置换群 订阅
n元对称群的任意一个子群,都叫做一个n元置换群,简称置换群。置换群是最早研究的一类群,是十分重要的群,每个有限的抽象群都与一个置换群同构,也就是说,所有的有限群都可以用它来表示。由有限集合各元素的置换*所构成的群*。它是一种重要的有限群。每个代数方程,都有由它的根的置换所形成的置换群存在;伽罗华*利用置换群的性质,给出了方程可用根式求解的充要条件。由n个元素的集合中各元素的全部置换所构成的群,称为n阶对称群。讨论正n边形绕中心的对称,就得到一个对称群。 展开全文
n元对称群的任意一个子群,都叫做一个n元置换群,简称置换群。置换群是最早研究的一类群,是十分重要的群,每个有限的抽象群都与一个置换群同构,也就是说,所有的有限群都可以用它来表示。由有限集合各元素的置换*所构成的群*。它是一种重要的有限群。每个代数方程,都有由它的根的置换所形成的置换群存在;伽罗华*利用置换群的性质,给出了方程可用根式求解的充要条件。由n个元素的集合中各元素的全部置换所构成的群,称为n阶对称群。讨论正n边形绕中心的对称,就得到一个对称群。
信息
外文名
Permutation group
领    域
群论
特    点
有稳定子群
中文名
置换群
性    质
传递性
所属学科
近世代数
置换群简介
一类具体的有限群。有限集合到自身的一一映射称为一个置换。有限集合Ω上的一些置换组成的集合,在置换的乘法下所组成的群,称为置换群。此群的阶是有限的.研究置换群的性质和构造的理论称为置换群论。凯莱(Cayley,A.)证明:任何一个有限群都同构于一个置换群。因此,可以把一切有限群都看成置换群.由于置换群比抽象群更为直观,而一些数学对象的自同构群是以置换群的面貌出现的,所以,在历史上对置换群的研究先于对抽象群的研究。著名的伽罗瓦理论就是把高次方程的根式可解性的研究转化成为对置换群的研究的,事实上,伽罗瓦(Galois,E.)本人就曾得到有关置换群的一些深刻定理。置换群是由置换组成的群。即n元集合Ω到它自身的一个一一映射,称为Ω上的一个n元置换或n阶置换。Ω上的置换 可表为 或简记为 其中 是 的一个排列, 是 在置换 下的像。由全排列知识可知,这样的置换共有 个。有时也把 在 下的像记为 。根据映射的乘法可以定义Ω上任意两个置换 与 的乘积 为 对于这样定义的运算,Ω上全体置换所组成的集合Sω成一个群,称为Ω上的对称群或n元对称群,简称对称群,其阶为 n!。对称群的子群称为Ω上的置换群或简称置换群。当 时把Sω 记为Sn。较置换群更为一般的概念,有所谓的作用。
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问答
  • 代数方程与置换群

    2019-05-16 20:43:35
    作者: 李世雄 出版社: 上海教育出版社 出版年: 1981 页数: 93 定价: 0.27 装帧: 19cm 丛书: 初等数学小丛书 ISBN: 9780001511460  初等数学小丛书 (共25册), 这套丛书还有 《抽屉原理及其他》,《几何不等式》,...
  • 作者: 李世雄 出版社: 上海教育出版社 出版年: 1981 页数: 93 定价: 0.27 装帧: 19cm 丛书: 初等数学小丛书 ISBN: 9780001511460 丛书信息  初等数学小丛书 (共25册), 这套丛书还有 《抽屉原理及其他》,《几何...
  • 置换群

    千次阅读 2019-08-26 20:02:09
    置换就是把n个元素做一个全排列。比如1, 2,3,4分别变成3,1,2,4,或者分别变成4,3,2,1。一般地,1变a1,2变a2,...的置换记为 置换实际上就是一一映射。在程序上,可以用一个数组f={a1,a2,...,an}来表示1~n...

    置换就是把n个元素做一个全排列。比如1, 2,3,4分别变成3,1,2,4,或者分别变成4,3,2,1。一般地,1变a1,2变a2,...的置换记为

    \left \( \begin{matrix} 1&2&...&n\\ a_1&a_2&...&a_n \end{matrix} \right \)

    置换实际上就是一一映射。在程序上,可以用一个数组f={a1,a2,...,an}来表示1~n的一个置换,其中f[i]表示元素i所映射到的数。这个f也可以看成是定义域和值域为{1,2,3,...,n}的函数,其中f(1) = a1, f(2)= a2, ... f(n) = an。由于不同的元素映射到不同的数,这个函数是可逆的。

    置换之间定义乘法,对应于函数复合。比如置换f={1, 3,2} 和 g = {2, 1, 3},乘积fg = {2, 3, 1},因为各个元素的变化为1到1到2,2到3到3,3到2到1.在数学上函数复合总是满足结合律,所以置乘法也满足结合律,但是不满足交换律。

    为了处理方便,常常把置换分解成循环的乘积,其中每个循环代表一些元素循环移位。

    \left \( \begin{matrix} 1&2&3&4&5\\ 3&5&1&4&2\\ \end{matrix} \right \) =(1\ 3)(2\ 5)(4)

    任意置换都可以这样分解,我们把每个元素看成一个结点,如果a变成b,连一条有向边a到b,则每个元素恰好有一个后继结点和一个前驱结点。借用图论中的术语就是每个点的出度和入度均为1。不难发现,这样的图只能是若干个有向圈,其中每个圈对应一个循环。

    任取一个元素,顺着有向边走,最终一定会走成一个环,然后换一个没被访问过的元素如法炮制,直到所有元素都被访问过。

    等价计数问题

    给2×2方格中涂黑白两色,有几种方法?16种

    如果规定逆时针旋转90度,180度,270度后相同的方案算一种,那么答案就变成6种

    这样的问题称为等价计数问题。也就是说题目会定义一种等价关系,满足等价关系的元素看成同一类,只统计一次。

    自反性:每个元素和他自身等价

    对称性:如果A和B等价,则B和A等价

    传递性:如果A和B等价,B和C等价,则A和C等价

    Burnside引理

    对于一个置换f,若一个着色方案s经过置换后不变,称s为f的不动点。将f的不动点数目记为C(f),则可以证明等价类数目为所有C(f)的平均值。

    逆时针旋转0度

    p1 = (1)(2)...(16) 不动点的个数为16个

    逆时针旋转90度

    p2 = (1)(2)(3 4 5 6)(7 8 9 10)(11 12)(13 14 15 16) 不动点的个数为2个

    逆时针旋转180度

    p3 = (1)(2)(3 5)(4 6)(7 9)(8 10)(11)(12)(13 15)(14 16) 不动点个数为4个

    逆时针旋转270度

    p4 = (1)(2)(3 4 5 6)(7 8 9 10)(11 12)(13 14 15 16) 不动点的个数为2个

    不同等价类个数为(16 + 2 + 4 + 2)/ 4  = 6

    Polya定理:

    设G={p1, p2, ..., pg}是一个置换群,C(pk)是置换pk的循环个数,用m种颜色着色,着色方案数为

    \frac{1}{|G|}*[m^{c(p_1)} + m^{c(p_2} + ... + m^{c(p_g)})]

    G为置换的总个数,m为颜色数,c(pi)置换pi的循环个数

    同样的着色问题

    逆时针旋转0度

    p1 = (1)(2)(3)(4)   4个循环

    逆时针旋转90度

    p2 = (1 4 3 2)    1个循环

    逆时针旋转180度

    p3 = (1 3)(2 4)  2个循环

    逆时针旋转270度

    p4 = (1  2 3 4)  1个循环

    由Polya:1/4(2^4 + 2^1 + 2^2 + 2^1) = 6

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  • 本文主要讨论了21阶到30阶的群到置换群的最小嵌入,并讨论了最小嵌入的个数及共轭类划分,并且最终得到了所有的结果.
  • 有限置换群.pdf

    2019-06-11 22:27:03
    群论 有限置换群.
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  • 抽象代数 01.06 变换群与置换群

    千次阅读 2019-05-02 09:25:50
    变换群与置换群\color{blue} \text{\S 1.6 变换群与置换群}§1.6 变换群与置换群 变换群在历史上和理论上都有重要意义。人们研究群,最早是从研究变换群中的置换群开始的。本节将证明,任一个群与某一个变换群...

