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  • 双因素方差分析的应用及Matlab实现.pdf
  • %双因素方差分析 clc,clear x0=[14,10 11,11 13,9 10,12 9,7 10,8 7,11 6,10 5,11 13,14 12,13 14,10];%测试样例 r=3;s=4;k=2;n=r*s*k;%A因素3个水平,B因素4个水平 s1=0;%用于计算总的平方和 f...
    function bivariate_analysis_of_variance()
    %双因素方差分析
    clc,clear
    x0=[14,10 11,11 13,9 10,12
        9,7 10,8 7,11 6,10
        5,11 13,14 12,13 14,10];%测试样例
    r=3;s=4;k=2;n=r*s*k;%A因素3个水平,B因素4个水平
    s1=0;%用于计算总的平方和
    for i=1:r
        for j=1:s*k
            s1=s1+x0(i,j)^2;
        end
    end
    s2=0;%用于计算和平方
    for i=1:r
        for j=1:k*s
            s2=s2+x0(i,j);
        end
    end
    s2=s2^2/n;
    s3=0;%忽略k的影响,平方和
    for i=1:r
        for j=1:s
            x3(i,j)=x0(i,2*j-1)+x0(i,2*j);
            s3=s3+x3(i,j)^2;
        end
    end
    ST=s1-s2;%ST
    sa=zeros(r,1);%用于计算SA
    for i=1:r
        for j=1:s
            sa(i)=sa(i)+x3(i,j);
        end
    end
    SA=0;%SA,A因子平方和
    for i=1:r
        SA=SA+sa(i)^2;
    end
    SA=SA/k/s-s2;
    SAJ=SA/(r-1);%A因素均方和
    sb=zeros(1,s);%用于计算SB
    for j=1:s
        for i=1:r
            sb(j)=sb(j)+x3(i,j);
        end
    end
    SB=0;%SB,B因子的平方和
    for j=1:s
        SB=SB+sb(j)^2;
    end
    SB=SB/r/k-s2;
    SBJ=SB/(s-1);%B因子的均方和
    SAB=s3/2-s2-SA-SB;%A*B的平方和
    SABJ=SAB/(r-1)/(s-1);%A*B的均方和
    SE=ST-SA-SB-SAB;%误差的平方和
    SEJ=SE/r/s/(k-1);%误差的均方和
    S=SA+SB+SAB+SE;%总和
    
    FA=SAJ/SEJ;%A因子的F值
    FB=SBJ/SEJ;%B因子的F值
    FAB=SABJ/SEJ;%A*B的F值
    y1=fcdf(FA,r-1,r*s*(k-1));%显著性
    y2=fcdf(FB,s-1,r*s*(k-1));
    y3=fcdf(FAB,(r-1)*(s-1),r*s*(k-1));
    %制表
    Source={'Columns';'Rows';'Interaction';'Error';'Total'};
    SS={SA;SB;SAB;SE;S};
    df={r-1;s-1;(r-1)*(s-1);r*s*(k-1);r-1+s-1+(r-1)*(s-1)+r*s*(k-1)};
    MS={SAJ;SBJ;SABJ;SEJ;' '};
    F={FA;FB;FAB;' ';' '};
    Prob={1-y1;1-y2;1-y3;' ';' '};
    table(SS,df,MS,F,Prob,'RowNames',Source)
    end

    运行结果如下:

    以上为非anova实现。

    以下为anova实现:

    function bivariate_analysis_of_variance1()
    %双因素方差分析
    clc,clear
    x0=[58.2,52.6 56.2,41.2 65.3,60.8
        49.1,42.8 54.1,50.5 51.6,48.4
        60.1,58.3 70.9,73.2 39.2,40.7
        75.8,71.5 58.2,51.0 48.7,41.4];
    x1=x0(:,1:2:5);
    x2=x0(:,2:2:6);
    for i=1:4
        x(2*i-1,:)=x1(i,:);
        x(2*i,:)=x2(i,:);
    end
    p=anova2(x,2)
    xlswrite('D:\data.xlsx',p)
    end
    

    运行结果如下:

    注释:两个实现的样本不一样 

    展开全文
  • 由于方差分析的原理基本在所有概率论与数理统计的书中都可以找到,那么这里就直接以图片的形式呈现了。关于方差齐次性检验以后会补充。 简介 方差分析(Analysis of Variance,简称ANOVA),又称“变异数分析”,是R.A...

    前言

    由于方差分析的原理基本在所有概率论与数理统计的书中都可以找到,那么这里就直接以图片的形式呈现了。关于方差齐次性检验以后会补充。知识基础:假设检验。(今天刚刚学了数据结构,发现自己以前写的数组的基础操作水平极低,真是惭愧)

    简介

    方差分析(Analysis of Variance,简称ANOVA),又称“变异数分析”,是R.A.Fisher发明的,用于两个及两个以上样本均数差别的显著性检验。 由于各种因素的影响,研究所得的数据呈现波动状。造成波动的原因可分成两类,一是不可控的随机因素,另一是研究中施加的对结果形成影响的可控因素。(百度百科)简单来说就是看看不同因素对于样本的总体均值影响。

    原理

    • 单因素实验的方差分析:

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述
    (里面有一个地方写错了,应该是F分布的α分位点, 而不是(1-α)分位点。因为如果原假设不成立,那么组间的影响就会比较大,也就是SA比较大,对应F也就较大,而α对应的是落入拒绝域的概率,即P(F>threshold)=α,即threshold等于F的α分位点)

    • 双因素的方差分析
      在这里插入图片描述
      在这里插入图片描述
      在这里插入图片描述
      在这里插入图片描述
      在这里插入图片描述
      (同样的,这里的分位点应该是α)

    代码实现

    • 注意事项
      从原理中我们可以看到方差分析的假设是各因素水平对应的样本要服从同方差的正态分布,因此我们有必要做正态拟合度检验和方差齐次检验!(数据量比较大的时候采用,数据量少的时候没有必要)
    %初始化数据:这里我们设置的数据是单因素5个水平下的五组标准
    %正态分布的数据,以确保数据能通过检验
    for i=1:5
        x(i,:)=randn(1,5);
    end
    %正态性检验(卡方检验)
    for i=1:5
        [h,p]=lillietest(x(i,:));
        judge(i)=p;%这里算出来的p是χ^2对应的p分位点,因此当p>0.05时,χ^2落入
                   %接受域,原假设成立,可以看作正态分布
    end
    judge
    %方差齐次检验
    X=reshape(x',size(x,1)*size(x,2),1);%注意形式,将x按行展开
    %数据对应的因素水平序号
    ind=[ones(1,5),2*ones(1,5),3*ones(1,5),4*ones(1,5),5*ones(1,5)];
    [p,status]=vartestn(X,ind);%p为显著性水平,大于0.05即接受原假设:认为因素水平的影响不大
    %方差齐次检验这里我不是很熟,这里简单简单应用一下,日后会补上这方面的内容
    

