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  • 定态薛定谔方程的MATLAB求解(一)利用矩阵法对定态薛定谔方程的MATLAB求解摘要:本文首先对薛定谔方程的提出及发展做了一个简单介绍。然后,以在一维空间运动的粒子构成的谐振子的体系为例,详细介绍了矩阵法求解...

    定态薛定谔方程的MATLAB求解(一)

    利用矩阵法对定态薛定谔方程的MATLAB求解

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    摘要:本文首先对薛定谔方程的提出及发展做了一个简单介绍。然后,以在一维空间运动的粒子构成的谐振子的体系为例,详细介绍了矩阵法求解薛定谔方程的过程及公式推导。最后,通过MATLAB编程仿真实现了求解结果。

    关键词:定态薛定谔方程求解  矩阵法  MATLAB仿真

    薛定谔方程简介

    1.1背景资料

    薛定谔方程是由奥地利物理学家薛定谔提出的量子力学中的一个基本方程,是将物质波的概念和波动方程相结合建立的二阶偏微分方程,可描述微观粒子的运动,每个微观系统都有一个相应的薛定谔方程式,通过解方程可得到波函数的具体形式以及对应的能量,从而了解微观系统的性质。其仅适用于速度不太大的非相对论粒子,其中也没有包含关于粒子自旋的描述。当计及相对论效应时,薛定谔方程由相对论量子力学方程所取代,其中自然包含了粒子的自旋。

    薛定谔方程建立于 1926年。它是一个非相对论的波动方程。它反映了描述微观粒子的状态随时间变化的规律,它在量子力学中的地位相当于牛顿定律对于经典力学一样,是量子力学的`基本假设之一。设描述微观粒子状态的波函数为Ψ(r,t),质量为m的微观粒子在势场V(r,t)中运动的薛定谔方程为

    在给定初始条件和边界条件以及波函数所满足的单值、有限、连续的条件下,可解出波函数Ψ(r,t)。由此可计算粒子的分布概率和任何可能实验的平均值(期望值)。当势函数V不依赖于时间t时,粒子具有确定的能量,粒子的状态称为定态。定态时的波函数可写成式中Ψ(r)称为定态波函数,满足定态薛定谔方程,这一方程在数学上称为本征方程,式中E为本征值,是定态能量,Ψ(r)又称为属于本征值E的本征函数。

    量子力学中求解粒子问题常归结为解薛定谔方程或定态薛定谔方程。薛定谔方程揭示了微观物理世界物质运动的基本规律,被广泛地用于原子物理、核物理和固体物理,对于原子、分子、核、固体等一系列问题中求解的结果都与实际符合得很好。

    定态薛定谔方程直角坐标系形式

    定态薛定谔方程球坐标系形式

    1.2定态薛定谔方程

    条件

    V(r,t)=V(r), 与t无关。

    用分离变量法, 令Ψ=φ(r)f(t),代入薛定谔方程,得两个方程:

    此称定态薛定谔方程

    整个定态波函数形式:

    特点:

    波函数由空间部分函数与时间部分函数相乘;

    B.时间部分函数是确定的。

    定态波函数几率密度W与t无关,几率分布不随时间而变,因此称为定态。

    1.3本征方程、本征函数与本征值

    算符:                    本征方程:

    λ:本征值,有多个,甚至无穷多个

    ψλ:本征值为λ的本征函数,也有多个,甚至无穷多个,有时一个本征值对应多个不同的本征函数,这称为简并。若一个本征值对应的不同本征函数数目为N,则称N重简并。

    1.4 定态情况下的薛定谔方程一般解

    1、定态薛定谔方程或不含时的薛定谔方程是能量本征方程,E就称为体系的能量本征值,而相应的解称为能量的本征函数。

    2、当不显含时时,体系的能量是收恒量,可用分离变量。

    3、解定态薛定谔方程,关键是写出哈密顿量算符。

    2. 利用矩阵法求解薛定谔方程

    以在一维空间运动的粒子构成的谐振子的体系为例。

    该粒子的势能是,是谐振子的角频率,因此谐振子的哈密顿量为

    当时,谐振子的势能变为无穷大,因此,粒子只能在有限的空间上运动,并且能量值谱是分立的。下面采用矩阵的方法,确定谐振子的能量分立值。

    从运动方程出发    (1)