    http://www.icourses.cn 南开大学《抽象代数》

    §1.6 变换群与置换群 \color{blue} \text{\S 1.6 变换群与置换群} §1.6 变换群与置换群

    变换群在历史上和理论上都有重要意义。人们研究群,最早是从研究变换群中的置换群开始的。本节将证明,任一个群与某一个变换群同构。 §1.2 \text{\S 1.2} §1.2例6中曾提到全变换群的概念。
    定 义 1.6.1 设 A 是 非 空 集 合 , A 的 所 有 可 逆 变 换 关 于 映 射 的 乘 法 构 成 的 群 , {\color{blue}定义1.6.1\quad}设A是非空集合,A的所有可逆变换关于映射的乘法构成的群, 1.6.1A,A,
    称 为 A 的 全 变 换 群 , 记 为 { S A ; ⋅ } , 简 记 为 S A . S A 的 一 个 子 群 称 为 A 的 一 个 变 换 群 . 称为A的{\color{blue}全变换群},记为\lbrace S_A;\cdot \rbrace,简记为S_A.S_A的一个子群称为A的一个{\color{blue}变换群}. A,{SA;},SA.SAA.
    当 A 为 含 有 n 个 元 素 的 有 限 集 时 , S A 也 叫 做 n 元 对 称 群 , 也 记 作 S n . S n 中 的 一 个 元 当A为含有n个元素的有限集时,S_A也叫做{\color{blue}n元对称群},也记作S_n.S_n中的一个元 An,SAn,Sn.Sn
    素 称 为 一 个 n 元 置 换 . S A 的 一 个 子 群 称 为 一 个 n 元 置 换 群 . 素称为一个{\color{blue}n元置换}.S_A的一个子群称为一个{\color{blue}n元置换群}. n.SAn.
    例 1 设 A 是 整 个 平 面 上 所 有 点 的 集 合 , 在 平 面 上 建 立 直 角 坐 标 系 . 记 R θ 是 平 面 绕 原 {\color{blue}例1\quad}设A是整个平面上所有点的集合,在平面上建立直角坐标系.记R_{\theta}是平面绕原 1A,.Rθ
    点 按 逆 时 针 方 向 旋 转 θ 角 的 变 换 , H = { R θ ∣ 0 ≤ θ &lt; 2 π } , 则 H 是 A 的 一 个 变 换 群 . 点按逆时针方向旋转\theta角的变换,H = \lbrace R_{\theta}|0 \leq \theta &lt; 2\pi \rbrace,则H是A的一个变换群. θ,H={Rθ0θ<2π},HA.
    定 理 1.6.1 ( 凯 莱 ( C a y l e y ) 定 理 ) 任 何 一 个 群 都 与 一 个 变 换 群 同 构 . {\color{blue}定理1.6.1(凯莱(Cayley)定理)\quad}{\color{green}任何一个群都与一个变换群同构.} 1.6.1((Cayley)).
    证 : 设 G 是 一 个 群 . ∀ a ∈ G , 令 ϕ a : G → G . {\color{blue}证:}设G是一个群.\forall a \in G,令\phi_a:G \to G. :G.aG,ϕa:GG.
    ϕ a ( g ) = a g , ∀ g ∈ G . \qquad \phi_a(g) = ag, \forall g \in G. ϕa(g)=ag,gG.
    则 因 ∀ g ∈ G , 有 a − 1 g ∈ G , 而 ϕ a ( a − 1 g ) = g , 故 ϕ a 是 G 到 自 身 的 满 射 . 则因\forall g \in G,有a^{-1}g \in G,而\phi_a(a^{-1}g) = g,故\phi_a是G到自身的满射. gG,a1gG,ϕa(a1g)=g,ϕaG.
    又 若 ϕ a ( g 1 ) = ϕ a ( g 2 ) , 即 a g 1 = a g 2 , 由 群 中 消 去 律 知 g 1 = g 2 , 所 以 ϕ a 还 是 单 射 , 又若\phi_a(g_1) = \phi_a(g_2),即ag_1 = ag_2,由群中消去律知g_1=g_2,所以\phi_a还是单射, ϕa(g1)=ϕa(g2),ag1=ag2,g1=g2,ϕa,
    从 而 ϕ a 是 双 射 , 即 G 是 自 身 的 可 逆 映 射 , 故 ϕ a ∈ S G . 从而\phi_a是双射,即G是自身的可逆映射,故\phi_a \in S_G. ϕa,G,ϕaSG.
    令 T = { ϕ a ∣ a ∈ G } ⊆ S G . 注 意 到 ( ϕ b ) − 1 = ϕ b − 1 , ϕ a ⋅ ϕ b − 1 = ϕ a b − 1 ∈ T , 令T=\lbrace \phi_a | a \in G \rbrace \subseteq S_G.注意到(\phi_b)^{-1}=\phi_{b^{-1}},\phi_a \cdot \phi_{b^{-1}} = \phi_{ab^{-1}} \in T, T={ϕaaG}SG.(ϕb)1=ϕb1,ϕaϕb1=ϕab1T,
    据 定 理 1.3.1 知 T &lt; S G , 即 T 是 G 的 一 个 变 换 群 . 据定理1.3.1知 T &lt; S_G,即T是G的一个变换群. 1.3.1T<SG,TG.
    再 令 f : G → T , f ( a ) = ϕ a , ∀ a ∈ G . 再令 f:G \to T,f(a) = \phi_a,\forall a \in G. f:GT,f(a)=ϕa,aG.
    则 f 是 G 到 T 的 满 射 , 又 若 ϕ a = ϕ b , a , b ∈ G , 则 ϕ a ( e ) = ϕ b ( e ) , 即 a e = b e , 则f是G到T的满射,又若\phi_a = \phi_b,a,b \in G,则\phi_a(e) = \phi_b(e),即ae=be, fGT,ϕa=ϕb,a,bG,ϕa(e)=ϕb(e),ae=be,
    所 以 a = b , 故 f 还 是 单 射 , 从 而 f 是 双 射 . 又 所以a=b,故f还是单射,从而f是双射.又 a=b,f,f.
    f ( a b ) = ϕ a b = ϕ a ⋅ ϕ b = f ( a ) ⋅ f ( b ) , ∀ a , b ∈ G . \quad f(ab) = \phi_{ab} = \phi_a \cdot \phi_b = f(a) \cdot f(b), \forall a, b \in G. f(ab)=ϕab=ϕaϕb=f(a)f(b),a,bG.
    所 以 f 还 是 群 同 态 . 于 是 f 是 群 G 到 群 T 的 同 构 , 便 有 G ≃ T . 所以f还是群同态.于是f是群G到群T的同构,便有G \simeq T. f.fGT,便GT.
    证 明 中 的 ϕ a 称 为 群 G 中 由 a 决 定 的 左 平 移 变 换 . 证明中的\phi_a称为群G中由a决定的{\color{blue}左平移变换}. ϕaGa.
    类 似 地 , 还 有 由 a 决 定 的 右 平 移 变 换 : 类似地,还有由a决定的{\color{blue}右平移变换}: ,a:
    ψ a ( g ) = g a , ∀ g ∈ G . \qquad \psi_a(g) = ga, \forall g \in G. ψa(g)=ga,gG.
    推 论 1.6.2 任 一 有 限 群 都 与 一 个 置 换 群 同 构 . {\color{blue}推论1.6.2 \quad}{\color{green}任一有限群都与一个置换群同构.} 1.6.2.
    凯莱定理使我们可以将群的研究归结为对变换群的研究,对有限群的研究归结为对置换群的研究。
    若 σ ∈ S n , 则 σ 称 为 一 个 n 元 置 换 , 通 常 表 示 为 若\sigma \in S_n,则\sigma 称为一个n元置换,通常表示为 σSn,σn,
    σ = ( 1 2 ⋯ n i 1 i 2 ⋯ i n ) . \qquad \sigma = \begin{pmatrix} 1 &amp; 2 &amp; \cdots &amp; n \\ i_1 &amp; i_2 &amp; \cdots &amp; i_n \end{pmatrix}. σ=(1i12i2nin).
    它 的 含 义 是 σ ( 1 ) = i 1 , σ ( 2 ) = i 2 , ⋯ &ThinSpace; , σ ( n ) = i n . 由 于 σ 是 双 射 , 所 以 i 1 , i 2 , 它的含义是\sigma(1) = i_1, \sigma(2) = i_2, \cdots, \sigma(n) = i_n.由于\sigma 是双射,所以i_1,i_2, σ(1)=i1,σ(2)=i2,,σ(n)=in.σ,i1,i2,
