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问答
  • 输入矩阵是 3x3。 它仅适用于“ZYX”序列。 函数“dcm2angle”在 Airspace 工具箱中的 Matlab 2012b 中可用,它也启用其他序列。 但是,如果您没有访问该工具箱的权限,那么……这才是开始:-)。 包括一个例子。
  • 方向余弦矩阵

    2015-08-14 10:04:14
    方向余弦矩阵(DCM),是APM飞控解算角度的核心算法
  • 给定从 XYZ 到 xyz 的正交变换的方向余弦矩阵为 Q。求此变换的欧拉角 fi 、 theta 和 psi 。 有关更多示例,请访问www.smallsats.org
  • 主要讲述的是方向余弦矩阵,该文档能够快速让人理解DCM的原理,对apm里的DCM算法有更深理解
  • 方向余弦矩阵求欧拉角
  • 北航的基于方向余弦矩阵的姿态解算设计ppt。主要讲解了惯性系、地理系 地心系、载体系的定义,以及各坐标系间的方向余弦阵的变换求解。适合惯性导航和视觉SLAM的学习。
  • 欧拉角,四元数和方向余弦矩阵三者之间相互转换的代码,采用北-东-地坐标系
  • 方向余弦矩阵与四元数

    千次阅读 2018-10-06 11:44:49
    姿态解算方向余弦四元数 ) 方向余弦 四元数 四元数是由实数和虚数组成的一组超复数,假设Q是一个四元数。 Q=w+ xi +yj +zj

    )

    方向余弦矩阵

    基本概念

    方向余弦:
    在坐标系R中设v为一个空间向量,在R坐标系下的投影为(vx,vy,vz)
    与其x y z 轴分别成 α β γ \alpha \beta \gamma αβγ角度,则 c o s α , c o s β , c o s γ cos\alpha ,cos\beta,cos\gamma cosα,cosβ,cosγ分别为v在三轴的方向余弦,大小分别等于|vx|,|vy|,|vz|。

    方向余弦矩阵(direction cosine matrix)
    在一个平面内对向量进行旋转相当于对坐标进行旋转,初始状态下令载体坐标系和参考坐标系完全重合。
    方向余弦矩阵便是存放着一系列方向余弦,设r(x,y,z)为参考坐标系,O(X1,Y1,Z1)为载体坐标系,载体转动时,载体坐标系会相对于参考坐标系转动,把载体坐标系的三个轴当做三个单位向量(vx,vy,vz),每个载体坐标轴都可以在参考坐标系上找到三个对应的方向余弦。最终得到九个方向余弦,把九个方向余弦写成矩阵形式就是方向余弦矩阵。
    而方向余弦矩阵的写法有两种,一种是载体坐标系相对于参考坐标系,一种是参考坐标系相对于载体坐标系。
    C 0 r = [ c 11 c 12 c 13 c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33 ] 或 C r 0 = [ c 11 c 21 c 31 c 12 c 22 c 32 c 13 c 23 c 33 ] C_0^r=\begin{bmatrix}\\ c_{11} c_{12}c_{13} \\ c_{21} c_{22} c_{23} \\ c_{31}c_{32}c_{33} \end{bmatrix}或C_r^0=\begin{bmatrix}\\ c_{11} c_{21}c_{31} \\ c_{12} c_{22} c_{32} \\ c_{13}c_{23}c_{33} \end{bmatrix} C0r=c11c12c13c21c22c23c31c32c33Cr0=c11c21c31c12c22c32c13c23c33
    C_0^r表称O系对于r系的方向余弦矩阵,这两个矩阵互为转置矩阵。
    C 12 = c o s ( x r . x 0 ) C_{12}=cos(x_r.x_0) C12=cos(xr.x0)载体坐标系上的$x_0相对于参考坐标系上的x_r的方向余弦,
    C 12 = c o s ( x r , y 0 ) 同 理 C_{12}=cos(x_r,y_0)同理 C12=cos(xr,y0) y 0 相 对 于 参 考 坐 标 系 上 x r 的 方 向 余 弦 y_0相对于参考坐标系上x_r的方向余弦 y0xr

    已知欧拉角求方向余弦

    ψ θ γ \psi \theta \gamma ψθγ
    [ c o s γ c o s ψ + s i n γ s i n ψ s i n θ − c o s γ s i n ψ s i n θ − s i n γ c o s θ s i n ψ c o s θ c o s ψ c o s θ s i n θ s i n γ c o s ψ − c o s γ s i n ψ s i n θ − s i n γ s i n ψ − c o s γ c o s ψ s i n θ c o s γ c o s θ ] \begin{bmatrix} cos \gamma cos\psi +sin\gamma sin\psi sin \theta& -cos\gamma sin\psi sin\theta & -sin\gamma cos\theta \\ sin\psi cos\theta&cos\psi cos\theta &sin\theta \\sin\gamma cos\psi -cos\gamma sin\psi sin\theta &-sin\gamma sin\psi -cos\gamma cos\psi sin\theta&cos\gamma cos\theta \end{bmatrix} cosγcosψ+sinγsinψsinθsinψcosθsinγcosψcosγsinψsinθcosγsinψsinθcosψcosθsinγsinψcosγcosψsinθsinγcosθsinθcosγcosθ

    已知方向余弦求欧拉角

    方向余弦矩阵: [ T 11 T 21 T 31 T 12 T 22 T 32 T 13 T 23 T 33 ] \begin{bmatrix} T_{11}&T_{21}&T_{31}\\T_{12}&T_{22}&T_{32} \\T_{13}&T_{23}&T_{33}\end{bmatrix} T11T12T13T21T22T23T31T32T33
    推出:
    横滚角: θ = a r c s i n T 32 \theta=arcsinT_{32} θ=arcsinT32
    俯仰角:
    γ = a r c t a n ( − T 32 T 33 ) \gamma=arctan(-\frac{T_{32}}{T_{33}}) γ=arctan(T33T32)
    偏航角:
    ψ = a r c t a n ( T 12 T 22 ) \psi =arctan(\frac {T_{12}}{T_{22}}) ψ=arctan(T22T12)

    四元数

    基本概念

    四元数是由实数虚数组成的一组超复数,假设Q是一个四元数。

                          Q =  w  +  xi +  yj +  zj
    

    其中w表示四元数的实数大小,x,y,z表示虚数大小,实部单位为1,虚部单为为i,j,k。

    四元数一般表示:
    q ⃗ = [ w v ⃗ ] = [ w ( x y z ) ] \vec{q}=[w \vec{v}]=[w (xyz)] q =[wv ]=[w(xyz)]