    而势能    那么

    又代入上式(1)得

    即 (2)

    在矩阵形式下,该方程可以写为

    含时坐标矩阵元    (3)

    对它求导,我们得到

    代入上式后,有

    (4)

    其中   (5)

    所以,除了当或外,所有的坐标矩阵元都等于零

    当时,由(5)式有

    即   同理,

    因此,只有变化时,才能得到频率即 所以不为零的坐标矩阵元为

    根据定义[12-14]

    对于存在的波函数,应为实数,所有的矩阵元也为实数,由厄密算符的性质得

    为了计算坐标的矩阵元,由对易关系

    又   代入上式易得

    写为矩阵形式,有

    根据矩阵的乘法规则,有

    又,则有由前面的分析知,只有时,才存在矩阵元,代入上式,

    从该方程我们可以得出

    矩阵元不为零,但是当时,矩阵元则

    依次类推,得出

    最后,我们得到坐标矩阵元不为零的表达式

    又谐振子的能量可以用来表示,且,计算该能量得

    展开全文
  • 定态薛定谔方程的MATLAB求解(一)利用矩阵法对定态薛定谔方程的MATLAB求解摘要:本文首先对薛定谔方程的提出及发展做了一个简单介绍。然后,以在一维空间运动的粒子构成的谐振子的体系为例,详细介绍了矩阵法求解...

    定态薛定谔方程的MATLAB求解(一)

    利用矩阵法对定态薛定谔方程的MATLAB求解

    摘要:本文首先对薛定谔方程的提出及发展做了一个简单介绍。然后,以在一维空间运动的粒子构成的谐振子的体系为例,详细介绍了矩阵法求解薛定谔方程的过程及公式推导。最后,通过MATLAB编程仿真实现了求解结果。

    关键词:定态薛定谔方程求解 矩阵法 MATLAB仿真

    薛定谔方程简介

    1.1背景资料

    薛定谔方程是由奥地利物理学家薛定谔提出的量子力学中的一个基本方程,是将物质波的概念和波动方程相结合建立的二阶偏微分方程,可描述微观粒子的运动,每个微观系统都有一个相应的薛定谔方程式,通过解方程可得到波函数的具体形式以及对应的能量,从而了解微观系统的性质。其仅适用于速度不太大的非相对论粒子,其中也没有包含关于粒子自旋的描述。当计及相对论效应时,薛定谔方程由相对论量子力学方程所取代,其中自然包含了粒子的自旋。

    薛定谔方程建立于 1926年。它是一个非相对论的波动方程。它反映了描述微观粒子的状态随时间变化的规律,它在量子力学中的地位相当于牛顿定律对于经典力学一样,是量子力学的基本假设之一。设描述微观粒子状态的波函数为Ψ(r,t),质量为m的微观粒子在势场V(r,t)中运动的薛定谔方程为

    在给定初始条件和边界条件以及波函数所满足的单值、有限、连续的条件下,可解出波函数Ψ(r,t)。由此可计算粒子的分布概率和任何可能实验的平均值(期望值)。当势函数V不依赖于时间t时,粒子具有确定的能量,粒子的状态称为定态。定态时的波函数可写成式中Ψ(r)称为定态波函数,满足定态薛定谔方程,这一方程在数学上称为本征方程,式中E为本征值,是定态能量,Ψ(r)又称为属于本征值E的本征函数。

