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  • 指派矩阵
    2022-06-30 22:30:50

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    1、问题描述

     2、问题求解

    matlab

     lingo


    1、问题描述

    整数规划问题的求解可以使用 Lingo 等专用软件。对于一般的整数规划问题,无法直接利用 Matlab 的函数,必须利用 Matlab 编程实现分枝定界解法和割平面解法。但对于指派问题等 0 -1 整数规划问题,可以直接利用 Matlab 的函数 bintprog 进行求解。

    求解下列指派问题,已知指派矩阵为:

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  • 将T1、T2两个任务分配给工人W1、W2,...假设指派矩阵如下: w1 w2 T1 x1x_1x1​ x2x_2x2​ T2 x3x_3x3​ x4x_4x4​ 于是有: min z=c1x1+c2x2+3x3+c4x4 \begin{matrix} min \space z = c_1x_1+c_2x

    将T1、T2两个任务分配给工人W1、W2,每人只能完成一项任务。每人完成任务的工作成本如下:

    w1w2
    T1 c 1 c_1 c1 c 2 c_2 c2
    T2 c 3 c_3 c3 c 4 c_4 c4

    假设指派矩阵如下:

    w1w2
    T1 x 1 x_1 x1 x 2 x_2 x2
    T2 x 3 x_3 x3 x 4 x_4 x4

    于是有:

    m i n   z = c 1 x 1 + c 2 x 2 + c 3 x 3 + c 4 x 4 \begin{matrix} min \space z = c_1x_1+c_2x_2+c_3x_3+c_4x_4 \end{matrix}\\ min z=c1x1+c2x2+c3x3+c4x4

    s . t . x 1 + x 2 = 1 x 3 + x 4 = 1 x 1 + x 3 = 1 x 2 + x 4 = 1 x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ∈ { 0 , 1 } s.t.\\ x_1+x_2=1\\ x_3+x_4=1\\ x_1+x_3=1\\ x_2+x_4=1\\ x_1,x_2,x_3,x4 \in \{0,1\} s.t.x1+x2=1x3+x4=1x1+x3=1x2+x4=1x1,x2,x3,x4{0,1}
    这个线性规划的系数矩阵是:
    [ 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 ] \begin{bmatrix} 1&&1&&0&&0\\ 0&&0&&1&&1\\ 1&&0&&1&&0\\ 0&&1&&0&&1 \end{bmatrix} 1010100101100101
    容易证明,这是一个全单模矩阵。因此,直接求线性规划实数解即可得到整数解。

    展开全文
  • 数学规划-指派问题

    千次阅读 2021-08-12 12:31:32
    我们可以假设xijx_{ij}xij​表示将第iii个人指派向第jjj个城市,timeijtime_{ij}timeij​表示第iii个人联系第jjj个人的时间,priceklprice_{kl}pricekl​表示第kkk个城市联系第lll个城市的单价。那么我们可以建立模型...

    问题:

    某公司指派n个员工到n个城市工作(每个城市单独一人),希望使所花费的总电话费用
    尽可能少.n个员工两两之间每个月通话的时间表示在下面的矩阵的上三角形部分(假
    设通话的时间矩阵是对称的,没有必要写出下三角形部分),n个城市两两之间通话费率
    表示在下面的矩阵的下三角形部分(同样道理,假设通话的费率矩阵是对称的,没有必
    要写出上三角形部分).试求解该二次指派问题.(如果你的软件解不了这么大规模的
    问题.那就只考虑最前面的若干员工和城市.)
    