    四元数表征姿态

    其中w为实数部分, v ⃗ \vec{v} v 为矢量部分,首先讨论如何把一个空间向量转换到四元数。
    假设在三维空间中有一个点(x,y,z),拓展到四元数空间有
    p ⃗ = [ 0 ( x y z ) ] \vec{p}=[0(x y z)] p =[0(xyz)]
    p ⃗ \vec{p} p 就是三维空间中一点四元数的表示,而旋转是通过旋转四元数来实现的。现在假设空间中有一个向量 n ⃗ \vec{n} n , ( n x , n y , n z ) (n_x,n_y,n_z) (nx,ny,nz),若用四元数来表示点p(x,y,z)绕向量 n ⃗ \vec{n} n 旋转 θ \theta θ角度后 p , p^, p,
    定义旋转四元数为 p ⃗ \vec{p} p 则对于本次旋转有:

    p ⃗ = [ c o s \vec{p}=[cos p =[cos ( θ 2 ) (\frac{\theta}{2}) (2θ) sin ( θ 2 ) (\frac{\theta}{2}) (2θ) n ⃗ \vec{n} n ]=[cos ( θ 2 ) (\frac{\theta}{2}) (2θ) . . . sin ( θ 2 ) (\frac{\theta}{2}) (2θ) n x ⃗ \vec{n_x} nx . . . sin ( θ 2 ) (\frac{\theta}{2}) (2θ) n y ⃗ \vec{n_y} ny . . . sin ( θ 2 ) (\frac{\theta}{2}) (2θ) n z ⃗ \vec{n_z} nz ]
    (其中.为分隔用)

    其中

    n x ⃗ \vec{n_x} nx n y ⃗ \vec{n_y} ny n z ⃗ \vec{n_z} nz
    n x ⃗ \vec{n_x} nx = n x n_x nx*i n y ⃗ \vec{n_y} ny = n y n_y ny*j n z ⃗ \vec{n_z} nz = n z n_z nz*k

    若想得到旋转后的矩阵只需要执行以下式子

    p , ⃗ = q ⃗ p ⃗ q ⃗ − 1 \vec{p^,}=\vec{q}\vec{p} \vec{q}^-1 p, =q p q 1

    ( q ⃗ − 1 为 q ⃗ 的 逆 矩 阵 ) (\vec{q}^-1为\vec{q}的逆矩阵) (q 1q )

    想 要 推 导 下 面 的 公 式 需 要 了 解 两 个 概 念 想要推导下面的公式需要了解两个概念

    <1四元数的共轭

    四元数的共轭就是让四元数的向量部分取负,记作
    p ⃗ \vec{p} p =[w v ⃗ \vec{v} v ]=[w - v ⃗ \vec{v} v ]=[w (-x -y -z)]
    四元数与他的共轭代表反向的角位移,因为相当于旋转轴反向

    <2四元数的逆

    四元数的逆就是他的共轭除以他的模
    q − 1 ⃗ = ( q ⃗ ∗ ) ( ∣ q ⃗ ∣ ) \vec{q^-1} = \frac{(\vec{q}*)}{(|\vec{q}|)} q1 =(q )(q )
    一般使用单位四元数,所以他的逆和共轭是相等的
    因为公式中涉及到四元数的乘法,在表示旋转时用叉乘,计算公式如下
    [ w 1 ( x 1 y 1 z 1 ) ] [ w 2 ( x 2 y 2 z 2 ) ] = [ w 1 w 2 − x 1 x 2 − y 1 y 2 − z 1 z 2 ( w 1 x 2 + x 1 w 2 + z 1 y 2 − y 1 z 2 w 1 y 2 + y 1 w 2 + x 1 z 2 − z 1 x 2 w 1 z 2 + z 1 w 2 + y 1 x 2 − x 1 y 2 ) ] [w_1 (x_1 y_1 z_1)][w_2 ( x_2 y_2 z_2)]=\begin{bmatrix} w_1w_2 -x_1x_2 -y_1y_2-z_1z_2\\ \begin{pmatrix}w_1x_2 + x_1w_2 +z_1y_2-y_1z_2 \\w_1y_2+y_1w_2+x_1z_2-z_1x_2 \\w_1z_2+z_1w_2+y_1x_2-x_1y_2 \end{pmatrix} \end{bmatrix} [w1(x1y1z1)][w2(x2y2z2)]=w1w2x1x2y1y2z1z2w1x2+x1w2+z1y2y1z2w1y2+y1w2+x1z2z1x2w1z2+z1w2+y1x2x1y2
    example:

    假设空间中有一个点p(0,1,0)饶z轴逆时针旋转90度,求旋转后的 p , p^, p,点。理论上 p , p^, p,点为(-1,0,0)。
    首先把p(0,1,0)拓展成一个四元数 p ⃗ \vec{p} p =(0,0,j,0),然后定义旋转四元数,旋转轴为z轴化为单位向量(0,0,1),因为旋转角度为90度所以------

    q ⃗ = ( c o s 4 5 。 , 0 , 0 , 1 ∗ s i n 4 5 。 k ) = ( 2 2 , 0 , 0 , 2 2 k ) \vec{q}=(cos45^。,0,0,1*sin45^。k)=(\frac{\sqrt 2}{2},0,0,\frac{\sqrt 2}{2}k) q =(cos45,0,0,1sin45k)=(22 ,0,0,22 k)
    单位四元数的逆的共轭是相等的

    q ⃗ − 1 = ( 2 2 , 0 , 0 , − 2 2 k ) \vec{q}^-1=(\frac{\sqrt 2}{2},0,0,-\frac{\sqrt 2}{2}k) q 1=(22 ,0,0,22 k)

    由四元数叉乘计算公式 p , ⃗ = q ⃗ p ⃗ q ⃗ − 1 \vec{p^,}=\vec{q}\vec{p} \vec{q}^-1 p, =q p q 1 用上述乘法公式计算
    q ⃗ p ⃗ = ( 0 , 2 2 k j , 2 2 j , 0 ) \vec{q}\vec{p}=(0,\frac{\sqrt 2}{2}kj,\frac{\sqrt 2}{2}j,0) q p =(0,22 kj,22 j,0)
    k*j=-i再乘以 q ⃗ − 1 得 到 p ⃗ , = [ 0 , − i , 0 , 0 ] \vec{q}^{-1}得到\vec{p}^{,}=[0,-i,0,0] q 1p ,=[0,i,0,0],带回去得到点[-1,0,0]即为旋转之后的坐标。

