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  • [Matlab]四种IIR滤波器纹波特性总结-------(4) ​ 数字IIR滤波器一般是基于传递函数为H(s)的典型Bessel、Butterworth、一类Cheby-shev、二类Chebyshev以及Cauer(椭圆函数)模拟滤波器模型。过去在这五类滤波器...

    [Matlab]四种IIR滤波器纹波特性总结-------(5)

    ​ 数字IIR滤波器一般是基于传递函数为 H ( s ) H(s) H(s)的典型Bessel、Butterworth、一类Cheby-shev、二类Chebyshev以及Cauer(椭圆函数)模拟滤波器模型。过去在这五类滤波器中模拟Bessel滤波器具有最为平坦的群延时特性。不过,Bessel滤波器在相位线性方面的性能不如FIR滤波器,因雨在设计具有平坦群延时的数字滤波器时一般不考虑这类模型。IIR设计中主要考虑剩下的四种模拟滤波器模型:Butterworth,一类Chebyshev,二类Chebyshev以及Cauer(椭圆)滤波器。这四类模型下滤波器的幅频响应将会在接下来进行逐一分析。选择使用哪类模型是设计者的任务。

    • 一般认为对于给定的滤波器指标,椭圆滤波器所需的阶数最少,接下来是一类和二类Chebyshev,最后是Butterworth。

    • Butterworth滤波器具有平滑的通带和阻带,一类Chebyshev通带有纹波,二类Chebyshev阻带有纹波,而椭圆滤波器在通带和阻带均有纹波。接下来将会通过程序对四种滤波器详细进行分析。

    低通滤波器:

    %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
    %FilterCompare.m
    %对比相同阶数时四种IIR滤波器的波纹特性
    %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
    close all;
    clear;
    clc;
    fs = 1000; %Hz
    
    %低通滤波器对比
    N1 = 10;
    wp = 50 / ( fs / 2);
    ws = 100 / ( fs / 2);
    alpha_p = 1;
    alpha_s = 20;
    [ b1,a1] = butter( N1 , ws , 'low' );
    [ b2,a2] = cheby1( N1 , alpha_p , ws , 'low' );
    [ b3,a3] = cheby2( N1 , alpha_s , ws , 'low' );
    [ b4,a4] = ellip ( N1 , alpha_p,alpha_s , ws , 'low' );
    [H1,w1] = freqz(b1,a1,1024*4);
    [H2,w2] = freqz(b2,a2,1024*4);
    [H3,w3] = freqz(b3,a3,1024*4);
    [H4,w4] = freqz(b4,a4,1024*4);
    w1 = w1/pi *fs/2;
    w2 = w2/pi *fs/2;
    w3 = w3/pi *fs/2;
    w4 = w4/pi *fs/2;
    figure(1);
    plot(w1,abs(H1),'black','linewidth',0.5);
    hold on;
    plot(w2,abs(H2),'red','linewidth',0.5);
    plot(w3,abs(H3),'green','linewidth',0.5);
    plot(w4,abs(H4),'blue','linewidth',0.5);
    xlim([0 500]);
    ylim([0 1.1]);
    legend({ 'butter' , 'cheby1' , 'cheby2' , 'ellip'});
    title('同阶数(N=10),同截止频率(f_c=100Hz)的低通滤波器对比');
     
    

    [外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-wR9noXjY-1573634461133)(G:\研究生\项目小组任务\笔记\第四周笔记\lowp4.bmp)]

    高通滤波器:

    
    %高通滤波器
    N1 = 10;
    wp = 400 / ( fs / 2);
    ws = 400 / ( fs / 2);
    alpha_p = 1;
    alpha_s = 20;
    [ b1,a1] = butter( N1 , ws , 'high' );
    [ b2,a2] = cheby1( N1 , alpha_p , ws , 'high' );
    [ b3,a3] = cheby2( N1 , alpha_s , ws , 'high' );
    [ b4,a4] = ellip( N1 , alpha_p,alpha_s , ws , 'high' );
    [H1,w1] = freqz(b1,a1,1024*4);
    [H2,w2] = freqz(b2,a2,1024*4);
    [H3,w3] = freqz(b3,a3,1024*4);
    [H4,w4] = freqz(b4,a4,1024*4);
    w1 = w1/pi *fs/2;
    w2 = w2/pi *fs/2;
    w3 = w3/pi *fs/2;
    w4 = w4/pi *fs/2;
    figure(2);
    plot(w1,abs(H1),'black','linewidth',0.5);
    hold on;
    plot(w2,abs(H2),'red','linewidth',0.5);
    plot(w3,abs(H3),'green','linewidth',0.5);
    plot(w4,abs(H4),'blue','linewidth',0.5);
    xlim([0 500]);
    ylim([0 1.1]);
    legend({ 'butter' , 'cheby1' , 'cheby2' , 'ellip'});
    title('同阶数(N=10),同截止频率(f_c=400Hz)的高通滤波器对比');
    

    ![[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-vQKXx7Ds-1573634461136)(G:\研究生\项目小组任务\笔记\第四周笔记

    带通滤波器:

    %带通滤波器
     
    N1 = 10;
    wp = [ 100 , 400 ] / ( fs / 2);
    ws = [ 100 , 400 ] / ( fs / 2);
    alpha_p = 1;
    alpha_s = 20;
    [ b1,a1] = butter( N1 , ws , 'bandpass' );
    [ b2,a2] = cheby1( N1 , alpha_p , ws , 'bandpass' );
    [ b3,a3] = cheby2( N1 , alpha_s , ws , 'bandpass' );
    [ b4,a4] = ellip( N1 , alpha_p,alpha_s , ws , 'bandpass' );
    [H1,w1] = freqz(b1,a1,1024*4);
    [H2,w2] = freqz(b2,a2,1024*4);
    [H3,w3] = freqz(b3,a3,1024*4);
    [H4,w4] = freqz(b4,a4,1024*4);
    w1 = w1/pi *fs/2;
    w2 = w2/pi *fs/2;
    w3 = w3/pi *fs/2;
    w4 = w4/pi *fs/2;
    figure(3);
    plot(w1,abs(H1),'black','linewidth',0.5);
    hold on;
    plot(w2,abs(H2),'red','linewidth',0.5);
    plot(w3,abs(H3),'green','linewidth',0.5);
    plot(w4,abs(H4),'blue','linewidth',0.5);
    xlim([0 500]);
    ylim([0 1.1]);
    legend({ 'butter' , 'cheby1' , 'cheby2' , 'ellip'});
    title('同阶数(N=10),同截止频率(f_c_1=100Hz f_c_2 = 400Hz)的带通滤波器对比');
    

    [外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-k9WsXwWk-1573634461137)(G:\研究生\项目小组任务\笔记\第四周笔记\bandp4.bmp)]

    带阻滤波器:

    %带阻滤波器
    N1 = 10;
    wp = [ 100 , 400 ] / ( fs / 2);
    ws = [ 100 , 400 ] / ( fs / 2);
    alpha_p = 1;
    alpha_s = 20;
    [ b1,a1] = butter( N1 , ws , 'stop' );
    [ b2,a2] = cheby1( N1 , alpha_p , ws , 'stop' );
    [ b3,a3] = cheby2( N1 , alpha_s , ws , 'stop' );
    [ b4,a4] = ellip( N1 , alpha_p,alpha_s , ws , 'stop' );
    [H1,w1] = freqz(b1,a1,1024*4);
    [H2,w2] = freqz(b2,a2,1024*4);
    [H3,w3] = freqz(b3,a3,1024*4);
    [H4,w4] = freqz(b4,a4,1024*4);
    w1 = w1/pi *fs/2;
    w2 = w2/pi *fs/2;
    w3 = w3/pi *fs/2;
    w4 = w4/pi *fs/2;
    figure(4);
    plot(w1,abs(H1),'black','linewidth',0.5);
    hold on;
    plot(w2,abs(H2),'red','linewidth',0.5);
    plot(w3,abs(H3),'green','linewidth',0.5);
    plot(w4,abs(H4),'blue','linewidth',0.5);
    xlim([0 500]);
    ylim([0 1.1]);
    legend({ 'butter' , 'cheby1' , 'cheby2' , 'ellip'});
    title('同阶数(N=10),同截止频率(f_c_1=100Hz f_c_2 = 400Hz)的带阻滤波器对比');
    

    [外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-kF5nV6Hx-1573634461138)(G:\研究生\项目小组任务\笔记\第四周笔记\bands4.bmp)]

    总结:

    1、巴特沃斯滤波器的特点:

    巴特沃斯滤波器特点是通频带内的频率响应曲线最大限度平坦,没有起伏,而在阻频带则逐渐下降为零。 在振幅的对数对角频率的波特图上,从某一边界角频率开始,振幅随着角频率的增加而逐步减少,趋向负无穷大。

    巴特沃斯滤波器优点:

    ​ 巴特沃斯滤波器的特点是通频带内的频率响应曲线最大限度平坦,没有起伏,而在阻频带则逐渐下降为零。在振幅的对数对角频率的波得图上,从某一边界角频率开始,振幅随着角频率的增加而逐渐减少,趋向负无穷大。

    ​ 一阶巴特沃斯滤波器的衰减率为每倍频6分贝,每十倍频20分贝。二阶巴特沃斯滤波器的衰减率为每倍频12分贝,三阶巴特沃斯滤波器的衰减率为每倍频18分贝,如此类推。巴特沃斯滤波器的振幅对角频率单调下降,并且也是唯一的无论阶数、振幅对角频率曲线都保持同样的形状的滤波器。只不过滤波器阶数越高,在阻频带振幅衰减速度越快。其他滤波器高阶的振幅对角频率图和低级数的振幅对角频率有不同的形状。

    巴特沃斯滤波器缺点:

    ​ 巴特沃斯滤波器是滤波器的一种设计分类,类同于切比雪夫滤波器,它有高通,低通,带通,高通,带阻等多种滤波器。它在通频带内外都有平稳的幅频特性,但有较长的过渡带,在过渡带上很容易造成失真,在调用MATLAB里的巴特沃斯滤波器做仿真时,信号总会在第一个周期略微有些失真。但往后的幅频特性就非常的好。

    ​ 巴特沃斯滤波器的通带和阻带均是单调变化,频率响应最为平滑,若通带边缘满足指标要求,则通带内会有富余量,并不经济,更有效的方法是将指标的精度要求均匀分布在通带或阻带内,这样能设计出阶数较低的滤波器;

    2、切比雪夫Ⅰ型滤波器特点:

    ​ 切比雪夫滤波器在过渡带比巴特沃斯滤波器的衰减快,但频率响应的幅频特性不如后者平坦。切比雪夫滤波器和理想滤波器的频率响应曲线之间的误差最小,但是在通频带内存在幅度波动。

    1、幅度特性是在一个频带内(通带或阻带)范围内具有等波纹特性;

    2、Ⅰ型在通带范围内是等波纹的,在阻带范围内是单调的。

    3、切比雪夫Ⅱ型滤波器特点:

    1、幅度特性是在一个频带内(通带或阻带)范围内具有等波纹特性;

    2、Ⅱ型在通带范围内是单调的,在阻带范围内是等波纹的。

    4、椭圆滤波器特点:

    椭圆滤波器特点:

    ​ 从传递函数来看,巴特沃斯和切比雪夫滤波器的传输函数都是一个常数除以一个多项式, 为全极点网络, 仅在无限大阻带处衰减为无限大. 而椭圆函数滤波器在有限频率上既有零点又有极点。极零点在通带内产生等波纹, 阻带内的有限传输零点减少了过渡区, 可获得极为陡峭的衰减曲线。也就是说在阶数相同的条件下,椭圆滤波器相比于其他类型的滤波器,能获得更窄的过渡带宽和较小的阻带波动, 就这点而言, 椭圆滤波器是最优的。它陡峭的过渡带特性是用通带和阻带的起伏为代价来换取的,并且在通带和阻带的波动相同,这一点区别于在通带和阻带都平坦的巴特沃斯滤波器,以及通带平坦、阻带等波纹或是阻带平坦、通带等波纹的切比雪夫滤波器。

    • 椭圆低通滤波器是一种零、极点型滤波器,它在有限频率范围内存在传输零点和极点。

    • 椭圆低通滤波器的通带和阻带都具有等波纹特性,因此通带,阻带逼近特性良好。

    • 对于同样的性能要求,它比前两种滤波器所需用的阶数都低,而且它的过渡带比较窄。

    但是椭圆滤波器传输函数是一种较复杂的逼近函数,利用传统的设计方法进行电路网络综合要进行繁琐的计算, 还要根据计算结果进行查表, 整个设计, 调整都十分困难和繁琐。而用MATLAB设计椭圆滤波器可以大大简化设计过程。

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  • [Matlab]FIR滤波器设计:(基本窗函数FIR滤波器设计)

    万次阅读 多人点赞 2019-11-16 00:54:00
    [Matlab]FIR滤波器设计:(基本窗函数FIR滤波器设计) ​ IIR滤波器主要设计方法先设计一个模拟低通滤波器,然后把它转化为形式上的数字滤波器。但对于FIR滤波器来说,设计方法的关键要求之一就是保证线性相位条件。而...

    [Matlab]FIR滤波器设计:(基本窗函数FIR滤波器设计)

    ​ IIR滤波器主要设计方法先设计一个模拟低通滤波器,然后把它转化为形式上的数字滤波器。但对于FIR滤波器来说,设计方法的关键要求之一就是保证线性相位条件。而IIR滤波器的设计方法中只对幅值特性进行设计,因此无法保证相位。所以FIR滤波器的设计需要采用完全不同的方法。FIR滤波器的设计方法主要有窗函数法、频率采样法、切比雪夫逼近法等。

    ​ 由于理想滤波器在边界频率处不连续,故时域信号 h d ( n ) h_d(n) hd(n)一定是无限时宽的,也是非因果的。所以理想低通滤波器是无法实现的。如果实现一个具有理想线性相位特性的滤波器,其幅值特性只能采用逼近理想幅频特性的方法实现。如果对时域信号 h d ( n ) h_d(n) hd(n)进行截取,并保证截取过程中序列保持对称,而且截取长度为N,则对称点为 α = 1 2 ∗ ( N − 1 ) α=\frac{1}{2}*(N-1) α=21(N1)。截取后序列为 h ( n ) h(n) h(n),侧 h ( n ) h(n) h(n)可用下式子表示:
    h ( n ) = h d ( n ) ∗ w ( n ) h(n) = h_d(n)*w(n) h(n)=hd(n)w(n)
    式中, w ( n ) w(n) w(n)为截取函数,又称为穿函数。如果窗函数为矩形序列,则称之为矩形窗。窗函数有多种形式,为保证加窗后系统的线性相位特性,必须保证加窗后序列关于 α = 1 2 ∗ ( N − 1 ) α=\frac{1}{2}*(N-1) α=21(N1)点对称。常用的窗函数有矩形窗、汉宁窗、汉明窗、布莱克曼窗、凯塞窗。窗函数设计法的基本思想是用一个长度为N的序列 h ( n ) h(n) h(n)代替 h d ( n ) h_d(n) hd(n)作为实际设计的滤波器的单位脉冲响应。这种设计法成为窗函数设计法。显然在保证 h ( n ) h(n) h(n)对称性的前提下,窗函数长度N越长,则 h ( n ) h(n) h(n)越接近 h d ( n ) h_d(n) hd(n)。但是误差是肯定存在的,这种误差成为截断误差。

    [外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-A0flZjTw-1573836815510)(G:\研究生\项目小组任务\笔记\第四周和第五周笔记\20170402112228645.jpg)]

    ​ 要确定如何设计一个FIR滤波器,首先得对加窗后的理想滤波器特性变化进行分析,并研究减少由截断引起的误差的途径,从而提出更好的滤波器设计方案。对于调整窗口长度可以有效地控制过渡带的宽度,但减少带内波动以及加大阻带衰减没有作用。所以必须挑选最为合适的窗函数对理想滤波器进行截取。下面简单介绍几种窗函数。一个实际的滤波器的单位脉冲响应可表示为:
    h ( n ) = h d ( n ) ∗ w ( n ) h(n) = h_d(n)*w(n) h(n)=hd(n)w(n)
    几种常见窗函数(只给出了窗函数的定义和幅度特性):
    W ( e j ∗ w ) = W ( w ) ( e − j α w ) W(e^{j*w})=W(w)(e^{-jαw}) W(ejw)=W(w)(ejαw)

    矩形窗FIR滤波器设计:

    矩形窗的窗函数为:
    w R ( n ) = R N ( n ) w_R(n)=R_N(n) wR(n)=RN(n)
    幅度函数为:
    R N ( w ) = s i n ( w N / 2 ) s i n ( w / 2 ) R_N(w) = \frac{sin(wN/2)}{sin(w/2)} RN(w)=sin(w/2)sin(wN/2)
    它的主瓣宽度为 4 π / N 4\pi/N 4π/N,第一瓣比主瓣地13dB.

