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  • 方差分析表解读
    万次阅读 多人点赞
    2020-12-30 12:03:48

    F = M S ⊙ M S E ∼ F ( d f ( ⊙ ) , d f ( E ) ) ( ⊙ 表 示 误 差 来 源 中 因 素 的 简 写 , M S ⊙ 表 示 M S A 、 M S R 或 M S C 等 , d f ( ⊙ ) 表 示 因 素 ⊙ 的 自 由 度 ) F = \frac{MS⊙}{MSE} \sim F(\quad df( ⊙),df(E)\quad) \\ \qquad \\ (⊙表示误差来源中因素的简写,MS⊙表示MSA、MSR或MSC等,df(⊙)表示因素⊙的自由度) F=MSEMSF(df(),df(E))(MSMSAMSRMSCdf())
    M S ⊙ = S S ⊙ d f ( ⊙ ) MS⊙ = \frac{SS⊙}{df(⊙)} MS=df()SS

    自由度 ( d f df df):degree of freedom
    平方和 ( S S SS SS):Sum of Square
    均方 ( M S MS MS):Mean Square

    1. 方差分析表

    1.1 单因素方差分析表

    • k:因素总体的个数
    • n:观测值个数
    误差来源平方和
    S S SS SS
    自由度
    d f df df
    均方
    M S MS MS
    F F F P P P F F F临界值
    S i g n i f i c a n c e    F Significance \; F SignificanceF
    组间(因素影响)
    f a c t o r    A factor \; \bold A factorA
    S S A SSA SSA k − 1 k-1 k1 M S A = S S A k − 1 MSA = \frac{SSA}{k-1} MSA=k1SSA M S A M S E \frac{MSA}{MSE} MSEMSA根据显著性水平 α \alpha α确定
    组内(误差)
    E r r o r \bold{E}rror Error
    S S E SSE SSE n − k n-k nk M S E = S S E n − k MSE = \frac{SSE}{n-k} MSE=nkSSE
    总和
    T o t a l \bold Total Total
    S S T SST SST n − 1 n-1 n1

    1.2 双因素方差分析表

    • k k k:行因素个数
    • r r r:列因素个数
      (为什么不是 r r r为行因素个数, c c c是列因素个数呢?哼?)
    1.2.1 无交互作用的双因素方差分析表
    误差来源平方和
    S S SS SS
    自由度
    d f df df
    均方
    M S MS MS
    F F FP值F临界值
    行因素
    R o w \bold Row Row
    S S R SSR SSR k − 1 k-1 k1 M S R = S S R k − 1 MSR = \frac{SSR}{k-1} MSR=k1SSR F R = M S R M S E F_R = \frac{MSR}{MSE} FR=MSEMSR根据显著性水平 α \alpha α确定
    列因素
    C o l u m n \bold Column Column
    S S C SSC SSC r − 1 r-1 r1 M S C = S S C r − 1 MSC = \frac{SSC}{r-1} MSC=r1SSC F C = M S C M S E F_C = \frac{MSC}{MSE} FC=MSEMSC
    误差
    E r r o r \bold{E}rror Error
    S S E SSE SSE ( k − 1 ) × ( r − 1 ) (k-1)\times(r-1) (k1)×(r1) M S E = S S E ( k − 1 ) × ( r − 1 ) MSE = \frac{SSE}{(k-1)\times(r-1)} MSE=(k1)×(r1)SSE
    总和
    T o t a l \bold Total Total
    S S T SST SST k r − 1 kr-1 kr1
    1.2.2 有交互作用的双因素方差分析表

