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  • 矩阵向量求导法则

    2018-09-12 14:28:52
    该文档总结了矩阵对矩阵矩阵对向量向量对矩阵向量对向量、元素对矩阵、元素对向量求导法则,非常有用!
  • 在机器学习中的矩阵向量求导(一) 求导定义与求导布局中,我们讨论了向量矩阵求导的9种定义与求导布局的概念。今天我们就讨论下其中的标量向量求导,标量矩阵求导, 以及向量向量求导这三种场景的基本求解思路。...

     在机器学习中的矩阵向量求导(一) 求导定义与求导布局中,我们讨论了向量矩阵求导的9种定义与求导布局的概念。今天我们就讨论下其中的标量对向量求导,标量对矩阵求导, 以及向量对向量求导这三种场景的基本求解思路。

        对于本文中的标量对向量或矩阵求导这两种情况,如前文所说,以分母布局为默认布局。向量对向量求导,以分子布局为默认布局。如遇到其他文章中的求导结果和本文不同,请先确认使用的求导布局是否一样。另外,由于机器学习中向量或矩阵对标量求导的场景很少见,本系列不会单独讨论这两种求导过程。

    1. 用定义法求解标量对向量求导

        标量对向量求导,严格来说是实值函数对向量的求导。即定义实值函数f:Rn→Rf:Rn→R,自变量xx是n维向量,而输出yy是标量。对于一个给定的实值函数,如何求解∂y∂x∂y∂x呢?

        首先我们想到的是基于矩阵求导的定义来做,由于所谓标量对向量的求导,其实就是标量对向量里的每个分量分别求导,最后把求导的结果排列在一起,按一个向量表示而已。那么我们可以将实值函数对向量的每一个分量来求导,最后找到规律,得到求导的结果向量。

        首先我们来看一个简单的例子:y=aTxy=aTx,求解∂aTx∂x∂aTx∂x

        根据定义,我们先对xx的第i个分量进行求导,这是一个标量对标量的求导,如下:

     

    ∂aTx∂xi=∂∑j=1najxj∂xi=∂aixi∂xi=ai∂aTx∂xi=∂∑j=

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  • 矩阵向量求导

    2020-11-13 17:26:00
    参考:https://www.cnblogs.com/pinard/p/10750718.html 雅可比矩阵
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  • 使用雅可比矩阵: 1.程序 clear; syms x y z; %创建符号变量 f = [x*y;y*v;x+y+z]; v = [x,y,z]; R = jacobian(f,v) b = jacobian(x+v,z) 2.结果 >> test R = [ y, x, 0] [ 0, z, y] [ 1, 1, 1] ...

    使用雅可比矩阵:

    1.程序

    clear;
    syms x y z;   %创建符号变量
    f = [x*y;y*z;x+y+z];
    v = [x,y,z];
    R = jacobian(f,v)
    b = jacobian(x+v,z)

    2.结果

    >> test
     
    R =
     
    [ y, x, 0]
    [ 0, z, y]
    [ 1, 1, 1]
     
     
    b =
     
    [ 0 ; 0 ; 1]
     
    >> 

     

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  • (3) 矩阵对向量求导 3(1)标量对矩阵求导 (3) 矩阵对矩阵求导 附上matlab代码,可自行观察实验结果 clear;clc syms x y z v; f1 = [x*y, x+y; y*z, y+z; x*y*z, x+y+z];% 矩阵 f2 = [x*y;y*z;x*...

    目录

    1(1)标量对标量求导(略)

    (2)向量对标量求导 (略)

    (3)  矩阵对标量求导

    2(1)标量对向量求导

    (2)向量对向量求导 

    (3)  矩阵对向量求导

    3(1)标量对矩阵求导

    (3)  矩阵对矩阵求导

     

     

     

    附上matlab代码,可自行观察实验结果

    clear;clc
    syms x y z v;   
    f1 = [x*y, x+y;
           y*z, y+z;
        x*y*z, x+y+z];% 矩阵
    f2 = [x*y;y*z;x*y*z];% 列向量
    f3 = x*y*z; %标量

    v1 = x;     %标量
    v2 = [x;y];     %列向量
    v3 = [x*y, x+y;
           y*z, y+z;
        x*y*z, x+y+z];     %矩阵


    % 对标量求导用diff
    f3v1=diff(f3,v1) % 标量对标量求导为标量
    f2v1=diff(f2,v1) % 列向量对标量求导为列向量
    f1v1=diff(f1,v1) % 矩阵对标量求导为矩阵

    % 对向量求导用jacobian
    % 标量对向量求导为向量,以下两种情况结果相同
    f3v2=jacobian(f3,v2)
    f3v2=jacobian(f3,v2.')
    % 数学上定义1*n行向量对m*1列向量求导后构成m*n矩阵。
    % jacobian函数通过向量对向量求导构成矩阵,以下四种情况结果相同
    % 注:syms型求转置需用 .'
    f2v2=jacobian(f2.',v2)
    f2v2=jacobian(f2,v2.')
    f2v2=jacobian(f2,v2)
    f2v2=jacobian(f2.',v2.')

    % 对矩阵求导
    % matlab里面未找到能够直接用的函数,若大家有知道的还望告知,谢谢


     

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