    ⋯ &ThinSpace; , i n 是 1 , 2 , ⋯ &ThinSpace; , n 的 一 个 排 列 . 并 且 不 同 的 排 列 得 到 的 置 换 σ 也 不 同 . 因 此 , \cdots, i_n是1,2,\cdots,n的一个排列.并且不同的排列得到的置换\sigma也不同.因此, ,in1,2,,n.σ.,
    n 元 置 换 的 个 数 , 就 是 1 , 2 , ⋯ &ThinSpace; , n 的 所 有 排 列 的 个 数 . n元置换的个数,就是1,2,\cdots,n的所有排列的个数. n,1,2,,n.
    命 题 1.6.3 n 元 对 称 群 S n 的 阶 为 n ! . {\color{blue}命题1.6.3\quad}{\color{green}n元对称群S_n的阶为n!.} 1.6.3nSnn!.
    当 j 1 , j 2 , ⋯ &ThinSpace; , j n 是 1 , 2 , ⋯ &ThinSpace; , n 的 一 个 排 列 时 , 也 可 记 当j_1,j_2,\cdots,j_n是1,2,\cdots,n的一个排列时,也可记 j1,j2,,jn1,2,,n,
    σ = ( j 1 j 2 ⋯ j n σ ( j 1 ) σ ( j 2 ) ⋯ σ ( j n ) ) . \quad \sigma = \begin{pmatrix} j_1 &amp; j_2 &amp; \cdots &amp; j_n \\ \sigma(j_1) &amp; \sigma(j_2) &amp; \cdots &amp; \sigma(j_n) \end{pmatrix}. σ=(j1σ(j1)j2σ(j2)jnσ(jn)).
    从 而 , 一 个 n 元 置 换 可 以 有 n ! 种 记 法 . 从而,一个n元置换可以有n!种记法. ,nn!.
    置换时一种映射,所以,置换的乘法、置换的逆与映射的乘法、映射的逆有类似的表示法。
    例 2 S 3 中 有 3 ! = 6 个 元 素 : {\color{blue}例2\quad}S_3中有3!=6个元素: 2S33!=6:
    ( 1 2 3 1 2 3 ) , ( 1 2 3 1 3 2 ) , ( 1 2 3 2 1 3 ) , ( 1 2 3 2 3 1 ) , ( 1 2 3 3 1 2 ) , ( 1 2 3 3 2 1 ) . \begin{pmatrix}1 &amp; 2 &amp; 3 \\ 1 &amp; 2 &amp; 3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1 &amp; 2 &amp; 3 \\ 1 &amp; 3 &amp; 2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1 &amp; 2 &amp; 3 \\ 2 &amp; 1 &amp; 3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1 &amp; 2 &amp; 3 \\ 2 &amp; 3 &amp; 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1 &amp; 2 &amp; 3 \\ 3 &amp; 1 &amp; 2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1 &amp; 2 &amp; 3 \\ 3&amp; 2 &amp; 1 \end{pmatrix}. (112233),(112332),(122133),(122331),(132132),(132231).
    容 易 看 出 , S 3 不 是 交 换 群 , 例 如 , 取 容易看出,S_3不是交换群,例如,取 ,S3,,
    f = ( 1 2 3 3 2 1 ) , φ = ( 1 2 3 2 1 3 ) . \qquad f = \begin{pmatrix}1 &amp; 2 &amp; 3 \\ 3 &amp; 2 &amp; 1 \end{pmatrix}, \varphi = \begin{pmatrix}1 &amp; 2 &amp; 3 \\ 2 &amp; 1 &amp; 3 \end{pmatrix}. f=(132231),φ=(122133).
    则 则
    φ ⋅ f = ( 1 2 3 2 1 3 ) ( 1 2 3 3 2 1 ) = ( 1 2 3 3 1 2 ) , \quad \varphi \cdot f = \begin{pmatrix}1 &amp; 2 &amp; 3 \\ 2 &amp; 1 &amp; 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 &amp; 2 &amp; 3 \\ 3 &amp; 2 &amp; 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 &amp; 2 &amp; 3 \\ 3 &amp; 1 &amp; 2 \end{pmatrix}, φf=(122133)(132231)=(132132),
    f ⋅ φ = ( 1 2 3 3 2 1 ) ( 1 2 3 2 1 3 ) = ( 1 2 3 2 3 1 ) . f \cdot \varphi = \begin{pmatrix}1 &amp; 2 &amp; 3 \\ 3 &amp; 2 &amp; 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 &amp; 2 &amp; 3 \\ 2 &amp; 1 &amp; 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 &amp; 2 &amp; 3 \\ 2 &amp; 3 &amp; 1 \end{pmatrix}. fφ=(132231)(122133)=(122331).
    所 以 , φ ⋅ f = ̸ f ⋅ φ . 还 可 以 看 出 所以,\varphi \cdot f =\not f \cdot \varphi.还可以看出 ,φf≠fφ.
    f − 1 = ( 3 2 1 1 2 3 ) = ( 1 2 3 3 2 1 ) , φ − 1 = ( 2 1 3 1 2 3 ) = ( 1 2 3 2 1 3 ) . f^{-1} = \begin{pmatrix}3 &amp; 2 &amp; 1 \\ 1 &amp; 2 &amp; 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 &amp; 2 &amp; 3 \\ 3 &amp; 2 &amp; 1 \end{pmatrix}, \varphi^{-1} = \begin{pmatrix}2 &amp; 1 &amp; 3 \\ 1 &amp; 2 &amp; 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 &amp; 2 &amp; 3 \\ 2 &amp; 1 &amp; 3 \end{pmatrix}. f1=(312213)=(132231),φ1=(211233)=(122133).
    上述表示置换 σ \sigma σ的记号,在括号中写成两列,略显繁琐,又看不出 σ \sigma σ的特点,下面引入轮换的概念和记号,并给出置换的另一种表示法.
    定 义 1.6.2 设 集 合 { i 1 , i 2 , ⋯ &ThinSpace; , i r } 为 集 合 { 1 , 2 , ⋯ &ThinSpace; , n } 的 一 个 子 集 . 若 σ ∈ S n , 满 足 σ ( i 1 ) = i 2 , σ ( i 2 ) = i 3 , ⋯ &ThinSpace; , σ ( i r − 1 ) = i r , σ ( i r ) = i 1 , 及 {\color{blue}定义1.6.2\quad}设集合\lbrace i_1,i_2, \cdots, i_r \rbrace为集合\lbrace 1, 2, \cdots, n \rbrace的一个子集.若\sigma \in S_n,满足\sigma(i_1) = i_2, \sigma(i_2) = i_3, \cdots, \sigma(i_{r-1}) = i_r, \sigma(i_r) = i_1,及 1.6.2{i1,i2,,ir}{1,2,,n}.σSn,σ(i1)=i2,σ(i2)=i3,,σ(ir1)=ir,σ(ir)=i1,
    σ ( k ) = k , ∀ k ∈ { 1 , 2 , ⋯ &ThinSpace; , n } − { i 1 , i 2 , ⋯ &ThinSpace; , i r } , \quad \sigma(k) = k, \forall k \in \lbrace 1, 2, \cdots, n \rbrace - \lbrace i_1, i_2, \cdots, i_r \rbrace, σ(k)=k,k{1,2,,n}{i1,i2,,ir},
