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  • 第四节 实对称矩阵对角化
    2021-04-20 14:06:19

    《第四节 实对称矩阵的对角化》由会员分享,可在线阅读,更多相关《第四节 实对称矩阵的对角化(9页珍藏版)》请在人人文库网上搜索。

    1、一、实对称矩阵的性质,1,2,1,2,1,2,1,2,6.4.1,A,引理,设,是实对称矩阵,的两个特征值,是对应的特征向量,若,则,与,正交,证明,1,1,1,2,2,2,1,2,A,A,A,A,A,T,对称,1,1,1,1,1,T,T,T,A,1,1,T,T,T,A,A,1,1,1,1,2,2,2,2,T,T,T,A,2,2,1,T,1,2,2,1,0,T,2,1,1,2,即,与,正交,2,1,0,T,定理,实,对称矩阵的特征值为实数,1,A,n,P,P,AP,A,n,设,为,阶实对称矩阵,则必有正交矩阵,使,其中,是以,的,个特征值为对角元,素的对角矩阵,定理,6.4.1,0,0,0,A。

    2、,n,A,r,E,A,n,r,r,设,为,阶实对称矩阵,是,的特征方程的,重根,则矩阵,的秩为,从而对应特征值,恰有,个线性无关的特征向量,推论,利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵的步骤为,1,1,2,11,12,1,1,1,1,2,4,s,s,r,s,sr,T,r,r,s,r,P,P,P,AP,P,AP,diag,E,E,E,L,L,L,L,令,则,为正交阵且有,二、利用正交矩阵将实对称矩阵对角化的方法,1,1,0,s,E,A,A,L,由特征方程,解得,的所有特征值,设所有的,不同的特征值为,1,2,2,0,1,2,i,i,i,i,i,ir,E,A,X,i,s,L,L,对每个,分别求出齐次线。

    3、性方程组,的,基础解系,设之为,1,2,1,2,3,1,2,i,i,i,i,ir,i,i,ir,i,s,L,L,L,对基础解系,进行施密特正交化和单位化,得到正交的单位向量组,解,1,2,2,2,2,4,2,4,2,E,A,由于,2,1,2,8,8,16,1,4,2,4,2,1,2,3,2,7,所以,1,2,2,2,2,4,2,4,2,A,例,1,对下列实对称矩阵,求出正交矩阵,使,得,为对角阵,AP,P,1,P,1,第一步,求,A,的特征值,2,2,7,0,i,E,A,X,A,第二步,由,求出,的正交的特征向量组,1,2,2,0,E,A,X,对,解齐次线性方程组,由,得基础解系,1,2,2,。

    4、2,1,0,0,1,1,2,2,2,2,4,4,2,4,4,E,A,1,2,2,0,0,0,0,0,0,1,2,对,正交化得,1,1,2,1,0,2,5,2,1,4,2,2,1,5,1,1,1,3,7,7,0,E,A,X,对,解齐次线性方程组,由,8,2,2,7,2,5,4,2,4,5,E,A,0,18,18,2,5,4,0,9,9,5,2,1,2,0,1,1,0,0,0,1,2,1,0,0,1,1,0,0,0,得基础解系,3,1,2,2,第三步,将特征向量单位化,1,1,1,2,5,2,1,1,1,1,5,5,0,0,得,2,2,2,2,2,3,5,5,1,5,4,4,5,3,3,5,1,5,3,5,3,3,3,1,3,1,1,1,2,2,3,3,2,2,3,1,2,3,2,2,1,5,3,5,3,1,4,2,3,5,3,5,2,0,5,3,3,5,P,令,1,2,0,0,0,2,0,0,0,7,P,P,AP,则,为正交阵且有,作业,P125 14(1), 18。

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    摘自《矩阵论教程》第2版,张绍飞,p52

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    摘自《矩阵论教程》第2版,张绍飞,p52

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  • 线性代数之 实对称矩阵,正交对角化,二次型与正定矩阵前言实对称矩阵正交对角化二次型正定矩阵实对称矩阵的正定判断条件后记 前言 终于快到矩阵分解了。在矩阵分解前,最后一个内容是实对称矩阵,二次型和正定矩阵...