    我们看一下这段代码的运行结果:

    judge=0.5000    0.0741    0.2905    0.0553    0.5000
    

    均大于0.05,满足正态分布的要求(毕竟用的就是正态分布的数据)

    在这里插入图片描述
    p=0.70032>0.05,满足方差齐次检验的要求
    在这里插入图片描述
    箱线图:从上至下分别为:最大值,上四分位数,中位数,下四分位数,最小值。红色的点是离群异常点。

    • 单因素
    [p,table,status]=anova1(X,ind)
    %p:为显著性水平,同样>0.05即可
    %table:方差分析表
    %status:后面的多重分析会用到
    

    结果:
    p =

    0.3350
    

    table =

    'Source'    'SS'         'df'    'MS'        'F'         'Prob>F'
    'Groups'    [ 5.4734]    [ 4]    [1.3683]    [1.2166]    [0.3350]
    'Error'     [22.4947]    [20]    [1.1247]          []          []
    'Total'     [27.9681]    [24]          []          []          []
    

    info =

    gnames: {5x1 cell}
         n: [5 5 5 5 5]
    source: 'anova1'
     means: [0.4099 0.0779 -0.7779 -0.0130 0.5745]
        df: 20
         s: 1.0605
    

    其中p>0.05,则接受原假设,认为因素无显著影响,反之认为因素有影响
    table则对应着方差分析表(具体数字的解读参见原理)
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    这个箱线图含义与之前的相似,添加的部分是均值的置信区间(由中位数开始指出去的那4条斜线形成的梯形较长底边所在的位置,如第一个的置信区间就约为[-1,1.6]

    [c m h gnames]=multcompare(status);
    %c:比较矩阵,m:每组的均值的估计值和相应的标准差
    %h:图形句柄 gnames:水平等级
    head={'组序号','组序号','置信下限','组均值差','置信上限','?'};%最后一列意义不明
    [ head ;num2cell(c)]%c:比较结果矩阵
    [gnames num2cell(m)]%每组的均值的估计值和相应的标准差
    

    更多关于multcompare的参数和返回值可参见大神文章:MATLAB方差分析
    结果:
    ans =

    '组序号'    '组序号'    '置信下限'       '组均值差'       '置信上限'      '?'     
    [  1]    [  2]    [-1.1323]    [ 0.8093]    [2.7509]    [0.7247]
    [  1]    [  3]    [-1.7358]    [ 0.2058]    [2.1474]    [0.9976]
    [  1]    [  4]    [-1.5378]    [ 0.4038]    [2.3454]    [0.9697]
    [  1]    [  5]    [-1.5169]    [ 0.4247]    [2.3663]    [0.9637]
    [  2]    [  3]    [-2.5451]    [-0.6035]    [1.3381]    [0.8818]
    [  2]    [  4]    [-2.3471]    [-0.4055]    [1.5361]    [0.9693]
    [  2]    [  5]    [-2.3262]    [-0.3846]    [1.5570]    [0.9746]
    [  3]    [  4]    [-1.7436]    [ 0.1980]    [2.1396]    [0.9979]
    [  3]    [  5]    [-1.7227]    [ 0.2189]    [2.1605]    [0.9970]
    [  4]    [  5]    [-1.9206]    [ 0.0210]    [1.9626]    [1.0000]
    

    ans =

    '1'    [ 0.6907]    [0.4588]
    '2'    [-0.1186]    [0.4588]
    '3'    [ 0.4850]    [0.4588]
    '4'    [ 0.2870]    [0.4588]
    '5'    [ 0.2660]    [0.4588]
    

    在这里插入图片描述

    multcompare函数还生成一个交互式图形,可以通过鼠标单击的方式进行两两比较检验。该交互式图形上用一个符号(圆圈)标出了每一组的组均值,用一条之间段标出了每个组的组均值的置信区间。如果某两条线段不相交,即没有重叠的部分,则说明这两个组的组均值之间的差异是显著的。如果某两条直线段有重叠部分,则说明这两个组的组均值之间的差异是不显著的。可以用鼠标在图上任意选一个组,选中的组以及与选中的组禅意显著的其他组均用高亮显示,选中的组用蓝色显示,与选中的组差异显著的其他组用红色显示。
    ————————————————
    版权声明:本文为CSDN博主「MATLAB讲师」的原创文章,遵循 CC 4.0 BY-SA 版权协议,转载请附上原文出处链接及本声明。
    原文传送门:https://blog.csdn.net/matlab_matlab/article/details/57076854
    图(交互式)中任何均值都在其他均值的置信区间内,可见均值的差别并不大

    • 多因素
      操作与单因素类似,只不过要注意输入数据矩阵的形式,每一个Xijk(k=1~t)在矩阵中对应的位置如下:
     	B1		B2.....	Bi.....Bn
     A1	X111	X121.............
     	X112	X122.............
     	...	    ...	.............
     	X11t	X12t.............
     A2 X211	X221.............
     	X212	X222.............
     	...		...	.............
     	X21t	X22t..............
     ...
     Aj					Xij1
     					Xij2
     					...
     					Xijt
     ...
     An
    
    clc,clear 
    x0=[58.2,52.6 56.2,41.2 65.3,60.8 
    49.1,42.8 54.1,50.5 51.6,48.4 
    60.1,58.3 70.9,73.2 39.2,40.7 
    75.8,71.5 58.2,51.0 48.7,41.4]; 
    x1=x0(:,1:2:5);x2=x0(:,2:2:6); 
    for i=1:4 
     x(2*i-1,:)=x1(i,:); 
     x(2*i,:)=x2(i,:); 
    end
    [p,t,st]=anova2(x,2)
    %anvoa2(x,t) 这里的t就是一组因素水平作用下样本的样本数量
    