    则 称 σ 为 S n 中 的 一 个 r − 轮 换 , 或 称 r − 循 环 置 换 , 记 为 σ = ( i 1 i 2 ⋯ i r ) . i 1 , i 2 , ⋯ &ThinSpace; , i r 均 称 为 轮 换 σ 中 的 文 字 , r 称 为 轮 换 σ 的 长 . 则称\sigma为S_n中的一个{\color{blue}r-轮换},或称{\color{blue}r-循环置换},记为\sigma = (i_1i_2\cdots i_r).i_1, i_2, \cdots, i_r均称为轮换\sigma中的{\color{blue}文字},r称为{\color{blue}轮换\sigma的长}. σSnr,r,σ=(i1i2ir).i1,i2,,irσ,rσ.
    特 别 , 2 − 轮 换 ( i j ) 称 为 对 换 , 恒 等 置 换 可 记 为 1 − 轮 换 . 特别,2-轮换(ij)称为{\color{blue}对换},恒等置换可记为1-轮换. ,2(ij),1.
    用轮换的定义和群中元素的阶的定义可证明。
    命 题 1.6.4 在 S n 中 , r − 轮 换 的 阶 为 r . {\color{blue}命题1.6.4\quad}{\color{green}在S_n中,r-轮换的阶为r.} 1.6.4Sn,rr.
    任 一 个 r − 轮 换 都 可 以 有 r 种 表 示 法 : 任一个r-轮换都可以有r种表示法: rr:
    σ = ( i 1 i 2 ⋯ i r ) = ( i 2 i 3 ⋯ i r i 1 ) = ⋯ = ( i r i 1 ⋯ i r − 1 ) . \sigma=(i_1i_2 \cdots i_r) = (i_2i_3 \cdots i_ri_1) = \cdots = (i_ri_1 \cdots i_{r-1}). σ=(i1i2ir)=(i2i3iri1)==(iri1ir1).
    定 义 1.6.3 在 S n 中 , 如 果 若 干 个 轮 换 间 没 有 共 同 文 字 , 则 称 它 们 是 不 相 交 的 轮 换 . {\color{blue}定义1.6.3\quad}在S_n中,如果若干个轮换间没有共同文字,则称它们是{\color{blue}不相交的轮换}. 1.6.3Sn,,.
    命 题 1.6.5 在 S n 中 , 两 个 不 相 交 的 轮 换 的 乘 积 是 可 交 换 的 . {\color{blue}命题1.6.5\quad}{\color{green}在S_n中,两个不相交的轮换的乘积是可交换的.} 1.6.5Sn,.
    命 题 1.6.6 ∀ σ ∈ S n , σ 都 可 表 为 S n 中 一 些 不 相 交 轮 换 之 积 . {\color{blue}命题1.6.6\quad}{\color{green}\forall \sigma \in S_n,\sigma都可表为S_n中一些不相交轮换之积.} 1.6.6σSn,σSn.
    证 : 取 a ∈ { 1 , 2 , ⋯ &ThinSpace; , n } , 作 序 列 {\color{blue}证:}取a \in \lbrace 1, 2, \cdots, n \rbrace, 作序列 :a{1,2,,n},
    a = σ 0 ( a ) , σ 1 ( a ) , σ 2 ( a ) , ⋯ \qquad a = \sigma^{0}(a), \sigma^{1}(a), \sigma^{2}(a), \cdots a=σ0(a),σ1(a),σ2(a),
    ( σ 0 就 是 恒 等 置 换 i d ) 其 中 一 定 包 含 重 复 的 文 字 , 记 σ m ( a ) 是 第 一 个 与 前 面 相 重 复 的 (\sigma^{0}就是恒等置换id)其中一定包含重复的文字,记\sigma^{m}(a)是第一个与前面相重复的 (σ0id),σm(a)
    文 字 , 并 设 它 与 σ k ( a ) ( 0 ≤ k &lt; m ) 重 复 . 可 证 k = 0 , 因 若 不 然 , 由 σ k − 1 ( a ) = ̸ σ m − 1 ( a ) , 文字,并设它与\sigma^{k}(a)(0 \leq k &lt; m)重复.可证k = 0,因若不然,由\sigma^{k-1}(a) =\not \sigma^{m-1}(a), ,σk(a)(0k<m).k=0,,σk1(a)≠σm1(a),
    及 σ ( σ k − 1 ( a ) ) = σ ( σ m − 1 ( a ) ) , 推 出 σ 把 两 个 不 同 的 文 字 映 到 相 同 的 文 字 , 及\sigma(\sigma^{k-1}(a)) = \sigma(\sigma^{m-1}(a)),推出\sigma把两个不同的文字映到相同的文字, σ(σk1(a))=σ(σm1(a)),σ,
    这 与 “ σ 是 单 射 ” 矛 盾 . 因 此 k = 0 , 即 σ m ( a ) = a . 作 轮 换 这与“\sigma是单射”矛盾.因此k = 0,即\sigma^{m}(a) = a.作轮换 σ.k=0,σm(a)=a.
    σ 1 = ( a , σ ( a ) , ⋯ &ThinSpace; , σ m − 1 ( a ) ) . \qquad \sigma_1 = (a, \sigma(a), \cdots, \sigma^{m-1}(a)). σ1=(a,σ(a),,σm1(a)).
    则 σ 与 σ 1 在 文 字 a , σ ( a ) , ⋯ &ThinSpace; , σ m − 1 ( a ) 上 的 作 用 相 同 . 则\sigma与\sigma_1在文字a,\sigma(a),\cdots, \sigma^{m-1}(a)上的作用相同. σσ1a,σ(a),,σm1(a).
    若 m = n , 则 σ = σ 1 , 本 身 就 已 表 为 一 个 轮 换 . 若 m &lt; n , 则 取 b ∈ { 1 , 2 , ⋯ &ThinSpace; , n } − { a , σ ( a ) , ⋯ &ThinSpace; , σ m − 1 ( a ) } , 仿 照 上 面 的 方 法 再 作 一 个 轮 换 若m=n,则\sigma=\sigma_1,本身就已表为一个轮换.若m&lt;n,则取b \in \lbrace 1, 2, \cdots, n \rbrace - \lbrace a,\sigma(a), \cdots, \sigma^{m-1}(a) \rbrace,仿照上面的方法再作一个轮换 m=n,σ=σ1,.m<n,b{1,2,,n}{a,σ(a),,σm1(a)},仿
    σ 2 = ( b , σ ( b ) , ⋯ &ThinSpace; , σ l − 1 ( b ) ) . \qquad \sigma_2 = (b, \sigma(b), \cdots, \sigma^{l-1}(b)). σ2=(b,σ(b),,σl1(b)).
    则 σ 与 σ 2 在 文 字 b , σ ( b ) , ⋯ &ThinSpace; , σ l − 1 ( b ) 上 的 作 用 相 同 . 则\sigma与\sigma_2在文字b,\sigma(b),\cdots,\sigma^{l-1}(b)上的作用相同. σσ2b,σ(b),,σl1(b).
    而 且 因 σ 是 单 射 , 知 σ 1 与 σ 2 不 相 交 . 而且因\sigma是单射,知\sigma_1与\sigma_2不相交. σ,σ1σ2.
    这 样 继 续 下 去 , 直 到 1 , 2 , ⋯ &ThinSpace; , n 用 完 为 止 . 这 就 得 到 有 限 个 不 相 交 的 轮 换 σ 1 , σ 2 , ⋯ &ThinSpace; , σ s 使 这样继续下去,直到1,2,\cdots,n用完为止.这就得到有限个不相交的轮换\sigma_1,\sigma_2,\cdots,\sigma_s使 1,2,,n.σ1,σ2,,σs使
    σ = σ 1 σ 2 ⋯ σ s . \qquad \sigma = \sigma_1\sigma_2\cdots \sigma_s. σ=σ1σ2σs.
    注 意 到 , 由 于 对 a , b 等 选 择 可 以 不 同 , 选 择 的 先 后 也 可 以 不 同 , 所 以 上 述 轮 换 σ 1 , σ 2 , ⋯ &ThinSpace; , 注意到,由于对a,b等选择可以不同,选择的先后也可以不同,所以上述轮换\sigma_1,\sigma_2,\cdots, a,b,,σ1,σ2,,
    σ s 的 次 序 可 以 不 同 . 但 任 一 文 字 c 所 在 的 轮 换 是 唯 一 的 , 即 ( c , σ ( c ) , σ 2 ( c ) , ⋯ &ThinSpace; ) , 虽 然 形 式 上 \sigma_s的次序可以不同.但任一文字c所在的轮换是唯一的,即(c,\sigma(c),\sigma^{2}(c),\cdots),虽然形式上 σs.c,(c,σ(c),σ2(c),),