    [0 , 5 , 3 , 7 ,  9 , 3 , 9 , 2 , 9 , 0 ]
    [7 , 0 , 7 , 8 ,  3 , 2 , 3 , 3 , 5 , 7 ]
    [4 , 8 , 0 , 9 ,  3 , 5 , 3 , 3 , 9 , 3 ]
    [6 , 2 , 10, 0 ,  8 , 4 , 1 , 8 , 0 , 4 ]
    [8 , 6 , 4 , 6 ,  0 , 8 , 8 , 7 , 5 , 9 ]
    [8 , 5 , 4 , 6 ,  6 , 0 , 4 , 8 , 0 , 3 ]
    [8 , 6 , 7 , 9 ,  4 , 3 , 0 , 7 , 9 , 5 ]
    [6 , 8 , 2 , 3 ,  8 , 8 , 6 , 0 , 5 , 5 ]
    [6 , 3 , 6 , 2 ,  8 , 3 , 7 , 8 , 0 , 5 ]
    [5 , 6 , 7 , 6 ,  6 , 2 , 8 , 8 , 9 , 0 ]
    

    设0-1变量 x i j x_{ij} xij若为1则代表将第i个员工派向第j个城市,若为0则代表未指派 t i m e i m time_{im} timeim表示第i个和第m个员工之间的通话和时间, p r i c e j n price_{jn} pricejn表示j和n城之间的通话费率,那么即可建立模型如下
    M i n q q u a d y = ∑ i , j , m , n = 1 i , j , m , n = 10 x i j ∗ x m n ∗ t i m e i m ∗ p r i c e j n 2 S . T . { ∑ i = 1 i = 10 x i j = = 1 ∑ j = 1 j = 10 x i j = = 1 x i j = { 1 0 Min \\qquad y =\frac{\sum_{i,j,m,n=1}^{i,j,m,n=10} x_{ij}*x_{mn}*time_{im}*price_{jn}}{2}\\ S.T.\left\{ \begin{aligned} \sum_{i=1}^{i=10}x_{ij}==1\\ \sum_{j=1}^{j=10}x_{ij}==1\\ x_{ij}=\left\{ \begin{aligned} 1 \\ 0 \\ \end{aligned} \right. \end{aligned} \right. Minqquady=2i,j,m,n=1i,j,m,n=10xijxmntimeimpricejnS.T.i=1i=10xij==1j=1j=10xij==1xij={10

    import numpy as np
    import gurobipy as grb
    from gurobipy import *
    
    rec = np.array([[0 , 5 , 3 , 7 ,  9 , 3 , 9 , 2 , 9 , 0 ]
                   ,[7 , 0 , 7 , 8 ,  3 , 2 , 3 , 3 , 5 , 7 ]
                   ,[4 , 8 , 0 , 9 ,  3 , 5 , 3 , 3 , 9 , 3 ]
                   ,[6 , 2 , 10, 0 ,  8 , 4 , 1 , 8 , 0 , 4 ]
                   ,[8 , 6 , 4 , 6 ,  0 , 8 , 8 , 7 , 5 , 9 ]
                   ,[8 , 5 , 4 , 6 ,  6 , 0 , 4 , 8 , 0 , 3 ]
                   ,[8 , 6 , 7 , 9 ,  4 , 3 , 0 , 7 , 9 , 5 ]
                   ,[6 , 8 , 2 , 3 ,  8 , 8 , 6 , 0 , 5 , 5 ]
                   ,[6 , 3 , 6 , 2 ,  8 , 3 , 7 , 8 , 0 , 5 ]
                   ,[5 , 6 , 7 , 6 ,  6 , 2 , 8 , 8 , 9 , 0 ]])
    triu = np.triu(rec)#取出矩阵的上三角部分
    tril = np.tril(rec)#取出矩阵的下三角部分
    time = triu+triu.T
    price = tril+tril.T
    print("各员工通话时间为:\n",time,"\n","各城市通话单价为:\n",price)
    
    model = grb.Model("Company")
    x = model.addVars(10,10,vtype=grb.GRB.BINARY,name = "是否指派")
    objective = grb.quicksum(x[i,j] * x[m,n] * time[i,m] * price[j,n] for i in range(10) for j in range(10) for m in range(10) for n in range(10))
    #设置目标函数
    model.setObjective(objective/2,grb.GRB.MINIMIZE)
    #添加约束
    model.addConstrs((x.sum(i,'*')==1 for i in range(10)),"行")
    model.addConstrs((x.sum('*',i)==1 for i in range(10)),"列")
    # 求解
    model.optimize()
    print('目标函数值是:', model.objVal)
    if model.status == GRB.OPTIMAL:
        model.printAttr('X')
        model.printAttr('Slack')
        print("指派矩阵为:\n",np.array(model.X).reshape(10,10))
    
