r,即左零空间的维数为m-r。

    二、正交子空间

    定义:两个子空间正交即两个子空间的任意两个向量正交
    其中行空间与零空间正交,列空间与左零空间正交。

    三、空间投影

    1、二维投影

    在这里插入图片描述
    上图表示的是,向量b在向量a上的投影。显然有如下表达式:
    在这里插入图片描述
    其中,P为投影矩阵,由P的表达式可以看出,它具有如下性质:
    在这里插入图片描述
    投影矩阵性质说明(1)PT=P说明投影矩阵是一个对称阵。(2)P2=P即进行第二次投影时,还是回投影在第一次投影的地方

    2、三维投影

    三维投影,就是将一个向量投影到一个平面上。同上面一样,假设是将b向量投影到平面上的p向量,则有表达式:
    在这里插入图片描述
    e是垂直与平面的向量。由于p向量在平面上,则p向量可以由该平面的2个线性无关向量(正如,在xy平面的任何向量都可以由x轴,y轴表示)表示:
    在这里插入图片描述
    由于e垂直平面,则e向量垂直与平面中的任意向量,则有:
    在这里插入图片描述
    将上式化简求得x:
    在这里插入图片描述
    又因为p=Ax,Pb=p,则得到投影矩阵为:
    P=A(ATA)-1)AT
    由P的表达式可以看出,它具有如下性质:
    与二维中的性质说明情况结论一致
    上面的投影矩阵是通式,当投影在一维情况时,A即为直线上的任意一个向量a,投影矩阵为:
    在这里插入图片描述
    与二维投影中得到的结论是一致的。
    后续会把这个知识点应用到高光谱图像上,应用后会继续记录~

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