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  • 求过渡矩阵的方法 求-个由基a, a,., a,到B, .,… β.的过渡矩阵P, 一般采用下列方法: (1)定义法.将βi,i=1,2…,n, 在基ai下的坐标逐个求出,按列写成一一个n阶矩阵,即为过渡矩阵P: 函数R[x]_5旧基为B1={1,x, x2, ...

    求过渡矩阵的方法
    求-个由基a, a,., a,到B, .,… β.的过渡矩阵P, 一般采用下列方法:

    (1)定义法:

    函数R[x]_5旧基为B1={1,x, x2, x3,x4);新基B2={1,1+x,1+x+x2, 1+x+x2+x3,1+x+x2+x3+x4}.

    B 2 = B 1 × [ 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 ] B2=B1 ×\begin{bmatrix}1&1&1&1&1\\0&1&1&1&1\\0&0&1&1&1\\0&0&0&1&1\\0&0&0&0&1\end{bmatrix} B2=B1×1000011000111001111011111
    式子右端矩阵就是旧基B到新基B的过渡矩阵.

    (2)借助第三组基

    由过渡矩阵的唯一性知,A= BC(两个过度矩阵的乘积)

    (3) 求正交变换的过度矩阵(二次型的标准化(相似化方法)的正交变换)[配方法的合同矩阵就不是正交的了]

    x T A x ⟶ X = Q Y ( Q Y ) T A ( Q Y ) x^TAx\stackrel{X=QY}{\longrightarrow}(QY)^TA(QY) xTAxX=QY(QY)TA(QY)

    二 次 型 的 变 换 是 合 同 变 换 , ( 相 似 变 换 ) 合 同 变 换 P − 1 A P = P T A P , 所 以 P 是 正 交 矩 阵 二次型的变换是合同变换,(相似变换)合同变换P^{-1}AP=P^TAP,\\ 所以P是正交矩阵 ()P1AP=PTAPP

    A x = λ x A 3 × 3 ( x 1 , x 2 , x 3 ) = ( λ 1 λ 2 λ 3 ) ( x 1 , x 2 , x 3 ) 则 ( x 1 , x 2 , x 3 ) 为 过 度 矩 阵 求 正 交 矩 阵 还 需 将 相 互 正 交 的 向 量 x 1 , x 2 , x 3 单 位 化 Ax=λx\\ A_{3×3}(x_1,x_2,x_3)=\left( \begin{array} { l l } { λ_1 } & { }&{} \\ { } & {λ_2 } &{}\\ { } & { } &{λ_3}\end{array}\right)(x_1,x_2,x_3)\\ 则(x_1,x_2,x_3)为过度矩阵\\ {\boxed{求正交矩阵还需将相互正交的向量x_1,x_2,x_3单位化}} Ax=λxA3×3(x1,x2,x3)=λ1λ2λ3(x1,x2,x3)(x1,x2,x3)x1,x2,x3

    求正交矩阵将实对称 矩阵对角化的方法

    1.求A的特征值
    2.求特征值对应的特征向量
    3.将 同一特征值对应的 将特征向量构成矩阵
    1. 特征向量正交化后单位化

    例:A={1,-2,2;-2,-2,4;2,4,-2},特征值 λ_1=-1, λ_2= λ_3=2,解(A- λ_1i)x=0得
    p_1={1,2,-2},p_2={2,0,1},p_3={0,1,1},a_1=p_1,a_2=p_2,a_3=p_3-(a_2,p_3)/(a_2,a_2)a_2

    正交化


    求二次型等于零的解

    当 二 次 型 能 够 简 单 的 配 方 时 , 如 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = ( x 1 + x 2 ) 2 + 2 x 3 2 = 0 { x 1 + x 2 = 0 , x 1 = − x 2   x 3 = 0 ⇒ x = C ( 1 − 1 0 ) 当二次型能够简单的配方时,如f(x_1,x_2,x_3)=(x_1+x_2)^2+2x_3^2=0\\ \begin{cases} x_1+x_2=0, x_1=-x_2& \text{ }\\ x_3=0& \text{} \end{cases}\Rightarrow x=C\left( \begin{array} { l l } { 1 } \\ { -1 } \\ { 0 } \end{array}\right) f(x1,x2,x3)=(x1+x2)2+2x32=0{x1+x2=0,x1=x2x3=0 x=C110

