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  • delta机器人matlab仿真(一)

    千次阅读 多人点赞 2019-01-29 09:25:45
    delta机器人matlab仿真delta机器人描述运动分析点和向量向量的内积向量的外积坐标系的变换齐次坐标变换矩阵求逆 delta机器人描述 Delta 机器人是典型的空间三自由度(X,Y,Z平移运动)的并联机构,特点是自重负荷与...

    delta机器人与matlab仿真(一)

    delta机器人描述

    Delta 机器人是典型的空间三自由度(X,Y,Z平移运动)的并联机构,特点是自重负荷与机械臂相比比较小,动态性能好,承载力强,运行速度快。

    在这里插入图片描述一般右三个电机,三对主机械臂和三对副机械臂组成和机械爪。
    因为3个机械臂都是平行四边形机构所以下方机械爪的运动只能实现平移运动,保证运动中机械爪的平行。
    在这里插入图片描述这里说明下为什么能一直保证机械爪的平行,首先使用sw进行建模方便理解。
    假设其中一个机械臂的四边形为ABCD另外几个机械臂为A’B’C’D’,A’‘B’‘C’‘D’’。
    设上平面为S1,下平面为S2
    ∵ A B / / C D , A ′ B ′ / / C ′ D ′ , A ′ ′ B ′ ′ / / C ′ ′ D ′ ′ ∵AB//CD,A'B'//C'D',A''B''//C''D'' AB//CD,AB//CD,AB//CD
    ∵ C D , C ′ D ′ , C ′ ′ D ′ ′ ∈ S 2 , A B . A ′ B ′ , A ′ ′ B ′ ′ ∈ S 1 ∵CD,C'D',C''D''∈S_2,AB.A'B',A''B''∈S_1 CD,CD,CDS2AB.AB,ABS1
    ∴ S 2 / / S 1 ∴S_2 // S_1 S2//S1
    所以可以知道机器人在运动过程中上下平面是始终平行的且不会发生旋转。

    运动分析

    这里先考虑一个机械臂的运动过程在这里插入图片描述
    以上平面的中心为原点O即为(0,0,0),机械臂的三个关节处分别为A,B,C。关节A处AB与Z轴的夹角为α 。OA=aAB=b,BC=c,CO’=d,OO’=o。下底板中心为(x’,y’,z’),A=(x1,y1,z1),B=(x2,y2,z2),C=(x3,y3,z3),这里设ab向量都在面XoZ内,所以y1=0,y2=0。
    ∴ o ⃗ = a ⃗ + b ⃗ + c ⃗ + d ⃗ ∴ \vec o=\vec a+\vec b+\vec c+\vec d o =a +b +c +d
    a = [ x 1 y 1 z 1 ] b = [ x 2 − x 1 0 z 2 − z 1 ] c = [ x 3 − x 2 y 3 z 3 − z 2 ] d = [ x ′ − x 3 y ′ − y 3 z ′ − z 3 ] a= \begin{bmatrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \\ \end{bmatrix} b=\begin{bmatrix} x_2-x_1 \\ 0\\ z_2-z_ 1\\ \end{bmatrix} c=\begin{bmatrix} x_3-x_2 \\ y_3 \\ z_3-z_ 2\\ \end{bmatrix} d=\begin{bmatrix} x'-x_3 \\ y'-y_3 \\ z'-z_ 3\\ \end{bmatrix} a=x1y1z1b=x2x10z2z1c=x3x2y3z3z2d=xx3yy3zz3
    x 1 = ∣ a ∣ , x 2 = ∣ a ∣ + s i n α ⋅ ∣ b ∣ , x 3 = x ′ + ∣ d ∣ x_1=|a|,x_2=|a|+sinα·|b|,x_3=x'+|d| x1=a,x2=a+sinαb,x3=x+d
    z 1 = 0 , z 2 = c o s α ⋅ ∣ b ∣ , z 3 = z ′ z_1=0,z_2=cosα·|b|,z_3=z' z1=0,z2=cosαb,z3=z
    y 1 = y 2 = 0 , y 3 = y ′ y_1=y_2=0,y_3=y' y1=y2=0,y3=y
    ∴ c = [ x ′ + ∣ d ∣ − ∣ a ∣ + s i n α ⋅ ∣ b ∣ y ′ z ′ − c o s α ⋅ ∣ b ∣ ] , 且 长 度 等 于 ∣ c ∣ ∴c=\begin{bmatrix} x'+|d|-|a|+sinα·|b| \\ y' \\ z'-cosα·|b|\\ \end{bmatrix},且长度等于|c| c=x+da+sinαbyzcosαb,c
    ∴ α = a s i n ( ( x ′ + ∣ d ∣ − ∣ a ∣ ) 2 ) + y ′ 2 + z ′ 2 + ∣ b ∣ 2 − ∣ c ∣ 2 2 z ′ 2 + ( x ′ + ∣ d ∣ − ∣ a ∣ ) 2 ) ) − φ , φ = a s i n ( z ′ 2 z ′ 2 + ( x ′ + ∣ d ∣ − ∣ a ∣ ) 2 ) ) , 且 α ∈ ( 0 , π ) ∴α=asin(\frac{(x'+|d|-|a|)^2)+y'^2+z'^2+|b|^2-|c|^2}{2\sqrt{z'^2+(x'+|d|-|a|)^2)}})-φ,φ=asin(\frac{z'^2}{\sqrt{z'^2+(x'+|d|-|a|)^2)}}),且α∈(0,π) α=asin(2z2+(x+da)2) (x+da)2)+y2+z2+b2c2)φφ=asin(z2+(x+da)2) z2),α0π