    四元数与方向余弦

    由前面的介绍知道了旋转四元数 q = c o s θ 2 + x ∗ s i n θ 2 ∗ i + y ∗ s i n θ 2 ∗ j + z ∗ s i n θ 2 ∗ k q=cos\frac {\theta}{2}+x*sin\frac{\theta}{2}*i+y*sin\frac {\theta}{2}*j+z*sin\frac{\theta}{2}*k q=cos2θ+xsin2θi+ysin2θj+zsin2θk
    这里令 q 0 = c o s θ 2 , q 1 = s i n θ 2 , q 2 = s i n θ 2 , q 3 = s i n θ 2 , q_0=cos\frac{\theta}{2},q_1=sin\frac{\theta} {2},q_2=sin\frac{\theta}{2},q_3=sin\frac{\theta}{2}, q0=cos2θ,q1=sin2θ,q2=sin2θ,q3=sin2θ,
    q= q 0 + q 1 i + q 2 j + q 3 k q_0+q_1i+q_2j+q_3k q0+q1i+q2j+q3k四元数旋转的方向余弦矩阵公式如下:
    [ x b y b z b ] = [ q 0 2 + q 1 2 − q 2 2 − q 3 2 2 ( q 1 q 2 + q 0 q 3 ) 2 ( q 1 q 3 − q 0 q 2 ) 2 ( q 1 q 2 − q 0 q 3 ) q 0 2 − q 1 2 + q 2 2 − q 3 2 2 ( q 0 q 1 + q 2 q 3 ) 2 ( q 1 q 2 − q 0 q 3 ) 2 ( q 2 q 3 − q 0 q 1 ) q 0 2 − q 1 2 − q 2 2 + q 3 2 ] ⋅ [ x n y n z n ] \begin{bmatrix} x_b\\y_b\\z_b\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}q_0^2+q_1^2-q_2^2-q_3^2&amp; 2(q_1q_2+q_0q_3)&amp;2(q_1q_3-q_0q_2) \\2(q_1q_2-q_0q_3)&amp;q_0^2-q_1^2+q_2^2-q_3^2&amp;2(q_0q_1+q_2q_3) \\2(q_1q_2-q_0q_3)&amp;2(q_2q_3-q_0q_1)&amp;q_0^2-q_1^2-q_2^2+q_3^2 \\ \end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}x_n \\y_n \\z_n\end{bmatrix} xbybzb=q02+q12q22q322q1q2q0q32(q1q2q0q3)2(q1q2+q0q3)q02q12+q22q322(q2q3q0q1)2(q1q3q0q2)2(q0q1+q2q3)q02q12q22+q32xnynzn
    四 元 数 表 示 的 旋 转 矩 阵 公 式 四元数表示的旋转矩阵公式

    姿态表示的三种方法

    欧拉角

    直观的欧拉角 横滚角roll 俯仰角pitch 偏航角 yaw

    方向余弦矩阵

    [ c o s γ c o s ψ + s i n γ s i n ψ s i n θ − c o s γ s i n ψ s i n θ − s i n γ c o s θ s i n ψ c o s θ c o s ψ c o s θ s i n θ s i n γ c o s ψ − c o s γ s i n ψ s i n θ − s i n γ s i n ψ − c o s γ c o s ψ s i n θ c o s γ c o s θ ] \begin{bmatrix} cos \gamma cos\psi +sin\gamma sin\psi sin \theta&amp; -cos\gamma sin\psi sin\theta &amp; -sin\gamma cos\theta \\ sin\psi cos\theta&amp;cos\psi cos\theta &amp;sin\theta \\sin\gamma cos\psi -cos\gamma sin\psi sin\theta &amp;-sin\gamma sin\psi -cos\gamma cos\psi sin\theta&amp;cos\gamma cos\theta \end{bmatrix} cosγcosψ+sinγsinψsinθsinψcosθsinγcosψcosγsinψsinθcosγsinψsinθcosψcosθsinγsinψcosγcosψsinθsinγcosθsinθcosγcosθ

    四元数

    [ x b y b z b ] = [ q 0 2 + q 1 2 − q 2 2 − q 3 2 2 ( q 1 q 2 + q 0 q 3 ) 2 ( q 1 q 3 − q 0 q 2 ) 2 ( q 1 q 2 − q 0 q 3 ) q 0 2 − q 1 2 + q 2 2 − q 3 2 2 ( q 0 q 1 + q 2 q 3 ) 2 ( q 1 q 2 − q 0 q 3 ) 2 ( q 2 q 3 − q 0 q 1 ) q 0 2 − q 1 2 − q 2 2 + q 3 2 ] ⋅ [ x n y n z n ] \begin{bmatrix} x_b\\y_b\\z_b\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}q_0^2+q_1^2-q_2^2-q_3^2&amp; 2(q_1q_2+q_0q_3)&amp;2(q_1q_3-q_0q_2) \\2(q_1q_2-q_0q_3)&amp;q_0^2-q_1^2+q_2^2-q_3^2&amp;2(q_0q_1+q_2q_3) \\2(q_1q_2-q_0q_3)&amp;2(q_2q_3-q_0q_1)&amp;q_0^2-q_1^2-q_2^2+q_3^2 \\ \end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}x_n \\y_n \\z_n\end{bmatrix} xbybzb=q02+q12q22q322q1q2q0q32(q1q2q0q3)2(q1q2+q0q3)q02q12+q22q322(q2q3q0q1)2(q1q3q0q2)2(q0q1+q2q3)q02q12q22+q32xnynzn

    s p a r k − 1 spark-1 spark1

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  • 旋转的描述【1】——方向余弦矩阵

    千次阅读 2020-04-18 19:00:40
    方向余弦矩阵2.2.旋转矢量2.2.1等效旋转矢量2.2.2罗德里格参数2.3.四元数2.4 欧拉角3.相关转化 刚体定点旋转 1.定义 我们对Markdown编辑器进行了一些功能拓展与语法支持,除了标准的Markdown编辑器功能,我们增加了...