    未 必 是 以 c 起 头 . 未必是以c起头. c.
    命 题 1.6.7 任 一 n 元 置 换 表 为 不 相 交 轮 换 的 乘 积 时 , 如 果 不 计 次 序 , 表 法 是 唯 一 的 . {\color{blue}命题1.6.7\quad}{\color{green}任一n元置换表为不相交轮换的乘积时,如果不计次序,表法是唯一的.} 1.6.7n,,.
    例 3 ( 1 2 3 4 5 6 7 1 7 5 2 3 6 4 ) = ( 1 ) ( 274 ) ( 35 ) ( 6 ) = ( 274 ) ( 35 ) = ( 35 ) ( 274 ) . {\color{blue}例3\quad}\begin{pmatrix}1 &amp; 2 &amp; 3 &amp; 4 &amp; 5 &amp; 6 &amp; 7 \\ 1 &amp; 7 &amp; 5 &amp; 2 &amp; 3 &amp; 6 &amp; 4 \end{pmatrix} = (1)(274)(35)(6) = (274)(35) = (35)(274). 3(11273542536674)=(1)(274)(35)(6)=(274)(35)=(35)(274).
    后 两 个 等 号 中 , 删 除 了 1 − 轮 换 ( 1 ) , ( 6 ) , 效 果 是 一 样 的 , 这 是 因 为 在 轮 换 的 定 义 1.6.2 中 , 轮 换 对 不 出 现 的 文 字 后两个等号中,删除了1-轮换(1),(6),效果是一样的,这是因为在轮换的定义1.6.2中,轮换对不出现的文字 ,1(1),(6),,1.6.2,
    的 作 用 效 果 , 是 保 持 该 文 字 不 变 . 的作用效果,是保持该文字不变. ,.
    例 4 ( i 1 i 2 ⋯ i r ) = ( i 1 i r ) ( i 1 i r − 1 ) ⋯ ( i 1 i 3 ) ( i 1 i 2 ) . {\color{blue}例4\quad}(i_1i_2\cdots i_r)=(i_1i_r)(i_1i_{r-1})\cdots(i_1i_3)(i_1i_2). 4(i1i2ir)=(i1ir)(i1ir1)(i1i3)(i1i2).
    即 , 任 一 个 r − 轮 换 都 可 以 写 成 r − 1 个 对 换 ( 不 一 定 是 不 相 交 的 对 换 ) 的 乘 积 . 即,任一个r-轮换都可以写成r-1个对换(不一定是不相交的对换)的乘积. ,rr1().
    命 题 1.6.8 任 一 n 元 置 换 都 可 以 表 为 一 些 对 换 的 乘 积 . {\color{blue}命题1.6.8\quad}{\color{green}任一n元置换都可以表为一些对换的乘积.} 1.6.8n.
    一个置换表为对换之乘积的表法是不唯一的,但其中对换个数的奇偶性不变.
    定 义 1.6.4 当 一 个 置 换 能 表 为 奇 ( 偶 ) 数 个 对 换 的 乘 积 时 , 称 为 奇 置 换 ( 偶 置 换 ) . {\color{blue}定义1.6.4\quad}当一个置换能表为奇(偶)数个对换的乘积时,称为{\color{blue}奇置换(偶置换)}. 1.6.4(),().
    命 题 1.6.9 两 个 偶 置 换 之 积 是 偶 置 换 , 两 个 奇 置 换 之 积 是 偶 置 换 , {\color{blue}命题1.6.9\quad}{\color{green}两个偶置换之积是偶置换,两个奇置换之积是偶置换,} 1.6.9,,
    偶 置 换 与 奇 置 换 之 积 是 奇 置 换 , 奇 置 换 与 偶 置 换 之 积 是 奇 置 换 . {\color{green}偶置换与奇置换之积是奇置换,奇置换与偶置换之积是奇置换.} ,.
    偶 置 换 的 逆 置 换 是 偶 置 换 , 奇 置 换 的 逆 置 换 是 奇 置 换 . {\color{green}偶置换的逆置换是偶置换,奇置换的逆置换是奇置换.} ,.
    定 义 1.6.5 n 元 偶 置 换 的 全 体 对 置 换 的 乘 法 构 成 一 个 群 , 称 为 n 元 交 错 群 , 记 为 A n . {\color{blue}定义1.6.5\quad}n元偶置换的全体对置换的乘法构成一个群,称为n元{\color{blue}交错群},记为A_n. 1.6.5n,n,An.
    用 正 规 子 群 的 定 义 及 命 题 1.6.9 容 易 证 明 . 用正规子群的定义及命题1.6.9容易证明. 1.6.9.
    命 题 1.6.10 A n ⊲ S n , ∣ A n ∣ = n ! 2 . {\color{blue}命题1.6.10\quad}{\color{green}A_n \lhd S_n, |A_n| = \frac{n!}{2}.} 1.6.10AnSn,An=2n!.
    命 题 1.6.11 设 置 换 σ 表 为 不 相 交 轮 换 的 乘 积 是 {\color{blue}命题1.6.11\quad}{\color{green}设置换\sigma表为不相交轮换的乘积是} 1.6.11σ
    σ = σ 1 σ 2 ⋯ σ s , {\color{green}\qquad \sigma = \sigma_1\sigma_2\cdots \sigma_s,} σ=σ1σ2σs,
    这 里 σ i 是 r i − 轮 换 ( i = 1 , 2 , ⋯ &ThinSpace; , s ) , 则 作 为 群 S n 中 的 元 素 , σ 的 阶 是 r 1 , r 2 , ⋯ &ThinSpace; , r s 的 {\color{green}这里\sigma_i是r_i-轮换(i=1,2,\cdots,s),则作为群S_n中的元素,\sigma的阶是r_1,r_2,\cdots,r_s的} σiri(i=1,2,,s),Sn,σr1,r2,,rs
    最 小 公 倍 数 [ r 1 , r 2 , ⋯ &ThinSpace; , r s ] . {\color{green}最小公倍数[r_1,r_2,\cdots,r_s].} [r1,r2,,rs].
    例 5 例 3 中 置 换 的 阶 为 [ 3 , 2 ] = 6. {\color{blue}例5\quad}例3中置换的阶为[3,2]=6. 53[3,2]=6.
    定 义 1.6.6 群 G 到 自 身 的 同 构 映 射 , 称 为 G 的 一 个 自 同 构 {\color{blue}定义1.6.6\quad}{\color{green}群G到自身的同构映射,称为G的一个}{\color{blue}自同构} 1.6.6G,G
    , 群 G 的 全 体 自 同 构 的 集 合 记 为 Aut G . {\color{green},群G的全体自同构的集合记为{\textsf{Aut}}G.} ,GAutG.
    命 题 1.6.12 设 G 是 群 , 则 Aut G &lt; S G , 称 Aut G 为 群 G 的 自 同 构 群 . {\color{blue}命题1.6.12\quad}{\color{green}设G是群,则{\textsf{Aut}}G &lt; S_G,称{\textsf{Aut}G}为}{\color{blue}群G的自同构群}. 1.6.12G,AutG<SG,AutGG.
    证 : ∀ θ 1 , θ 2 ∈ Aut G , 据 同 构 映 射 的 性 质 知 θ 2 − 1 ∈ Aut G , θ 1 θ 2 − 1 ∈ Aut G , 再 据 定 理 1.3.1 知 , Aut G &lt; S G . {\color{blue}证:}\forall \theta_1,\theta_2 \in {\textsf{Aut}G},据同构映射的性质知\theta_2^{-1} \in {\textsf{Aut}G},\theta_1\theta_2^{-1} \in {\textsf{Aut}G},再据定理1.3.1知,{\textsf{Aut}G} &lt; S_G. :θ1,θ2AutG,θ21AutG,θ1θ21AutG,1.3.1,AutG<SG.
    命 题 1.6.3 设 G 为 群 , a ∈ G , 定 义 映 射 σ a : G → G 为 {\color{blue}命题1.6.3\quad}{\color{green}设G为群,a \in G,定义映射\sigma_a:G \to G为} 1.6.3G,aG,σa:GG
    σ a ( g ) = a g a − 1 , ∀ g ∈ G . {\color{green}\qquad \sigma_a(g) = aga^{-1},\forall g \in G.} σa(g)=aga1,gG.
    则 σ a ∈ Aut G , 称 为 由 a 决 定 的 内 自 同 构 . 记 {\color{green}则\sigma_a \in {\textsf{Aut}G}, 称为由a决定的}{\color{blue}内自同构}{\color{green}.记} σaAutG,a.