    matlab实现

    通过上面分析已经得到其中一个机械臂和最终左边之间的关系,对另外两个臂就不分别计算了,直接使用对z轴的旋转矩阵,两个机械臂分别旋转120°和-120°来计算即可。这里没有使用matlab自带的解矩阵的方式进行求解是因为代码之后要移植到32上所以就直接求出了解。在这里插入图片描述这里最后用matlab实现的末端做一个圆周运动。
    模型:https://download.csdn.net/download/liujianxin828/10942332
    代码:https://download.csdn.net/download/liujianxin828/10942326

    展开全文
  • 这个是delta机器人的正逆解算法,自己编的,其中sp=sqrt(3)up。附带
  • 以协助对delta机器人计划前期的作业空间评估。 其中的编程逻辑主要分为两部分: 1.设定一个XOZ平面进行三角函数转换计算。 2.矩阵转置,列出其它的方程式。 3.结合求解,描出以颜色区分高度的立体彩色图形。
  • 基于MATLAB与ADAMS的Delta机器人运动学和动力学仿真分析.pdf
  • Delta机器人正逆解

    2018-11-16 16:12:04
    并联机器人,Delta机器人正逆解,MATLAB程序,验证可行
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  • delta并联机器人正逆解matlab程序。
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  • 联系人电子邮件:yuliya.sm7@gmail.com
  • 针对DELTA并联机器人,基于空间机构学理论和矢量法,建立该并联机构位移模型,给出其正、逆向位移解数值求取方法,提出基于正位移解的工作空间分析方法,采用MATLAB软件进行了仿真,为DELTA机器人的轨迹规划奠定了...
  • Delta机器人:运动学正反解分析

    千次阅读 多人点赞 2020-06-28 11:41:22
    Delta机器人:运动学正反解分析 一、Delta机构简介 Delta机构是并联机构中的一种典型机构,起原始结构如图1所示。Delta机构由R.Clavel 博士在 1985年发明,是现在并联机器人中使用最多的一种,具备了并联机构所特有...

    Delta机器人:运动学正反解分析

    一、Delta机构简介

    Delta机构是并联机构中的一种典型机构,起原始结构如图1所示。Delta机构由R.Clavel 博士在 1985年发明,是现在并联机器人中使用最多的一种,具备了并联机构所特有的优点,负载能力强、效率高、末端执行器精度高、运动惯性小,可以高速稳定运动等。因此在机器人领域获得了越来越广泛的应用。以实现高速、精准、高效的运动。
    图1 R.Clavel 博士发明的Delta机构
                                                   图 1   R . C l a v e l 博 士 发 明 的 D e l t a 机 构 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 图1\ R.Clavel 博士发明的Delta机构                                               1 R.ClavelDelta