    在Matlab中,实现矩形窗的函数为boxcar和recttwin ,其调用格式如下:

    w=boxcar(N);
    w=recttwin(N);
    %%%显示窗函数的GUI工具
    n = 60;
    w = rectwin(n);
    wvtool(w)%显示窗函数的GUI工具
    %还提供了显示窗函数的GUI工具,如wvtool可以显示用来显示窗的形状和频域图形,wintool可以打开窗设计和分析工具,如运行
    wvtool(hamming(64),hann(64),gausswin(64))
    %%可以对比汉明窗、汉宁窗和高斯窗
    

    其中,N是窗函数的长度,返回值w是一个N阶的向量,它的元素有窗函数的值组成。其中w=boxcar(N)等价于w=ones(N,1)。

    [外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-eknDhIxt-1573836815512)(G:\研究生\项目小组任务\笔记\第四周和第五周笔记\20170402112307695.png)]

    案例分析:

    利用矩形窗设计FIR带阻滤波器,主要参数如下:

    给定抽样频率为 Ω s = 2 ∗ p i ∗ 1.5 ∗ 1 0 4 ( r a d / s e c ) Ωs=2*pi*1.5*10^4(rad/sec) Ωs=2pi1.5104(rad/sec),

    通带截至频率为 Ω p 1 = 2 ∗ p i ∗ 0.75 ∗ 1 0 3 ( r a d / s e c ) , Ω p 2 = 2 ∗ p i ∗ 6 ∗ 1 0 3 ( r a d / s e c ) Ωp1=2*pi*0.75*10^3(rad/sec),Ωp2=2*pi*6*10^3(rad/sec) Ωp1=2pi0.75103(rad/sec),Ωp2=2pi6103(rad/sec)
    阻带截至频率为 Ω s t 1 = 2 ∗ p i ∗ 2.25 ∗ 1 0 3 ( r a d / s e c ) , Ω s t 2 = 2 ∗ p i ∗ 1.5 ∗ 1 0 3 ( r a d / s e c ) Ωst1=2*pi*2.25*10^3(rad/sec),Ωst2=2*pi*1.5*10^3(rad/sec) Ωst1=2pi2.25103(rad/sec),Ωst2=2pi1.5103(rad/sec)
    阻带衰减 δ 2 > = 50 d B {\delta}_2 >=50dB δ2>=50dB

    %%%%调用子程序1:
    function hd=ideal_bs(Wcl,Wch,m); 
    alpha=(m-1)/2; 
    n=[0:1:(m-1)];
    m=n-alpha+eps; 
    hd=[sin(m*pi)+sin(Wcl*m)-sin(Wch*m)]./(pi*m)
    %%%%调用子程序2:
    function[db,mag,pha,w]=freqz_m2(b,a)
    [H,w]=freqz(b,a,1000,'whole');
    H=(H(1:1:501))'; w=(w(1:1:501))';
    mag=abs(H);
    db=20*log10((mag+eps)/max(mag));
    pha=angle(H);
    %%%%运行MATLAB源代码如下:
    clear all;
    Wph=3*pi*6.25/15;%通带频率
    Wpl=3*pi/15;
    Wsl=3*pi*2.5/15;%阻带频率
    Wsh=3*pi*4.75/15;
    tr_width=min((Wsl-Wpl),(Wph-Wsh));%%过渡带带宽
    %过渡带宽度
    N=ceil(4*pi/tr_width);					%滤波器长度
    n=0:1:N-1;
    Wcl=(Wsl+Wpl)/2;						%理想滤波器的截止频率
    Wch=(Wsh+Wph)/2;
    hd=ideal_bs(Wcl,Wch,N);				%理想滤波器的单位冲击响应
    w_ham=(boxcar(N))';
    string=['矩形窗','N=',num2str(N)];
    h=hd.*w_ham;						%截取取得实际的单位脉冲响应
    [db,mag,pha,w]=freqz_m2(h,[1]);
    %计算实际滤波器的幅度响应
    delta_w=2*pi/1000;
    subplot(241);
    stem(n,hd);
    title('理想脉冲响应hd(n)')
    axis([-1,N,-0.5,0.8]);
    xlabel('n');ylabel('hd(n)');
    grid on
    subplot(242);
    stem(n,w_ham);
    axis([-1,N,0,1.1]);
    xlabel('n');ylabel('w(n)');
    text(1.5,1.3,string);
    grid on
    subplot(243);
    stem(n,h);title('实际脉冲响应h(n)');
    axis([0,N,-1.4,1.4]);
    xlabel('n');ylabel('h(n)');
    grid on
    subplot(244);
    plot(w,pha);title('相频特性');
    axis([0,3.15,-4,4]);
    xlabel('频率(rad)');ylabel('相位(Φ)');
    grid on
    subplot(245);
    plot(w/pi,db);title('幅度特性(dB)');
    axis([0,1,-80,10]);
    xlabel('频率(pi)');ylabel('分贝数');
    grid on
    subplot(246);
    plot(w,mag);title('频率特性')
    axis([0,3,0,2]);
    xlabel('频率(rad)');ylabel('幅值');
    grid on
    fs=15000;
    t=(0:100)/fs;
    x=cos(2*pi*t*750)+cos(2*pi*t*3000)+cos(2*pi*t*6100);
    q=filter(h,1,x);
    [a,f1]=freqz(x);
    f1=f1/pi*fs/2;
    [b,f2]=freqz(q);
    f2=f2/pi*fs/2;
    subplot(247);
    plot(f1,abs(a));
    title('输入波形频谱图');
    xlabel('频率');ylabel('幅度')
    grid on
    subplot(248);
    plot(f2,abs(b));
    title('输出波形频谱图');
    xlabel('频率');ylabel('幅度')
    grid on
    
    

    在这里插入图片描述

    汉宁窗FIR滤波器设计:

    汉宁窗(hanning window)又称升余弦窗,窗函数为:
    w H n ( n ) = 0.5 [ 1 − c o s ( 2 π ∗ n N − 1 ) ] ∗ R N ( n ) w_{Hn}(n) = 0.5[1-cos(\frac{2\pi*n}{N-1})]*R_N(n) wHn(n)=0.5[1cos(N12πn)]RN(n)
    幅值函数为:
    W H n ( w ) = 0.5 W R ( w ) + 0.25 [ W R ( w − 2 π N − 1 ) + W R ( w + 2 π N − 1 ) ] W_{Hn}(w) = 0.5W_R(w) + 0.25[W_R(w-\frac{2\pi}{N-1})+W_R(w+\frac{2\pi}{N-1})] WHn(w)=0.5WR(w)+0.25[WR(wN12π)+WR(w+N12π)]
    汉宁窗幅度函数由3部分相加而成,其结果是使主瓣集中了更多能量,而旁瓣3部分相加时相互抵消而变小,其代价是主瓣宽度增加到 8 π / N 8\pi/N 8π/N。第一瓣比主瓣低31dB,阻带衰减加大。

    在Matlab中,实现汉宁窗的函数为hanning和barthannwin ,其调用格式如下:

    w=hanning(N)
    w=barthannwin(N)
    

    案例1:绘制50个点的汉宁窗。

    N=49;n=1:N;
    wdhn=hanning(N);	
    figure(3);
    stem(n,wdhn,'.');
    grid on
    axis([0,N,0,1.1]);
    title('50点汉宁窗');
    ylabel('W(n)');
    xlabel('n');
    title('50点汉宁窗');
    

    [外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-KhfUUgrt-1573836815515)(G:\研究生\项目小组任务\笔记\第四周和第五周笔记\hanning_50point.bmp)]

    案例2:已知连续信号为 x ( t ) = c o s ( 2 π f 1 t ) + 0.15 c o s ( 2 π f 2 t ) x(t)=cos(2{\pi}f_1t) +0.15cos(2{\pi}f_2t) x(t)=cos(2πf1t)+0.15cos(2πf2t),其中 f 1 = 100 H z , f 2 = 150 H z f_1=100Hz,f_2=150Hz f1=100Hz,f2=150Hz。若抽样频率 f s a m = 600 H z f_sam=600Hz fsam=600Hzd对信号进行抽样,利用不同宽度N的矩形截断该序列,N取40,观察不同的窗对普分析结果的影响。