    1.定义

    方向余弦矩阵是由两组不同标准正交基基底向量之间的方向余弦所形成的矩阵。
     通常一个矢量 V V V在某个坐标系内可用矢量的坐标该坐标系的标准正交基来表示。例如,一个矢量在直角 X Y Z XYZ XYZ坐标系下的坐标为 ( a , b , c ) (a,b,c) (a,b,c),则 V = a i + b j + c k V=ai+bj+ck V=ai+bj+ck。这里的 i , j , k i,j,k i,j,k即为坐标系的标准正交基,分别是 X Y Z XYZ XYZ三轴的单位矢量,模值均为1。
     方向余弦矩阵可以用来表达一组标准正交基与另一组标准正交基之间的转化关系,也可以用来表达一个向量对于另一组标准正交基的方向余弦。换句话说,方向余弦矩阵可以表示两个坐标系间的角位置关系,也可以表示一个向量相对于一个坐标系的角位置。

    2.推导

    2.1 已知条件

     如定义所言,标准正交基可以确定一个坐标系。
     假设有一个坐标系n,经绕着原点的旋转后到达坐标系b,那如何表示旋转后的坐标系b呢?我们自然想到,如果坐标系b的标准正交基可以用坐标系n的标准正交基表示,那么就可以在坐标系n内确定坐标系b,两个坐标系的相对角位置就确定了。

    2.2 推导目标

     将坐标系b的标准正交基用坐标系n的标准正交基表示,换句话讲,求坐标系b标准正交基在坐标系n内的坐标。

    2.3 推导过程

     先看二维情况,如图所示,假设坐标系 X b Y b X_{b}Y_{b} XbYb和坐标系 X n Y n X_{n}Y_{n} XnYn,分别称为 b b b系和 n n n系,其基底分别为 i b , j b i_{b},j_{b} ib,jb i n , j n i_{n},j_{n} in,jn,坐标系 b b b由坐标系 n n n旋转得到。考虑用 n n n系的标准正交基来表示 b b b的标准正交基,于是将 b b b系标准正交基的基底(以下简称基底)投影到 n n n系。结合向量内积的含义,得到如下图所示的关系。
    描述个屁,看图自明
     如上图所示,基底 i b i_{b} ib需要投影到 n n n系下水平 i n i_{n} in和垂直 j n j_{n} jn两个方向。先看投影到 i n i_{n} in的部分,投影到 i n i_{n} in的分量由两部分构成,前面括号里的内积 i b ⋅ i n i_{b} \cdot i_{n} ibin表示 i b i_{b} ib投影到 i n i_{n} in的大小,后面的 i n i_{n} in表示投影矢量方向。由于两个矢量都是单位矢量,
    i b ⋅ i n = ∣ i b ∣ ∗ ∣ i n ∣ ∗ c o s ⟨ i b , i n ⟩ = ∣ i b ∣ ∗ c o s ⟨ i b , i n ⟩ = c o s ⟨ i b , i n ⟩ (1) i_{b} \cdot i_{n}=\lvert i_{b}\rvert* \lvert i_{n}\rvert * cos \left \langle i_{b},i_{n} \right \rangle=\lvert i_{b}\rvert * cos \left \langle i_{b},i_{n} \right \rangle=cos \left \langle i_{b},i_{n} \right \rangle\tag{1} ibin=ibincosib,in=ibcosib,in=cosib,in(1)类比可以得到 i b i_{b} ib投影到 n n n系下垂直 j n j_{n} jn方向的分量。
    于是,基底 i b i_{b} ib n n n系下可以表示为
    i b = ( i b ⋅ i n ) i n + ( i b ⋅ j n ) j n (2) i_{b}=(i_{b} \cdot i_{n})i_{n}+(i_{b} \cdot j_{n})j_{n}\tag{2} ib=(ibin)in+(ibjn)jn(2)同理可得,基底 j b j_{b} jb n n n系下可以表示为
    j b = ( j b ⋅ i n ) i n + ( j b ⋅ j n ) j n (3) j_{b}=(j_{b} \cdot i_{n})i_{n}+(j_{b} \cdot j_{n})j_{n}\tag{3} jb=(jbin)in+(jbjn)jn(3)
    将式 ( 2 ) ( 3 ) (2)(3) (2)(3)写为矩阵形式有,
    [ i b j b ] = [ i n j n ] [ i b ⋅ i n j b ⋅ i n i b ⋅ j n j b ⋅ j n ] (4) \left [ \begin{matrix} i_{b} & j_{b} \end{matrix}\right ]=\left [ \begin{matrix} i_{n} & j_{n} \end{matrix}\right ]\begin{bmatrix} i_{b}\cdot i_{n} & j_{b}\cdot i_{n}\\ i_{b}\cdot j_{n}& j_{b}\cdot j_{n} \end{bmatrix}\tag{4} [ibjb]=[injn][ibinibjnjbinjbjn](4)
    结合 ( 1 ) (1) (1)式,上式可写为
    [ i b j b ] = [ i n j n ] [ c o s ⟨ i b , i n ⟩ c o s ⟨ j b , i n ⟩ c o s ⟨ i b , j n ⟩ c o s ⟨ j b , j n ⟩ ] (4) \left [ \begin{matrix} i_{b} & j_{b} \end{matrix}\right ]=\left [ \begin{matrix} i_{n} & j_{n} \end{matrix}\right ]\begin{bmatrix} cos \left \langle i_{b},i_{n} \right \rangle &cos \left \langle j_{b},i_{n} \right \rangle\\ cos \left \langle i_{b},j_{n} \right \rangle& cos \left \langle j_{b},j_{n} \right \rangle \end{bmatrix}\tag{4} [ibjb]=[injn][cosib,incosib,jncosjb,incosjb,jn](4)
     将以上情况推广到三维情况下时,标准正交基中增加基底 k k k,容易得到相应的基底变换式为:
    [ i b j b k b ] = [ i n j n k b ] [ c o s ⟨ i b , i n ⟩ c o s ⟨ j b , i n ⟩ c o s ⟨ k b , i n ⟩ c o s ⟨ i b , j n ⟩ c o s ⟨ j b , j n ⟩ c o s ⟨ k b , j n ⟩ c o s ⟨ i b , k n ⟩ c o s ⟨ j b , k n ⟩ c o s ⟨ k b , k n ⟩ ] = [ i n j n k b ] P n b (5) \begin{aligned}\left [ \begin{matrix} i_{b} & j_{b}& k_{b} \end{matrix}\right ]&=\left [ \begin{matrix} i_{n} & j_{n}& k_{b} \end{matrix}\right ]\begin{bmatrix} cos \left \langle i_{b},i_{n} \right \rangle &cos \left \langle j_{b},i_{n} \right \rangle&cos \left \langle k_{b},i_{n} \right \rangle\\ cos \left \langle i_{b},j_{n} \right \rangle& cos \left \langle j_{b},j_{n} \right \rangle& cos \left \langle k_{b},j_{n} \right \rangle\\ cos \left \langle i_{b},k_{n} \right \rangle& cos \left \langle j_{b},k_{n} \right \rangle& cos \left \langle k_{b},k_{n} \right \rangle\\ \end{bmatrix} \\ &= \left [ \begin{matrix} i_{n} & j_{n}& k_{b} \end{matrix}\right ]P_{n}^b\end{aligned}\tag{5} [ibjbkb]=[injnkb]cosib,incosib,jncosib,kncosjb,incosjb,jncosjb,kncoskb,incoskb,jncoskb,kn=[injnkb]Pnb(5)
     下面分析式 ( 5 ) (5) (5)。整体来看,通过矩阵 P n b P_{n}^b Pnb即可利用 n n n系基底表示 b b b系基底,因此称 P n b P_{n}^b Pnb为从 n n n系到 b b b过渡矩阵,或 坐标系/基 变换矩阵,其中 P n b P_{n}^b Pnb的列向量为 b b b系三个基底分别与 n n n系三个基底的夹角余弦,而行向量为 n n n系三个基底分别与 b b b系三个基底的夹角余弦。
     考虑如何将 b b b系下的坐标转换为 n n n系下。假设有向量 V V V,其在两个坐标系下的表示为 V = V x n i n + V y n j n + V z n k n = V x b i b + V y b j b + V z b k b \\V=V_{x}^{n}i_{n}+V_{y}^{n}j_{n}+V_{z}^{n}k_{n}=V_{x}^{b}i_{b}+V_{y}^{b}j_{b}+V_{z}^{b}k_{b} V=Vxnin+Vynjn+Vznkn=Vxbib+Vybjb+Vzbkb,写成向量的形式为:
    [ i n j n k n ] [ V x n V y n V z n ] = [ i b j b k b ] [ V x b V y b V z b ] (6) \left [ \begin{matrix} i_{n} & j_{n}& k_{n} \end{matrix}\right ]\left [ \begin{matrix} V_{x}^{n}\\ V_{y}^{n}\\ V_{z}^{n} \end{matrix}\right ]=\left [ \begin{matrix} i_{b} & j_{b}& k_{b} \end{matrix}\right ]\left [ \begin{matrix} V_{x}^{b}\\ V_{y}^{b}\\ V_{z}^{b} \end{matrix}\right ]\tag{6} [injnkn]VxnVynVzn=[ibjbkb]VxbVybVzb(6)
    ( 5 ) (5) (5)式代入上式,可得:
    [ i n j n k n ] [ V x n V y n V z n ] = [ i n j n k n ] P n b [ V x b V y b V z b ] (7) \left [ \begin{matrix} i_{n} & j_{n}& k_{n} \end{matrix}\right ]\left [ \begin{matrix} V_{x}^{n}\\ V_{y}^{n}\\ V_{z}^{n} \end{matrix}\right ]=\left [ \begin{matrix} i_{n} & j_{n}& k_{n} \end{matrix}\right ]P_{n}^b \left [ \begin{matrix} V_{x}^{b}\\ V_{y}^{b}\\ V_{z}^{b} \end{matrix}\right ]\tag{7} [injnkn]VxnVynVzn=[injnkn]PnbVxbVybVzb(7)
    上式中,显然 [ i n j n k n ] \left [ \begin{matrix} i_{n} & j_{n}& k_{n} \end{matrix}\right ] [injnkn]可逆,于是有
    [ V x n V y n V z n ] = P n b [ V x b V y b V z b ] (8) \left [ \begin{matrix} V_{x}^{n}\\ V_{y}^{n}\\ V_{z}^{n} \end{matrix}\right ]=P_{n}^b \left [ \begin{matrix} V_{x}^{b}\\ V_{y}^{b}\\ V_{z}^{b} \end{matrix}\right ]\tag{8} VxnVynVzn=PnbVxbVybVzb(8)
    观察上式可以发现 P n b P_{n}^b Pnb不仅为从 n n n系到 b b b过渡矩阵,也是从 b b b系到 n n n坐标变换矩阵,为体现坐标变换将 P n b P_{n}^b Pnb记为 C b n C_{b}^n Cbn。又因为 C b n C_{b}^n Cbn由两坐标轴间夹角的余弦值构成,故又称方向余弦矩阵