    结果:
    p =

    0.0035    0.0260    0.0001
    

    t =

    'Source'         'SS'            'df'    'MS'          'F'          'Prob>F'    
    'Columns'        [  370.9808]    [ 2]    [185.4904]    [ 9.3939]    [    0.0035]
    'Rows'           [  261.6750]    [ 3]    [ 87.2250]    [ 4.4174]    [    0.0260]
    'Interaction'    [1.7687e+03]    [ 6]    [294.7821]    [14.9288]    [6.1511e-05]
    'Error'          [  236.9500]    [12]    [ 19.7458]           []              []
    'Total'          [2.6383e+03]    [23]            []           []              []
    

    st =

      source: 'anova2'
     sigmasq: 19.7458
    colmeans: [58.5500 56.9125 49.5125]
        coln: 8
    rowmeans: [55.7167 49.4167 57.0667 57.7667]
        rown: 6
       inter: 1
        pval: 6.1511e-05
          df: 12
    

    在这里插入图片描述
    这里p均<0.05,则拒绝原假设,认为在不同A,B水平下均值的差异还是很大的,而且AB的交互作用也是很显著的。

    %多元分析
    [c_A,m_A,h_A,ganmes_A]=multcompare(st,'estimate','row')%行:对因素A进行多重分析
    [c_B,m_B,h_B,ganmes_B]=multcompare(st,'estimate','column')%列:对因素B进行多重分析
    

    结果解读与对应单因素多重分析的结果一致
    PS:有不正确或者不详细的地方欢迎在留言区提出,大家一起学习

    展开全文
  • 一、原理介绍 因素水平的改变所造成的试验结果的改变,称为主效应。当某一因素的效应随另一因素的水平不同而不同,则称这两个因素之间存在交互作用。...进行双因素方差分析,以比较样本X中两列...

    一、原理介绍

    因素水平的改变所造成的试验结果的改变,称为主效应。当某一因素的效应随另一因素的水平不同而不同,则称这两个因素之间存在交互作用。由于交互作用引起的试验结果的改变称为交互效应。

    二、函数anova2

    matlab通过函数anova2来实现单因素方差分析。函数语法及参数说明如下:

    p = anova2 (x,reps,displayopt)

    进行双因素方差分析,以比较样本X中两列或两列以上和两行或两行以上数据的均值。不同列中的数据代表一个因子A的变化。不同行中的数据代表因子B的变化。reps表示测试的次数;displayopt取值为’on’和’off’,表示是否以图像格式显示统计信息表。

    anova2函数返回p值到P向量中:

    • 零假设的p值。零假设为源于因子A的所有样本(如X中的所有列样本)取自相同的总体。
    • 零假设的p值。零假设为源于因子B的所有样本(如X中的所有行样本)取自相同的总体。
    • 零假设的p值。零假设为因子A和因子B之间没有交互效应。

    三、案例分析

    一火箭使用了四种燃料,三种推进器作射程试验。每种燃料与每种推进器的组合各发射火箭两次,得结果如下(海里):

     

                                    推进器(B)

    燃料(A)

    B1

    B2

    B3

    A1

    58.2

    52.6

    56.2

    41.2

    65.3

    60.8

    A2

    49.1

    42.8

    54.1

    50.5

    51.6

    48.4

    A3

    60.1

    58.3

    70.9

    73.2

    39.2

    40.7

    A4

    75.8

    71.5

    58.2

    51.0

    48.7

    41.4

     

    解:依题意需检验假设,,,

    输入程序:

    x=[58.2,56.2,65.3;

        52.6,41.2,60.8;

        49.1,54.1,51.6;

        42.8,50.5,48.4;

        60.1,70.9,39.2;

        58.3,73.2,40.7;

        75.8,58.2,48.7;

        71.5,51.0,41.4];

    p=anova2(x,2) %此处2表示每种组合测试2次

    结果如下图:

     

    返回p值分别为:0.0035    0.0260    0.0001,所以拒绝三个零假设,认为燃料、推进器和二者的交互效应对于火箭的射程都有显著影响的。

    作者:YangYF

    展开全文
  • MATLAB统计分析-方差分析

    千人学习 2019-10-31 16:24:32
    介绍MATLAB统计分析中方差分析的内容,包括单因子、因子和多因子方差分析。
  • 【数据分析双因素方差分析

    千次阅读 2020-03-15 18:49:41
    0.双因素方差分析的分类 无交互作用的方差分析 假定因素AAA和因素BBB的效应之间是相互独立的,不存在相互关系。 有交互作用的方差分析 假定因素AAA和因素BBB的结合会产生出一种新的效应。 无交互作用的双因素方差...

    0.双因素方差分析的分类

    • 无交互作用的方差分析
      假定因素 A A A和因素 B B B的效应之间是相互独立的,不存在相互关系。
    • 有交互作用的方差分析
      假定因素 A A A和因素 B B B的结合会产生出一种新的效应。

    无交互作用的双因素方差分析

    1.形式

    假定要考察两个因素 A , B A,B A,B对某项指标的影响,因素 A A A s s s个水平 A 1 , A 2 , … , A s A_{1}, A_{2}, \dots, A_{s} A1,A2,,As,因素 B B B r r r个水平 B 1 , B 2 , … , B r B_{1}, B_{2}, \dots, B_{r} B1,B2,,Br,在 A , B A,B A,B的每队组合水平 ( A i , B j ) \left(A_{i}, B_{j}\right) (Ai,Bj)上作一次试验,试验结果为 X i j , i = 1 , … , s ;   j = 1 , … , r X_{i j}, i=1, \dots, s ;\space j=1, \dots, r Xij,i=1,,s; j=1,,r。所有 X i j X_{ij} Xij独立,数据列于下表:

    因素 B 1 B_1 B1 B 2 B_2 B2 B s B_s Bs
    A 1 A_1 A1 X 11 X_{11} X11 X 12 X_{12} X12 X 1 s X_{1s} X1s
    A 2 A_2 A2 X 21 X_{21} X21 X 22 X_{22} X22 X 2 s X_{2s} X2s
    A r A_r Ar X r 1 X_{r1} Xr1 X r 2 X_{r2} Xr2 X r s X_{rs} Xrs