    二、数学模型建立

    建立Delta机构简化数学模型如图2所示,其中圆 O Ο O所在平面为定平台,圆 p p p所在平面为动平台, ∆ C 1 C 2 C 3 ∆C_1C_2C_3 C1C2C3 ∆ A 1 A 2 A 3 ∆A_1A_2A_3 A1A2A3为等边三角形,点 C 1 、 C 2 、 C 3 、 A 1 、 A 2 、 A 3 C_1、C_2、C_3、A_1、A_2、A_3 C1C2C3A1A2A3分别为三个主动臂和三个从动臂与上下两个平台的连接点。
    在这里插入图片描述
                                                   图 2   D e l t a 机 构 简 化 数 学 模 型 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 图2\ Delta机构简化数学模型                                               2 Delta
    如图2所示,以定平台中心 O Ο O建立坐标系 O − X Y Z Ο-XYZ OXYZ,以动平台中心 p p p建立坐标系 p − x y z p-xyz pxyz。由Delta机构的设计原理可知,三条支链完全对称,因此不妨设第 i ( i = 1 , 2 , 3 ) i(i=1,2,3) ii=1,2,3条支链的主动臂 ∣ B i C i ∣ \left|B_iC_i\right| BiCi长度为 L L L,从动臂 ∣ A i B i ∣ \left|A_iB_i\right| AiBi长度为 l l l,主动臂与定平台夹角为 θ i \theta_i θi,三条支链与X轴的夹角为 φ i = ( 2 ( i − 1 ) π / 3 ) , i = 1 , 2 , 3 , \varphi_i=\left(2\left(i-1\right)\pi/3\right),i=1,2,3, φi=(2(i1)π/3)i=1,2,3定平台半径为R,动平台半径为 r r r