    N=40; 
    L=512;
    f1=100;f2=150;fs=600;
    ws=2*pi*fs;
    t=(0:N-1)*(1/fs);
    x=cos(2*pi*f1*t)+0.25*sin (2*pi*f2*t);
    wh=boxcar(N)';
    x=x.*wh;
    subplot(221);stem(t,x);
    title('加矩形窗时域图');
    xlabel('n');ylabel('h(n)')
    grid on
    W=fft(x,L);
    f=((-L/2:L/2-1)*(2*pi/L)*fs)/(2*pi); 
    subplot(222);
    plot(f,abs(fftshift(W)))
    title('加矩形窗频域图');
    xlabel('频率');ylabel('幅度')
    grid on
    x=cos(2*pi*f1*t)+0.15*cos(2*pi*f2*t); 
    wh=hanning(N)';
    x=x.*wh;
    subplot(223);stem(t,x);
    title('加汉宁窗时域图');
    xlabel('n');ylabel('h(n)')
    grid on
    W=fft(x,L);
    f=((-L/2:L/2-1)*(2*pi/L)*fs)/(2*pi);
    subplot(224);
    plot(f,abs(fftshift(W)))
    title('加汉宁窗频域图');
    xlabel('频率');ylabel('幅度')
    grid on
    

    [外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-wc7oZ6mR-1573836815515)(G:\研究生\项目小组任务\笔记\第四周和第五周笔记\rectange_6.8.bmp)]

    用汉宁窗对谐波信号进行分析:

    clear; 
    % 原始数据:直流:0V; 基波:49.5Hz,100V,10deg; HR2:0.5V,40deg;
    hr0=0;f1=50.1; 
    hr(1)=25*sqrt(2);deg(1)=10; 
    hr(2)=0;deg(2)=0; 
    hr(3)=1.755*sqrt(2);deg(3)=40; 
    hr(4)=0;deg(4)=0; 
    hr(5)=0.885*sqrt(2);deg(5)=70; 
    hr(6)=0;deg(6)=0; 
    hr(7)=1.125;deg(7)=110; 
    M=7;f=[1:M]*f1;							%设定频率 
    % 采样 
    fs=10000; 
    N=2048;									% 约10个周期 
    T=1/fs; 
    n=[0:N-1];t=n*T; 
    x=zeros(size(t)); 
    for k=1:M 
        x=x+hr(k)*cos(2*pi*f(k)*t+deg(k)*pi/180); 
    end 
    %分析: 
    w=0.5-0.5*cos(2*pi*n/N);
    Xk=fft(x.*w); 
    amp=abs(Xk(1:N/2))/N*2;						%幅频 
    pha=angle(Xk(1:N/2))/pi*180;					%相频 
    for k=1:N/2 
        if(amp(k)<0.01) pha(k)=0;  %当谐波<10mV时,其相位=0 
        end 
        if(pha(k)<0) pha(k)=pha(k)+360;%调整到0-360度 
        end 
    end 
    fmin=fs/N; 
    xaxis=fmin*n(1:N/2);
    %横坐标为Hz 
    kx=round([1:M]*50/fmin);
    %各次谐波对应的下标(从0开始) 
    for m=1:M 
        km(m)=searchpeaks(amp,kx(m)+1);			%km为谱峰(从1开始) 
        if(amp(km(m)+1)<amp(km(m)-1)) 
            km(m)=km(m)-1; 
        end 
        beta(m)=amp(km(m)+1)./amp(km(m)); 
        delta(m)=(2*beta(m)-1)./(1+beta(m)); 
    end 
    fx=(km-1+delta)*fmin;							%估计频率 
    hrx=amp(km)*2.*pi.*delta.*(1-delta.*delta)./sin(pi*delta);
    degx=pha(km)-delta.*180/N*(N-1);				%估计相位 
    degx=mod(degx,360);							%调整到0-360度 
    efx=(fx-f)./f*100;								%频率误差 
    ehr=(hrx-hr)./hr*100;							%幅度误差 
    edeg=(degx-deg);								%相位误差 
    % 结果输出: 
    subplot(2,2,1);
    %画出采样序列 
    plot(t,x); 
    hold on; 
    plot(t,x.*w,'r');
    %加窗波形 
    hold off; 
    xlabel('x(k)'); 
    title('原信号和加窗信号 '); 
    subplot(2,2,2);
    %画出FFT分析结果 
    stem(xaxis,amp,'.r'); 
    xlabel('频率'); 
    title('幅频结果'); 
    subplot(2,2,4); 
    stem(xaxis,pha,'.r'); 
    xlabel('角频率'); 
    title('相频结果'); 
    subplot(2,2,3); 
    stem(ehr); 
    title('幅度误差(%)'); 
    %文本输出 
    fid=fopen('result.txt','w'); 
    fprintf(fid,'原始数据:f1=%6.1fHz, N=%.f,  fs=%.f \r\n\r\n',f1,N,fs); 
    fprintf(fid,'谐波次数      1      2      3      4      5      6     7\r\n'); 
    fprintf(fid,'设定频率 %6.3f %6.3f %6.3f %6.3f %6.3f %6.3f %6.3f\r\n',f); 
    fprintf(fid,'估计频率 %6.3f %6.3f %6.3f %6.3f %6.3f %6.3f %6.3f\r\n',fx); 
    fprintf(fid,'误差(%%)  %6.3f %6.3f %6.3f %6.3f %6.3f %6.3f %6.3f\r\n\r\n',efx); 
    fprintf(fid,'设定幅值 %6.3f %6.3f %6.3f %6.3f %6.3f %6.3f %6.3f\r\n',hr); 
    fprintf(fid,'估计幅值 %6.3f %6.3f %6.3f %6.3f %6.3f %6.3f %6.3f\r\n',hrx); 
    fprintf(fid,'误差(%%)  %6.3f %6.3f %6.3f %6.3f %6.3f %6.3f %6.3f\r\n\r\n',ehr); 
    fprintf(fid,'设定相位 %6.2f %6.2f %6.2f %6.2f %6.2f %6.2f %6.2f\r\n',deg); 
    fprintf(fid,'估计相位 %6.2f %6.2f %6.2f %6.2f %6.2f %6.2f %6.2f\r\n',degx); 
    fprintf(fid,'误差(度)  %6.2f %6.2f %6.2f %6.2f %6.2f %6.2f %6.2f\r\n\r\n',edeg); 
    %其他数据 
    fprintf(fid,'谱峰位置理论值:\r\n %6.4f %6.4f %6.4f %6.4f %6.4f %6.4f %6.4f\r\n',[1:M]*f1/fmin); 
    fprintf(fid,'谱峰位置估计值:\r\n %6.4f %6.4f %6.4f %6.4f %6.4f %6.4f %6.4f\r\n',km-1+delta); 
    fprintf(fid,'误差(%%)\r\n %6.4f %6.4f %6.4f %6.4f %6.4f %6.4f %6.4f\r\n',((km-1+delta)-[1:M]*f1/fmin)./([1:M]*f1/fmin)*100); 
    fprintf(fid,'delta     :\r\n %6.4f %6.4f %6.4f %6.4f %6.4f %6.4f %6.4f\r\n',delta); 
    fclose(fid);
    
    %运行过程中的调用子程序:
    function index1=searchpeaks(x,index) 
    %在数组中寻找最大值对应的下标 
    %x为数组,index 为给定的下标(index不能取最前或最后2个下标),在前后2个数中(共5个数)查找最大值和紧邻的次最大值 
    % indexmax 返回两个谱峰位置中的前一个谱峰对应的下标 
    index1=index-2; 
    for k=-1:2 
        if(x(index+k)>x(index1)) 
            index1=index+k; 
        end 
    end 
    if x(index1-1)>x(index1+1) 
        index1=index1-1; 
    end
    
    
    
    #result.txt输出结果
    原始数据:f1=  50.1Hz, N=2048,  fs=10000 
    
    谐波次数      1      2      3      4      5      6     7
    设定频率 50.100 100.200 150.300 200.400 250.500 300.600 350.700
    估计频率 50.100 78.819 150.302 181.252 250.499 279.138 350.701
    误差(%)  -0.000 -21.338  0.001 -9.555 -0.000 -7.140  0.000
    
    设定幅值 35.355  0.000  2.482  0.000  1.252  0.000  1.125
    估计幅值 35.356  0.046  2.482  0.002  1.252  0.002  1.125
    误差(%)   0.001    Inf  0.009    Inf  0.004    Inf  0.003
    
    设定相位  10.00   0.00  40.00   0.00  70.00   0.00 110.00
    估计相位  10.03  31.67  39.97 338.35  70.06 329.86 110.05
    误差()    0.03  31.67  -0.03 338.35   0.06 329.86   0.05
    