    2.前期工作

    • 作出假设
      设搭配 ( A i , B j ) \left(A_{i}, B_{j}\right) (Ai,Bj)下的试验结果为 X i j X_{ij} Xij,假定 X i j ∼ N ( a i j , σ 2 ) X_{i j} \sim N\left(a_{i j}, \sigma^{2}\right) XijN(aij,σ2),则问题归结为检验假设:
      H 0 A : a 1 j = a 2 j = ⋯ = a j j , j = 1 , 2 , ⋯   , s H 0 B : a i 1 = a i 2 = ⋯ = a i r , i = 1 , 2 , ⋯   , r \begin{aligned} &H_{0 A}: a_{1 j}=a_{2 j}=\cdots=a_{j j}, j=1,2, \cdots, s\\ &H_{0 B}: a_{i 1}=a_{i 2}=\cdots=a_{i r}, i=1,2, \cdots, r \end{aligned} H0A:a1j=a2j==ajj,j=1,2,,sH0B:ai1=ai2==air,i=1,2,,r
    • 平方和分解
      与单因素方差分析类似地:
      S A S_A SA是由因素 A A A的不同效应和随机误差引起的偏差
      S B S_B SB是由因素 B B B的不同效应和随机误差引起的偏差
      S e S_e Se是由随机误差引起的偏差
      记:
      n = r s , X ˉ i = 1 s ∑ j = 1 s X i j , X ˉ ⋅ j = 1 r ∑ i = 1 r X i j T i ⋅ = ∑ j = 1 s X i j , T ⋅ j = ∑ i = 1 r X i j X ˉ = 1 r s ∑ i = 1 r ∑ j = 1 s X i j , T = ∑ i = 1 r ∑ j = 1 s X i j i = 1 , 2 , ⋯   , r ; j = 1 , 2 , ⋯   , s n=r s, \bar{X}_{i}=\frac{1}{s} \sum_{j=1}^{s} X_{i j}, \bar{X}_{\cdot j}=\frac{1}{r} \sum_{i=1}^{r} X_{i j}\\ T_{i \cdot}=\sum_{j=1}^{s} X_{i j}, T_{\cdot j}=\sum_{i=1}^{r} X_{i j}\\ \bar{X}=\frac{1}{r s} \sum_{i=1}^{r} \sum_{j=1}^{s} X_{i j}, T=\sum_{i=1}^{r} \sum_{j=1}^{s} X_{i j}\\ i=1,2, \cdots, r ; j=1,2, \cdots, s n=rs,Xˉi=s1j=1sXij,Xˉj=r1i=1rXijTi=j=1sXij,Tj=i=1rXijXˉ=rs1i=1rj=1sXij,T=i=1rj=1sXiji=1,2,,r;j=1,2,,s
      于是:
      S T = ∑ i = 1 r ∑ j = 1 s X i j 2 − T 2 r s , S A = 1 s ∑ i = 1 r T i ⋅ 2 − T 2 r s S B = 1 r ∑ j = 1 s T ⋅ j 2 − T 2 r s , S e = S T − S A − S B S_{T}=\sum_{i=1}^{r} \sum_{j=1}^{s} X_{i j}^{2}-\frac{T^{2}}{r s}, S_{A}=\frac{1}{s} \sum_{i=1}^{r} T_{i \cdot}^{2}-\frac{T^{2}}{r s}\\ S_{B}=\frac{1}{r} \sum_{j=1}^{s} T_{\cdot j}^{2}-\frac{T^{2}}{r s},S_{e}=S_{T}-S_{A}-S_{B} ST=i=1rj=1sXij2rsT2,SA=s1i=1rTi2rsT2SB=r1j=1sTj2rsT2,Se=STSASB

    3.检验假设

    比较 S A S_A SA S E S_E SE的值来检验假设 H 0 A H_{0A} H0A
    比较 S B S_B SB S E S_E SE的值来检验假设 H 0 B H_{0B} H0B

    • 定理
      S T , S A , S B S_T,S_A,S_B ST,SA,SB相互独立,且 1 σ 2 S e ∼ χ 2 ( ( s − 1 ) ( r − 1 ) ) \frac{1}{\sigma^{2}} S_{e} \sim \chi^{2}((s-1)(r-1)) σ21Seχ2((s1)(r1))
      H 0 A H_{0A} H0A成立时,有:
      F A = S A / σ 2 r − 1 / S e / σ 2 ( r − 1 ) ( s − 1 ) = ( s − 1 ) S A S e ∼ F ( r − 1 , ( r − 1 ) ( s − 1 ) ) F_{A}=\frac{S_{A} / \sigma^{2}}{r-1} / \frac{S_{e} / \sigma^{2}}{(r-1)(s-1)}=\frac{(s-1) S_{A}}{S_{e}} \sim F(r-1,(r-1)(s-1)) FA=r1SA/σ2/(r1)(s1)Se/σ2=Se(s1)SAF(r1,(r1)(s1))
      H 0 B H_{0B} H0B成立时,有:
      F B = S B / σ 2 s − 1 / S e / σ 2 ( r − 1 ) ( s − 1 ) = ( r − 1 ) S A S e ∼ F ( s − 1 , ( r − 1 ) ( s − 1 ) ) F_{B}=\frac{S_{B} / \sigma^{2}}{s-1} / \frac{S_{e} / \sigma^{2}}{(r-1)(s-1)}=\frac{(r-1) S_{A}}{S_{e}} \sim F(s-1,(r-1)(s-1)) FB=s1SB/σ2/(r1)(s1)Se/σ2=Se(r1)SAF(s1,(r1)(s1))
    • 拒绝域
      H 0 A H_{0A} H0A的拒绝域为:
      F A ≥ F α ( s − 1 , ( s − 1 ) ( r − 1 ) ) F_{A} \geq F_{\alpha}(s-1,(s-1)(r-1)) FAFα(s1,(s1)(r1))
      H 0 B H_{0B} H0B的拒绝域为:
      F B ≥ F α ( r − 1 , ( s − 1 ) ( r − 1 ) ) F_{B} \geq F_{\alpha}(r-1,(s-1)(r-1)) FBFα(r1,(s1)(r1))
    • 方差分析表
      |方差来源 |平方和 |自由度 | F F F值 |临界值 |
      | :------------: | :------------: | :------------: | :------------: | :------------: |
      |因素 A A A | S A S_A SA | r − 1 r-1 r1 | F A = ( s − 1 ) S A S e F_{A}=\frac{(s-1) S_{A}}{S_{e}} FA=Se(s1)SA | F A α F_{A\alpha} FAα |
      |因素 B B B | S B S_B SB | s − 1 s-1 s1 | F B = ( r − 1 ) S B S e F_{B}=\frac{(r-1) S_{B}}{S_{e}} FB=Se(r1)SB | F B α F_{B\alpha} FBα |
      |试验误差 | S e S_e Se | ( r − 1 ) ( s − 1 ) (r-1)(s-1) (r1)(s1) | | |
      |总和 | S T S_T ST | n − 1 n-1 n1 | | |