    三、运动学正解

    Delta机构的正解,是在已知三个主动臂转角的情况下求出动平台中心点 p p p在定平台所在坐标系中的坐标。Delta机构运动学正解的求法有很多种,此处采取几何解法,将 A i B i A_iB_i AiBi分别沿 A i p A_ip Aip平移使其交于点 p p p得到 D i p D_ip Dip,连接 D 1 D 2 D_1D_2 D1D2 D 2 D 3 D_2D_3 D2D3 D 3 D 1 D_3D_1 D3D1得到四棱锥 p − D 1 D 2 D 3 p{-D}_1D_2D_3 pD1D2D3,如图3所示。
    在这里插入图片描述
                                         图 3   D e l t a 机 构 几 何 法 正 解 简 化 模 型 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 图3\ Delta机构几何法正解简化模型                                     3 Delta
    根据上图不难得到,定平台三个铰接点 C 1 、 C 2 、 C 3 C_1、C_2、C_3 C1C2C3的坐标为
                                                     [ x i y i z i ] = [ R cos ⁡ φ i R sin ⁡ φ i 0 ] , i = 1 , 2 , 3                      ( 1 ) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left[\begin{matrix}x_i\\y_i\\z_i\\\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}R\cos{\varphi_i}\\R\sin{\varphi_i}\\0\\\end{matrix}\right],i=1,2,3\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1)                                                 xiyizi=RcosφiRsinφi0i=1,2,3                    (1)
    向量 O B i ⃗ \vec{OB_i} OBi 可表示为
                                                    O B i ⃗ = O C i ⃗ + C i B i ⃗ , i = 1 , 2 , 3                         ( 2 ) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \vec{\ OB_i}=\vec{OC_i}+\vec{C_iB_i},i=1,2,3\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2)                                               OBi =OCi +CiBi i=1,2,3                       (2)
    其中 C i B i ⃗ \vec{C_iB_i} CiBi 又可表示为
                             [ x i y i z i ] = [ − L sin ⁡ θ i cos ⁡ φ i − L sin ⁡ θ i sin ⁡ φ i − L cos ⁡ θ i ] , i = 1 , 2 , 3        ( 3 ) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left[\begin{matrix}x_i\\y_i\\z_i\\\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}-L\sin{\theta_i}\cos{\varphi_i}\\-L\sin{\theta_i}\sin{\varphi_i}\\-L\cos{\theta_i}\\\end{matrix}\right],i=1,2,3\ \ \ \ \ \ (3)                         xiyizi=LsinθicosφiLsinθisinφiLcosθii=1,2,3      (3)
    A i p ⃗ \vec{A_ip} Aip 可表示为
                                                            [ x i y i z i ] = [ − r cos ⁡ φ i − r sin ⁡ φ i 0 ] , i = 1 , 2 , 3             ( 4 ) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left[\begin{matrix}x_i\\y_i\\z_i\\\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}-r\cos{\varphi_i}\\-r\sin{\varphi_i}\\0\\\end{matrix}\right],i=1,2,3\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (4)                                                        xiyizi=rcosφirsinφi0i=1,2,3           (4)
    O D i ⃗ \vec{OD_i} ODi 可以表示为
                                                            O D i ⃗ =   O B i ⃗ +   B i D i ⃗                                 ( 5 ) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \vec{OD_i}=\vec{\ OB_i}+\vec{\ B_iD_i}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (5)                                                        ODi = OBi + BiDi                                (5)
    其中由Delta机构的几何性质可知
                                                                     B i D i ⃗ = A i p ⃗                                         ( 6 ) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \vec{\ B_iD_i}=\vec{A_ip}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (6)                                                                BiDi =Aip                                        (6)
    所以
                                                          O D i ⃗ = O C i ⃗ + C i B i ⃗ + A i p ⃗                           ( 7 ) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \vec{OD_i}=\vec{OC_i}+\vec{C_iB_i}+\vec{A_ip}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (7)                                                      ODi =OCi +CiBi +Aip                          (7)
    综合式(1)—(7)可得,在坐标系Ο-XYZ中D_i的坐标为
                                             [ x i y i z i ] = [ ( R − r − L sin ⁡ θ i ) cos ⁡ φ i ( R − r − L sin ⁡ θ i ) sin ⁡ φ i − L cos ⁡ θ i ] , i = 1 , 2 , 3           ( 8 ) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left[\begin{matrix}x_i\\y_i\\z_i\\\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}\left(R-r-L\sin{\theta_i}\right)\cos{\varphi_i}\\\left(R-r-L\sin{\theta_i}\right)\sin{\varphi_i}\\-L\cos{\theta_i}\\\end{matrix}\right],i=1,2,3\ \ \ \ \ \ \ \ \ (8)                                         xiyizi=(RrLsinθi)cosφi(RrLsinθi)sinφiLcosθii=1,2,3         (8)
    此时不难发现,Delta机构的正运动学解算已经转化为已知三个顶点坐标和各棱的长度求解另外一个顶点坐标的问题。将图2.4中的四棱锥 p − D 1 D 2 D 3 p{-D}_1D_2D_3 pD1D2D3取出单独分析,作垂线 p E pE pE垂直于平面 D 1 D 2 D 3 D_1D_2D_3 D1D2D3于点 E E E,取 D 2 D 3 D_2D_3 D2D3中点 F F F,连接 E F EF EF E D 2 ED_2 ED2,如图3所示。
    在这里插入图片描述
                                                                 图 4   等 效 四 棱 锥 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 图4\ 等效四棱锥                                                             4 
    不难证明,点E为三角形D_1D_2D_3的外接圆圆心。
    则向量 O p ⃗ \vec{Op} Op 可表示为
                                                               O p ⃗ = O E ⃗ + E p ⃗                              ( 9 ) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \vec{Op}=\vec{OE}+\vec{Ep}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (9)                                                           Op =OE +Ep                             (9)
    O E ⃗ \vec{OE} OE 可以表示为
                                                              O E ⃗ = O F ⃗ + F E ⃗                          ( 10 ) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \vec{OE}=\vec{OF}+\vec{FE}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (10)                                                          OE =OF +FE                         (10)

    其中, O F ⃗ = ( O D 2 ⃗ + O D 3 ⃗ ) / 2 \vec{OF}=\left(\vec{OD_2}+\vec{OD_3}\right)/2 OF =(OD2 +OD3 )/2 F E ⃗ = ∣ F E ⃗ ∣ n F E ⃗ \vec{FE}=\left|\vec{FE}\right|\vec{n_{FE}} FE =FE nFE

