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  • 无穷小的等价代换

    万次阅读 多人点赞 2018-01-06 22:07:33
    \lim \frac{\widetilde \beta}{\widetilde \alpha}limαβ​=limα β ​​ 这表明,当求两个无穷小之比的极限时,分子及分母都可以用等价无穷小来代替,如果用来代替的无穷小选的适当的话,就可以简化计算。...

    定理:

    设有 α ∼ α ~ , β ∼ β ~ \alpha \sim \widetilde \alpha, \beta \sim \widetilde \beta αα ,ββ , 且 lim ⁡ β ~ α ~ 存 在 \lim \frac{\widetilde \beta}{\widetilde \alpha}存在 limα β
    则有 lim ⁡ β α = lim ⁡ β ~ α ~ \lim \frac{\beta}{\alpha} = \lim \frac{\widetilde \beta}{\widetilde \alpha} limαβ=limα β
    这表明,当求两个无穷小之比的极限时,分子及分母都可以用等价无穷小来代替,如果用来代替的无穷小选的适当的话,就可以简化计算。

    下面例举一些常用的等价无穷小:
    x → 0 x \to 0 x0时, 有:

    1. x ∼ sin ⁡ x ∼ tan ⁡ x ∼ arcsin ⁡ x ∼ arctan ⁡ x ∼ ln ⁡ ( x + 1 ) ∼ ln ⁡ ( x + 1 + x 2 ) ∼ e x − 1 x \sim \sin x \sim \tan x \sim \arcsin x \sim \arctan x \sim \ln(x + 1) \sim \ln(x+\sqrt{1+x^2})\sim e^x-1 xsinxtanxarcsinxarctanxln(x+1)ln(x+1+x2 )ex1
    2. x n ∼ n 1 + x − 1 \frac{x}{n} \sim ^n\sqrt{1+x}-1 nxn1+x 1 n x ∼ ( 1 + x ) n − 1 n x \sim (1+x)^n - 1 nx(1+x)n1
    3. 1 − cos ⁡ x ∼ 1 2 x 2 1 - \cos x \sim \frac{1}{2}x^2 1cosx21x2
    4. a x − 1 = x ln ⁡ a a^x - 1 = x\ln a ax1=xlna

    使用范围:

    等价无穷小的代换必须满足以下两个条件之一

    1. 分子或分母的整体代换
    2. 分子或分母的分因式代换

    条件一举例:
    求解: lim ⁡ x → 0 sin ⁡ x − tan ⁡ x x 3 \lim_{x\to 0}\frac{\sin x-\tan x}{x^3} x0limx3sinxtanx
    正确的解法应为: lim ⁡ x → 0 sin ⁡ x − tan ⁡ x x 3 = lim ⁡ x → 0 tan ⁡ x ( cos ⁡ x − 1 ) x 3 = lim ⁡ x → 0 x ( − 1 2 x 2 ) x 3 = − 1 2 \lim_{x\to 0}\frac{\sin x-\tan x}{x^3}=\lim_{x\to 0}\frac{\tan x(\cos x-1)}{x^3}=\lim_{x\to 0}\frac{x(-\frac{1}{2}x^2)}{x^3}=-\frac{1}{2} x0limx3sinxtanx=x0limx3tanx(cosx1)=x0limx3x(21x2)=21常见的错误解法有:

    1. 和差项代换,也就是常说的被代换的量作为加数或者减数时不可以代换。实际上和差项代换并不一定不可行,只是可行性难以判定,通常使用洛必达法则来解决和差项求极限的问题 lim ⁡ x → 0 sin ⁡ x − tan ⁡ x x 3 = lim ⁡ x → 0 x − x x 3 = 0 \lim_{x\to 0}\frac{\sin x-\tan x}{x^3}=\lim_{x\to 0}\frac{x-x}{x^3}=0 x0limx3sinxtanx=x0limx3xx=0
    2. 部分和差项代换。 lim ⁡ x → 0 sin ⁡ x − tan ⁡ x x 3 = lim ⁡ x → 0 x − tan ⁡ x x 3 = − 1 3 \lim_{x\to 0}\frac{\sin x-\tan x}{x^3}=\lim_{x\to 0}\frac{x-\tan x}{x^3}=-\frac{1}{3} x0limx3sinxtanx=x0limx3xtanx=31 lim ⁡ x → 0 sin ⁡ x − tan ⁡ x x 3 = lim ⁡ x → 0 sin ⁡ x − x x 3 = − 1 6 \lim_{x\to 0}\frac{\sin x-\tan x}{x^3}=\lim_{x\to 0}\frac{\sin x-x}{x^3}=-\frac{1}{6} x0limx3sinxtanx=x0limx3sinxx=61

    条件二举例:
    条件二就不必举例了,只有商积式才有分因式或分因子,就是常说的被代换的量作为乘数或者除数时可以代换。

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  • 高等数学 函数极限求法(三) 等价无穷小

    万次阅读 多人点赞 2018-02-02 18:48:17
    前 面已经了解了函数极限可以通过画函数图像求极限,通过入方法求极限, 但是有的时候上面的方法也是无法求解函数极限的,本次介绍另外一种函数极限的求法 等价无穷小求解函数极限 一、使用...

    前 面已经了解了函数极限可以通过画函数图像求极限,通过代入方法求极限,


    但是有的时候上面的方法也是无法求解函数极限的,本次介绍另外一种函数极限的求法


    等价无穷小求解函数极限



    一、使用等价无穷小的方法求函数极限的前提是记住如下九个等价公式



     

    1. 我们来看看上面的公式是怎么用的,先拿第一个公式来解一道例题来说明: 

      

         

    上面这个例题可以看出,我们可以把对应的 sinx 部分等价为 x ,然后解出极限值;


          那么,使用等价无穷小肯定是有条件的,我们再来看看等价无穷小的使用条件;


          第一条:求趋于某个数的函数极限,使用等价无穷小的部分趋于这个数的极限值为零;

                        什么意思呢? 上面的例题是 x 趋于0 ,我们等价无穷小的部分是 sinx,

                        那么 x 趋于0 的 sinx 的极限值为0,这样我们就可以把 sinx 换成 x;

                        如果sinx的极限值(x 趋于0)不为零,那么就不能使用等价无穷小;


                        如图:

                           

            第二条: 直接看图片,

                          

                           

          

          所以说,使用等价无穷小的前提是记住九个公式,外加两个判断是否可以使用的条件;

          采用文字说明的形式确实很难表达的很清楚,如果有问题,

          可以留言,或者邮箱:18716029800m@sina.cn交流;


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  • 无穷大和无穷小是很容易误解的概念,很容易认为就是很大很大的数和很小很小的数,但其实不是这样的。 无穷小定义: 无穷小就是在自变量的某个变化过程中,以0为极限的函数。 由这个定义可知,无穷小本质上是一个函数...

    无穷大和无穷小是很容易误解的概念,很容易认为就是很大很大的数和很小很小的数,但其实不是这样的。

    无穷小定义:

    无穷小就是在自变量的某个变化过程中,以0为极限的函数。
    由这个定义可知,无穷小本质上是一个函数,是一个在x某个变化过程中,极限为0的函数!比如:当x趋近于x0的时候,f(x)的极限为0,则称f(x)是x趋近于x0时的无穷小量
    这里我们列出几个注意事项:

    1.类似0.00001,1e-1000等等,这种非常非常小的数不是无穷小,因为无穷小是
    极限为0的函数,而类似0.000001这种数相当于函数y = 0.0000001,它的极限仍然是
    0.0000001,而不是0,所以它们一定不是无穷小!
    