    Inn G = { σ a ∣ a ∈ G } , {\color{green}\qquad \textsf{Inn} G = \lbrace \sigma_a | a \in G \rbrace,} InnG={σaaG},
    则 Inn G ⊲ Aut G , 称 Inn G 为 G 的 内 自 同 构 群 . {\color{green}则{\textsf{Inn}G} \lhd {\textsf{Aut}G},称{\textsf{Inn}G}为G的}{\color{blue}内自同构群.} InnGAutG,InnGG.
    证 : 由 σ a − 1 ⋅ σ a ( g ) = a − 1 ( a g a − 1 ) a = g 知 σ a 的 逆 映 射 是 σ a − 1 , 从 而 σ a 是 双 射 , 又 {\color{blue}证:}由\sigma_{a^{-1}} \cdot \sigma_a(g) = a^{-1}(aga^{-1})a = g知\sigma_a的逆映射是\sigma_{a^{-1}},从而\sigma_a是双射,又 :σa1σa(g)=a1(aga1)a=gσaσa1,σa,
    σ a ( g 1 g 2 ) = a g 1 g 2 a − 1 = a 1 g 1 a − 1 a g 2 a − 1 = σ a ( g 1 ) σ a ( g 2 ) , ∀ g 1 , g 2 ∈ G , \sigma_a(g_1g_2)=ag_1g_2a^{-1}=a_1g_1a^{-1}ag_2a^{-1}=\sigma_a(g_1)\sigma_a(g_2), \forall g_1,g_2 \in G, σa(g1g2)=ag1g2a1=a1g1a1ag2a1=σa(g1)σa(g2),g1,g2G,
    所 以 σ a ∈ Aut G . 所以\sigma_a \in {\textsf{Aut}G}. σaAutG.
    ∀ σ a 1 , σ a 2 ∈ Inn G , 考 察 σ a 1 ⋅ ( σ a 2 ) − 1 在 G 中 任 一 元 g 上 的 作 用 , 有 \forall \sigma_{a_1},\sigma_{a_2} \in {\textsf{Inn}G},考察\sigma_{a_1} \cdot (\sigma_{a_2})^{-1}在G中任一元g上的作用,有 σa1,σa2InnG,σa1(σa2)1Gg,
    σ a 1 ⋅ ( σ a 2 ) − 1 ( g ) = σ a 1 σ a 2 − 1 ( g ) = σ a 1 ( a 2 − 1 g a 2 ) = a 1 ( a 2 − 1 g a 2 ) a 1 − 1 \sigma_{a_1} \cdot (\sigma_{a_2})^{-1}(g) = \sigma_{a_1}\sigma_{a_2^{-1}}(g)=\sigma_{a_1}(a_2^{-1}ga_2)=a_1(a_2^{-1}ga_2)a_1^{-1} σa1(σa2)1(g)=σa1σa21(g)=σa1(a21ga2)=a1(a21ga2)a11
    = a 1 a 2 − 1 g ( a 1 a 2 − 1 ) − 1 = σ a 1 a 2 − 1 ( g ) , \qquad =a_1a_2^{-1}g(a_1a_2^{-1})^{-1}=\sigma_{a_1a_2^{-1}}(g), =a1a21g(a1a21)1=σa1a21(g),
    所 以 σ a 1 ⋅ ( σ a 2 ) − 1 = σ a 1 a 2 − 1 ∈ Inn G , 因 此 据 定 理 1.3.1 , Inn G &lt; Aut G . 所以\sigma_{a_1}\cdot (\sigma_{a_2})^{-1}=\sigma_{a_1a_2^{-1}} \in {\textsf{Inn}G},因此据定理1.3.1,{\textsf{Inn}G}&lt;{\textsf{Aut}G}. σa1(σa2)1=σa1a21InnG,1.3.1,InnG<AutG.
    又 ∀ θ ∈ Aut G , ∀ σ a ∈ Inn G , 我 们 去 证 θ σ a θ − 1 ∈ Inn G , 再 据 正 规 子 群 的 定 义 便 证 出 Inn G ⊲ Aut G . 又\forall \theta \in {\textsf{Aut}G},\forall \sigma_a \in {\textsf{Inn}G},我们去证\theta \sigma_a \theta^{-1} \in {\textsf{Inn}G},再据正规子群的定义便证出{\textsf{Inn}G} \lhd {\textsf{Aut}G}. θAutG,σaInnG,θσaθ1InnG,便InnGAutG.
    ∀ g ∈ G , θ σ a θ − 1 ( g ) = θ σ a ( θ − 1 ( g ) ) = θ ( a θ − 1 ( g ) a − 1 ) = θ ( a ) θ ( θ − 1 ( g ) ) θ ( a − 1 ) = θ ( a ) g ( θ ( a ) − 1 = σ θ ( a ) ( g ) . \forall g \in G, \theta \sigma_a \theta^{-1}(g) = \theta \sigma_a(\theta^{-1}(g)) = \theta(a\theta^{-1}(g)a^{-1})=\theta(a)\theta(\theta^{-1}(g))\theta(a^{-1})=\theta(a)g(\theta(a)^{-1}=\sigma_{\theta(a)}(g). gG,θσaθ1(g)=θσa(θ1(g))=θ(aθ1(g)a1)=θ(a)θ(θ1(g))θ(a1)=θ(a)g(θ(a)1=σθ(a)(g).
    所 以 θ σ a θ − 1 = σ θ ( a ) ∈ Inn G . 所以\theta_{\sigma_a}\theta^{-1}=\sigma_{\theta(a)} \in {\textsf{Inn}G}. θσaθ1=σθ(a)InnG.
    如 果 我 们 定 义 映 射 f : G → Inn G 为 如果我们定义映射f:G \to {\textsf{Inn}G}为 f:GInnG
    f ( a ) = σ a , ∀ a ∈ G , \qquad f(a) = \sigma_a, \forall a \in G, f(a)=σa,aG,
    则 容 易 验 证 f ( a b ) = σ a b = σ a σ b = f ( a ) f ( b ) , 从 而 f 是 满 同 态 映 射 , 且 则容易验证f(ab) = \sigma_{ab} = \sigma_a\sigma_b = f(a)f(b),从而f是满同态映射,且 f(ab)=σab=σaσb=f(a)f(b),f,
    ker ⁡ f ⊲ G , G / ker ⁡ f ≃ Inn G . \qquad \ker f \lhd G, G/\ker f \simeq {\textsf{Inn}G}. kerfG,G/kerfInnG.
    ∀ a ∈ ker ⁡ f , 因 f ( a ) = i d , 记 σ a = i d , 也 即 σ a ( g ) = g , ∀ g ∈ G , \forall a \in \ker f,因f(a) = id,记\sigma_a = id,也即\sigma_a(g) = g, \forall g \in G, akerf,f(a)=id,σa=id,σa(g)=g,gG,
    也 即 a g a − 1 = g , ∀ g ∈ G , 也 即 a g = g a , ∀ g ∈ G . 所 以 也即aga^{-1} = g,\forall g \in G,也即ag = ga,\forall g \in G.所以 aga1=g,gG,ag=ga,gG.
    ker ⁡ f = { a ∈ G ∣ a g = g a , ∀ g ∈ G } . \qquad \ker f = \lbrace a \in G | ag = ga, \forall g \in G \rbrace. kerf={aGag=ga,gG}.
    定 义 1.6.7 群 G 中 , 与 G 中 所 有 元 素 可 交 换 的 元 素 的 集 合 称 为 群 G 的 中 心 , 记 为 C ( G ) . {\color{blue}定义1.6.7\quad}群G中,与G中所有元素可交换的元素的集合称为{\color{blue}群G的中心},记为\textsf{C}(G). 1.6.7G,GG,C(G).
    以 上 讨 论 说 明 , C ( G ) = ker ⁡ f , G / C ( G ) ≃ Inn G . 以上讨论说明,\textsf{C}(G) = \ker f,G/\textsf{C}(G) \simeq {\textsf{Inn}G}. ,C(G)=kerf,G/C(G)InnG.