    对于向量 F E ⃗ \vec{FE} FE 其长度为
                                                       ∣ F E ⃗ ∣ = ∣ D 2 E ∣ 2 − ∣ D 2 F ∣ 2                              ( 11 ) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left|\vec{FE}\right|=\sqrt{\left|D_2E\right|^2-\left|D_2F\right|^2}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (11)                                                   FE =D2E2D2F2                             (11)
    其中, ∣ D 2 E ∣ \left|D_2E\right| D2E为三角形 D 1 D 2 D 3 D_1D_2D_3 D1D2D3的外接圆半径,可用公式(12)计算

                                                                  ∣ D 2 E ∣ = a b c 4 S                                ( 12 ) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left|D_2E\right|=\frac{abc}{4S}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(12\right)                                                              D2E=4Sabc                              (12)

    其中

    S = p ( p − a ) ( p − b ) ( p − c )          ( 13 )                         p = ( a + b + c ) 2                         ( 14 ) S=\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}\ \ \ \ \ \ \ \ \left(13\right)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ p=\frac{\left(a+b+c\right)}{2}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (14) S=p(pa)(pb)(pc)         (13)                       p=2(a+b+c)                       (14)

    a 、 b 、 c a、b、c abc是三角形 D 1 D 2 D 3 D_1D_2D_3 D1D2D3的边长。

    联立(11)—(14)可得

                                                             ∣ F E ⃗ ∣ = ( a 2 + b 2 − c 2 ) c 8 S                     ( 15 ) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left|\vec{FE}\right|=\frac{\left(a^2+b^2-c^2\right)c}{8S}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (15)                                                         FE =8S(a2+b2c2)c                   (15)
    向量 F E ⃗ \vec{FE} FE 的单位方向向量为
                                                       n F E ⃗ = D 2 D 1 ⃗ × D 2 D 3 ⃗ × D 3 D 2 ⃗ ∣ D 2 D 1 ⃗ × D 2 D 3 ⃗ × D 3 D 2 ⃗ ∣                    ( 16 ) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \vec{n_{FE}}=\frac{\vec{D_2D_1}\times\vec{D_2D_3}\times\vec{D_3D_2}}{\left|\vec{D_2D_1}\times\vec{D_2D_3}\times\vec{D_3D_2}\right|}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (16)                                                   nFE =D2D1 ×D2D3 ×D3D2 D2D1 ×D2D3 ×D3D2                   (16)
    又向量 E p ⃗ \vec{Ep} Ep 的方向向量
                                                                   n E p ⃗ = D 2 D 1 ⃗ × D 2 D 3 ⃗ ∣ D 2 D 1 ⃗ × D 2 D 3 ⃗ ∣                      ( 17 ) \ \ \ \ \ \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \vec{n_{Ep}}=\frac{\vec{D_2D_1}\times\vec{D_2D_3}}{\left|\vec{D_2D_1}\times\vec{D_2D_3}\right|}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (17)                                                              nEp =D2D1 ×D2D3 D2D1 ×D2D3                     (17)
    长度为
                                                       E p ⃗ = ∣ D 1 p ⃗ ∣ 2 − ∣ D 1 E ⃗ ∣ 2                ( 18 ) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \vec{Ep}=\sqrt{\left|\vec{D_1p}\right|^2-\left|\vec{D_1E}\right|^2}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (18)                                                   Ep =D1p 2D1E 2               (18)
    其中 ∣ D 1 p ⃗ ∣ = ∣ B 1 A 1 ⃗ ∣ = l , D 1 E ⃗ \left|\vec{D_1p}\right|=\left|\vec{B_1A_1}\right|=l,\vec{D_1E} D1p =B1A1 =lD1E 为外接圆半径。
    将(10)—(18)式联立求解带入(9)式即可求得Delta机构正解。

    四、运动学反解

    运动学反解是在已知机器人 p p p点的位置 ( x , y , z ) (x,y,z) (x,y,z)的情况下求解三个主动臂需要转过的角度 θ 1 \theta_1 θ1 θ 2 \theta_2 θ2 θ 3 \theta_3 θ3,与串联机器人不同,并联机器人的反解较易求得,此处只需要根据杆长进行约束即可很容易解出,求解过程在文献[3]中有详细的说明,此处不再推导,仅根据图5所示的单支链求解示意图给出最终的求解结果。
    在这里插入图片描述
                                                                 图 5   单 支 链 求 解 示 意 图 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 图5\ 单支链求解示意图                                                             5 