    3.总结

     本文以旋转前后两坐标系的标准正交基投影关系切入,将旋转后坐标系的标准正交基用旋转前坐标系的标准正交基表示,从而建立起坐标系间的变换关系。然后,根据坐标系间基底的变换关系,推导出两坐标系坐标的变换公式,同时得到了方向余弦矩阵。

    4.参考文献

    《捷联惯导算法与组合导航原理》严恭敏 P9—P10 2.2.1方向余弦阵

    展开全文
  • 欧拉角Y、P、R,分别记为α,β,γ 绕着Z轴旋转的是Y,即旋转了α,旋转矩阵A 1 0 0 0 cosα sinα 0 -sinα cosα 绕Y轴旋转是P,β,矩阵 B cosβ 0 -sinβ ...方向余弦矩阵就是A·B·C...
    1. 欧拉角Y、P、R,分别记为α,β,γ

    2. 绕着Z轴旋转的是Y,即旋转了α,旋转矩阵A
      1 0 0
      0 cosα sinα
      0 -sinα cosα

    3. 绕Y轴旋转是P,β,矩阵 B
      cosβ 0 -sinβ
      0 1 0
      sinβ 0 cosβ

    4. 绕X轴旋转是R,γ,矩阵 C
      cosγ sinγ 0
      -sinγ cosγ 0
      0 0 1

    5. 方向余弦矩阵就是A·B·C,在这里插入图片描述

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  • 方向余弦矩阵DCM&amp;amp;amp;amp;刚体的矢量—矩阵描述简介方向余弦矩阵刚体的矢量—矩阵描述 简介 我本意是为了学习理论力学,但是我对方向余弦矩阵的理解不够,所以不得不补习一下基础知识。这个过程里,我...