    各员工通话时间为:
     [[0 5 3 7 9 3 9 2 9 0]
     [5 0 7 8 3 2 3 3 5 7]
     [3 7 0 9 3 5 3 3 9 3]
     [7 8 9 0 8 4 1 8 0 4]
     [9 3 3 8 0 8 8 7 5 9]
     [3 2 5 4 8 0 4 8 0 3]
     [9 3 3 1 8 4 0 7 9 5]
     [2 3 3 8 7 8 7 0 5 5]
     [9 5 9 0 5 0 9 5 0 5]
     [0 7 3 4 9 3 5 5 5 0]] 
     各城市通话单价为:
     [[ 0  7  4  6  8  8  8  6  6  5]
     [ 7  0  8  2  6  5  6  8  3  6]
     [ 4  8  0 10  4  4  7  2  6  7]
     [ 6  2 10  0  6  6  9  3  2  6]
     [ 8  6  4  6  0  6  4  8  8  6]
     [ 8  5  4  6  6  0  3  8  3  2]
     [ 8  6  7  9  4  3  0  6  7  8]
     [ 6  8  2  3  8  8  6  0  8  8]
     [ 6  3  6  2  8  3  7  8  0  9]
     [ 5  6  7  6  6  2  8  8  9  0]]
    Gurobi Optimizer version 9.1.2 build v9.1.2rc0 (win64)
    Thread count: 4 physical cores, 8 logical processors, using up to 8 threads
    Optimize a model with 20 rows, 100 columns and 200 nonzeros
    Model fingerprint: 0xc0a57822
    Model has 3780 quadratic objective terms
    Variable types: 0 continuous, 100 integer (100 binary)
    Coefficient statistics:
      Matrix range     [1e+00, 1e+00]
      Objective range  [0e+00, 0e+00]
      QObjective range [4e+00, 2e+02]
      Bounds range     [1e+00, 1e+00]
      RHS range        [1e+00, 1e+00]
    Found heuristic solution: objective 1397.0000000
    Presolve time: 0.01s
    Presolved: 20 rows, 100 columns, 200 nonzeros
    Presolved model has 3880 quadratic objective terms
    Variable types: 0 continuous, 100 integer (100 binary)
    
    Root relaxation: objective -3.181574e+03, 120 iterations, 0.02 seconds
    
        Nodes    |    Current Node    |     Objective Bounds      |     Work
     Expl Unexpl |  Obj  Depth IntInf | Incumbent    BestBd   Gap | It/Node Time
    