    量子力学中求解粒子问题常归结为解薛定谔方程或定态薛定谔方程。薛定谔方程揭示了微观物理世界物质运动的基本规律,被广泛地用于原子物理、核物理和固体物理,对于原子、分子、核、固体等一系列问题中求解的结果都与实际符合得很好。

    定态薛定谔方程直角坐标系形式

    定态薛定谔方程球坐标系形式

    1.2定态薛定谔方程

    条件

    V(r,t)=V(r), 与t无关。

    用分离变量法, 令Ψ=φ(r)f(t),代入薛定谔方程,得两个方程:

    此称定态薛定谔方程

    整个定态波函数形式:

    特点:

    波函数由空间部分函数与时间部分函数相乘;

    B.时间部分函数是确定的。

    定态波函数几率密度W与t无关,几率分布不随时间而变,因此称为定态。

    1.3本征方程、本征函数与本征值

    算符: 本征方程:

    λ:本征值,有多个,甚至无穷多个

    ψλ:本征值为λ的本征函数,也有多个,甚至无穷多个,有时一个本征值对应多个不同的本征函数,这称为简并。若一个本征值对应的不同本征函数数目为N,则称N重简并。

    1.4 定态情况下的薛定谔方程一般解

    1、定态薛定谔方程或不含时的薛定谔方程是能量本征方程,E就称为体系的能量本征值,而相应的解称为能量的本征函数。

    2、当不显含时时,体系的能量是收恒量,可用分离变量。

    3、解定态薛定谔方程,关键是写出哈密顿量算符。

    2. 利用矩阵法求解薛定谔方程

    以在一维空间运动的粒子构成的谐振子的体系为例。

    该粒子的势能是,是谐振子的角频率,因此谐振子的哈密顿量为

    当时,谐振子的势能变为无穷大,因此,粒子只能在有限的空间上运动,并且能量值谱是分立的。下面采用矩阵的方法,确定谐振子的能量分立值。

    从运动方程出发 (1)

    而势能 那么

    又代入上式(1)得

    即(2)

    在矩阵形式下,该方程可以写为

    含时坐标矩阵元 (3)

    对它求导,我们得到

    代入上式后,有

    (4)

    其中 (5)

    所以,除了当或外,所有的坐标矩阵元都等于零

    当时,由(5)式有

    即 同理,

    因此,只有变化时,才能得到频率即 所以不为零的坐标矩阵元为

    根据定义[12-14]

    对于存在的波函数,应为实数,所有的矩阵元也为实数,由厄密算符的性质得

    为了计算坐标的矩阵元,由对易关系

    又 代入上式易得

    写为矩阵形式,有

    根据矩阵的乘法规则,有

    又,则有由前面的分析知,只有时,才存在矩阵元,代入上式,

    从该方程我们可以得出

    矩阵元不为零,但是当时,矩阵元则

    依次类推,得出

    最后,我们得到坐标矩阵元不为零的表达式

    又谐振子的能量可以用来表示,且,计算该能量得

    /amzdddc/ /ncylc/ /fbsylc/ /fbsylc/ /ywgjylc/ /ylgj/ /bhgjylc/ /nnyx/ /lzjlb/ /dzpkgw/

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  • ψλ:本征值为λ的本征函数,也有多个,甚至无穷多个,有时一个本征值对应多个不同的本征函数,这称为简并。若一个本征值对应的不同本征函数数目为N,则称N重简并...3、定态薛定谔方程,关键是写出哈密顿量算符。...