    过 度 矩 阵 的 方 法 , X = Q Y , 则 Q T = Y , f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = f ( y ) = 0 , y i = 0 ⇒ { y 1 = 1 2 ( x 1 + x 2 ) = 0 x 3 = x 3 = 0 过度矩阵的方法,X=QY,则Q^T=Y,f(x_1,x_2,x_3)=f(y)=0,\\ y_i=0 \Rightarrow \begin{cases} y_1=\frac{1}{\sqrt{2}}(x_1+x_2)=0\\ x_3=x_3=0& \text{} \end{cases} X=QY,QT=Y,f(x1,x2,x3)=f(y)=0,yi=0{y1=2 1(x1+x2)=0x3=x3=0

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  • 当采用不同的坐标系或称基底时,坐标的变换公式,以及将它们联系起来的过渡矩阵
  • 矩阵论笔记】过渡矩阵

    万次阅读 多人点赞 2020-05-23 10:54:39
    定义 过渡矩阵性质 证明 例子

    定义

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    过渡矩阵性质

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    证明

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    例子

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  • 浅谈向量空间和矩阵

    2021-04-22 18:33:01
    前言:和很多考研的研友交流发现很多人对线性代数抑或是高等代数中的向量空间和矩阵的理解不够深入还停留在表面上,这或许与所学专业有关,非数学专业的学生学的课程一般叫做《线性代数》,而我们数学专业的学生学得...

    前言:

    和很多考研的研友交流发现很多人对线性代数抑或是高等代数中的向量空间和矩阵的理解不够深入还停留在表面上,这或许与所学专业有关,非数学专业的学生学的课程一般叫做《线性代数》,而我们数学专业的学生学得则是《高等代数》,两门课程前者偏重应用因此省略了很多证明过程,也就省略了很多的来龙去脉,在加上非数学专业的学生数学体系并不完善影响理解各种数学概念,而高等代数是一门抽象性学科这就更加让非数学专业的学生晕头转向也是良有以也。而后者偏重理论我们不仅需要知道如何去应用而且也要把知识的来龙去脉搞清楚,能够从各种不同的角度去理解把握代数学。鄙人不敢说把代数学的很好,但是鄙人自信理解的应该还是算到位的。因此作此文总结自己感悟。

    代数学按照鄙人的理解就是研究数与数,量与量之间关系的一门学科。不论是行列式的起源还是矩阵的起源其实最开始只是为了研究解线性方程组的问题,不同的线性方程组有不同的系数那么直觉告诉我们线性方程组的解与系数之间应该存在某种关联,因此就产生了行列式,行列式在本文不做过多叙述。众所周知一个线性方程组经过行变换以及交换列的变换可以将一个线性方程组化解为与他同解的线性方程组,其实就是运用高斯消去法,为了提高化解效率就省略了变量只把与之对应的系数排成行列提取出来化解,于是矩阵也就产生了,在解决了线性方程组的求解问题之后数学家们又发现矩阵这个工具在解决数学问题的时候用起来很方便于是接着研究矩阵的各种性质问题将矩阵的运用推广,而向量空间的产生是数学家们总结几何以及各种数学问题而抽象出来的一个普遍概念,目的是为了把同一性质的问题统一起来研究,解决了抽象出的概念就等于解决了与之类似的千千万万个问题,这就是数学上的从一般到特殊在从特殊到一般的迭代,之后数学家们在研究向量空间的时候发现矩阵与向量空间中的某种变换有着一种纯天然的联系,这不得不说数学真是太奇妙了。了解了这些有助于从更高的角度理解数学,在很多人看来数学就是数学,而在我们数学专业的学生看来数学并不仅仅是数学,不管别人同意不同意我个人觉得数学是一种’‘故事’‘,如果不懂这句话的意思先去看《人类简史》这本书。

    一、向量空间:

    向量的概念大家并不陌生,但是向量空间又是什么嘞?无论是在空间解析几何中还是在初等几何中向量是用来表示大小和方向的量,但是在代数学中任何的量都可以把它叫做向量,解析集合中在三维空间中的向量说穿了就是一个既有运动学属性又有数学属性的一个量,这样的量在现实世界中是普遍存在的,这样的量是一种现实世界与到数学范畴的一种对应。三维空间其实也是一个向量空间,其中的向量有着同样的特质,因此它是无数多个有着相同特质量的集合。在三维几何空间中向量还可以进行向量与向量的加减法,向量与标量的乘法,并且运算过后的向量仍然与之前的向量有着相同的特质(有运动属性和数学属性),即向量运算之后任然属于三维几何空间。代数学上的向量空间是一种对几何上向量空间的一个推广,因此向量空间像几何空间是有着相同特质的量的集合,并且在集合上面定义了一套运算规则,即向量空间的八条性质,向量空间具有封闭性是不证自明的。