    H    0     0                    1329.0000000    0.00000   100%     -    0s
         0     0   -0.00000    0  100 1329.00000    0.00000   100%     -    0s
    H    0     0                    1306.0000000    0.00000   100%     -    0s
    H    0     0                    1267.0000000    0.00000   100%     -    0s
         0     0   -0.00000    0  100 1267.00000    0.00000   100%     -    0s
    H    0     0                    1264.0000000    0.00000   100%     -    0s
         0     2   -0.00000    0  100 1264.00000    0.00000   100%     -    0s
    H   37    40                    1261.0000000    0.00000   100%   3.3    0s
    H   71    88                    1252.0000000    0.00000   100%   3.1    0s
    H 1173   816                    1249.0000000    2.00000   100%   7.3    1s
    *15853  7601              56    1239.0000000  230.86615  81.4%  10.7    4s
     18849  8805  536.85272   46   27 1239.00000  248.95813  79.9%  10.6    5s
     30142 13049  321.91415   39  150 1239.00000  321.91415  74.0%  10.2   10s
    H30176 12420                    1236.0000000  321.91415  74.0%  10.2   11s
    *31767 12255              71    1235.0000000  425.65511  65.5%  11.1   12s
    H32185 11796                    1231.0000000  434.92542  64.7%  11.3   12s
    H35370 11959                    1225.0000000  626.06833  48.9%  12.3   13s
     37995 12792 1082.77385   59   43 1225.00000  646.16346  47.3%  12.9   15s
    *49553 13460              61    1210.0000000  804.21558  33.5%  14.3   18s
    *51315 12861              57    1194.0000000  814.04601  31.8%  14.3   18s
    *54842 11950              58    1181.0000000  825.96584  30.1%  14.5   19s
     57575 11873 1068.54293   56   46 1181.00000  835.93457  29.2%  14.6   20s
     81670 17253 1178.88719   59   31 1181.00000  888.77588  24.7%  15.2   25s
     107671 20010 1113.69678   61   38 1181.00000  991.67959  16.0%  15.2   30s
    H109601 16775                    1142.0000000  994.64106  12.9%  15.2   30s
     132285  8001     cutoff   56      1142.00000 1054.99461  7.62%  15.1   35s
    
    Cutting planes:
      Gomory: 4
      Implied bound: 15
      MIR: 15
      StrongCG: 1
      Flow cover: 103
      Zero half: 1
    
    Explored 143305 nodes (2134002 simplex iterations) in 36.46 seconds
    Thread count was 8 (of 8 available processors)
    
    Solution count 10: 1142 1181 1194 ... 1249
    
    Optimal solution found (tolerance 1.00e-04)
    Best objective 1.142000000000e+03, best bound 1.142000000000e+03, gap 0.0000%
    目标函数值是: 1142.0
    
        Variable            X 
    -------------------------
       /&>[0,8]            1 
       /&>[1,0]            1 
       /&>[2,7]            1 
       /&>[3,2]            1 
       /&>[4,5]            1 
       /&>[5,6]            1 
       /&>[6,1]            1 
       /&>[7,4]            1 
       /&>[8,3]            1 
       /&>[9,9]            1 
    
      Constraint        Slack 
    -------------------------
    指派矩阵为:
     [[0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 0.]
     [1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.]
     [0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 0. 0.]
     [0. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.]
     [0. 0. 0. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 0.]
     [0. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 0. 0. 0.]
     [0. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.]
     [0. 0. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 0.]
     [0. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0.]
     [0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1.]]
    
    展开全文
  • 一、指派问题求解步骤、 二、打 √、 三、直线覆盖





    一、指派问题求解步骤



    指派问题求解步骤 :

    1 . 使行列出现 0 0 0 元素 : 指派问题系数矩阵 ( c i j ) (c_{ij}) (cij) 变换为 ( b i j ) (b_{ij}) (bij) 系数矩阵 , 在 ( b i j ) (b_{ij}) (bij) 矩阵中 每行 每列 都出现 0 0 0 元素 ;

    • 每行都出现 0 0 0 元素 : ( c i j ) (c_{ij}) (cij) 系数矩阵中 , 每行都 减去该行最小元素 ;

    • 每列都出现 0 0 0 元素 : 在上述变换的基础上 , 每列元素中 减去该列最小元素 ;

    注意必须先变行 , 然后再变列 , 行列不能同时进行改变 ; 否则矩阵中会出现负数 , 该矩阵中 不能出现负数 ;

    2 . 试指派 : 进行尝试指派 , 寻求最优解 ;

    ( b i j ) (b_{ij}) (bij) 系数矩阵 中找到尽可能多的 独立 0 0 0 元素 , 如果能找到 n n n 个独立 0 0 0 元素 , 以这 n n n 个独立 0 0 0 元素对应解矩阵 ( x i j ) (x_{ij}) (xij) 中的元素为 1 1 1 , 其余元素为 0 0 0 , 这样就得到最优解 ;