    ψλ:本征值为λ的本征函数,也有多个,甚至无穷多个,有时一个本征值对应多个不同的本征函数,这称为简并。若一个本征值对应的不同本征函数数目为N,则称N重简并。

    1.4 定态情况下的薛定谔方程一般解

    1、定态薛定谔方程或不含时的薛定谔方程是能量本征方程,E就称为体系的能量本征值,而相应的解称为能量的本征函数。

    2、当不显含时时,体系的能量是收恒量,可用分离变量。

    3、解定态薛定谔方程,关键是写出哈密顿量算符。

    2. 利用矩阵法求解薛定谔方程

    以在一维空间运动的粒子构成的谐振子的体系为例。

    该粒子的势能是,是谐振子的角频率,因此谐振子的哈密顿量为

    当时,谐振子的势能变为无穷大,因此,粒子只能在有限的空间上运动,并且能量值谱是分立的。下面采用矩阵的方法,确定谐振子的能量分立值。

    从运动方程出发(1)

    而势能那么

    又代入上式(1)得

    即(2)

    在矩阵形式下,该方程可以写为

    含时坐标矩阵元(3)

    对它求导,我们得到

    代入上式后,有

    (4)

    其中(5)

    所以,除了当或外,所有的坐标矩阵元都等于零

    当时,由(5)式有

    即同理,

    因此,只有变化时,才能得到频率即所以不为零的坐标矩阵元为

    根据定义[12-14]

    对于存在的波函数,应为实数,所有的矩阵元也为实数,由厄密算符的性质得

    为了计算坐标的矩阵元,由对易关系

    又代入上式易得

    写为矩阵形式,有

    根据矩阵的乘法规则,有

    又,则有由前面的分析知,只有时,才存在矩阵元,代入上式,

    从该方程我们可以得出

    矩阵元不为零,但是当时,矩阵元则

    依次类推,得出

    最后,我们得到坐标矩阵元不为零的表达式

    又谐振子的能量可以用来表示,且,计算该能量得

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  • 摘要:此文介绍了一种使用MATLAB求解一维定态薛定谔方程的方法。利用充分格式进行离散化,得出相应的矩阵方程,用MATLAB求解本征值和本征函数。此方法简单可靠,可以处理各种时间无关的束缚态问题。所用的程序附于文...

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    摘要:此文介绍了一种使用MATLAB求解一维定态薛定谔方程的方法。利用充分格式进行离散化,得出相应的矩阵方程,用MATLAB求解本征值和本征函数。此方法简单可靠,可以处理各种时间无关的束缚态问题。所用的程序附于文后。


    宏观物体遵循的是牛顿运动方程,给定初始条件以及受力条件,我们就可以求出任意时刻粒子的状态。而在原子尺度上,所有粒子都表现出波的行为,粒子的状态用波函数

    来描述,描述微观粒子运动的方程是由薛定谔于1925年提出薛定谔方程。微观粒子的运动与其所处的势场相关,当势场不随时间变化时,称为定态,一维情况下的定态薛定谔方程为

    其中,

    表示粒子所处的势场。由定态波函数可以得出总波函数

    1926年, Born提出,波函数模的平方

    代表在位置
    ,时刻
    寻找到电子的概率,这就是波函数的条统计解释。可以由遵循微分方程的波函数表示,薛定谔波方程涉及空间坐标和时间。对于一维情况,在时刻
    时,在
    之间的某处找到电子的概率由下式给出

    时间无关薛定谔方程(1)是系统的能量本征方程。该特征值方程通常由一组特定的函数

    和相应的一组常数
    满足解的条件,被称为是哈密顿算符的本征函数和相应的本征值。当测量处于
    状态的系统的能量时,结果将始终为
    。对于束缚态情况,必须有

    一维定态薛定谔方程是二阶微分方程,但是,能够解析求解的情况屈指可数,如氢原子,谐振子,无限深势阱等。随着计算机技术的发展,我们可以数值上进行求解。本文利用MATLAB软件,使用矩阵方法求解束缚态的本征值问题。

    对于原子系统,以nm和eV的能量测量长度更方便。我们可以使用缩放因子

    因此我们可以将等式(1)写成

    为了求解上述方程式,首先进行离散化处理。将坐标

    离散化为
    个点,用
    来表示,若
    ,则有
    另外,还需要对方程式进行差分格式处理,二阶导数处理如下

    因此,

    的二阶导数矩阵可以写成
    矩阵

    矩阵大小为
    而不是
    ,因为函数的二阶导数无法在终点进行计算,即
    。动能矩阵为
    ,势能矩阵为对角矩阵,即
    。则我们现在可以将哈密顿矩阵定义为
    。用于生成哈密顿矩阵的代码是
    % Make Second Derivative Matrix ---------------
    