    因此只要是有着无穷多个相同特质的量的集合并且这个集合中的量运算满足向量空间的八条性质,就可以把这样的无穷多个量的集合叫作向量空间,集合中的量就叫做向量。

    1.1 向量坐标的概念:

    在抽象出了向量空间的概念之后如果想要推广还必须要研究向量空间所具有的结构与性质,向量空间中的无穷多个向量是如何形成的?能否就像搭积木一样有了一组积木就能搭建成各种各样的房子,这就产生了向量空间的基的概念,向量空间中的任何一个向量都可以由他的一组基线性表示。

    假设V是数域F上的一个n维向量空间,

    math?formula=%7B%5Calpha_1%2C%5Calpha_2%2C%5Calpha_3%2C%5Ccdots%2C%5Calpha_n%7D 是向量空间的一组基,那么V中任意的向量

    math?formula=%5Cbeta都可以唯一的表示成

    math?formula=%5Cbeta%3Dx_1%5Calpha_1%2Bx_2%5Calpha_2%2Bx_3%5Calpha_3%2B%5Ccdots%2Bx_n%5Calpha_n ,则

    math?formula=(x_1%2Cx_2%2Cx_3%2C%5Ccdots%2Cx_n)就叫做向量

    math?formula=%5Cbeta 关于

    math?formula=%7B%5Calpha_1%2C%5Calpha_2%2C%5Calpha_3%2C%5Ccdots%2C%5Calpha_n%7D的坐标。

    1.2 向量过渡矩阵的概念:

    过渡矩阵其实就是取向量空间的两组基,其中一组基用另外一组基线性表示之后将坐标排成列之后形成的矩阵,也即其中一组基在另一极限的坐标排成列所形成的矩阵,实际上过渡矩阵描叙的是统一向量空间中不同的基之间转化关系的矩阵,知道了两个基的过渡矩阵就可以由某个向量在其中一个基之下的坐标求出向量在另一个基之下的坐标,还可由其中一个基求出另一个基。

    1.3 什么是线性变换:

    线性变换说白了就是一种映射,把向量空间中的某个向量变成仍在同一向量空间中的另一向量

    二、欧式空间:

    欧式空间是在向量空间的基础之上定义了度量两向量大小和关系法则空间即内积空间

    向量空间仅仅是定义了形并没有定义性,欧式空间就是定义了性的向量空间

    2.1 什么是正交变换:

    正交变换就是不改变向量的长度但是改变向量的位置的变换,在平面几何中有旋转和关于某过原点反射两种变换,在三维空间中有旋转以及关于某平面的反射两种变换可以复合变换

    2.2 什么是对称变换:

    任何一个变换关于某基都有一个矩阵(由变换之后的基在原基下的坐标排成列做成的矩阵),对称变换就是能够将某一规范正交基变成对角矩阵的变换

    总结:矩阵在向量空间中的概念就是一个变换,n维欧式空间中的某向量乘上一个n阶矩阵就是把向量做一次变换,乘上正交矩阵就是正交变换,变换之后其长度不变但位置由变换决定,乘上对称矩阵就是做对称变换,总之n阶矩阵乘上n维向量空间中的某向量就是把该向量映射成另一向量。这样一个nxn阶线性方程组有解相当于就是说系数矩阵所代表的变换能把某一向量变成等式右边的系数向量。代数与几何是不分家的。

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  • 求过渡矩阵的方法

    千次阅读 2021-04-26 15:04:23
    - 1 - 求一个由基12,,,n ααα到12,,,n βββ的过渡矩阵A ,一般采用下列方法:(1)定义法.将i β,1,2,,i n =,在基12,,,n ααα下的坐标逐个求出,按列写成一个n 级矩阵,即为过渡矩阵A ;(2)借助第三组基12,,,...

    - 1 - 求一个由基12,,,n ααα到12,,,n βββ的过渡矩阵A ,一般采用下列方法:

    (1)定义法.将i β,1,2,

    ,i n =,在基12,,,n ααα下的坐标逐个求出,按列写成一个n 级矩阵,即为过渡矩阵A ;

    (2)借助第三组基12,,,n γγγ.如果有12,,,n ααα到12,,,n γγγ的过渡矩阵B ,12,,,n βββ到12,,

    ,n γγγ的过渡矩阵C ,即 1212(,,,)(,,,)n n =γγγαααB ,1212(,,,)(,,,)n n =γγγβββC

    那么

    11212(,,

    ,)(,,,)n n -=βββαααBC , 由过渡矩阵的唯一性知,1-=A BC .

    温馨提示:这里的12,,,n γγγ一般选取比较简单的基,如n R 中的n 维单位向量组成的基.