    4.实现

    • 例题
      为了研究不同地点,不同季节大气飘尘含量的差异性,对地点 A A A取三个不同水平,对季节 B B B取四个不同水平,在不同组合(A_i,B_j)下各测一次大气飘尘含量,结果建下表,请问研究地点间的差异和季节间的差异对大气飘尘含量有无影响? ( α = 0.05 ) (\alpha=0.05) (α=0.05)
    因素 B 1 B_1 B1 B 2 B_2 B2 B 3 B_3 B3 B 4 B_4 B4
    A 1 A_1 A11.1500.6140.4750.667
    A 2 A_2 A21.2000.6200.4200.880
    A 3 A_3 A30.9400.3790.2000.540
    • Excel求解
      录入数据:

      在方差分析选项中选择“无重复双因素方差分析”,选中分析区域, α \alpha α设为0.05,单击“确定”:

      可在新工作表中看到结果:

    • MATLAB求解

    function annova_solve()
        x = [1.150, 0.614, 0.475, 0.667;
            1.200, 0.620, 0.420, 0.880;
            0.940, 0.379, 0.200, 0.540];
        p = anova2(x);
    end
    

    运行结果:

    • Python求解
    import pandas as pd
    from statsmodels.formula.api import ols
    from statsmodels.stats.anova import anova_lm
    
    df = pd.read_csv('D:\Data\ex_2way_annova.csv')
    print(df)
    model = ols('content ~ season + location', data = df).fit()
    table = anova_lm(model)
    print(table)
    

    运行结果:

    • 结论
      F A = 23.848 > F A α = 10.92 , F B = 88.848 > F B α = 9.78 F_{A}=23.848>F_{A \alpha}=10.92, F_{B}=88.848>F_{B \alpha}=9.78 FA=23.848>FAα=10.92,FB=88.848>FBα=9.78,拒绝 H 0 A , H 0 B H_{0A},H_{0B} H0A,H0B,认为两个因素都有影响。

    有交互作用的双因素方差分析

    1.形式

    假定要考察两个因素 A , B A,B A,B对某项指标的影响,因素 A A A s s s个水平 A 1 , A 2 , … , A s A_{1}, A_{2}, \dots, A_{s} A1,A2,,As,因素 B B B r r r个水平 B 1 , B 2 , … , B r B_{1}, B_{2}, \dots, B_{r} B1,B2,,Br,在 A , B A,B A,B的每队组合水平 ( A i , B j ) \left(A_{i}, B_{j}\right) (Ai,Bj)上尸检结果独立地服从 N ( μ i j , σ 2 ) N\left(\mu_{i j}, \sigma^{2}\right) N(μij,σ2)分布,如下表:

    因素 B 1 B_1 B1 B 2 B_2 B2 B s B_s Bs
    A 1 A_1 A1 X 111 , . . . , X 11 t X_{111},...,X_{11t} X111,...,X11t X 121 , . . . , X 12 t X_{121},...,X_{12t} X121,...,X12t X 1 s 1 , . . . , X 1 s t X_{1s1},...,X_{1st} X1s1,...,X1st
    A 2 A_2 A2 X 211 , . . . , X 21 t X_{211},...,X_{21t} X211,...,X21t X 221 , . . . , X 22 t X_{221},...,X_{22t} X221,...,X22t X 2 s 1 , . . . , X 2 s t X_{2s1},...,X_{2st} X2s1,...,X2st
    A r A_r Ar X r 11 , . . . , X r 1 t X_{r11},...,X_{r1t} Xr11,...,Xr1t X r 21 , . . . , X r 2 t X_{r21},...,X_{r2t} Xr21,...,Xr2t X r s 1 , . . . , X r s t X_{rs1},...,X_{rst} Xrs1,...,Xrst

    2.参数

    为了方便研究,令:
    μ = 1 r s ∑ i = 1 r ∑ j = 1 s μ i j μ i . = 1 s ∑ j = 1 s μ i j α i = μ i . − μ i = 1 , 2 , … , r μ . j = 1 r ∑ i = 1 r μ i j β j = μ . j − μ j = 1 , 2 , … , s \begin{aligned} &\mu=\frac{1}{r s} \sum_{i=1}^{r} \sum_{j=1}^{s} \mu_{i j}\\ &\mu_{i .}=\frac{1}{s} \sum_{j=1}^{s} \mu_{i j} \quad \alpha_{i}=\mu_{i .}-\mu \quad i=1,2, \ldots, r\\ &\mu_{. j}=\frac{1}{r} \sum_{i=1}^{r} \mu_{i j} \quad \beta_{j}=\mu_{. j}-\mu \quad j=1,2, \ldots, s \end{aligned} μ=rs1i=1rj=1sμijμi.=s1j=1sμijαi=μi.μi=1,2,,rμ.j=r1i=1rμijβj=μ.jμj=1,2,,s
    μ \mu μ为一般平均值, α i \alpha_{i} αi为因素 A A A的第 i i i个水平的效应,有如下关系式:
    ∑ i = 1 r α i = 0 ∑ j = 1 s β j = 0 \sum_{i=1}^{r} \alpha_{i}=0 \quad \sum_{j=1}^{s} \beta_{j}=0 i=1rαi=0j=1sβj=0
    μ i j ≠ μ + α i + β j \mu_{i j} \neq \mu+\alpha_{i}+\beta_{j} μij=μ+αi+βj,则称 γ i j = μ i j − μ − α i − β j \gamma_{i j}=\mu_{i j}-\mu-\alpha_{i}-\beta_{j} γij=μijμαiβj为因素 A A A的第 i i i个水平与因素 B B B的第 j j j个水平的交互效应,它们满足关系式:
    ∑ i = 1 r γ i j = 0 , j = 1 , 2 , … , s ∑ j = 1 s γ i j = 0 , i = 1 , 2 , … , r \begin{aligned} &\sum_{i=1}^{r} \gamma_{i j}=0, \quad j=1,2, \ldots, s\\ &\sum_{j=1}^{s} \gamma_{i j}=0, \quad i=1,2, \ldots, r \end{aligned} i=1rγij=0,j=1,2,,sj=1sγij=0,i=1,2,,r