    谱峰位置理论值:
     10.2605 20.5210 30.7814 41.0419 51.3024 61.5629 71.8234
    谱峰位置估计值:
     10.2605 16.1421 30.7818 37.1203 51.3022 57.1675 71.8235
    误差(%)
     -0.0002 -21.3385 0.0012 -9.5551 -0.0004 -7.1396 0.0002
    delta     :
     0.2605 0.1421 0.7818 0.1203 0.3022 0.1675 0.8235
    
    

    [外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-wL0WYF6F-1573836815517)(G:\研究生\项目小组任务\笔记\第四周和第五周笔记\hanning_han.bmp)]

    汉明窗FIR滤波器设计:

    汉宁窗(hanming window)又称改进升余弦窗,窗函数为:
    w H n ( n ) = [ 0.54 − 0.46 ∗ c o s ( 2 π ∗ n N − 1 ) ] ∗ R N ( n ) w_{Hn}(n) = [0.54-0.46*cos(\frac{2\pi*n}{N-1})]*R_N(n) wHn(n)=[0.540.46cos(N12πn)]RN(n)
    幅值函数为:
    W H n ( w ) = 0.54 W R ( w ) + 0.23 [ W R ( w − 2 π N − 1 ) + 0.23 W R ( w + 2 π N − 1 ) ] W_{Hn}(w) = 0.54W_R(w) + 0.23[W_R(w-\frac{2\pi}{N-1})+0.23W_R(w+\frac{2\pi}{N-1})] WHn(w)=0.54WR(w)+0.23[WR(wN12π)+0.23WR(w+N12π)]
    汉明窗主瓣宽度与汉宁窗相同, 8 π / N , 99.96 % 8{\pi}/N,99.96\% 8π/N99.96%的能量集中在主瓣,第一瓣比主瓣低41dB。

    在Matlab中,实现汉宁窗的函数为hanming ,其调用格式如下:

    w=hanming(N)
    

    案例分析1:设计一个汉明窗低通滤波器:

    %语音信号设计一个汉明窗低通滤波器:
    [x,FS,bits]=wavread('C:\Windows\Media\Windows Ringout');
    x=x(:,1);
    figure(1);
    subplot(211);plot(x);
    title('语音信号时域波形图')
    xlabel('n');ylabel('h(n)')
    grid on
    y=fft(x,1000);
    f=(FS/1000)*[1:1000];  
    subplot(212);
    plot(f(1:300),abs(y(1:300)));
    title('语音信号频谱图');
    xlabel('频率');ylabel('幅度')
    grid on
    %产生噪声信号并加到语音信号
    t=0:length(x)-1;
    zs0=0.05*cos(2*pi*10000*t/1024);
    zs=[zeros(0,20000),zs0];
    figure(2);
    subplot(211)
    plot(zs)
    title('噪声信号波形');
    xlabel('n');ylabel('h(n)')
    grid on
    zs1=fft(zs,1200);
    subplot(212)
    plot(f(1:600),abs(zs1(1:600)));
    title('噪声信号频谱');
    xlabel('频率');ylabel('幅度')
    grid on
    x1=x+zs';
    %sound(x1,FS,bits);
    y1=fft(x1,1200);
    figure(3);
    subplot(211);plot(x1);
    title('加入噪声后的信号波形');
    xlabel('n');ylabel('h(n)')
    grid on
    subplot(212);
    plot(f(1:600),abs(y1(1:600)));
    title('加入噪声后的信号频谱');
    xlabel('频率');ylabel('幅度')
    grid on
    %滤波
    fp=7500;
    fc=8500; 
    wp=2*pi*fp/FS;
    ws=2*pi*fc/FS;
    Bt=ws-wp; 
    N0=ceil(6.2*pi/Bt);     
    N=N0+mod(N0+1,2);
    wc=(wp+ws)/2/pi;         
    hn=fir1(N-1,wc,hamming(N)); 
    X=conv(hn,x);           
    X1=fft(X,1200);
    figure(4);
    subplot(211);
    plot(X);
    title('滤波后的信号波形');
    xlabel('n');ylabel('h(n)')
    grid on
    subplot(212);
    plot(f(1:600),abs(X1(1:600))); 
    title('滤波后的信号频谱')
    xlabel('频率');ylabel('幅度')
    grid on
    
    

    [外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-IRdanKny-1573836815518)(G:\研究生\项目小组任务\笔记\第四周和第五周笔记\hanming_lowp_1.bmp)]

    [外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-zpDvFiHo-1573836815519)(G:\研究生\项目小组任务\笔记\第四周和第五周笔记\hanming_lowp_noise.bmp)]

    [外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-bBaOdODs-1573836815521)(G:\研究生\项目小组任务\笔记\第四周和第五周笔记\hanming_lowp_addnoise.bmp)]

    [外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-iBooX8kL-1573836815523)(G:\研究生\项目小组任务\笔记\第四周和第五周笔记\hanming_lowp_hanfilter.bmp)]

    案例分析2:已知连续信号为 x a ( t ) = c o s ( 100 π t ) + s i n ( 100 π t ) + c o s ( 50 π t ) x_a(t)=cos(100{\pi}t) +sin(100{\pi}t)+cos(50{\pi}t) xa(t)=cos(100πt)+sin(100πt)+cos(50πt),用DFT分析其中 x a ( t ) x_a(t) xa(t)的频谱结构,选择不同的截取长度 T p T_p Tp。观察存在的截断效应,试用加窗的方法减少谱间干扰。

    clear;close all
    fs=400;T=1/fs;						%采样频率和采样间隔
    Tp=0.04;N=Tp*fs;					%采样点数N
    N1=[N,4*N,8*N];					%设定三种截取长度 
    for m=1:3
        n=1:N1(m);
        xn=cos(100*pi*n*T)+ sin(200*pi*n*T)+ cos(50*pi*n*T);
        Xk=fft(xn,4096);
    fk=[0:4095]/4096/T;
    subplot(3,2,2*m-1);plot(fk,abs(Xk)/max(abs(Xk)));
    if m==1 title('矩形窗截取');
    end
    end
    %hamming窗截断
    for m=1:3
        n=1:N1(m);
        wn=hamming(N1(m));
        xn=cos(200*pi*n*T)+ sin(100*pi*n*T)+ cos(50*pi*n*T).*wn';
        Xk=fft(xn,4096);
    fk=[0:4095]/4096/T;
    subplot(3,2,2*m);plot(fk,abs(Xk)/max(abs(Xk)));
    if m==1 title('hamming窗截取');
    end
    end
    
    

    [外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-39eMxIRF-1573836815524)(G:\研究生\项目小组任务\笔记\第四周和第五周笔记\hanming_dft.bmp)]

    比较矩形窗与汉明窗的普分析结果可见,矩形窗比用汉明窗分辨率高(泄露小),但是谱间干扰大。因此汉明窗是以牺牲分辨率来换取谱间干扰降低。

    布莱克曼FIR滤波器设计:

    布莱克曼(Blackman window)的窗函数为:
    w B l ( n ) = [ 0.42 − 0.5 ∗ c o s ( 2 π ∗ n N − 1 ) + 0.08 ∗ c o s ( 4 π ∗ n N − 1 ) ] ∗ R N ( n ) w_{Bl}(n) = [0.42-0.5*cos(\frac{2\pi*n}{N-1})+0.08*cos(\frac{4\pi*n}{N-1})]*R_N(n) wBl(n)=[0.420.5cos(N12πn)+0.08cos(N14πn)]RN(n)
    幅值函数为:
    W H n ( w ) = 0.42 W R ( w ) + 0.25 [ W R ( w − 2 π N − 1 ) + W R ( w + 2 π N − 1 ) ] W_{Hn}(w) = 0.42W_R(w) + 0.25[W_R(w-\frac{2\pi}{N-1})+W_R(w+\frac{2\pi}{N-1})] WHn(w)=0.42WR(w)+0.25[WR(wN12π)+WR(w+N12π)]

    + 0.04 [ W R ( w − 4 π N − 1 + W R ( w + 4 π N − 1 ) ] +0.04[W_R(w-\frac{4\pi}{N-1}+W_R(w+\frac{4\pi}{N-1})] +0.04[WR(wN14π+WR(w+N14π)]

    布莱克曼窗幅度函数由5部分相加而成,5部分相加的结果使得旁瓣得到进一步抵消,阻带衰减加大而过渡带加大到 12 π / N 12{\pi}/N 12π/N

    在Matlab中,实现布莱克曼窗的函数为blackman ,其调用格式如下:

    w=blackman(N);
    