    因此,矩阵形式的薛定谔方程是

    。MATLAB有内置函数可以求解本征值问题,其代码为
    [e_funct, e_values] = eig(H)

    其中e_funct是具有对应于第n个本征函数的第n列的

    矩阵,并且e_values是按递增顺序的N个本征值的列向量。一般可以求解出N-2个本征值和本征函数,但只有e_values的负值才有意义。为了获得完整的特征向量,我们需要包括端点,其中

    接下来举一个例子,计算有限深方势阱问题。如图所示是求解得到的有限深方势阱的本征能量谱。

    76354ae6c8ef269bfa3990d27cade383.png
    有限深方势阱的本征能量谱

    同时还可以求出本征函数以及几率分布,如图所示,

    7d7a90634d54923a9cc247435c49d90d.png
    本征波函数以及几率分布

    我们还可以改变势函数去计算各种各样的定态束缚态问题,也可以去计算已知解的问题,以验证此方法的可靠性。


    程序:

    clear;
    clc;
    tic;
    num = 2001;  % Number of data points (odd number)
    % Constants -----------------
    hbar = 1.055e-34;
    e = 1.602e-19;
    m = 9.109e-31;
    eps0 = 8.854e-12;
    Ese = 1.6e-19;  % Energy scaling factor
    Lse = 1e-9;     % Length scaling factor
    Cse = -hbar^2/(2*m) / (Lse^2*Ese);   % Schrodinger Eq constant
    % Potential well parameters
    U = zeros(num,1);
    U_matrix = zeros(num-2);
    % Potential Wells square well
    % Enter energies in eV and distances in nm
    xMin = -0.1;
    xMax = +0.1;
    x1 = 0.05;  % 1/2 well width
    U1 = -400;  % Depth of well (eV)
    x = linspace(xMin,xMax, num);
    for cn = 1 : num
        if abs(x(cn)) <= x1
            U(cn) = U1;
        end
    end
    s = sprintf('Potential Well: SQUARE');
    % Graphics -----------------------
    figure(1);
    set(gcf,'Name','Potential Energy','NumberTitle','off')
    plot(x,U,'LineWidth',3);
    axis([xMin-eps xMax min(U)-50 max(U)+50]);
    
    title(s);
    xlabel('x   (nm)');
    ylabel('energy   (eV)');
    grid on
    
    % Make potential energy matrix
    dx = (x(2)-x(1));
    dx2 = dx^2;
    for cn =1:(num-2)
        U_matrix(cn,cn) = U(cn+1);
    end
    % Make Second Derivative Matrix
    off = ones(num-3,1);
    SD_matrix = (-2*eye(num-2) + diag(off,1) + diag(off,-1))/dx2;
    % Make KE Matrix
    K_matrix = Cse * SD_matrix;            
    % Make Hamiltonian Matrix
    H_matrix = K_matrix + U_matrix;
    % Find Eignevalues E_n and Eigenfunctions psi_N
    [e_funct, e_values] = eig(H_matrix);
    % All Eigenvalues 1, 2 , ... n  where E_N < 0
    flag = 0;
    n = 1;
    while flag == 0
        E(n) = e_values(n,n);
        if E(n) > 0
            flag = 1;
        end % if
        n = n + 1;
    end  % while
    E(n-1) = [];
    n = n-2;
    % Corresponding Eigenfunctions 1, 2, ... ,n: Normalizing the wavefunction
    for cn = 1 : n
        psi(:,cn) = [0; e_funct(:,cn); 0]; 
        area = simpson1d((psi(:,cn) .* psi(:,cn))',xMin,xMax);
        psi(:,cn) = psi(:,cn)/sqrt(area);       % normalize
        prob(:,cn) = psi(:,cn) .* psi(:,cn);
        if psi(5,cn) < 0
            psi(:,cn) = -psi(:,cn); 
        end  % curve starts positive
    end % for
    % Display eigenvalues in Command Window
    disp('   ');
    disp('=========================  ');
    disp('  ');
    fprintf('No. bound states found =  %0.0g   n',n);
    disp('   ');
    disp('Quantum State / Eigenvalues  En  (eV)');
    for cn = 1 : n
        fprintf('  %0.0f   ',cn);
        fprintf('   %0.5g   n',E(cn));
    end
    disp('   ')
    disp('   ');
    