                                        θ i = 2 a r c t a n ( − B i − B i 2 − 4 A i C i 2 A i ) , i = 1 , 2 , 3                 ( 19 ) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \theta_i=2arctan\left(\frac{-B_i-\sqrt{B_i^2-4A_iC_i}}{2A_i}\right),i=1,2,3\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (19)                                    θi=2arctan(2AiBiBi24AiCi )i=1,2,3               (19)
    其中
    A 1 = x 2 + y 2 + z 2 + R − r 2 + L 2 − l 2 − 2 x ( R − r ) 2 L − ( R − r − x ) A1=\frac{x2+y2+z2+R-r2+L2-l2-2x(R-r)}{2L}-(R-r-x) A1=2Lx2+y2+z2+Rr2+L2l22x(Rr)(Rrx)
    B 1 = 2 z B1=2z B1=2z
    C 1 = x 2 + y 2 + z 2 + R − r 2 + L 2 − l 2 − 2 x ( R − r ) 2 L + ( R − r − x ) C1=\frac{x2+y2+z2+R-r2+L2-l2-2x(R-r)}{2L}+(R-r-x) C1=2Lx2+y2+z2+Rr2+L2l22x(Rr)+(Rrx)

    A 2 = x 2 + y 2 + z 2 + R − r 2 + L 2 − l 2 + ( x − 3 y ) ( R − r ) L − 2 R − r − ( x − 3 y ) A2=\frac{x2+y2+z2+R-r2+L2-l2+(x-3y)(R-r)}{L}-2R-r-(x-3y) A2=Lx2+y2+z2+Rr2+L2l2+(x3y)(Rr)2Rr(x3y)
    B 2 = 4 z B2=4z B2=4z
    C 2 = x 2 + y 2 + z 2 + R − r 2 + L 2 − l 2 + ( x − 3 y ) ( R − r ) L + 2 R − r + ( x − 3 y ) C2=\frac{x2+y2+z2+R-r2+L2-l2+(x-3y)(R-r)}{L}+2R-r+(x-3y) C2=Lx2+y2+z2+Rr2+L2l2+(x3y)(Rr)+2Rr+(x3y)

    A 3 = x 2 + y 2 + z 2 + R − r 2 + L 2 − l 2 + ( x + 3 y ) ( R − r ) L − 2 R − r − ( x + 3 y ) A3=\frac{x2+y2+z2+R-r2+L2-l2+(x+3y)(R-r)}{L}-2R-r-(x+3y) A3=Lx2+y2+z2+Rr2+L2l2+(x+3y)(Rr)2Rr(x+3y)
    B 3 = 4 z B3=4z B3=4z
    C 3 = x 2 + y 2 + z 2 + R − r 2 + L 2 − l 2 + ( x + 3 y ) ( R − r ) L + 2 R − r + ( x + 3 y ) C3=\frac{x2+y2+z2+R-r2+L2-l2+(x+3y)(R-r)}{L}+2R-r+(x+3y) C3=Lx2+y2+z2+Rr2+L2l2+(x+3y)(Rr)+2Rr+(x+3y)
    至此,Delta机构的运动学正反解均以求解完毕。

    五、参考文献

    [1] Clavel R. Dispositif pour le deplacement et le positionnement d’un element dans l’espace[P].Switzerland: CH1985005348856,1985.
    [2] 赵杰,朱延河,蔡鹤皋.Delta型并联机器人运动学正解几何解法[J].哈尔滨工业大学学报,2003(01):25-27.
    [3] 伍经纹,徐世许,王鹏,宋婷婷.基于Adams的三自由度Delta机械手的运动学仿真分析[J].软件,2017,38(06):108-112.

