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  • 标准正交基概述.pdf
    2021-04-28 03:12:41

    标准正交基概述

    2011～2012 学年春季学期课程论文

    课程名称：线性代数与几何

    论文题目: 探索欧氏空间的标准正交基

    作者姓名: XXX 学 号:XXX

    成 绩:

    论文评语:

    评阅人:

    评阅日期:

    注:后附课程论文的正文

    探索欧氏空间的标准正交基

    XXX XXX XXX

    摘要：本文首先给出欧式空间标准正交基的定义以及性质，然后给出将欧氏空间

    任意一组线性无关的向量组进行正交化和单位化的过程，最后给出两组标准正交

    基之间的关系。

    关键词：标准正交基 正交化 正交矩阵

    正文：

    一.引言：标准正交基对欧氏空间有特别的重要性.在欧氏空间中研究线性变换和二次型时，

    都需要通过标准正交基之间的过渡来简化线性变换和二次型矩阵.因此研究欧氏空间的标准

    正交基很有意义.

    二.定义：

    V V

    定义1：设 是欧氏空间.如果, V 满足条件() 0 ，就称 正交,记为   .

    V

    中由两两正交的非零向量组成的向量组 ,  称为正交向量组.如果 的基M 是正交向量

    1 k

    组，就称M 为正交基.由两两正交的单位向量组成的基称为标准正交基.

     ,   V    1,i 1, n

    定义2：I= 是欧氏空间 的一个基，且  ，又 ，

    1 n  , 0, i  j i

    i j

    V

    称I 为 的一个标准正交基.

    三.性质：

    V

    性质1.  ,  (1)为 的一个基，则以下条件等价：

    1 n

    1 (1)是标准正交基

    1 i j

    2  ,  

    i j 

    0 i  j

          

    3  V,  ,    ,     , 

    1 1 2 2 n n

    n

        

    4 , V, x , x , y , y , 则, x y

    1 n 1 n i i

    i 1

    证明：   当 时， ,   1，

    1  2 i j i i i

    当i  j 时由正交向量的定义易知 ,  0 ，命题成立.

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    正交映射，像任何的有限维线性操作符，可通过矩阵表示，对于N x M矩阵，计算方法为：

    PX = X * (X' * X)^(-1) * X'

    PX被称为映射矩阵。

    子空间映射是一个例子，其中矩阵的功率线性代数记号非常重要。

    代码实现如下：

    >> X = [[1;2;3],[1;0;1]]

    X =

    1 1

    2 0

    3 1

    >> PX = X*(X'*X)^(-1) * X'

    PX =

    0.66666666666667 -0.33333333333333 0.33333333333333

    -0.33333333333333 0.66666666666667 0.33333333333333

    0.33333333333333 0.33333333333333 0.66666666666667

    >> y = [2; 4;6]

    y =

    2

    4

    6

    >> yX= PX* y

    yX =

    2.00000000000000

    4.00000000000000

    6.00000000000000

    >>

    二、正交基

    在matlab中，函数orth()对于给定的矢量集空间计算正交基。

    在matlab中输入help orth查看orth的使用:

    >> help orth

    ORTH Orthogonalization.

    Q = ORTH(A) is an orthonormal basis for the range of A.

    That is, Q'*Q = I, the columns of Q span the same space as

    the columns of A, and the number of columns of Q is the

    rank of A.

    Class support for input A:

    float: double, single

    See also svd, rank, null.

    Reference page in Help browser

    doc orth

    >>

    以下通过对N=3的线性独立的基利用orth()进行正交化。

    >> v1 = [1;2;3]

    v1 =

    1

    2

    3

    >> v2 = [1;-2;3]

    v2 =

    1

    -2

    3

    >> v1' * v2

    ans =

    6

    >> V=[v1,v2]

    V =

    1 1

    2 -2

    3 3

    >> W= orth(V)

    W =

    -0.31622776601684 0.00000000000000

    0.00000000000000 -1.00000000000000

    -0.94868329805051 0.00000000000000

    >> W= orth(V)

    W =

    -0.31622776601684 0.00000000000000

    0.00000000000000 -1.00000000000000

    -0.94868329805051 0.00000000000000

    >> W1=W(:,1)

    W1 =

    -0.31622776601684

    0.00000000000000

    -0.94868329805051

    >> W2=W(:,2)

    W2 =

    0.00000000000000

    -1.00000000000000

    0.00000000000000

    >> W1' * W2

    ans =

    -3.157438761082832e-016

    >> W1'*W1

    ans =

    1.00000000000000

    >> W2'*W2

    ans =

    1

    >> W'*W

    ans =

    1.00000000000000 -0.00000000000000

    -0.00000000000000 1.00000000000000

    >> x = 2 * v1 - 3 * v2

    x =

    -1

    10

    -3

    >> c1 = x' * W1

    c1 =

    3.16227766016838

    >> c2 = x' * W2

    c2 =

    -10

    >> xw = c1 * W1 + c2 * W2

    xw =

    -1.00000000000000

    10.00000000000000

    -3.00000000000000

    >> error = x - xw

    error =

    1.0e-014 *

    0.13322676295502

    0

    0.08881784197001

    >> norm(error)

    ans =

    1.601186416994689e-015

    >> x = [1; 0; 0]

    x =

    1

    0

    0

    >> ca = x' * W1

    ca =

    -0.31622776601684

    >> c1 = x' * W1

    c1 =

    -0.31622776601684

    >> c2 = x' * W2

    c2 =

    1.387778780781446e-016

    >> xw = c1 * W1 + c2 * W2

    xw =

    0.10000000000000

    -0.00000000000000

    0.30000000000000

    >> error = x - xw

    error =

    0.90000000000000

    0.00000000000000

    -0.30000000000000

    >> norm(error)

    ans =

    0.94868329805051

    >> W* error

    ??? Error using ==> mtimes

    Inner matrix dimensions must agree.