    前言

    终于快到矩阵分解了。在矩阵分解前,最后一个内容是实对称矩阵,二次型和正定矩阵。这三个概念与矩阵分解相关。

    实对称矩阵

    对于矩阵 A ∈ R n × n A\in R^{n\times n} ARn×n,如果 A T = A A^T=A AT=A,则称 A A A为实对称矩阵。

    实对称矩阵不同特征值的特征向量正交,n重特征值有n个线性无关的特征向量。因此实对称矩阵必然能够对角化。

    实对称矩阵是 n × n n\times n n×n矩阵能够正交对角化的充分必要条件。

    正交对角化

    如果存在一个正交矩阵 Q Q Q,使得方阵 A = Q Λ Q − 1 = Q Λ Q T A=Q\Lambda Q^-1=Q\Lambda Q^T A=QΛQ1=QΛQT能够对角化,称为正交对角化。

    能够正交对角化的矩阵都是对称矩阵。
    证明:
    A = Q Λ Q T A T = Q Λ T Q T = Q Λ Q T = A A=Q\Lambda Q^T \\ A^T=Q\Lambda^T Q^T=Q\Lambda Q^T=A A=QΛQTAT=QΛTQT=QΛQT=A

    二次型

    A A A是实对称矩阵,将一个变量满足 f ( x ) = x T A x f(x)=x^TAx f(x)=xTAx函数称为二次型。

    对于 f ( x ) = x T A x f(x)=x^TAx f(x)=xTAx,替换变量 x = P y , f ( x ) = f ( P y ) = y T P T A P y x=Py,f(x)=f(Py)=y^TP^TAPy x=Py,f(x)=f(Py)=yTPTAPy,而 A A A是实对称矩阵,因此存在正交矩阵 Q , f ( Q y ) = y T Λ y Q,f(Qy)=y^T\Lambda y Q,f(Qy)=yTΛy,使得二次型化为标准型。

    正定矩阵

    广义的正定矩阵:对于矩阵 A ∈ R n × n A\in R^{n\times n} ARn×n,函数 f ( x ) = x T A x > 0 f(x)=x^TAx>0 f(x)=xTAx>0对任意非零向量 x ∈ R n x\in R^n xRn都成立,则称 A A A为正定矩阵。如果 f ( x ) = x T A x ≥ 0 f(x)=x^TAx\ge0 f(x)=xTAx0,则称 A A A为半正定矩阵。

    狭义的正定矩阵:对于对称矩阵 A ∈ R n × n A\in R^{n\times n} ARn×n,函数 f ( x ) = x T A x > 0 f(x)=x^TAx>0 f(x)=xTAx>0对任意非零向量 x ∈ R n x\in R^n xRn都成立,则称 A A A为正定矩阵。如果 f ( x ) = x T A x ≥ 0 f(x)=x^TAx\ge0 f(x)=xTAx0,则称 A A A为半正定矩阵。也把这种正定矩阵称为对称正定矩阵。

    实对称矩阵的正定判断条件

    如果实对称矩阵的特征值都大于0,则是对称正定矩阵;如果特征值都非负,则是对称半正定矩阵。

    证明:
    f ( x ) = x T A x Q Q T = E x = Q y f ( x ) = f ( Q y ) = y T Q T A Q y = y T Λ y = ∑ i = 1 n λ i y i 2 i f λ i > 0 , f ( x ) > 0 i f λ i ≥ 0 , f ( x ) ≥ 0 f(x)=x^TAx \\ QQ^T=E \\ x=Qy\\ f(x)=f(Qy)=y^TQ^TAQy=y^T\Lambda y=\sum_{i=1}^n \lambda_i y_i^2 \\ if \quad \lambda_i>0,f(x)>0 \\ if \quad \lambda_i\ge0,f(x)\ge 0\\ f(x)=xTAxQQT=Ex=Qyf(x)=f(Qy)=yTQTAQy=yTΛy=i=1nλiyi2ifλi>0,f(x)>0ifλi0,f(x)0

    一个常见的半正定矩阵

    对于任意矩阵 A ∈ R m × n A\in R^{m\times n} ARm×n矩阵 A T A A^TA ATA是半正定矩阵

    证明:
    x T A T A x = ( A x ) T A x = ( A x ) ⋅ ( A x ) = ∣ ∣ A x ∣ ∣ 2 2 ≥ 0 x^TA^TAx=(Ax)^TAx=(Ax)\cdot(Ax)=||Ax||^2_2\ge0 xTATAx=(Ax)TAx=(Ax)(Ax)=Ax220