    在这里插入图片描述


    2. 回归分析表

    2.1 一元回归分析表

    • 回归统计:
    统计量公式
    M u l t i p l e    R Multiple \; R MultipleR相关系数 r = R 2 r = \sqrt{R^2} r=R2
    R    S q u a r e R \; Square RSquare判定系数 R 2 = S S R S S T = r 2 R^2 = \frac{SSR}{SST} = r^2 R2=SSTSSR=r2
    A d j u s t e d    R    S q u a r e Adjusted \; R \; Square AdjustedRSquare调整的 R 2 = 1 − ( 1 − R 2 ) n − 1 n − k − 1 R^2 = 1-(1-R^2)\frac{n-1}{n-k-1} R2=1(1R2)nk1n1
    标准误差 s e = M S E s_e = \sqrt{MSE} se=MSE
    • 方差分析:回归统计需要用到方差分析里的数据
    误差来源 S S SS SS d f df df M S MS MS F F F S i g n i f i c a n c e    F Significance \; F SignificanceF
    回归
    R e g r e s s i o n \bold Regression Regression
    S S R SSR SSR 1 1 1 M S R = S S R 1 MSR = \frac{SSR}{1} MSR=1SSR F = M S R M S E ∼ F ( 1 , n − 2 ) F = \frac{MSR}{MSE} \sim F(1, n-2) F=MSEMSRF(1,n2)根据显著性水平 α \alpha α确定
    残差
    E r r o r \bold{E}rror Error
    S S E SSE SSE n − 2 n-2 n2 M S E = S S E n − 2 MSE = \frac{SSE}{n-2} MSE=n2SSE
    总计
    T o t a l \bold Total Total
    S S T SST SST n − 1 n-1 n1
    • 回归分析估计:
    估计量系数
    C o e f f i c i e n t s Coefficients Coefficients
    标准误差
    t t t 统计量
    t    S t a t t \; Stat tStat
    P值
    P − v a l u e P-value Pvalue
    置信区间
    L o w e r    95 % Lower \; 95\% Lower95%
    置信区间
    U p p e r    95 % Upper \; 95\% Upper95%
    截距
    I n t e r c e p t Intercept Intercept
    β ^ 0 \hat \beta_0 β^0 s β ^ 0 s_{\hat \beta_0} sβ^0 t = β ^ 0 s β ^ 0 t = \frac{\hat \beta_0}{s_{\hat \beta_0}} t=sβ^0β^0
    斜率
    X    V  ⁣ a r i a b l e    1 X \; V\!ariable \;1 XVariable1
    β ^ 1 \hat \beta_1 β^1 s β ^ 1 s_{\hat \beta_1} sβ^1 t = β ^ 1 s β ^ 1 t = \frac{\hat \beta_1}{s_{\hat \beta_1}} t=sβ^1β^1

    2.2 多元回归分析表(其实只用看这个就好了,当k=1时就是一元回归分析)

    k:自变量x的个数

    • 回归统计:
    统计量公式
    M u l t i p l e    R Multiple \; R MultipleR相关系数 r = R 2 r = \sqrt{R^2} r=R2
    R    S q u a r e R \; Square RSquare判定系数 R 2 = S S R S S T = r 2 R^2 = \frac{SSR}{SST} = r^2 R2=SSTSSR=r2
    A d j u s t e d    R    S q u a r e Adjusted \; R \; Square AdjustedRSquare调整的 R 2 = 1 − ( 1 − R 2 ) n − 1 n − k − 1 R^2 = 1-(1-R^2)\frac{n-1}{n-k-1} R2=1(1R2)nk1n1
    标准误差 s e = M S E s_e = \sqrt{MSE} se=MSE
    • 方差分析:回归统计需要用到方差分析里的数据
    误差来源 S S SS SS d f df df M S MS MS F F F S i g n i f i c a n c e    F Significance \; F SignificanceF
    回归
    R e g r e s s i o n \bold Regression Regression
    S S R SSR SSR k ( 自 变 量 x 的 个 数 ) k(自变量x的个数) k(x) M S R = S S R k MSR = \frac{SSR}{k} MSR=kSSR F = M S R M S E ∼ F ( k , n − k − 1 ) F = \frac{MSR}{MSE} \sim F(k, n-k-1) F=MSEMSRF(k,nk1)根据显著性水平 α \alpha α确定
    残差
    E r r o r \bold{E}rror Error
    S S E SSE SSE n − k − 1 n-k-1 nk1 M S E = S S E n − k − 1 MSE = \frac{SSE}{n-k-1} MSE=nk1SSE
    总计
    T o t a l \bold Total Total
    S S T SST SST n − 1 n-1 n1
    • 回归分析估计:
    估计量系数
    C o e f f i c i e n t s ( β ^ i ) Coefficients(\hat \beta_i) Coefficients(β^i)
    标准误差( s β ^ i s_{\hat \beta_i} sβ^i)检验统计量( t t t )
    t    S t a t t \; Stat tStat
    P值
    P − v a l u e P-value Pvalue
    置信区间
    L o w e r    95 % Lower \; 95\% Lower95%
    置信区间
    U p p e r    95 % Upper \; 95\% Upper95%
    截距
    I n t e r c e p t Intercept Intercept
    β ^ 0 \hat \beta_0 β^0 s β ^ 0 s_{\hat \beta_0} sβ^0 t 0 = β ^ 0 s β ^ 0 t_0 = \frac{\hat \beta_0}{s_{\hat \beta_0}} t0=sβ^0β^0
    x 1 x_1 x1
    X    V  ⁣ a r i a b l e    1 X \; V\!ariable \;1 XVariable1
    β ^ 1 \hat \beta_1 β^1 s β ^ 1 s_{\hat \beta_1} sβ^1 t 1 = β ^ 1 s β ^ 1 t_1 = \frac{\hat \beta_1}{s_{\hat \beta_1}} t1=sβ^1β^1
    x 2 x_2 x2
    X    V  ⁣ a r i a b l e    2 X \; V\!ariable \;2 XVariable2
    β ^ 2 \hat \beta_2 β^2 s β ^ 2 s_{\hat \beta_2} sβ^2 t 2 = β ^ 2 s β ^ 2 t_2 = \frac{\hat \beta_2}{s_{\hat \beta_2}} t2=sβ^2β^2
    . . . . . . ...... ......
    x k x_k xk
    X    V  ⁣ a r i a b l e    k X \; V\!ariable \;k XVariablek
    β ^ k \hat \beta_k β^k s β ^ k s_{\hat \beta_k} sβ^k t k = β ^ k s β ^ k t_k = \frac{\hat \beta_k}{s_{\hat \beta_k}} tk=sβ^kβ^k
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    方差分析表的解读