    二、打 √



    分析 【运筹学】匈牙利法 ( 匈牙利法步骤 | 第二步 : 试指派操作示例 ) 博客中试指派调整矩阵的原理 ;


    下面的矩阵是完成第一步操作后 , 得到的行列都有 0 0 0 的元素的系数矩阵 ( b i j ) (b_{ij}) (bij) :

    ( b i j ) = [ 4 5 4 0 0 1 0 4 2 0 4 3 3 7 1 0 ] (b_{ij}) = \begin{bmatrix} & 4 & 5 & 4 & 0 & \\\\ & 0 & 1 & 0 & 4 & \\\\ & 2 & 0 & 4 & 3 & \\\\ & 3 & 7 & 1 & 0 & \\ \end{bmatrix} (bij)=4023510740410430


    试指派后的结果如下 :

    在这里插入图片描述


    定位一个没有独立 0 0 0 元素的行 : 先对没有 0 0 0 元素的行打钩 √ : 第 4 4 4 行没有独立 0 0 0 元素 , 第 4 4 4 行打 √ ;

    在这里插入图片描述


    讨论第 4 4 4 行 : 4 4 4 行没有独立的 0 0 0 元素 , 但是有废弃的 0 0 0 元素 , 因为在第一步已经保证了每行每列都有 0 0 0 元素 ;

    在第 4 4 4 0 0 0 元素所在列 , 即第 4 4 4 列 , 打 √ ;

    在这里插入图片描述


    讨论第 4 4 4 列 : 上述打钩的列中 , 查看是否有 独立的 0 0 0 元素 , 如果有对应的行就打 √ ;

    1 1 1 行有独立的 0 0 0 元素 , 在第 1 1 1 行位置打 √ ;

    在这里插入图片描述


    讨论第 1 1 1 行 : 查看第 1 1 1 行是否有废弃的 0 0 0 元素 , 如果有就继续打 √ , 如果没有就停止 ;

    1 1 1 行没有废弃的 0 0 0 元素 , 直接停止 ;


    讨论 的时候讨论的是 废弃的 0 0 0 元素 ,

    讨论 的时候讨论的是 独立的 0 0 0 元素 ;





    三、直线覆盖



    打 √ 完毕 , 开始讨论覆盖 ,

    没有 打 √ 的行划线 , 打 √ 的列划线 , 三条线就将所有的 0 0 0 元素覆盖了 ,

    在这里插入图片描述

    在没有被覆盖的元素中 , 找最小的元素 1 1 1 , 将该元素所在的没有覆盖的行 − 1 -1 1 , 覆盖的列 + 1 +1 +1 ;

    最终得到如下矩阵 :

    ( b i j ) = [ 3 4 3 0 0 1 0 5 2 0 4 4 2 6 0 0 ] (b_{ij}) = \begin{bmatrix} & 3 & 4 & 3 & 0 & \\\\ & 0 & 1 & 0 & 5 & \\\\ & 2 & 0 & 4 & 4 & \\\\ & 2 & 6 & 0 & 0 & \\ \end{bmatrix} (bij)=3022410630400540

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  • 整数规划--指派问题

    千次阅读 2020-05-07 20:15:29
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  • 4.指派问题匈牙利解法以及其优化