    方向余弦矩阵DCM&刚体的矢量—矩阵描述

    简介

    我本意是为了学习理论力学,但是我对方向余弦矩阵的理解不够,所以不得不补习一下基础知识。这个过程里,我发现网上其他的文章当中,没有从方向余弦矩阵讲到理论力学的(但是有DCM&无人机的文章)。为了方便自己以后复习,我就把两个部分合并在一起写下来。第一次写文,若有不足望海涵

    方向余弦矩阵

    1. 简介
      百度百科的解释
      方向余弦是指在解析几何里,一个向量的三个方向余弦分别是这向量与三个坐标轴之间的角度的余弦。两个向量之间的方向余弦指的是这两个向量之间的角度的余弦。方向余弦是指在解析几何里,一个向量的三个方向余弦分别是这向量与三个坐标轴之间的角度的余弦。两个向量之间的方向余弦指的是这两个向量之间的角度的余弦。
      “方向余弦矩阵”是由两组不同的标准正交基的基底向量之间的方向余弦所形成的矩阵。方向余弦矩阵可以用来表达一组标准正交基与另一组标准正交基之间的关系,也可以用来表达一个向量对于另一组标准正交基的方向余弦。
      我的通俗理解
      线性空间中的一个矢量,是不依赖坐标系的。但是在理论力学中,我们往往需要一个坐标系去描述该矢量。
      涉及到多个坐标轴系时,就需要寻找同一矢量的不同坐标表示之间的关系。而这个关系就是方向余弦矩阵。
      符号说明
    符号说明
    I , J \bm{I},\bm{J} I,J O X Y OXY OXY坐标轴系的基向量
    i , j \bm{i},\bm{j} i,j O x y Oxy Oxy坐标轴系的基向量
    r \bm{r} r目标矢量
    I i , I j , J i , J j I_i,I_j,J_i,J_j Ii,Ij,Ji,Jj I i I_i Ii I \bm{I} I i \bm{i} i上的投影的长度,其他类同
    ( r I , r J ) (r_I,r_J) (rI,rJ) r \bm{r} r O X Y OXY OXY坐标轴系下的表示
    ( r i , r j ) (r_i,r_j) (ri,rj) r \bm{r} r O x y Oxy Oxy坐标轴系下的表示

    例子
    在这里插入图片描述
    图中的矢量 r \bm{r} r(注意:矢量 r \bm{r} r与上面三个坐标系都没有关系)
    请问:如何根据 ( r I , r J ) ({r_I},{r_J}) (rI,rJ),求出矢量 r \bm{r} r O x y Oxy Oxy坐标轴系下的坐标 ( r i , r j ) ({r_i},{r_j}) (ri,rj)
    反之,如果知道矢量 r \bm{r} r O x y Oxy Oxy坐标轴系下的坐标 ( r i , r j ) ({r_i},{r_j}) (ri,rj),如何求出 ( r I , r J ) ({r_I},{r_J}) (rI,rJ)
    这两个就需要方向余弦矩阵解答了。
    2. 正题
    Q1:根据 ( r i , r j ) ({r_i},{r_j}) (ri,rj),求出矢量 r \bm{r} r O X Y OXY OXY坐标轴系下的坐标 ( r I , r J ) ({r_I},{r_J}) (rI,rJ)

    矢量 r \bm{r} r O X Y OXY OXY坐标轴系下的坐标为 ( r I , r J ) ({r_I},{r_J}) (rI,rJ),即:
    r = r I I + r J J \bm{r} = r_I \bm{I}+r_J \bm{J} r=rII+rJJ
    I , J \bm{I},\bm{J} I,J本身作为矢量,也是可以被 O x y Oxy Oxy表示的:

    { I = I i i + I j j J = J i i + J j j \begin{cases} \bm{I} = I_i \bm{i} + I_j \bm{j}\\ \bm{J} = J_i \bm{i} + J_j \bm{j} \end{cases} {I=Iii+IjjJ=Jii+Jjj
    (注意:粗体 I I I和细体 I i , I j I_i,I_j Ii,Ij的差别)
    带回后

    r = r I I + r J J = r I ( I i i + I j j ) + r J ( J i i + J j j ) = ( r I I i + r J J i ) i + ( r I I j + r J J j ) j \begin {aligned} \bm{r}&amp;=r_I \bm{I}+r_J \bm{J} \\ &amp;= r_I ( I_i \bm{i} + I_j \bm{j})+r_J (J_i \bm{i} + J_j \bm{j}) \\ &amp;=(r_I I_i + r_J J_i)\bm{i}+(r_I I_j + r_J J_j) \bm{j} \end {aligned} r=rII+rJJ=rI(Iii+Ijj)+rJ(Jii+Jjj)=(rIIi+rJJi)i+(rIIj+rJJj)j
    ( r i r j ) = ( r I I i + r J J i r I I j + r J J j ) = [ I i J i I j J j ] ( r I r J ) \left( \begin{matrix} r_i\\ r_j \end{matrix} \right)= \left( \begin{matrix} r_I I_i + r_J J_i\\ r_I I_j + r_J J_j \end{matrix} \right)= \left[ \begin{matrix} I_i &amp; J_i \\ I_j &amp; J_j \end{matrix} \right] \left( \begin{matrix} r_I \\ r_J \end{matrix} \right) (rirj)=(rIIi+rJJirIIj+rJJj)=[IiIjJiJj](rIrJ)