    :案例:用窗函数法设计数字带通滤波器。下阻带边缘: W s 1 = 0.3 π , A s = 65 d B W_{s1}=0.3{\pi},A_s=65dB Ws1=0.3πAs=65dB,下通带边缘: W p 1 = 0.4 π , R p = 1 d B W_{p1}=0.4{\pi},R_p=1dB Wp1=0.4πRp=1dB,上通带边缘: W p 2 = 0.6 π , R p = 1 d B W_{p2}=0.6{\pi},R_p=1dB Wp2=0.6πRp=1dB,上阻带边缘: W s 2 = 0.7 π , R p = 65 d B W_{s2}=0.7{\pi},R_p=65dB Ws2=0.7πRp=65dB。根据窗函数最小阻带衰减的特性,以及参照窗函数的基本参数表,选择布莱克曼窗可以达到75dB的最小阻带衰减,其过渡带为 11 π / N 11\pi/N 11π/N

    clear all;
    wp1=0.4*pi;
    wp2=0.6*pi;
    ws1=0.3*pi;
    ws2=0.7*pi;
    As=65;
    tr_width=min((wp1-ws1),(ws2-wp2)); 					%过渡带宽度 
    M=ceil(11*pi/tr_width)+1							%滤波器长度
    n=[0:1:M-1];
    wc1=(ws1+wp1)/2;									%理想带通滤波器的下截止频率
    wc2=(ws2+wp2)/2;									%理想带通滤波器的上截止频率
    hd=ideal_lp(wc2,M)-ideal_lp(wc1,M);
    w_bla=(blackman(M))';								%布莱克曼窗
    h=hd.*w_bla;
    %截取得到实际的单位脉冲响应
    [db,mag,pha,grd,w]=freqz_m(h,[1]);
    %计算实际滤波器的幅度响应
    delta_w=2*pi/1000;
    Rp=-min(db(wp1/delta_w+1:1:wp2/delta_w))
    %实际通带纹波
    As=-round(max(db(ws2/delta_w+1:1:501)))
    As=75
    subplot(2,2,1);
    stem(n,hd);
    title('理想单位脉冲响应hd(n)')
    axis([0 M-1 -0.4 0.5]);
    xlabel('n');
    ylabel('hd(n)')
    grid on;
    subplot(2,2,2);
    stem(n,w_bla);
    title('布莱克曼窗w(n)')
    axis([0 M-1 0 1.1]);
    xlabel('n');
    ylabel('w(n)')
    grid on;
    subplot(2,2,3);
    stem(n,h);
    title('实际单位脉冲响应hd(n)')
    axis([0 M-1 -0.4 0.5]);
    xlabel('n');
    ylabel('h(n)')
    grid on;
    subplot(2,2,4);
    plot(w/pi,db);
    axis([0 1 -150 10]);
    title('幅度响应(dB)');
    grid on;
    xlabel('频率单位:pi');
    ylabel('分贝数')
    
    %调用小程序设计1:
    function [db,mag,pha,grd,w] = freqz_m(b,a);
    % Modified version of freqz subroutine
    % ------------------------------------
    % [db,mag,pha,grd,w] = freqz_m(b,a);
    %  db = Relative magnitude in dB computed over 0 to pi radians
    % mag = absolute magnitude computed over 0 to pi radians 
    % pha = Phase response in radians over 0 to pi radians
    % grd = Group delay over 0 to pi radians
    %   w = 501 frequency samples between 0 to pi radians
    %   b = numerator polynomial of H(z)   (for FIR: b=h)
    %   a = denominator polynomial of H(z) (for FIR: a=[1])
    %
    [H,w] = freqz(b,a,1000,'whole');
        H = (H(1:1:501))'; w = (w(1:1:501))';
      mag = abs(H);
       db = 20*log10((mag+eps)/max(mag));
      pha = angle(H);
    %  pha = unwrap(angle(H));
      grd = grpdelay(b,a,w);
    %  grd = diff(pha);
    %  grd = [grd(1) grd];
    %  grd = [0 grd(1:1:500); grd; grd(2:1:501) 0];
    %  grd = median(grd)*500/pi;
    
    %调用小程序设计2:
    function hd=ideal_lp(wc,M);
    %计算理想低通滤波器的脉冲响应
    %[hd]=ideal_lp(wc,M)
    %hd=理想脉冲响应0到M-1
    %wc=截止频率
    % M=理想滤波器的长度
    alpha=(M-1)/2;
    n=[0:1:(M-1)];
    m=n-alpha+eps;
    %加上一个很小的值eps避免除以0的错误情况出现
    hd=sin(wc*m)./(pi*m);
    
    
    

    [外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-52LsWSri-1573836815526)(G:\研究生\项目小组任务\笔记\第四周和第五周笔记\blackmen_bandp.bmp)]

    凯塞窗FIR滤波器设计:

    凯塞-贝塞窗(Kaiser-Basel window)的窗函数为:
    w k ( n ) = I 0 ( β ) I 0 ( α ) ∗ R N ( n ) w_{k}(n) = \frac{I_0( β )}{I_0( \alpha )}*R_N(n) wk(n)=I0(α)I0(β)RN(n)
    式中, β = α ( 1 − ( 2 n N − 1 ) − 1 ) 2 \beta= {\alpha}{\sqrt{(1-(\frac{2n}{N-1})-1)^2}} β=α(1(N12n)1)2 I 0 ( x ) I_0( x ) I0(x)是零阶第一类修正贝塞函数,可用下面级数计算:
    I 0 ( x ) = 1 + ∑ k = 1 + ∞ ( 1 k ! ( x 2 ) k ) 2 I_0( x ) = 1+\sum_{k=1}^{+ ∞}(\frac{1}{k!}({\frac{x}{2}})^{k})^{2} I0(x)=1+k=1+k!1(2x)k2
    I 0 ( x ) I_0( x ) I0(x)q取15-25项就可以满足精度要求。通常 α \alpha α用以控制窗的形状, α \alpha α加大,主瓣加宽,旁瓣减小,典型数据 4 < α < 9 4<\alpha<9 4<α<9。当 α = 5.44 \alpha=5.44 α=5.44s时,窗函数接近汉明窗;当 α = 7.865 \alpha=7.865 α=7.865s时,窗函数接近于布莱克曼窗。其幅值函数为:
    W k ( w ) = w k ( 0 ) + 2 ∑ n = 1 ( N − 1 ) 2 ( w k ( n ) c o s ( w n ) ) W_{k}(w) =w_k(0) + 2\sum_{n=1}^{\frac{(N-1)}{2}}(w_k(n)cos(wn)) Wk(w)=wk(0)+2n=12(N1)(wk(n)cos(wn))
    在Matlab中,实现汉宁窗的函数为kaiser,其调用格式如下:

    w=kaiser(N);

    在Matlab中设计标准响应FIR滤波器可使用fir1函数。fir1函数以经典方法实现加窗性相位FIR滤波器的设计,它可以设计出标准的低通、高通、带通、带阻滤波器。fir1函数用法为:

    b = fir1(n,Wn,‘ftype’,wimdow)

    各个参数的含义如下:

    • b -滤波器系数,n-滤波器阶数。
    • Wn -截止频率, 0 < = W n < = 1 0<=W_n<=1 0<=Wn<=1, W n = 1 W_n=1 Wn=1对应于采样频率的一半。当设计带通和带阻滤波器时, W n = [ W 1 , W 2 ] , W 1 < w < W 2 W_n =[W_1,W_2],W_1<w<W_2 Wn=[W1,W2],W1<w<W2
    • ftype -当指定ftype时,可设计高通和带阻滤波器。ftype=hight时,设计高通FIR滤波器;ftype=stop时设计带阻FIR滤波器。低通和带通FIR滤波器无需输入ftype参数。
    • window–窗函数。窗函数的长度应等于FIR滤波器系数的个数,即阶数n+1。

    案例分析:利用凯塞窗函数设计一个带通滤波器,上截止频率2500Hz,下截止频率1000Hz,过渡带宽200Hz,通带纹波允许差0.1,带阻纹波不大于允差0.02dB,通带幅值为1。

    Fs=8000;N=216;
    fcuts=[1000 1200 2300 2500];
    mags=[0 1 0];
    devs=[0.02 0.1 0.02];
    [n,Wn,beta,ftype]=kaiserord(fcuts,mags,devs,Fs);
    n=n+rem(n,2);
    hh=fir1(n,Wn,ftype,kaiser(n+1,beta),'noscale');
    [H,f]=freqz(hh,1,N,Fs);
    plot(f,abs(H));
    xlabel('频率 (Hz)');
    ylabel('幅值|H(f)|');
    grid on;
    