    方差分析表(analysis of variance table)是指为了便于进行数据分析和统计判断,按照方差分析的过程,将有关步骤的计算数据,例如差异来源、离差平方和、自由度、均方和F检验值等指标数值逐一列出,以方便检查和分析的统计分析表。

    利用 Excel 中数据分析的功能可以快速构造出方差分析表。

    方差分析表(Analysis of variance table)可以用下面的表格来表示,其各个数据的含义解读如下:

     


    利用方差分析表作出统计决策

    1. 提出假设

    H_{0}\mu _{1}=\mu _{2}=... =\mu _{k},自变量对因变量没有显著影响。

    H_{1}\mu _{1}\mu _{2},..,\mu _{k} 不全相等,自变量对因变量有显著影响。

    2. 计算有关均值

    为了便于分析,设单因素方差分析的数据结构如下表所示。

    单因素方差分析的数据结构因素
      
    观察值序号(j因素(i)
    A1A2

    ……

    Ak
    1

    x_{11}

    x_{21}

     

    ……

     

    x_{1k}

     

    2

    x_{12}

    x_{22}

     

    ……

     

    x_{2k}

     

     

     

     

     

     

     

    n

    x_{1n}

    x_{2n}

     

    ……

     

    x_{nk}

     

    因素A的k个水平用 A_{1}A_{2},……A_{k} 表示,x_{ij} 表示第 i 个水平(总体)第 j 个观察值。从不同水平中所抽取的样本容量可以相等,也可以不等。

    ① 令  \overline{x_{i}} 表示第 i 个总体的样本均值,则

    \overline{x_{i}} = \frac{\sum_{j=1}^{n_{i}}x_{ij}}{n_{i}}i=1,2,...,k

    其中,n_{i} 为第 i 个总体的样本观察值个数。

    ② 令总均值为 \overline{\overline{x}},则

     \overline{\overline{x}} = \frac{\sum_{i=1}^{k}\sum_{j=1}^{n_{i}}x_{ij}}{n} = \frac{\sum_{i=1}^{k}n_{i}\overline{x_{i}}}{n}

    式中,n = n_{1}+n_{2}+...+n_{k}

    3. 计算误差平方和

    ① 总误差平方和SST。它是全部观察值 x_{ij} 与总平均值 \overline{\overline{x}} 的误差平方和,反映全部观察值的离散程度。

     

    ② 水平项误差平方和SSA。它是各组平均值 \overline{x_{i}} \left ( i=1,2,...k \right )与总平均值 \overline{\overline{x}} 的误差平方和,反映了各水平总体的样本均值之间的差异程度,因此又称为组间平方和

    ③ 误差项平方和SSE。它是每个水平或各组的各样本数据与其组平均值误差的平方和,反映了每个样本各观察值的离散状况,因此又称为组内平方和或残差平方和

     

    4. 计算统计量

    组间均方MSA。MSA计算公式为 MSA = \frac{SSA}{k-1}

    组内均方MSE。MSE的计算公式为 MSE = \frac{SSE}{n-k}

    ③ 检验统计量F。F是MSA与MSE的比值,F = \frac{MSA}{MSE} ~ F\left ( k-1,n-k \right )

    5. 做出统计决策

    计算出统计量F的值后,根据给定的显著性水平α,在F分布表中查找分子自由度为(k-1)、分母自由度为n-k的相应临界值F_{\alpha }

    F> F_{\alpha },则拒绝原假设H_{0};