    [ I i J i I j J j ] \left[ \begin{matrix} I_i &amp; J_i \\ I_j &amp; J_j \end{matrix} \right] [IiIjJiJj]就是方向余弦矩阵,按列展开,第一列表示 I \bm{I} I O x y Oxy Oxy坐标轴系下的坐标 I O x y \bm{I}^{Oxy} IOxy,第二列表示 J \bm{J} J O x y Oxy Oxy坐标轴系下的坐标 J O x y \bm{J}^{Oxy} JOxy,记作 [ I J ] O x y \left[ \begin{matrix}\bm{I} &amp; \bm{J}\end{matrix}\right]^{Oxy} [IJ]Oxy
    具体矩阵的每一个元素的值是多少呢?
    [ I J ] O x y = [ I ⋅ i ∥ i ∥ J ⋅ i ∥ i ∥ I ⋅ j ∥ j ∥ J ⋅ j ∥ j ∥ ] = [ ∥ I ∥ c o s ( I , i ) ∥ J ∥ c o s ( J , i ) ∥ I ∥ c o s ( I , j ) ∥ J ∥ c o s ( J , j ) ] \left[ \begin{matrix}\bm{I} &amp; \bm{J}\end{matrix}\right]^{Oxy}= \left[ \begin{matrix} \frac{\bm{I \cdot i}}{\|{\bm{i}}\|} &amp; \frac{\bm{J \cdot i}}{\|{\bm{i}}\|} \\ \frac{\bm{I \cdot j}}{\|{\bm{j}}\|} &amp; \frac{\bm{J \cdot j}}{\|{\bm{j}}\|} \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} {\|\bm{I}\|}cos(\bm{I},\bm{i}) &amp; {\|\bm{J}\|}cos(\bm{J},\bm{i}) \\ {\|\bm{I}\|}cos(\bm{I},\bm{j}) &amp; {\|\bm{J}\|}cos(\bm{J},\bm{j}) \end{matrix} \right] [IJ]Oxy=[iIijIjiJijJj]=[Icos(I,i)Icos(I,j)Jcos(J,i)Jcos(J,j)]
    ∥ I ∥ , ∥ J ∥ \|\bm{I}\|,\|\bm{J}\| I,J均为 1 1 1
    [ I J ] O x y = [ I ⋅ i J ⋅ i I ⋅ j J ⋅ j ] = [ c o s ( I , i ) c o s ( J , i ) c o s ( I , j ) c o s ( J , j ) ] \left[ \begin{matrix}\bm{I}&amp;\bm{J}\end{matrix}\right]^{Oxy}= \left[ \begin{matrix} {\bm{I \cdot i}} &amp; {\bm{J \cdot i}} \\ {\bm{I \cdot j}} &amp; {\bm{J \cdot j}} \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} cos(\bm{I},\bm{i}) &amp; cos(\bm{J},\bm{i}) \\ cos(\bm{I},\bm{j}) &amp; cos(\bm{J},\bm{j}) \end{matrix} \right] [IJ]Oxy=[IiIjJiJj]=[cos(I,i)cos(I,j)cos(J,i)cos(J,j)]
    类似地:
    [ i j ] O X Y = [ i ⋅ I j ⋅ I i ⋅ J j ⋅ J ] = [ c o s ( i , I ) c o s ( j , I ) c o s ( i , J ) c o s ( j , J ) ] \left[ \begin{matrix}\bm{i}&amp;\bm{j}\end{matrix}\right]^{OXY}= \left[ \begin{matrix} {\bm{i \cdot I}} &amp; {\bm{j \cdot I}} \\ {\bm{i \cdot J}} &amp; {\bm{j \cdot J}} \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} cos(\bm{i},\bm{I}) &amp; cos(\bm{j},\bm{I}) \\ cos(\bm{i},\bm{J}) &amp; cos(\bm{j},\bm{J}) \end{matrix} \right] [ij]OXY=[iIiJjIjJ]=[cos(i,I)cos(i,J)cos(j,I)cos(j,J)]
    根据方向余弦矩阵,就能变换矢量 r \bm{r} r的坐标表示。
    3. 性质

    • [ I J ] O x y \left[ \begin{matrix}\bm{I}&amp;\bm{J}\end{matrix}\right]^{Oxy} [IJ]Oxy的转置等于 [ i j ] O X Y \left[ \begin{matrix}\bm{i}&amp;\bm{j}\end{matrix}\right]^{OXY} [ij]OXY
    • 方向余弦矩阵为正交矩阵
      (证明:因为 I ⋅ J = 0 I \cdot J = 0 IJ=0所以 I O x y ⋅ J O x y = 0 I^{Oxy}\cdot J^{Oxy} = 0 IOxyJOxy=0
    • n阶方向余弦矩阵只有n个自由量
      以三维坐标轴系为例,做一个不严谨但直观的解释:确定一个坐标轴系A只需要知道任意两个坐标轴,就可以确定第三条轴,从而确定整个坐标轴系;坐标轴A旋转至坐标轴B的夹角也是一个三维向量,从而就能确定坐标轴B。综上,3阶方向余弦矩阵需要3个自由量。

    刚体的矢量—矩阵描述

    在这里插入图片描述

    符号说明
    O 0 X 0 Y 0 Z 0 O_0X_0Y_0Z_0 O0X0Y0Z0固定坐标系
    O X Y Z OXYZ OXYZ平动坐标系,由 O 0 X 0 Y 0 Z 0 O_0X_0Y_0Z_0 O0X0Y0Z0 平移得到
    O x y z Oxyz Oxyz固连坐标系,由 O X Y Z OXYZ OXYZ旋转得到
    ρ ‾ \underline{\rho} ρ r \bm{r} r O x y z Oxyz Oxyz下的坐标,为常数
    r ‾ \underline{r} r r \bm{r} r O X Y Z OXYZ OXYZ下的坐标,随着刚体旋转而发生变化
    A A A O x y z Oxyz Oxyz O X Y Z OXYZ OXYZ的方向余弦矩阵,随着刚体旋转而发生变化( r ‾ = A ρ ‾ \underline{r} = A\underline{\rho} r=Aρ, ρ ‾ = A − 1 r ‾ = A T r ‾ \underline{\rho} = A^{-1} \underline{r}=A^{T} \underline{r} ρ=A1r=ATr)