    2.唯一一个无穷小常数是0,道理很简单,根据定义,0无论什么时候,极限肯定是0
    
    3.由于无穷小涉及极限的概念,所以一定是在自变量的变化过程上讨论的。不能直接说
    f(x)是个无穷小,要指明是在何种自变量变化范围下的无穷小。
    

    这里有一个重要定理limf(x) = A <====> f(x) = A + a(x) 其中a(x)是自变量这种 变化下的无穷小这是一个充要条件!

    我们来详细证明一下这个结论,首先是必要性

    已知lim f(x) = A(假设x趋近于x0的情况下,x趋近于无穷是一样的)
    我们由极限的定义,那对于任意的e > 0,存在一个X > 0, 使得Uo(x0, X)中的所有x
    对应的函数值f(x)都满足|f(x) - A| < e。
    然后我们现在设a(x) = f(x) - A;	那么将a(x)回代入,得|a(x)| < e
    由极限定义,上述条件下满足|a(x)| < e,所以a(x)在此时x趋近于x0的时候极限为0
    因此,a(x)是这种变化下的一个无穷小
    即可以写成这种形式:f(x) = a(x) + A;
    

    证完必要性后,我们来证充分性:

    已知f(x) = a(x) + A,证明lim f(x) = A
    同样的,a(x) = f(x) - A;那么由极限定义,最后对于任意的e > 0,使得
    Uo(x0, X)中的所有x对应的函数值a(x)都满足|a(x)| < e。(因为a(x)是无穷小)
    那么将a(x)替换成 f(x) - A,我们即可得,f(x)的极限为A
    

    该定理由柯西提出,函数极限与无穷小的关系。将函数极限问题能转换成常数与无穷小的代数运算!在后面会用到


    再来说说无穷大!

    这里也分为x趋近于有限值,和趋近于无穷的两种情况。我们就讨论趋近于无穷的情况吧,另一种道理差不多。
    那么这种情况下,无穷大的定义为:对于任意的一个M > 0,都存在一个X > 0,使得所有x > X的f(x)有|f(x)| > M,那么这个函数在这种变化下,称为一个无穷大!
    这里我们发现,无穷大的定义和函数的无界定义极其相似! 。确实!两者非常相似,但有一个很大的区别。

    无界只要求,存在一个绝对值比M还大的f(x)即可
    而无穷大,它要求在这个范围内的所有x对应的| f(x) |都要大于M。
    其实很好理解,无穷大,当然是要每个点的函数值都无穷大,而无界,只需要一个点函数值无穷大即可。

    因此,无界函数不一定是无穷大,但无穷大一定是无界函数!
    注意:无穷大极限是不存在的!它仅仅是一种趋势。不要忘记了最初极限的定义。


    无穷大和无穷小的关系

    两者是有关系的。在自变量某一个变化过程下,如果f(x)是一个无穷小,那么它的倒数就是一个无穷大。


    无穷小和无穷大的性质

    了解定义后,以下的结论都是比较显然的:
    暂时稍稍了解一下即可,无穷小与有界函数乘积的极限还是无穷小。道理很简单,无穷小相当于一个0,而有界函数肯定不是无穷大,所以两者相乘的极限也是0.
    无穷小乘无穷小也是无穷小
    无穷小加无穷小也是无穷小

    无穷大乘无穷大也是无穷大
    无穷大加无穷大不是无穷大!(如e^x + -e^x;因为无穷大可以是负无穷!)
    无穷大和有界函数乘积的极限不一定是无穷大!因为有界函数可能是0!


    夹逼准则

    道理没什么难的,证明也可以用极限的定义证,用图就一目了然了
    在这里插入图片描述
    关键是实际运用中,放缩是很有技巧性的,这个以后再研究,现在暂且只谈基本概念。

    第一重要极限

    第一重要极限是由夹逼准则得到的一个常用极限
    如下图:
    在这里插入图片描述
    看了书上用夹逼准则证明这个极限是1,还用到了几何关系来找不等式,真的是很厉害了。所以说夹逼准则其实还是很不好用的,要找到很好的放缩是很困难的。

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    千次阅读 2015-05-18 21:41:48
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空空如也

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