    F< F_{\alpha },则不拒绝H_{0}。 

    6. 总结

    1、方差分析表一般是反映一组或多组变量数据偏离平均值的波动大小的表格数据。方差也称平方差。

    2、首先分析表格中有哪些数据,如组数,然后分析是单因素还是多因素影响的数据。

    3、分析他们之间的变化关系,求出组中值或平均值,然后观察表格,比较方差大小。

    4、在平均数确定的情况下,方差越大,数据的性质越不稳定,波动越大;方差越小,数据的性质越稳定,波动小。

    5、根据稳定或波动情况,分析数据的集中趋势,进行判断该项数据的特点,以及是否适合采用。


    双因素方差分析

    在实际问题的研究中,有时需要考虑两个因素对实验结果的影响。

    例如饮料销售,除了关心饮料颜色之外,我们还想了解销售地区是否影响销售量,如果在不同的地区,销售量存在显著的差异,就需要分析原因。采用不同的销售策略, 使该饮料品牌在市场占有率高的地区继续深入人心,保持领先地位;在市场占有率低的地区,进一步扩大宣传,让更多的消费者了解、接受该产品。

    若把饮料的颜色看作影响销售量的因素A,饮料的销售地区则是影响因素B。对因素A和因素B同时进行分析,就属于双因素方差分析的内容, 双因素方差分析是对影响因素进行检验,究竟是一个因素在起作用,还是两个因素都起作用,或是两个因素的影响都不显著。

    双因素方差分析法的类型

    双因素方差分析有两种类型:

    • 一个是无交互作用的双因素方差分析,它假定因素A 和因素B的效应之间是相互独立的,不存在相互关系;
    • 另一个是有交互作用的双因素方差分析,它假定因素A和因素B的结合会产生出一种新的效应。

    例如,若假定不同地区的消费者对某种颜色有与其他地区消费者不同的特殊偏爱,这就是两个因素结合后产生的新效应,属于有交互作用的背景;否则,就是无交互作用的背景。有交互作用的双因素方差分析已超出本书的范围,这里介绍无交互作用的双因素方差分析。

    上表中:

    因素A位于列的位置,共有 r 个水平,\overline{X_{j}} 代表第 j 种水平的样本平均数;

    因素B位于行的位置,共有 k 个水平,\overline{X_{i}} 代表第   i 种水平的样本平均数。

    \bar{\bar x}为样本总平均数,样本容量 n=r\times k

    每一个观察值 X_{ij} 看作由A因素的 r 个水平和B因素的 k 个水平所组合成的 r\times k 个总体中抽取样本容量为1的独立随机样本。

    这 r\times k 个总体的每一个总体均服从正态分布,且有相同的方差。这是进行双因素方差分析的假定条件。

     

    展开全文
  • 作于: 2020-12-4 1:51

    在这里插入图片描述
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    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述

    作于:
    2020-12-4
    1:51
    修改于:
    2020-12-11
    14:41

    展开全文
  • 通俗易懂说单因素方差分析表

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    单因素方差表的核心内容是利用组间的离差平方和比上组内离差平方和。(注:离差平方和指的是各项与平均项的的平方求和) 根据上述所求的参数,与已知的显著性参数比较,我们可以得到组间的差异和组内的差异的大小...

    单因素方差分析
    由单因素方差分析的名字,我们可以知道单因素指的是一个因素,即一个自变量,一个因变量,采用方差的方式进行分析。单因素方差表的核心内容是利用组间的离差平方和比上组内离差平方和。(注:离差平方和指的是各项与平均项的差的平方求和)

    根据上述所求的参数,与已知的显著性参数比较,我们可以得到组间的差异和组内的差异的大小到底有多少,如果所求参数比较大,那么说明组间差异比较大,说明这个单因素的影响很大。反之,说明组间差距很小,单因素的影响很小。例如:
    在这里插入图片描述
    这里我们考虑只考虑电流对杂质率的影响。所谓组间就是指电流取10,取15,取20,取25。组内指的是,当取了电流为10的时候,我们随机取了4个样本来统计,这4个样本都是在电流为10的情况下取的称为组内。
    然后我们对组内求和,算组内离差平方和分别得到4个组的离差平方和为0.160,0.028,0.172,0.132.然后算组间离差平方和。把组内和的平均值2,2.12,1.53,2.06,4个数拿来求组间平方和,最后结果为0.21(图上没有,手动计算的)。把组间离差平方和比上组内离差平方和得到结果,和给定的显著性参数比较,得出结论,是否电流对杂质影响大。
    单因素方差表公式如下:
    在这里插入图片描述
    单因素方差分析公式表因子A的影响其实就是组间的影响,误差是组内的影响,总和是总的影响。
    根据公式计算绘制如下的方差表:
    在这里插入图片描述
    根据最后得到的F值与最后条件给的显著性进行比较(此处假设给1.9)。
    我们计算的F值为2.276大于1.9,说明组间差异很明显,即说明了电流对杂质率很明显。

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空空如也

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方差分析表解读