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  • 群论与置换群入门

    千次阅读 2019-08-18 06:56:27
    是一个二元组G=(S,f)G=(S,f)G=(S,f),其中SSS是一个集合,fff是一个二元运算,满足: 封闭性:x,y∈S⇒f(x,y)∈S,x,y\in S\Rightarrow f(x,y)\in S,x,y∈S⇒f(x,y)∈S,. 结合律:x,y,z∈S,f(x,f(y,z))=f(f(x,y...

    一.群的定义.

    :定义一个群是由一个集合 S S S与一个二元运算 ⋅ \cdot 组成的二元组 G = ( S , ⋅ ) G=(S,\cdot) G=(S,),满足:
    封闭性 x , y ∈ S ⇒ x ⋅ y ∈ S x,y\in S\Rightarrow x\cdot y\in S x,ySxyS.
    结合律 x , y , z ∈ S ⇒ ( x ⋅ y ) ⋅ z = x ⋅ ( y ⋅ z ) x,y,z\in S\Rightarrow (x\cdot y)\cdot z=x\cdot (y\cdot z) x,y,zS(xy)z=x(yz).
    单位元:在 S S S中有一个元素 e e e满足任意 x ∈ S x\in S xS使得 e ⋅ x = x ⋅ e = x e\cdot x=x\cdot e=x ex=xe=x.
    可逆性:对于任意 x ∈ S x\in S xS,存在一个元素 y ∈ S y\in S yS使得 x ⋅ y = e x\cdot y=e xy=e.此时 x x x y y y互为逆元.

    群还有另一个性质消去律:若 x , y , a ∈ S x,y,a\in S x,y,aS则有 x = y ⇔ x ⋅ a = y ⋅ a x=y\Leftrightarrow x\cdot a=y\cdot a x=yxa=ya.

    定理1:若一个代数结构 G = ( S , ⋅ ) G=(S,\cdot) G=(S,)满足封闭性、结合律与单位元,则在这个代数结构上有可逆性 ⇔ \Leftrightarrow 消去律.

    证明:

    若满足可逆性,则有 a c = b c ⇔ a c ⋅ c − 1 = b c ⋅ c − 1 ⇔ a = b ac=bc\Leftrightarrow ac\cdot c^{-1}=bc\cdot c^{-1}\Leftrightarrow a=b ac=bcacc1=bcc1a=b.

    若满足消去律,则对于任意 a ∈ S a\in S aS,我们建立新集合 S ′ = { a x ∣ x ∈ S } S'=\{ax|x\in S\} S={axxS},根据封闭性有 S ′ ⊆ S S'\subseteq S SS.

    根据集合互异性, S S S中不存在两个元素 x , y x,y x,y相同.此时假设 S ′ S' S中若存在两元素 a x , a y ax,ay ax,ay相同,则有 x , y x,y x,y相同,矛盾,所以 S ′ S' S中也不存在两个元素相同.

    此时必然有 ∣ S ∣ = ∣ S ′ ∣ |S|=|S'| S=S,即 S = S ′ S=S' S=S,那么 e ∈ S ′ e\in S' eS,即存在 a t = e at=e at=e a a a存在逆元.

    证毕.

    我们定义对于一个群 G = ( S , ⋅ ) G=(S,\cdot) G=(S,) x ∈ G x\in G xG等价于 x ∈ S x\in S xS,且 a b ab ab等价于 a ⋅ b a\cdot b ab.

    阿贝尔群:任意两个元素运算均满足交换律的群.

    群的阶:对于一个群 G = ( S , ⋅ ) G=(S,\cdot) G=(S,)的阶 ∣ G ∣ = ∣ S ∣ |G|=|S| G=S.

    子群:对于一个群 G = ( S , ⋅ ) G=(S,\cdot) G=(S,),它的子群是一个群 H = ( S ′ ⊆ S , ⋅ ) H=(S'\subseteq S,\cdot) H=(SS,).

    真子群:对于一个群 G = ( S , ⋅ ) G=(S,\cdot) G=(S,) G G G的真子群定义为除 G G G本身与 H = ( { e } , ⋅ ) H=(\{e\},\cdot) H=({e},) G G G的子群.

    生成子群:对于一个群 G = ( S , ⋅ ) G=(S,\cdot) G=(S,),把所有含有 S S S的一个子集 S ′ S' S的子群的交称为 G G G的一个生成子群,记为 < S ′ > <S'> <S>.

    生成集:对于一个群 G G G的一个生成子群 < S > <S> <S>,称 S S S < S > <S> <S>的生成集.

    也可以把生成集和生成子群的关系看做用生成集内的元素任意运算得到的群称为生成子群.


    二.陪集.

    陪集:对于一个群 G = ( S , ⋅ ) G=(S,\cdot) G=(S,),它的一个子群 H = ( S ′ , ⋅ ) H=(S',\cdot) H=(S,)的左陪集定义为 a H = { a h ∣ h ∈ S ′ } , a ∈ G aH=\{ah|h\in S'\},a\in G aH={ahhS},aG,右陪集 H a Ha Ha同理.

    显然一个子群的左陪集与右陪集有一一对应关系,所以接下来只讨论右陪集.

    定理2:对于一个群 G G G的子群 H H H,有:
    H a ∩ H b = { H a H a = H b ∅ e l s e Ha\cap Hb= \left\{\begin{matrix} Ha&Ha=Hb\\ \empty&else \end{matrix}\right. HaHb={HaHa=Hbelse

    证明:

    若存在 x ∈ H a ∩ H b x\in Ha \cap Hb xHaHb,则存在 h 1 , h 2 ∈ H h_1,h_2\in H h1,h2H使得 x = h 1 a = h 2 b x=h_1a=h_2b x=h1a=h2b,因此对于任意 h ∈ H h\in H hH,有:
    h a = h h 1 − 1 h 1 a = h h 1 − 1 h 2 b ha=hh_1^{-1}h_1a=hh_1^{-1}h_2b ha=hh11h1a=hh11h2b

    由于 h , h 1 , h 1 − 1 , h 2 ∈ H h,h_1,h_1^{-1},h_2\in H h,h1,h11,h2H,所以 h h 1 − 1 h 2 b ∈ H b hh_1^{-1}h_2b\in Hb hh11h2bHb,也就是说 H a ⊆ H b Ha\subseteq Hb HaHb.

    同理可得 H b ⊆ H a Hb\subseteq Ha HbHa,故 H a = H b Ha=Hb Ha=Hb.

    证毕.

    这个定理说明一个群可以划分为它的一个子群两两不相交的右陪集的并.

    定义 ∣ G : H ∣ |G:H| G:H表示群 G G G的子群 H H H的不同右陪集个数,我们可以得到拉格朗日定理:对于任意一个群 G G G的任意一个子群 H H H,有 ∣ G ∣ = ∣ G : H ∣ ∣ H ∣ |G|=|G:H||H| G=G:HH.

    由定理2即可证明.


    三.置换与置换的运算.

    置换:定义一个置换 A = { S = { a 1 , a 2 , . . . , a n } , f } A=\{S=\{a_1,a_2,...,a_n\},f\} A={S={a1,a2,...,an},f}为一个从 S S S映射到 S S S的双射,形式如下:
    A = ( a 1 a 2 ⋯ a n f ( a 1 ) f ( a 2 ) ⋯ f ( a n ) ) A=\left(\begin{matrix} a_1&a_2&\cdots&a_n\\ f(a_1)&f(a_2)&\cdots&f(a_n) \end{matrix}\right) A=(a1f(a1)a2f(a2)anf(an))

    称一个基于集合 S S S的置换表示这个置换是一个从 S S S S S S的双射.

    接下来对于一个置换 A = { S , f } A=\{S,f\} A={S,f},我们定义 x ∈ A x\in A xA等价于 x ∈ S x\in S xS A ( x ) A(x) A(x)等价于 f ( x ) f(x) f(x).

    置换的阶:对于一个置换 A = { S , f } A=\{S,f\} A={S,f}的阶 ∣ A ∣ = ∣ S ∣ |A|=|S| A=S.