    如果 A ∈ R m × n A\in R^{m\times n} ARm×n列满秩,则 A T A A^TA ATA是正定矩阵

    证明:
    A x = 0 → A T A x = 0 A T A x = 0 → x T A T A x = 0 → ∣ ∣ A x ∣ ∣ 2 2 = 0 → A x = 0 ∴ N U L ( A ) = N U L ( A T A ) ∵ d i m N U L ( A ) + r a n k ( A ) = n ∴ r a n k ( A T A ) = r a n k ( A ) r a n k ( A ) = n , d i m N U L ( A ) = 0 ∴ ∀ x ≠ 0 , A x ≠ 0 ∴ ∣ ∣ A x ∣ ∣ 2 2 > 0 i . e . x T A T A x > 0 Ax=0 \to A^TAx=0 \\ A^TAx=0 \to x^TA^TAx=0 \to ||Ax||^2_2=0\to Ax=0 \\ \therefore NUL(A)=NUL(A^TA) \\ \because dimNUL(A)+rank(A)=n \\ \therefore rank(A^TA)=rank(A) \\ \quad \\ rank(A)=n,dimNUL(A)=0 \\ \therefore \forall x\ne 0, A x\ne0 \\ \therefore ||Ax||_2^2>0 \\ \quad \\ i.e. \quad x^TA^TAx>0 Ax=0ATAx=0ATAx=0xTATAx=0Ax22=0Ax=0NUL(A)=NUL(ATA)dimNUL(A)+rank(A)=nrank(ATA)=rank(A)rank(A)=n,dimNUL(A)=0x=0,Ax=0Ax22>0i.e.xTATAx>0

    后记

    线性代数的矩阵性质部分大概就记录完了。下一篇就进入到了矩阵计算的内容——矩阵分解。

    展开全文
  • 对称矩阵的合同分解就是他的奇异分解
    • 对称矩阵的正交对角化就是他的奇异分解
    • 当然不是啦!
    • 因为奇异值分解 Σ \Sigma Σ是个对角线都是正的啊!
    • 而对称矩阵的正交对角化显然不是的!

    • 如果 A A A是对称的,特征值为 λ 1 , . . . , λ n \lambda_1,...,\lambda_n λ1,...,λn
      • ∣ λ 1 ∣ ≥ ∣ λ 2 ∣ ≥ . . . ≥ ∣ λ r ∣ > ∣ λ r + 1 ∣ = . . . = ∣ λ n ∣ = 0 |\lambda_1|\ge |\lambda_2|\ge ...\ge|\lambda_r|>|\lambda_{r+1}|=...= |\lambda_n|=0 λ1λ2...λr>λr+1=...=λn=0
      • A = W Σ W T A=W\Sigma W^T A=WΣWT, W = ( α 1 , . . . , α n ) W=(\alpha_1,...,\alpha_n) W=(α1,...,αn)
      • A 2 = W Σ 2 W T A^2=W\Sigma^2W^T A2=WΣ2WT
    • 这说明 A 2 A^2 A2也可对角化,特征值为 λ 1 2 , . . . , λ n 2 \lambda_1^2,...,\lambda_n^2 λ12,...,λn2
      • 特征向量为 W = ( α 1 , . . . , α n ) W=(\alpha_1,...,\alpha_n) W=(α1,...,αn)

    • A = U Σ V T A=U\Sigma V^T A=UΣVT

      • Σ \Sigma Σ的对角线是 A 2 A^2 A2的特征值开根号
        • 分别为 ∣ λ 1 ∣ , ∣ λ 2 ∣ , . . . , ∣ λ n ∣ |\lambda_1|,|\lambda_2|,...,|\lambda_n| λ1,λ2,...,λn
    • V V V的每一列是 A 2 A^2 A2的特征向量

      • 也就是 ( α 1 , . . . , α n ) (\alpha_1,...,\alpha_n) (α1,...,αn)
    • U U U的每一列就是 ( A α 1 , . . . , A α n ) (A\alpha_1,...,A\alpha_n) (Aα1,...,Aαn)

    • 所以

    • 上面写的不对。
    • 要记得把 A α i A\alpha_i Aαi单位化一下!
    展开全文
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