    如何求得 O 0 X 0 Y 0 Z 0 O_0X_0Y_0Z_0 O0X0Y0Z0坐标系下, 刚体上任意一点的轨迹方程?
    不考虑任何坐标轴系
    R = R 0 + r \bm{R} = \bm{R_0}+\bm{r} R=R0+r
    O 0 X 0 Y 0 Z 0 O_0X_0Y_0Z_0 O0X0Y0Z0
    R ‾ = R 0 ‾ + r ‾ = R 0 ‾ + A ρ ‾ \underline{R} = \underline{R_0}+\underline{r} = \underline{R_0}+{ A\underline{\rho}} R=R0+r=R0+Aρ
    刚体上任意一点的运动可以由一个向量 R 0 R_0 R0和一个矩阵 A A A描述
    { R 0 = R 0 ( t ) — — 描 述 平 动 A = A ( t ) — — 描 述 刚 体 相 对 于 基 点 的 转 动 ( 定 点 运 动 ) \begin{cases} \bm{R_0} = \bm{R_0(t)}——描述平动\\ \bm{A} = \bm{A(t)}——描述刚体相对于基点的转动(定点运动) \end{cases} {R0=R0(t)A=A(t)
    因此,一般刚体的运动可以分解为基点的平动和相对于基点的转动(定点运动)。
    由于 R 0 \bm{R_0} R0有三个自由量,正交矩阵 A \bm{A} A有三个自由量,因此描述刚体运动需要六个独立参数。
    如何求得 O 0 X 0 Y 0 Z 0 O_0X_0Y_0Z_0 O0X0Y0Z0坐标系下, 刚体上任意一点的速度方程?
    O 0 X 0 Y 0 Z 0 O_0X_0Y_0Z_0 O0X0Y0Z0下对 R ‾ = R 0 ‾ + A ρ ‾ \underline{R} = \underline{R_0}+{ A\underline{\rho}} R=R0+Aρ求导:
    R ‾ ˙ = R 0 ‾ ˙ + A ρ ‾ ˙ + A ρ ‾ ˙ = R 0 ‾ ˙ + A A T r ‾ ˙ + A ρ ‾ ˙ \dot{\underline{R}} = \dot{\underline{R_0}}+\dot{{ A}\underline{\rho}}+A\dot{\underline{\rho}}=\dot{\underline{R_0}}+\dot{{ A}A^T\underline{r}}+A\dot{\underline{\rho}} R˙=R0˙+Aρ˙+Aρ˙=R0˙+AATr˙+Aρ˙
    由于 ρ ‾ \underline{\rho} ρ是常数,所以 A ρ ‾ ˙ = 0 A\dot{\underline{\rho}}=0 Aρ˙=0,因此
    R ‾ ˙ = R 0 ‾ ˙ + A A T r ‾ ˙ \dot{\underline{R}} =\dot{\underline{R_0}}+\dot{{ A}A^T\underline{r}} R˙=R0˙+AATr˙
    在这里插入图片描述
    因此
    v ‾ = R ‾ ˙ = R 0 ‾ ˙ + ω ~ r ‾ = R 0 ‾ ˙ + ω × r ‾ \underline{{v}} =\dot{\underline{R}} =\dot{\underline{R_0}}+\tilde{\omega}\underline{r}=\dot{\underline{R_0}}+\omega\times \underline{r} v=R˙=R0˙+ω~r=R0˙+ω×r
    其中 R 0 ‾ ˙ \dot{\underline{R_0}} R0˙代表基点的平动速度, r ‾ ˙ = ω × r ‾ \dot{\underline{r}}=\omega\times \underline{r} r˙=ω×r代表相对于基点的转动速度。
    如何求得 O 0 X 0 Y 0 Z 0 O_0X_0Y_0Z_0 O0X0Y0Z0坐标系下, 刚体上任意一点的加速度方程?
    a ‾ = v ‾ ˙ = R 0 ‾ ¨ + ω ˙ × r ‾ + ω × r ‾ ˙ = R 0 ‾ ¨ + ω ˙ × r ‾ + ω × ( ω × r ‾ ) \underline{{a}} = \dot{\underline{v}} =\ddot{\underline{R_0}}+\dot{\omega}\times \underline{r}+\omega\times \dot{\underline{r}}=\ddot{\underline{R_0}}+\dot{\omega}\times \underline{r}+\omega\times (\omega\times \underline{r}) a=v˙=R0¨+ω˙×r+ω×r˙=R0¨+ω˙×r+ω×(ω×r)
    a ‾ = a 0 ‾ + ε × r ‾ + ω × ( ω × r ‾ ) \underline{{a}} = \underline{a_0}+{\varepsilon}\times \underline{r}+\omega\times (\omega\times \underline{r}) a=a0+ε×r+ω×(ω×r)
    其中
    { a 0 ‾ = R 0 ‾ ¨ 基 点 的 加 速 度 ε × r ‾ 转 动 加 速 度 ( 其 中 ε = ω ˙ ) ω × ( ω × r ‾ ) 向 ( 轴 ) 心 加 速 度 \begin{cases} \underline{a_0}=\ddot{\underline{R_0}} &amp; 基点的加速度\\ {\varepsilon}\times \underline{r} &amp; 转动加速度(其中\varepsilon = \dot{\omega})\\ \omega\times (\omega\times \underline{r}) &amp;向(轴)心加速度 \end{cases} a0=R0¨ε×rω×(ω×r)(ε=ω˙)
    参考:
    理论力学-刚体运动的矩阵与向量描述
    https://wenku.baidu.com/view/7e699e4e8e9951e79b892757.html

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  • 常用的姿态表示方法有欧拉角、方向余弦矩阵、四元素这几种 欧拉角表示方法采用来表示飞行器的姿态,其中为滚转角,为俯仰角和为航向角,表示飞行器首先航向偏转角度,再俯仰角度,然后机体滚转角度得到的姿态 ...
  • 该材料中第43页介绍方向余弦矩阵与欧拉角关系中,有一些备忘补充如下: 如图所示右手系,XOY平面绕Z轴逆时针旋转一个角度ψψ \psi ,此时可得到: ⎡⎣⎢x2y2z2⎤⎦⎥=⎡⎣⎢cosψ−sinψ0sinψcosψ0001⎤⎦⎥...
  • 关于方向余弦矩阵的注解
  • 欧拉角转换成方向余弦矩阵欧拉角有12中旋转顺序分别为 1 X-Y-Z 2 X-Z-Y 3 X-Y-X 4 X-Z-X ….. 每种旋转顺序可以分解为3次旋转,每次旋转或者围绕X轴,或者绕Y轴,或者绕Z轴(每次旋转都是绕着空间固定不变的坐标系...
  • 上两篇文章我们讲了旋转矩阵和欧拉角,可知欧拉角是可以由旋转矩阵转化而来。 那么怎么从欧拉角转化为旋转矩阵呢?欧拉角(Euler angles)与旋转矩阵(Rotation Matrix)假设坐标系1的欧拉角yaw(Azimuth)、pitch...
  • 刚体旋转知识,另外还包含了自动驾驶学习资料 涵盖感知,规划和控制,ADAS,传感器; 1. apollo相关的技术教程和文档; 2.adas(高级辅助驾驶)算法设计(例如AEB,ACC,LKA等) 3.自动驾驶鼻祖mobileye的论文和专利...

空空如也

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方向余弦矩阵