    3.模型与假设

    • 有交互的双因素方差分析模型
      X i j k = μ + α i + β j + γ i j + ε i j k ∑ i = 1 r α i = 0 , ∑ j = 1 s β j = 0 ∑ i = 1 r γ i j = 0 , ∑ j = 1 s γ i j = 0 ε i j k ∼ N ( 0 , σ 2 ) , 且 相 互 独 立 i = 1 , 2 , … , r ; j = 1 , 2 , … , s ; k = 1 , 2 , … , t \begin{aligned} &X_{i j k}=\mu+\alpha_{i}+\beta_{j}+\gamma_{i j}+\varepsilon_{i j k}\\ &\sum_{i=1}^{r} \alpha_{i}=0, \quad \sum_{j=1}^{s} \beta_{j}=0\\ &\sum_{i=1}^{r} \gamma_{i j}=0, \quad \sum_{j=1}^{s} \gamma_{i j}=0\\ &\varepsilon_{i j k} \sim N\left(0, \sigma^{2}\right),且相互独立 \end{aligned}\\ i=1,2, \ldots, r ; \quad j=1,2, \ldots, s ; \quad k=1,2, \ldots, t Xijk=μ+αi+βj+γij+εijki=1rαi=0,j=1sβj=0i=1rγij=0,j=1sγij=0εijkN(0,σ2),i=1,2,,r;j=1,2,,s;k=1,2,,t
    • 需要检验的假设
      H 01 : α 1 = α 2 = … = α r = 0 H 02 : β 1 = β 2 = … = β s = 0 H 03 : γ y ˉ = 0 , ∀ i , j \begin{aligned} &H_{01}: \alpha_{1}=\alpha_{2}=\ldots=\alpha_{r}=0\\ &H_{02}: \beta_{1}=\beta_{2}=\ldots=\beta_{s}=0\\ &H_{03}: \gamma_{\bar{y}}=0, \quad \forall i, j \end{aligned} H01:α1=α2==αr=0H02:β1=β2==βs=0H03:γyˉ=0,i,j

    4.平方和分解

    • 记号引入
      X = 1 r s t ∑ i = 1 r ∑ j = 1 s ∑ k = 1 t X i j k X i j ⋅ = ∑ k = 1 t X i j k , X ˉ i j ⋅ = 1 t X i j ⋅ , i = 1 , 2 , … , r ; j = 1 , 2 , … , s X i ⋅ ⋅ = ∑ j = 1 s ∑ k = 1 t X i j k , X ˉ i ⋅ ⋅ = 1 s t X i ⋅ ⋅ , i = 1 , 2 , … , r X ⋅ j ⋅ = ∑ j = 1 r ∑ k = 1 t X i j k , X ˉ ⋅ j ⋅ = 1 r t X i ⋅ ⋅ , j = 1 , 2 , … , s X=\frac{1}{rst} \sum_{i=1}^{r} \sum_{j=1}^{s} \sum_{k=1}^{t} X_{i j k}\\ \begin{aligned} &X_{ij\cdot} =\sum_{k=1}^{t} X_{i j k}, \quad \bar{X}_{i j\cdot} =\frac{1}{t} X_{i j\cdot} , \quad i=1,2, \ldots, r ; \quad j=1,2, \ldots, s\\ &X_{i\cdot\cdot} =\sum_{j=1}^{s} \sum_{k=1}^{t} X_{i j k}, \quad \bar{X}_{i \cdot \cdot}=\frac{1}{s t} X_{i\cdot\cdot}, \quad i=1,2, \ldots, r\\ &X_{\cdot j\cdot}=\sum_{j=1}^{r} \sum_{k=1}^{t} X_{i j k}, \quad \bar{X}_{\cdot j\cdot}=\frac{1}{r t} X_{i\cdot\cdot}, \quad j=1,2, \ldots, s \end{aligned} X=rst1i=1rj=1sk=1tXijkXij=k=1tXijk,Xˉij=t1Xij,i=1,2,,r;j=1,2,,sXi=j=1sk=1tXijk,Xˉi=st1Xi,i=1,2,,rXj=j=1rk=1tXijk,Xˉj=rt1Xi,j=1,2,,s
      由此可得:
      X ˉ = μ + s ˉ X ˉ i j ⋅ = μ + α i + β j + γ i j + ε ˉ i j ⋅ X ˉ i ⋅ ⋅ = μ + α j + ε ˉ i ⋅ ⋅ X ˉ ⋅ j ⋅ = μ + β j + ε ˉ ⋅ j ⋅ \begin{aligned} &\bar{X}=\mu+\bar{s}\\ &\bar{X}_{i j\cdot}=\mu+\alpha_{i}+\beta_{j}+\gamma_{i j}+\bar{\varepsilon}_{i j\cdot}\\ &\bar{X}_{i\cdot\cdot}=\mu+\alpha_{j}+\bar{\varepsilon}_{i\cdot\cdot}\\ &\bar{X}_{\cdot j \cdot}=\mu+\beta_{j}+\bar{\varepsilon}_{\cdot j\cdot} \end{aligned} Xˉ=μ+sˉXˉij=μ+αi+βj+γij+εˉijXˉi=μ+αj+εˉiXˉj=μ+βj+εˉj
    • 平方和分解
      S T = ∑ i = 1 r ∑ j = 1 s ∑ k = 1 t ( X i j k − X ˉ ) 2 = S E + S A + S B + S A × B \begin{aligned} &S_{T}=\sum_{i=1}^{r} \sum_{j=1}^{s} \sum_{k=1}^{t}\left(X_{i j k}-\bar{X}\right)^{2}\\ &=S_{E}+S_{A}+S_{B}+S_{A \times B} \end{aligned} ST=i=1rj=1sk=1t(XijkXˉ)2=SE+SA+SB+SA×B
    • 误差平方和
      试验的随机波动引起的误差。
      S E = ∑ i = 1 r ∑ j = 1 s ∑ k = 1 t ( X i j k − X ˉ i j ⋅ ) 2 S_{E}=\sum_{i=1}^{r} \sum_{j=1}^{s} \sum_{k=1}^{t}\left(X_{i j k}-\bar{X}_{i j\cdot} \right)^{2} SE=i=1rj=1sk=1t(XijkXˉij)2
    • 因子 A A A的偏差平方和
      除了反映了试验的随机波动引起的误差外,还反映了因子A的效应间的差异。
      S A = ∑ i = 1 r s t ( X ˉ i ⋅ ⋅ − X ˉ ) 2 S_{A}=\sum_{i=1}^{r} s t\left(\bar{X}_{i\cdot\cdot}-\bar{X}\right)^{2} SA=i=1rst(XˉiXˉ)2
    • 因子 B B B的偏差平方和
      除了反映了试验的随机波动引起的误差外,还反映了因子B的效应间的差异。
      S B = ∑ j = 1 s r t ( X ˉ ⋅ j ⋅ − X ˉ ) 2 S_{B}=\sum_{j=1}^{s} r t\left(\bar{X}_{\cdot j\cdot}-\bar{X}\right)^{2} SB=j=1srt(XˉjXˉ)2
    • 交互作用的偏差平方和
      除了反映了试验的随机波动引起的误差外,还反映了交互效应的差异所引起的波动。
      S A × B = ∑ i = 1 r ∑ j = 1 s t ( X ˉ i j ⋅ − X ˉ i ⋅ ⋅ − X ˉ ⋅ j ⋅ + X ˉ ) 2 S_{A \times B}=\sum_{i=1}^{r} \sum_{j=1}^{s} t\left(\bar{X}_{i j\cdot}-\bar{X}_{i \cdot \cdot}-\bar{X}_{\cdot j \cdot}+\bar{X}\right)^{2} SA×B=i=1rj=1st(XˉijXˉiXˉj+Xˉ)2
    • 计算公式
      S T = ∑ i = 1 r ∑ j = 1 s ∑ k = 1 t X i j k 2 − n X ˉ 2 f T = r s t − 1 S A = 1 s t ∑ i = 1 r X i . . 2 − n X ˉ 2 f A = r − 1 S B = 1 r t ∑ i = 1 r X . j . 2 − n X ˉ 2 f B = s − 1 S A × B = 1 t ∑ i = 1 r ∑ j = 1 s X i j . 2 − n X ˉ 2 − S A − S B f A × B = ( r − 1 ) ( s − 1 ) S E = S T − S A − S B − S A X B f E = r s ( t − 1 ) \begin{aligned} &S_{T}=\sum_{i=1}^{r} \sum_{j=1}^{s} \sum_{k=1}^{t} X_{i j k}^{2}-n \bar{X}^{2} \quad f_{T}=r s t-1\\ &S_{A}=\frac{1}{s t} \sum_{i=1}^{r} X_{i . .}^{2}-n \bar{X}^{2} \quad \quad f_{A}=r-1\\ &S_{B}=\frac{1}{r t} \sum_{i=1}^{r} X_{. j .}^{2}-n \bar{X}^{2} \quad f_{B}=s-1\\ &S_{A \times B}=\frac{1}{t} \sum_{i=1}^{r} \sum_{j=1}^{s} X_{i j .}^{2}-n \bar{X}^{2}-S_{A}-S_{B} \quad f_{A \times B}=(r-1)(s-1)\\ &S_{E}=S_{T}-S_{A}-S_{B}-S_{A X B} \quad f_{E}=r s(t-1) \end{aligned} ST=i=1rj=1sk=1tXijk2nXˉ2fT=rst1SA=st1i=1rXi..2nXˉ2fA=r1SB=rt1i=1rX.j.2nXˉ2fB=s1SA×B=t1i=1rj=1sXij.2nXˉ2SASBfA×B=(r1)(s1)SE=STSASBSAXBfE=rs(t1)