    

    [外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-zSlKyrYh-1573836815527)(G:\研究生\项目小组任务\笔记\第四周和第五周笔记\kaser_bandp.bmp)]

    窗函数设计法:

    根据前面几节的分析:设计一个FIR低通滤波器通常按照下面的步骤执行:

    1. 根据滤波器设计要求,确定滤波器的过渡带宽和阻带衰减要求,选择合适窗函数的类型并进行估计窗函数的宽度N。
    2. 根据所求的理想滤波器求出单位脉冲响应 h d ( n ) h_d(n) hd(n)
    3. 根据求得的h(n)求出其频率响应。
    4. 根据频率响应验证是否满足技术指标。
    5. 若不满足指标要求,则应调整窗函数类型或者长度,然后重复(1),(2),(3)(4)步,直到满足要求为止。

    注意:matlab中数据通常是以列向量形式存储的,所以两个向量相乘必须进行转置。计算滤波器的单位脉冲响应h(n),根据窗函数设计理论 h ( n ) = h d ( n ) ∗ w ( n ) h(n)=h_d(n)*w(n) h(n)=hd(n)w(n),在matlab中用语句hn=hd*wd实现h(n).

    窗函数设计法程序设计如下:

    function [h]=usefir1(mode,n,fp,fs,window,r,sample)
    % mode:模式(1--高通; 2--低通; 3--带通; 4--带阻)
    % n:阶数, 加窗的点数为阶数加1
    % fp:高通和低通时指示截止频率, 带通和带阻时指示下限频率
    % fs:带通和带阻时指示上限频率
    % window:加窗(1--矩形窗; 2--三角窗; 3--巴特窗; 4--汉明窗; 
    %5--汉宁窗; 6--布莱克曼窗; 7--凯泽窗; 8--契比雪夫窗)
    % r代表加chebyshev窗的r值和加kaiser窗时的beta值
    % sample:采样率
    % h:返回设计好的FIR滤波器系数
    if window==1 w=boxcar(n+1);
    end
    if window==2 w=triang(n+1);end
    if window==3 w=bartlett(n+1);end
    if window==4 w=hamming(n+1);end
    if window==5 w=hanning(n+1);end
    if window==6 w=blackman(n+1);end
    if window==7 w=kaiser(n+1,r);end
    if window==8 w=chebwin(n+1,r);
    end
    wp=2*fp/sample;
    ws=2*fs/sample;
    if mode==1 h=fir1(n,wp,'high',w);
    end
    if mode==2 h=fir1(n,wp,'low',w);
    end
    if mode==3 h=fir1(n,[wp,ws],w);
    end
    if mode==4 h=fir1(n,[wp,ws],'stop',w);
    end
    m=0:n;
    subplot(131);
    plot(m,h);grid on;	
    title('冲激响应');
    axis([0 n 1.1*min(h) 1.1*max(h)]);
    ylabel('h(n)');xlabel('n');
    freq_response=freqz(h,1);
    magnitude=20*log10(abs(freq_response));
    m=0:511; f=m*sample/(2*511);
    subplot(132);
    plot(f,magnitude);grid on;
    title('幅频特性');
    axis([0 sample/2 1.1*min(magnitude) 1.1*max(magnitude)]);
    ylabel('f幅值');xlabel('频率');
    phase=angle(freq_response);
    subplot(133);plot(f,phase);grid on;
    title('相频特性');
    axis([0 sample/2 1.1*min(phase) 1.1*max(phase)]);
    ylabel('相位');xlabel('频率');
    
    

    案例分析:假设需要设计一个40阶的带通FIR滤波器,采用汉明窗,采样频率为10kHz,两个截止频率分别为2kHz和3kHz,则需要在Matlab的命令行窗口输入:

    h=usefir1(3,60,2000,3000,4,2,10000);
    

    [外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-8Mmw8ohg-1573836815529)(G:\研究生\项目小组任务\笔记\第四周和第五周笔记\usefir1.bmp)]

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  • 功能简述如下: 1) er_add:添加给定的传输函数... 10) er_lpfc1:设计给定阶次和最大通带纹波的原型 Chebyshev Type I LPF。 11) er_lpfc2:设计给定阶次和最小允许阻带衰减的原型 Cheyshev Type II LPF。 12) er_mod
  • 可以看到在阶数增加以及通带纹波增加的情况下波形的幅值会有一定衰减,但如果阶数过低的话,滤波效果可能会减弱。 今日工作代码: 第二天计划 通过和学长的交流我觉得我对电磁干扰的原理的理解还是不
  • (频率必须按递增顺序排列) _ Ap:峰到峰通带纹波(db) _ Aa:最小阻带衰减 (db) _transformation_vector:这是一个具有 4 个元素的向量,映射 1D 空间到二维空间 [1]。 这些系数可以根据方法找到在[2]中提出。 ...
  • 1、巴特沃斯滤波器的通带和阻带均是单调变化,频率响应最为平滑,若通带边缘满足指标要求,则通带内会有富余量,并不经济,更有效的方法是将指标的精度要求均匀分布在通带或阻带内,这样能设计出阶数较低的滤波器...

    测试代码:

    %FilterCompare.m
    %对比相同阶数时四种IIR滤波器的波纹特性
    
    
    close all;
    clear;
    clc;
    
    
    fs = 1000; %Hz
    
    
    %低通滤波器对比
    N1 = 8;
    wp = 50 / ( fs / 2);
    ws = 100 / ( fs / 2);
    alpha_p = 1;
    alpha_s = 20;
    
    [ b1,a1] = butter( N1 , ws , 'low' );
    [ b2,a2] = cheby1( N1 , alpha_p , ws , 'low' );
    [ b3,a3] = cheby2( N1 , alpha_s , ws , 'low' );
    [ b4,a4] = ellip ( N1 , alpha_p,alpha_s , ws , 'low' );
    
    
    
    [H1,w1] = freqz(b1,a1,1024*4);
    [H2,w2] = freqz(b2,a2,1024*4);
    [H3,w3] = freqz(b3,a3,1024*4);
    [H4,w4] = freqz(b4,a4,1024*4);
    w1 = w1/pi *fs/2;
    w2 = w2/pi *fs/2;
    w3 = w3/pi *fs/2;
    w4 = w4/pi *fs/2;
    figure(1);
    plot(w1,abs(H1),'black','linewidth',0.5);
    hold on;
    plot(w2,abs(H2),'red','linewidth',0.5);
    plot(w3,abs(H3),'green','linewidth',0.5);
    plot(w4,abs(H4),'blue','linewidth',0.5);
    xlim([0 500]);
    ylim([0 1.1]);
    legend({ 'butter' , 'cheby1' , 'cheby2' , 'ellip'});
    title('同阶数(N=8),同截止频率(f_c=100Hz)的低通滤波器对比');
    
    
    %高通滤波器
    N1 = 8;
    wp = 400 / ( fs / 2);
    ws = 400 / ( fs / 2);
    alpha_p = 1;
    alpha_s = 20;
    [ b1,a1] = butter( N1 , ws , 'high' );
    [ b2,a2] = cheby1( N1 , alpha_p , ws , 'high' );
    [ b3,a3] = cheby2( N1 , alpha_s , ws , 'high' );
    [ b4,a4] = ellip( N1 , alpha_p,alpha_s , ws , 'high' );
    [H1,w1] = freqz(b1,a1,1024*4);
    [H2,w2] = freqz(b2,a2,1024*4);
    [H3,w3] = freqz(b3,a3,1024*4);
    [H4,w4] = freqz(b4,a4,1024*4);
    w1 = w1/pi *fs/2;
    w2 = w2/pi *fs/2;
    w3 = w3/pi *fs/2;
    w4 = w4/pi *fs/2;
    figure(2);
    plot(w1,abs(H1),'black','linewidth',0.5);
    hold on;
    plot(w2,abs(H2),'red','linewidth',0.5);
    plot(w3,abs(H3),'green','linewidth',0.5);
    plot(w4,abs(H4),'blue','linewidth',0.5);
    xlim([0 500]);
    ylim([0 1.1]);
    legend({ 'butter' , 'cheby1' , 'cheby2' , 'ellip'});
    title('同阶数(N=8),同截止频率(f_c=400Hz)的高通滤波器对比');
    
    
    