    (3)方法(2)在n 维向量空间中的应用.当线性空间为n 维向量空间n P 时,若12(,,

    ,)i i i ni a a a '=α,1,2,,i n =,则有

    1112121

    222121212(,,,)(,,,)n n n n n n nn a a a a a a a a a ?? ? ?= ? ???

    αααεεε, 即上式右端的矩阵是将12,,

    ,n ααα作为列排成的矩阵,仍然可以将其记成12(,,,)n ααα.按照这种记号,根据(2),对于n P 中的两组基,由基12,,,n ααα到12,,,n βββ的过渡矩阵即为

    11212(,,

    ,)(,,,)n n -=αααβββA , 相当于,在定义式1212(,,,)(,,,)n n =A βββααα左右两边同时左乘112(,,,)n -ααα.

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  • 矩阵Jordan标准型过渡矩阵的求解

    千次阅读 2020-09-20 11:51:41
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  • 相似矩阵、过渡矩阵

    万次阅读 多人点赞 2018-02-26 11:21:42
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  • 在求过渡矩阵时尤其要注意的是过渡矩阵和哪个向量组相乘得另一个向量组。 一般情况下,若描述是:求A到B的过渡矩阵,则形式应当是B=AC,其中C为过渡矩阵
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    关于过渡矩阵和坐标变换公式的思考 前言 ​学习线性代数的时候一直很难理解过渡矩阵和坐标变换公式的概念,看到题目里求某向量在A基和B基下的坐标,除了蒙个公式上去几乎是无法思考。到了新学期,这些概念兜兜转转又...
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  • 过渡矩阵与坐标变换

    万次阅读 多人点赞 2016-10-15 08:39:52
    过度矩阵与坐标变换
  • 过渡矩阵

    千次阅读 2018-01-29 16:36:39
    过渡矩阵 对于任意一个数域为 P" role="presentation" style="position: relative;">PPP 的线性空间 V" role="presentation" style="position: relative;">VVV 和 V" role="presentation" style="position: ...
  • python 矩阵初等行变换,解线性方程,numpy矩阵运算,sympy矩阵运算,求过渡矩阵,求具体某一基组下的坐标,解析几何 1.python实现 注意:用 python 对矩阵做初等行变换时,numpy 是没有现成的方法类似于rref()这样...
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    设与是欧氏空间V在的两组标准正交基,它们之间的过渡矩阵是即因为是标准正交基,所以矩阵A的各项就是在标准正交基下的坐标,可以表示为相当于一个矩阵的等式A'A=E,或者 定义7 n级实数矩阵A称为正交矩阵,如果A'A=E...
  • 基变换与过渡矩阵

    千次阅读 2017-05-03 07:33:00
    取定线性空间的一组基,任何一组向量可以表示为基向量的线性组合,且是同构...表示的矩阵的系数矩阵的转置为过渡矩阵(表示向量到被表示变量的过渡矩阵) 形式行向量(α1,…αn)---加法,数乘(矩阵的列分快) ...
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    千次阅读 2018-01-24 11:23:40
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  • 从混淆矩阵看各种度量

    千次阅读 2017-08-24 10:08:48
    但是如果把他们和混淆矩阵一起来看的话,会容易理解很多。 我也是经常接触,所以有一些自己的感悟,记录下来。 混淆矩阵(confusion matrix) 我理解上的混淆矩阵就是一个分类器对于正反例(假设是二分类,多分类...
  • 【线性代数】矩阵的迹运算

    千次阅读 2018-08-03 22:21:15
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    万次阅读 2017-02-21 15:22:50
    由于表示仿射变换的矩阵的第三列总是(0,0,1),在存储矩阵的时候,大多只存成一个2*3的数组。 System.Drawing.Graphics //画布 System.Drawing.Drawing2D.GraphicsPath //画图路径,也就是在图...
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  • 坐标系之间的旋转平移变换与对应变换矩阵的关系

    万次阅读 多人点赞 2016-06-21 10:06:38
    在摄影测量和计算机视觉中,经常会遇到空间坐标系之间的坐标转换问题,而两个坐标系之间的变换关系一般可以通过一个旋转矩阵R和一个平移向量T(或C)描述。因此,理解清楚坐标系之间旋转平移的转换过程与对应变换...
  • 矩阵分析笔记

    千次阅读 2020-07-08 15:20:32
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  • 线性代数习题集 第七章

    千次阅读 2020-12-24 09:06:54
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    千次阅读 多人点赞 2019-01-13 01:53:24
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  • 计算机图形学视图矩阵推导过程

    千次阅读 2018-04-06 00:59:50
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空空如也

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过度矩阵