    5.假设检验

    • 检验统计量
      H 01 H_{01} H01为真时:
      F A = S A / ( r − 1 ) S E / r s ( t − 1 ) ∼ F ( r − 1 , r s ( t − 1 ) ) F_{A}=\frac{S_{A} /(r-1)}{S_{E} / r s(t-1)} \sim F(r-1, r s(t-1)) FA=SE/rs(t1)SA/(r1)F(r1,rs(t1))
      H 02 H_{02} H02为真时:
      F B = S B / ( s − 1 ) S E / r s ( t − 1 ) ∼ F ( s − 1 , r s ( t − 1 ) ) F_{B}=\frac{S_{B} /(s-1)}{S_{E} / r s(t-1)} \sim F(s-1, r s(t-1)) FB=SE/rs(t1)SB/(s1)F(s1,rs(t1))
      H 03 H_{03} H03为真时:
      F A × B = S A × B / ( r − 1 ) ( s − 1 ) S E / r s ( t − 1 ) ∼ F ( ( r − 1 ) ( s − 1 ) , r s ( t − 1 ) ) F_{A \times B}=\frac{S_{A \times B} /(r-1)(s-1)}{S_{E} / r s(t-1)} \sim F((r-1)(s-1), r s(t-1)) FA×B=SE/rs(t1)SA×B/(r1)(s1)F((r1)(s1),rs(t1))
    • 假设的拒绝
      对给定的显著性水平 α \alpha α:
      F A > F 1 − α ( r − 1 , r s ( t − 1 ) ) F_A>F_{1-\alpha}(r-1,rs(t-1)) FA>F1α(r1,rs(t1))时拒绝 H 01 H_{01} H01
      F B > F 1 − α ( s − 1 , r s ( t − 1 ) ) F_B>F_{1-\alpha}(s-1,rs(t-1)) FB>F1α(s1,rs(t1))时拒绝 H 02 H_{02} H02
      F A × B > F 1 − α ( ( r − 1 ) ( s − 1 ) , r s ( t − 1 ) ) F_{A\times B}>F_{1-\alpha}((r-1)(s-1),rs(t-1)) FA×B>F1α((r1)(s1),rs(t1))时拒绝 H 03 H_{03} H03
    • 方差分析表
    来源平方和自由度均方和 F F F显著性
    因子 A A A S A S_A SA r − 1 r-1 r1 S A / ( r − 1 ) S_A/(r-1) SA/(r1) F A F_A FA
    因子 B B B S B S_B SB s − 1 s-1 s1 S B / ( s − 1 ) S_B/(s-1) SB/(s1) F B F_B FB
    A × B A\times B A×B S A × B S_{A\times B} SA×B ( r − 1 ) ( s − 1 ) (r-1)(s-1) (r1)(s1) S A × B ( r − 1 ) ( s − 1 ) \frac{S_{A\times B}}{(r-1)(s-1)} (r1)(s1)SA×B F A × B F_{A \times B} FA×B
    误差 S E S_E SE r s ( t − 1 ) rs(t-1) rs(t1) S E / r s ( t − 1 ) S_E/rs(t-1) SE/rs(t1)
    总和 S T S_T ST r s t − 1 rst-1 rst1