    % Plot energy spectrum
    xs(1) = xMin;
    xs(2) = xMax;
    figure(2);
    set(gcf,'Units','Normalized');
    set(gcf,'Position',[0.5 0.1 0.4 0.6]);
    set(gcf,'Name','Energy Spectrum','NumberTitle','off')
    set(gcf,'color',[1 1 1]);
    set(gca,'fontSize',12);
    plot(x,U,'b','LineWidth',2);
    xlabel('position x (nm)','FontSize',12);
    ylabel('energy U, E_n (eV)','FontSize',12);
    h_title = title(s);
    set(h_title,'FontSize',12);
    hold on
    cnmax = length(E);
    for cn = 1 : cnmax
      ys(1) = E(cn);
      ys(2) = ys(1);
      plot(xs,ys,'r','LineWidth',2);
    end %for   
    axis([xMin-eps xMax min(U)-50 max(U)+50]);
    
    % Plots first 5 wavefunctions & probability density functions
    if n < 6
        nMax = n;
    else
        nMax = 5;
    end
    figure(3)
    clf
    set(gcf,'Units','Normalized');
    set(gcf,'Position',[0.05 0.1 0.4 0.6]);
    set(gcf,'NumberTitle','off');
    set(gcf,'Name','Eigenvectors & Prob. densities');
    set(gcf,'Color',[1 1 1]);
    %nMax = 8;
    for cn = 1:nMax
        subplot(nMax,2,2*cn-1);
        y1 = psi(:,cn) ./ (max(psi(:,cn)-min(psi(:,cn))));
        y2 = 1 + 2 * U ./ (max(U) - min(U));
        plot(x,y1,'lineWidth',2)
        hold on
        plot(x,y2,'r','lineWidth',1)
        %plotyy(x,psi(:,cn),x,U);
        axis off
        %title('psi cn);
        title_m = ['psi   n = ', num2str(cn)] ;
        title(title_m,'Fontsize',10);
        subplot(nMax,2,2*cn);
        y1 = prob(:,cn) ./ max(prob(:,cn));
        y2 = 1 + 2 * U ./ (max(U) - min(U));
        plot(x,y1,'lineWidth',2)
        hold on
        plot(x,y2,'r','lineWidth',1)
        title_m = ['psi^2   n = ', num2str(cn)] ;
        title(title_m,'Fontsize',10);
        axis off
    end
    toc

    m文件simpson1d.m

    function integral = simpson1d(f,a,b)
    % [1D] integration - Simpson's 1/3 rule
    % f function  a = lower bound  b = upper bound
    % Must have odd number of data points
    % Simpson's coefficients   1 4 2 4 ... 2 4 1
    numS = length(f);  % number of data points
    if mod(numS,2) == 1
        sc = 2*ones(numS,1);
        sc(2:2:numS-1) = 4;
        sc(1) = 1; 
        sc(numS) = 1;
        h = (b-a)/(numS-1);
        integral = (h/3) * f * sc;
    else 
        integral = 'Length of function must be an ODD number' 
    end

    参考资料:

    http://www.physics.usyd.edu.au/teach_res/mp/mphome.htm

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