    %带通滤波器
    
    N1 = 8;
    wp = [ 100 , 400 ] / ( fs / 2);
    ws = [ 100 , 400 ] / ( fs / 2);
    alpha_p = 1;
    alpha_s = 20;
    [ b1,a1] = butter( N1 , ws , 'bandpass' );
    [ b2,a2] = cheby1( N1 , alpha_p , ws , 'bandpass' );
    [ b3,a3] = cheby2( N1 , alpha_s , ws , 'bandpass' );
    [ b4,a4] = ellip( N1 , alpha_p,alpha_s , ws , 'bandpass' );
    [H1,w1] = freqz(b1,a1,1024*4);
    [H2,w2] = freqz(b2,a2,1024*4);
    [H3,w3] = freqz(b3,a3,1024*4);
    [H4,w4] = freqz(b4,a4,1024*4);
    w1 = w1/pi *fs/2;
    w2 = w2/pi *fs/2;
    w3 = w3/pi *fs/2;
    w4 = w4/pi *fs/2;
    figure(3);
    plot(w1,abs(H1),'black','linewidth',0.5);
    hold on;
    plot(w2,abs(H2),'red','linewidth',0.5);
    plot(w3,abs(H3),'green','linewidth',0.5);
    plot(w4,abs(H4),'blue','linewidth',0.5);
    xlim([0 500]);
    ylim([0 1.1]);
    legend({ 'butter' , 'cheby1' , 'cheby2' , 'ellip'});
    title('同阶数(N=8),同截止频率(f_c_1=100Hz f_c_2 = 400Hz)的带通滤波器对比');
    
    
    
    %带阻滤波器
    N1 = 8;
    wp = [ 100 , 400 ] / ( fs / 2);
    ws = [ 100 , 400 ] / ( fs / 2);
    alpha_p = 1;
    alpha_s = 20;
    [ b1,a1] = butter( N1 , ws , 'stop' );
    [ b2,a2] = cheby1( N1 , alpha_p , ws , 'stop' );
    [ b3,a3] = cheby2( N1 , alpha_s , ws , 'stop' );
    [ b4,a4] = ellip( N1 , alpha_p,alpha_s , ws , 'stop' );
    [H1,w1] = freqz(b1,a1,1024*4);
    [H2,w2] = freqz(b2,a2,1024*4);
    [H3,w3] = freqz(b3,a3,1024*4);
    [H4,w4] = freqz(b4,a4,1024*4);
    w1 = w1/pi *fs/2;
    w2 = w2/pi *fs/2;
    w3 = w3/pi *fs/2;
    w4 = w4/pi *fs/2;
    figure(4);
    plot(w1,abs(H1),'black','linewidth',0.5);
    hold on;
    plot(w2,abs(H2),'red','linewidth',0.5);
    plot(w3,abs(H3),'green','linewidth',0.5);
    plot(w4,abs(H4),'blue','linewidth',0.5);
    xlim([0 500]);
    ylim([0 1.1]);
    legend({ 'butter' , 'cheby1' , 'cheby2' , 'ellip'});
    title('同阶数(N=8),同截止频率(f_c_1=100Hz f_c_2 = 400Hz)的带阻滤波器对比');
    

      

    现象:

    低通滤波器

    高通滤波器

    带通滤波器

    带阻滤波器

     

    验证结果:

    1、巴特沃斯滤波器的通带和阻带均是单调变化,频率响应最为平滑,若通带边缘满足指标要求,则通带内会有富余量,并不经济,更有效的方法是将指标的精度要求均匀分布在通带或阻带内,这样能设计出阶数较低的滤波器(意会,意会);

    2、切比雪夫Ⅰ型滤波器的幅度特性在通带范围内是等波纹的,在阻带范围内时单调的;

    3、切比雪夫Ⅱ型滤波器的幅度特性在阻带范围内是等波纹的,在通带范围内时单调的;

    4、椭圆滤波器的幅度特性在通带和阻带范围内均是等波纹的。

    转载于:https://www.cnblogs.com/alimy/p/9141679.html

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  • matlab实现带通滤波

    万次阅读 2020-07-22 15:19:25
    matlab给出的代码如下:[n,Wn] = buttord(Wp,Ws,Rp,Rs) 首先要先理解一个带通滤波器的幅频特性图中,分为通带、阻带、过渡带三大部分。 通带截止频率和阻带截止频率对这三部分进行划分,二者之间的部分即为过渡带...

    以带通滤波器——巴特沃斯滤波器为例

    matlab给出的代码如下:[n,Wn] = buttord(Wp,Ws,Rp,Rs)

    首先要先理解一个带通滤波器的幅频特性图中,分为通带、阻带、过渡带三大部分。

    通带截止频率和阻带截止频率对这三部分进行划分,二者之间的部分即为过渡带。

    一.如何设计带通滤波器?

    1.Wp,Ws分别是通带频率和阻带截止频率

    这两个频率是指同一侧的通带和阻带频率,比如设计一个40Hz~100Hz的带通滤波器

    Wp1=40Hz,Wp2=100Hz,代表Wp1~Wp2之间是通带

    Ws1=20Hz,Ws2=120Hz,代表0~20Hz和120Hz~正无穷为阻带

    过渡带宽度=阻带边缘频率-通带边缘频率(高频的一侧)=Ws2-Wp2=20Hz

    2.Rp,Rs是描述通带、阻带幅值的两个重要参量

    Rp是描述通带波纹(起伏程度)的一个参量,通带纹波是指在滤波器的频响中通带的最大幅值和最小幅值之间的差值,正常的纹波一般小于1db。

    通带波纹当然越小越好,这样通带内频率的幅度都基本稳定在单倍幅度上,因此Rp是允许的通带波纹的最大值。

    Rs是描述阻带衰减的一个参量

    阻带衰减越大越好,衰减越大代表对不想要的信号频率成分的滤除效果越好,因此Rs是允许的需要达到的阻带衰减的最小值。

    3.n,Wn是设计得到滤波器的阶数和截止频率

    通道滤波器的设计代码例程如下:

    Wp = [40 100]/500;
    Ws = [20 120]/500;
    Rp = 3;
    Rs = 40;
    [n,Wn] = buttord(Wp,Ws,Rp,Rs)

    上述在Wp,Ws的赋值过程中进行了归一化,因此run之后得到的Wn的值也是归一化过的

    n = 12
    Wn = 0.0799    0.2002

    二.如何绘制带通滤波器的幅频响应?

    可以先调用butter()函数返回巴特沃斯滤波器传递函数的零极点系数和增益。

    [z,p,k] = butter(n,Wn);
    sos = zp2sos(z,p,k);
    
    freqz(sos,512,1000)
    title(sprintf('n = %d Butterworth Lowpass Filter',n))

    三.如何使用带通滤波器对一组数据进行滤波

    y = filter(b,a,x) 

    利用分子和分母系数 b 和 a 定义的有理传递函数对输入数据 x 进行滤波。

    https://zhidao.baidu.com/question/423138525.html

    四.如何合理确定滤波器的参数?

    我们已知所需要的通带截止频率,阻带截止频率,可以通过一个便捷的方式由matlab直接确定滤波器的参数。输入fdatool命令,具体方法可参见以下博客。

    https://blog.csdn.net/qq_42839007/article/details/104184920

    https://wenku.baidu.com/view/6bb31c23dcccda38376baf1ffc4ffe473368fd82.html

    • 滤波的阶数

    滤波器的阶数,就是滤波几次的意思,一阶,就是对谐波过滤一次,滤波器的阶数越高,滤波效果越好,但是,成本也会成倍的增加,因此,选择合适的阶数是非常重要的。

     

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    千次阅读 2020-06-22 21:20:45
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    用函数 bandpass 产生每个滤波器的通带纹波均为 0.1 dB。 为了控制过渡带宽,您可以将 'Steepness' 指定为一个二元矢量 [slower,supper][s^{\mathrm{lower}},s^{\mathrm{upper}}][slower,supper] 或一个标量。当指定...
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    千次阅读 2020-06-21 20:14:18
    用函数 hignpass 产生每个滤波器的通带纹波均为 0.1 dB。 当指定 sss 为 'Steepness' 时,该函数如下计算过渡带宽      W=(1−s)×W=(1-s)\timesW=(1−s)× fpass 当 'Steepness' 等于 0.5,过渡带宽即为 fpass ...
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    用函数 lowpass 产生每个滤波器的通带纹波均为 0.1 dB。 当指定 sss 为 'Steepness' 时,该函数如下计算过渡带宽      W=(1−s)×(fNyquist−W=(1-s)\times (f_{\mathrm{Nyquist}} -W=(1−s)×(fNyquist​− ...
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