    一般,当 F > F 0.99 F>F_{0.99} F>F0.99时,称因子的影响高度显著,记为“**”;当 F 0.99 > F ≥ F 0.95 F_{0.99}>F≥F_{0.95} F0.99>FF0.95时,称因子的影响显著,记为“*”;当 F < F 0.95 F<F_{0.95} FF0.95时, 称因子无显著影响,即认为因子各水平间无差异。

    6.实现

    • 例题
      在某化工生产中为了提高收率,选了三种不同浓度 A A A,四种不同温度 B B B做试验。在同一浓度与同一温度组合下各做二次试验,其收率数据如下而计算表所列(数据均已减去75)。试检验不同浓度,不同温度以及它们间的交互作用对收率有无显著影响。
    因素 B 1 B_1 B1 B 2 B_2 B2 B 3 B_3 B3 B 4 B_4 B4 X i ⋅ ⋅ X_{i\cdot \cdot} Xi X i ⋅ ⋅ 2 X^2_{i\cdot \cdot} Xi2
    A 1 A_1 A114,1011,1113,910,12908100
    A 2 A_2 A29,710,87,116,10684624
    A 3 A_3 A35,1113,1412,1314,10928464
    X ⋅ j ⋅ X_{\cdot j\cdot} Xj5667656225021188
    X ⋅ j ⋅ 2 X^2_{\cdot j\cdot} Xj2313644894225384415694
    • C++求解
    #include<bits/stdc++.h>
    using namespace std;
    
    int main()
    {
        int r = 3, s = 4, t = 2;
        double x[10][10][10]= {
        {{14,10},{11,11},{13, 9},{10,12}}, //data
        {{ 9, 7},{10, 8},{ 7,11},{ 6,10}},
        {{ 5,11},{13,14},{12,13},{14,10}}
        };
        double n_sq_x_bar = 0;
        double sq_x = 0;
        double x_ijdot = 0;
        double tmp = 0, tmp1 = 0, tmp2 = 0;
        double x_dot_j_dot[10];
        memset(x_dot_j_dot, 0, sizeof(x_dot_j_dot));
        double x_i_dot_dot[10];
        memset(x_i_dot_dot, 0, sizeof(x_i_dot_dot));
        for(int i = 0; i < r; ++i)
        {
            for(int j = 0; j < s; ++j)
            {
                for(int k = 0; k < t; ++k)
                {
                    x_dot_j_dot[j] += x[i][j][k];
                    x_i_dot_dot[i] += x[i][j][k];
                    tmp += x[i][j][k];
                    n_sq_x_bar += x[i][j][k];
                    sq_x += x[i][j][k] * x[i][j][k];
                }
                x_ijdot += tmp * tmp;
                tmp = 0;
            }
        }
        double sum_x_dot_j_dot = 0;
        for(int i = 0; i < s; ++i)
        {
            sum_x_dot_j_dot += x_dot_j_dot[i] * x_dot_j_dot[i];
        }
        double sum_x_i_dot_dot = 0;
        for(int i = 0; i < r; ++i)
        {
            sum_x_i_dot_dot += x_i_dot_dot[i] * x_i_dot_dot[i];
        }
        // cout << sum_x_dot_j_dot << " " << sum_x_i_dot_dot << endl;
        n_sq_x_bar /= 24;
        n_sq_x_bar *= n_sq_x_bar;
        n_sq_x_bar *= 24;
        // cout << n_sq_x_bar << " " << sq_x << " " << x_ijdot << endl;
        double S_T = sq_x - n_sq_x_bar;
        double S_A = sum_x_i_dot_dot / (s * t) - n_sq_x_bar;
        double S_B = sum_x_dot_j_dot / (r * t) - n_sq_x_bar;
        double S_AB = (1.0 / t) * x_ijdot - n_sq_x_bar - S_A - S_B;
        double S_E = S_T - S_A - S_B - S_AB;
        // cout << S_T << " " << S_A << " " << S_B << " " << S_AB << endl;
        double F_A = (S_A / (r - 1)) / (S_E / (r * s * (t - 1)));
        double F_B = (S_B / (s - 1)) / (S_E / (r * s * (t - 1)));
        double F_AB = (S_AB / ((r - 1) * (s - 1))) / (S_E / (r * s * (t - 1)));
        // cout << "F_A = " << F_A << "\nF_B = " << F_B << "\nF_AB = " << F_AB << endl;
        cout << "source\tdf\tSS\tMS\t\F" << endl;
        cout << "A\t" << r - 1 << "\t" << S_A << "\t" << S_A/(r - 1) << "\t" << F_A << endl;
        cout << "B\t" << s - 1 << "\t" << S_B << "\t" << S_B/(s - 1) << "\t" << F_B << endl;
        cout << "AXB\t" << (r - 1) * (s - 1) << "\t" << S_AB << "\t" << S_AB / ((r - 1) * (s - 1)) << "\t" << F_AB << endl;
        cout << "error\t" << r * s * (t - 1) << "\t" << S_E << "\t" << S_E/(r * s * (t - 1)) << endl;
        cout << "total\t" << r * s * t - 1 << "\t" << S_T << endl;
    
        return 0;
    }
    

    运行结果:

    • MATLAB求解
    function annova_solve()
        x = [14, 11, 13, 10;
            10, 11, 9, 12;
            9, 10, 7, 6;
            7, 8, 11, 10;
            5, 13, 12, 14;
            11, 14, 13, 10];
        p = anova2(x,2);
    end
    

    运行结果:

    • Excel求解
      录入数据如下:

    在“数据分析”中选择“可重复双因素分析”,选择区域,单击“确定”:

    结果如下:

    • 结论
      查表可知, F 0.05 < F A < F 0.01 F_{0.05}<F_{A}<F_{0.01} F0.05<FA<F0.01 F B , F A × B < F 0.05 F_{B},F_{A\times B}<F_{0.05} FB,FA×B<F0.05。故认为浓度影响较为显著,温度与交互作用影响不显著。

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