    万次阅读 多人点赞 2018-02-20 19:30:15
    指派问题匈牙利解法以及其优化 本人第一次写blog,难免有不足之处,还请大家不吝指正。 1、问题的提出 简单的说,n个人恰好分别承担n个任务,每个人对于不同的任务效率不同;我们的目的就是为使任务完成效率尽...
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  • 我觉得这种解法应该是有问题的虽然我不知道怎么证伪……啊当时只想着解出来所以犯错了 原文 指派问题最广泛通俗的解法应该是匈牙利算法但在网上找不到这方面的代码。 线性规划求解 网上比较常用的解法是用线性规划...
  • 第二十六章; 第二十六章; 第二十六章; 第二十六章; 第二十六章; 第二十六章; 第二十六章; 第二十六章; 第二十六章;此课件下载可自行编辑修改供参考 感谢您的支持我们努力做得更好
  • 本篇介绍 0 −1型整数规划、匈牙利法—解决指派问题。 (1)总的投资额为600万,得到第一个式子 (2)项目Ⅰ、Ⅱ、 Ⅲ中选一项:得到第二个式子。即必须有两个0,一个1. (3)项 目Ⅴ以项目以为先验条件:得到第三个...
  • 程序实现了匈牙利算法应用于指派问题,输入指派成本矩阵C,给出最小成本及使得成本最小的最优指派
  • 一 类 指 派 问 题 的 改 进 矩 阵 解 法孙 静(广州科技职业技术学院 电子信息系,广东 广州 510550)摘 要 :本 文介绍 了求历 时最短的 指派 问题 ,给 出 了改进矩阵解法的求解步骤,论述了这种解法的合理性,最后...
  • 指派问题matlab代码

    2015-04-08 12:47:26
    运用匈牙利算法来解决运筹学整数规划里的指派问题的matlab代码
  • 二、第一步 : 变换系数矩阵 ( 每行每列都出现 0 元素 )、 三、第二步 : 试指派 ( 找独立 0 元素 )、 四、第二步 : 试指派 ( 打 √ )、 五、第二步 : 试指派 ( 直线覆盖 )、 五、第二步 : 试指派 ( 第二轮 )
  • 运筹学指派问题

    2018-12-29 20:28:47
    运筹学指派问题PPT,讲解指派问题的基本概念,匈牙利矩阵法求解,并用lingo软件求解
  • 本程序是用来解决0-1规划问题的,匈牙利算法的MATLAB程序(用以解决分配(指派)问题) 本程序的用法是:输入效率矩阵 marix 为方阵,调用自编指令[z,ans]=fenpei(marix) 输出z为最优解,ans为最优分配矩阵
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  • matlab指派问题

    2021-04-18 08:05:17
    本文基于匈牙利算法,建立教学任务指派优化模型,分析如何分配教师承担教学任务以使 系统整体满意度最大化,并采用 MATLAB ... 例 8 求解下列指派问题,已知指派矩阵为 ?3 8 ?8 7 ? ?6 4 ? ?8......第26章 基于匈牙利...
  • matlab求解指派问题

    千次阅读 2021-04-18 08:05:57
    matlab求解运筹学中的指派问题,这里并非用匈牙利法求解。其中C为效率矩阵。%适用于任意n阶系数矩阵clear all;C=[2 15 13 4;10 4 14 15;9 14 16 13;7 8 11 9];%效率矩阵Cn=size(C,1);%计算C的行列数nC=C(:);%计算...
  • 一、克尼格定理、 二、匈牙利法引入、 三、指派问题求解步骤、 四、匈牙利法示例 1、 ...2、第一步 : 变换系数矩阵 ( 每行每列都出现 0 元素 )、 3、第二步 : 试指派 ( 找独立 0 元素 )、 4、第二步 : 试指派
  • 指派问题最优解的匈牙利方法存在所谓“选择原则困难”。即当效益矩阵的每一个行列都存在不止一个“零”时,选取哪一个“零”才能保证找到最优解呢?本文引入“C参数选择原则”,解决了这一困难,从而完善了匈牙利...
  • 匈牙利算法解决指派问题

    千次阅读 2021-04-15 22:23:26
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    2020-12-10 17:04:00
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  • 先介绍匈牙利算法 (Hungary) 的求解过程,我直接把代码贴上去就可以吧,有需要的可以联系我。 这个java代码是我根据 “数据魔术师” 公众号中的 c++ 代码改... // 矩阵阶数 private int[][] cost = new int[n+1][n
  • 一、指派问题求解步骤、 二、第二步 : 试指派操作示例

空空如也

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