    >> W'* error

    ans =

    1.0e-015 *

    -0.16653345369377

    -0.09984698057522

    >>

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    B = orth(A) 

    返回矩阵A正交基。
    B列与A列具有相同空间。
    B列向量正交向量满足B'*B = eye(rank(A))
    B的列数是A的秩。

    举例：
    >> a2

    a2 =

          1     4     7
          2     5     8
          3     6     9

    >> orth(a2)

    ans =

        -0.4797     0.7767
        -0.5724     0.0757
        -0.6651   -0.6253

    >> ans'*ans

    ans =

        1.0000   -0.0000
        -0.0000     1.0000

    >> 
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  • Matlab构建标准正交小波基

     2021-11-18 16:09:15
    matlab 构建小波基矩阵

    做压缩感知构建小波基矩阵时没有像构建cos余弦基那么方便，可以直接采用'dct(N)' 获得，笔者在不断的搜寻下汇总了3个方法（已知长度，展开水平，和小波类型生成小波基矩阵），供大家参考，

    1. 压缩感知稀疏基之离散小波变换_彬彬有礼的专栏-CSDN博客

    function [ ww ] = dwtmtx( N,wtype,wlev )
    %DWTMTX Discrete wavelet transform matrix
    %   This function generates the transform matrix ww according to input
    %   parameters N,wtype,wlev .
    %Detailed explanation goes here
    %   N is the dimension of ww
    %   wtype is the wavelet type
    %   wlev is the number of decomposition level
    %NOTE: The extension mode must be Periodization('per')
    [h,g]= wfilters(wtype,'d');         %Decomposition low&high pass filter
    L=length(h);                        %Filter length
    h_1 = fliplr(h);                    %Flip matrix left to right
    g_1 = fliplr(g);
    loop_max = log2(N);
    loop_min = double(int8(log2(L)))+1;
    if wlev>loop_max-loop_min+1
        fprintf('\nWaring: wlev is too big\n');
        fprintf('The biggest wlev is %d\n',loop_max-loop_min+1);
        wlev = loop_max-loop_min+1;
    end
    ww=1;
    for loop = loop_max-wlev+1:loop_max
        Nii = 2^loop;
        p1_0 = [h_1 zeros(1,Nii-L)];
        p2_0 = [g_1 zeros(1,Nii-L)];
        p1 = zeros(Nii/2,Nii);
        p2 = zeros(Nii/2,Nii);
        for ii=1:Nii/2
            p1(ii,:)=circshift(p1_0',2*(ii-1)+1-(L-1)+L/2-1)';
            p2(ii,:)=circshift(p2_0',2*(ii-1)+1-(L-1)+L/2-1)';
        end
        w1=[p1;p2];
        mm=2^loop_max-length(w1);
        w=[w1,zeros(length(w1),mm);zeros(mm,length(w1)),eye(mm,mm)];
        ww=ww*w;
        clear p1;clear p2;
    end

    %The end!!!
    end

    虽然看不太懂，但是使用的时候发现这个与我看的一篇文献不太符合

    2 https://sparse-lex.readthedocs.io/en/latest/book/wavelets/wavelet_toolbox/daubechies.html

    结合以上网址的介绍写了这个

    function PsiT = dwtmtx_R2( N,dbtype,wlev )
    [LoD,HiD,LoR,HiR] = wfilters(dbtype);
    old_dwt_mode = dwtmode('status','nodisp');
    dwtmode('per');
    PsiT = zeros(N, N);
    for i=1:N
        unit_vec = zeros(N, 1);
        unit_vec(i) = 1;
        [coefficients, levels] = wavedec(unit_vec, wlev, LoD,HiD);
        PsiT(:, i) = coefficients;
    end
    end

    这个的计算结果使我可以重现文献中的结果

    3.wavelab 850 包的使用

    How to get started with wavelets and Wavelab - CCM

    n=256;

    qmf= MakeONFilter('Daubechies',4) ;

    XI=eye(n);W=zeros(n);for i=1:n,W(:,i)=FWT_PO(XI(:,i),1,qmf);end

    反正这个结果不是我想要的

    本人并不懂其中原理，目的只是想要构建压缩感知的基函数矩阵，以上如有疏漏还请见谅

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    我们可以定义出4096个基，分别是某一位是0其他是1，在这种情况下，如果我们传输图片，那么就相当于传输原始数据 假设传到一半，网络坏了。 于是，我们得到 我们可以计算原图像和这图像的差距 error = I - I_...
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空空如也

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