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    Delta机器人运动学正反解


    前言


    并联机器人运动控制以运动学正解和运动学反解为基础。运动学正解:已知机器人各轴的旋转距离或者驱动角度等物理量,推导出机器人的空间姿态以及工作端的空间位置;运动学反解:已知机器人的末端位置,推算各轴的需要控制的物理量。对于并联机器人而言,因为自由度较多,进而导致正解会有多组解,解出多个机器人的位置姿态,所以运动学的正解较为难求。


    分析Delta机器人正反解

    通过对Delta机器人的机械架构进行简化,进行分析其运动学的正反解,在机器人运动过程中需要对机器人不断进行反解运算,正解主要用于运动轨迹设计,所以必须要进行严谨地推导正反解。

    1、Delta机器人正解

    1.Delta并联机器人结构简图
    在这里插入图片描述
    在上平台中心点处建立坐标系,如图上图所示;其中y轴与O重合,Z轴垂直于动平台,上平台将三根从动臂沿平移并交于中心点P。
    当Delta机器人三个驱动关节的转角给定时,就可以求得这三点的坐标,进而求出坐标(本文中=1,2,3),进而求出容易求得A坐标,由等式就主动臂端点的坐标矢量,则矢量表达式为式3-1所示。
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    式中:为主动臂的长度,为3个驱动关节的转角;则的坐标可以表示为:
    在这里插入图片描述
    由于是由从动臂沿平移得到的端点,所以的坐标表示为:
    在这里插入图片描述
    如图3.3所示,为简化的三棱锥P-D1D2D3物理机构。在三棱锥P-D1D2D3中,过点P做面D1D2D3的垂足,交于点F,过点P做面D1D2D3的垂足,交于点F,过点F做FGD1D2于G。
    通过上述建立空间坐标系、平移、增加辅助线等简化实际Delta机器人机械架构模型的操作,在已知各点坐标的前提下,通过向量运算和几何运算,可求出P点坐标。把Delta机器人运动学复杂的正解问题转化为简单的矩阵向量运算问题,即在三棱锥中求P点坐标的问题。P点表示动平台中心点坐标,通过向量矩阵运算求P点坐标值,在第3.3小节会通过MTLAB软件编写正解矩阵算法讲述如何求解。

    在这里插入图片描述
    图3.3 三棱锥P-D1D2D3模型

    2、Delta运动学反解

    从对Delta机器人运动过程的实时控制角度上分析,运动学反解显得尤为重要,达到下一时刻目标位置,一定要知道当前的驱动电机的输入参数,即输入的驱动角度。
    运动学反解原理主要是利用执行部件在所建立的O-XYZ世界坐标系中的坐标,通过严谨的矩阵运算,求出驱动臂相对于上平台的张角,即就是驱动电机的转角。
    由3.2.1小节Delta并联机器人的位置正解推导分析,可知在世界坐标系中上平台的三个球铰的坐标,主动臂与从动臂的连接球铰点,在世界坐标系中的坐标可以表示为
    在这里插入图片描述
    在动平台中心点处建立坐标系,其中y轴与P重合,z轴垂直于动平台,动平台端点坐标。
    如图3.4所示,为坐标系,在坐标系下的坐标可以表示为
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    总结

    在Matlab中,首先初始化确定Delta机器人实际参数,如主动臂、从动臂长度、连杆的长度、上平台和动平台的边长;之后,写入上文正解算法的推导,在command window窗口中,正解程序输入舵机需要转动的目标角度;最后,显示机器人末端的工作坐标点。在反解程序中,输入末端的坐标位置,通过运动学分析运算,算出上平台舵机的转动角,并在command window窗口中显示。
    在已编好的程序中进行实验,采集数据分析,通过正反解函数对Delta机器人的门字形轨迹进行路径规划,分析其运动空间,并设计末端运动轨迹的关键点。在正解程序中,通过数据分析Delta机器人的执行末端与实际运动到的坐标的点,进行参数调整,提高执行动作的准确性和精度。在反解运动算法程序中,反解算法相当于对Delta机器人运动末端的解码;对机器人系统的精准度,硬件要求较高,舵机的角度,通过实验数据难以验证和增加信服力,所以可以使用编码器进行速度反馈,进行位置分析。

    源码链接

    https://download.csdn.net/download/a_zxswer/18855549.

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    在Matlab中建立脚本文件,分别实现两中门行轨迹运动的Delta机器人动态仿真,其中上平台静止的仿真,主要作用是通过对Delta机器人的模型分析利用运动学反解进行绘制,将运动学反解运用到模型分析和仿真。上平台运动的仿真,目的是在实际中,考虑空间、时间的约束等,寻求最佳的运动方案;空间上实现机器人末端运动的轨迹更加平滑,时间上寻求最佳仿真建模时间,完成最优仿真。

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