    置换与置换的乘积:对于两个置换的乘积定义为:
    ( a 1 a 2 ⋯ a n b 1 b 2 ⋯ b n ) ( b 1 b 2 ⋯ b n c 1 c 2 ⋯ c n ) = ( a 1 a 2 ⋯ a n c 1 c 2 ⋯ c n ) \left(\begin{matrix} a_1&a_2&\cdots&a_n\\ b_1&b_2&\cdots&b_n \end{matrix}\right) \left(\begin{matrix} b_1&b_2&\cdots&b_n\\ c_1&c_2&\cdots&c_n \end{matrix}\right) =\left(\begin{matrix} a_1&a_2&\cdots&a_n\\ c_1&c_2&\cdots&c_n \end{matrix}\right) (a1b1a2b2anbn)(b1c1b2c2bncn)=(a1c1a2c2ancn)

    单位置换:单位置换 E E E是一个对于任意 x ∈ E x\in E xE满足 E ( x ) = x E(x)=x E(x)=x的置换.

    置换群:由置换和置换的乘积组成的群称为置换群.

    称一个基于集合 S S S的置换群表示这个置换群中的置换均基于集合 S S S.

    置换的相交:若两个轮换 A 1 , A 2 A_1,A_2 A1,A2满足 A 1 ∪ A 2 ≠ ∅ A_1\cup A_2\neq \empty A1A2=,则称 A 1 A1 A1 A 2 A2 A2相交.

    置换的乘积拓展定义:默认对于置换 A A A x ∉ A x\notin A x/A A ( x ) = x A(x)=x A(x)=x,那么对于两个置换 A 1 , A 2 A_1,A_2 A1,A2的乘积 A 3 = A 1 × A 2 A_3=A_1\times A_2 A3=A1×A2,有 A 3 ( x ) = A 2 ( A 1 ( x ) ) A_3(x)=A_2(A_1(x)) A3(x)=A2(A1(x)).

    显然置换的乘积满足结合律,但不满足交换律.


    四.轮换与对换.

    轮换:对于一个置换 A = { S = { a 1 , a 2 , ⋯   , a n } , f } A=\{S=\{a_1,a_2,\cdots,a_n\},f\} A={S={a1,a2,,an},f}满足 A ( a i ) = a i    m o d    n + 1 A(a_i)=a_{i\,\,mod\,\,n+1} A(ai)=aimodn+1,则称这个置换为一个轮换,可以用轮换 A = ( a 1 , a 2 , ⋯   , a n ) A=(a_1,a_2,\cdots,a_n) A=(a1,a2,,an)表示.

    定理3:容易发现对于一个置换,必然可以被唯一分解为多个不相交的轮换的乘积的形式.

    证明:
    考虑将一个置换看成一张 n n n个点 n n n条边的有向图形式,图中的每一个环必然对应一个轮换,每个环必然互不相交且对应轮换乘积为原置换.
    证毕.

    定理4:对于一个轮换乘积形式的置换 A = ( B 1 ) ( B 2 ) ⋯ ( B n ) A=(B_1)(B_2)\cdots(B_n) A=(B1)(B2)(Bn) ∣ A ∣ = l c m i = 1 n ( ∣ B i ∣ ) |A|=lcm_{i=1}^{n}(|B_i|) A=lcmi=1n(Bi).

    这个定理的一个应用题:POJ3590 The shuffle Problem.

    对换:一个 2 2 2阶轮换.

    定理5:对于任意一个置换,必然能够被拆分为一些对换的乘积形式,且对换个数的奇偶性确定.

    奇置换和偶置换:可以被拆分为奇数个对换乘积的置换称为奇置换,可以被拆分为偶数个对换乘积的置换为偶置换.

    奇置换 ⋅ \cdot 奇置换 = = =偶置换
    奇置换 ⋅ \cdot 偶置换 = = =奇置换
    偶置换 ⋅ \cdot 奇置换 = = =奇置换
    偶置换 ⋅ \cdot 偶置换 = = =偶置换


    五.等价类(轨道)与稳定化子.

    等价类(轨道):元素 k k k在置换群 G G G中所有置换的作用下得到的元素组成的集合称为 k k k的等价类(轨道),记为 E k E_k Ek.形式化的,即:
    E k = { A ( k ) ∣ A ∈ G } E_k=\{A(k)|A\in G\} Ek={A(k)AG}

    不动点:对于一个置换 A A A,置换 A A A中的不动点 k k k满足 A ( k ) = k A(k)=k A(k)=k.

    稳定化子:元素 k k k在置换群 G G G中所有 k k k作为不动点的置换组成的集合.形式化的,即:
    Z k = { A ∈ G ∣ A ( k ) = k } Z_k=\{A\in G|A(k)=k\} Zk={AGA(k)=k}

    轨道-稳定化子定理:对于一个置换群 G G G和群中的一个元素 k k k,有 ∣ E k ∣ ∣ Z k ∣ = ∣ G ∣ |E_k||Z_k|=|G| EkZk=G.

    证明:

    首先,对于一个置换群 G G G,任意一个元素 k k k的稳定化子 Z k Z_k Zk必然是 G G G的子群.

    对于任意置换 A ∈ Z k A\in Z_k AZk,必然有 A ( k ) = k A(k)=k A(k)=k,所以对于任意 B ∈ G B\in G BG,必然有任意置换 C ∈ Z k B C\in Z_kB CZkB满足 C ( k ) = B ( k ) C(k)=B(k) C(k)=B(k).

    那么根据轨道的定义, E k = { A ( k ) ∣ A ∈ G } E_k=\{A(k)|A\in G\} Ek={A(k)AG},所以 Z k Z_k Zk的不同陪集数量为 ∣ E k ∣ |E_k| Ek.

    H = Z k H=Z_k H=Zk代入拉格朗日定理得到 ∣ E k ∣ ∣ Z k ∣ = ∣ G ∣ |E_k||Z_k|=|G| EkZk=G.

    证毕.


    六.等价类计数.

    Burnside引理:对于一个基于集合 S S S的置换群 G G G,设 c ( A ) c(A) c(A)表示置换 A A A中不动点的个数,则对于 S S S的不同等价类数量 L L L有:
    L = 1 ∣ G ∣ ∑ A ∈ G c ( A ) L=\frac{1}{|G|}\sum_{A\in G}c(A)\\ L=G1AGc(A)

    这里 S S S的不同等价类意为 S S S中所有元素的不同等价类数之和.

    证明:

    每个等价类对答案的贡献为 1 1 1,那么每一个点对答案的贡献为 1 ∣ E k ∣ \frac{1}{|E_k|} Ek1.

    利用轨道-稳定化子定理推公式:
    L = ∑ k ∈ S 1 ∣ E k ∣ = ∑ k ∈ S ∣ Z k ∣ ∣ G ∣ = 1 ∣ G ∣ ∑ k ∈ S ∣ Z k ∣ = 1 ∣ G ∣ ∑ A ∈ G c ( A ) L=\sum_{k\in S}\frac{1}{|E_k|}=\sum_{k\in S}\frac{|Z_k|}{|G|}=\frac{1}{|G|}\sum_{k\in S}|Z_k|=\frac{1}{|G|}\sum_{A\in G}c(A) L=kSEk1=kSGZk=G1kSZk=G1AGc(A)

    证毕.

    Polya定理:对于一个基于集合 S S S的置换群 G = ( A , ⋅ ) G=(A,\cdot) G=(A,),用 m m m种颜色给 S S S的每个元素染色,设 C ( A ) C(A) C(A)表示 A A A可以拆成的不相交轮换数,则本质不同的染色方案数 L L L为:
    L = 1 ∣ G ∣ ∑ A ∈ G m C ( A ) L=\frac{1}{|G|}\sum_{A\in G}m^{C(A)} L=G1AGmC(A)

    定义两个染色方案 S 1 = { ( x i , c i ) ∣ x ∈ S } , S 2 = { ( x i , c i ) ∣ x ∈ S } S_1=\{(x_i,c_i)|x\in S\},S_2=\{(x_i,c_i)|x\in S\} S1={(xi,ci)xS},S2={(xi,ci)xS}本质相同,当且仅当存在一个置换 A ∈ G A\in G AG使得所有 ( x i , c i ) ∈ S 1 (x_i,c_i)\in S_1 (xi,ci)S1时有 ( A ( x i ) , c i ) ∈ S 2 (A(x_i),c_i)\in S_2 (A(xi),ci)S2.

    证明:

    构造一个集合 S ′ S' S表示所有染色方案,其中一种染色方案被表示为 { ( x i , c i ) } \{(x_i,c_i)\} {(xi,ci)}.

    构造基于集合 S ′ S' S的置换群 G ′ = ( A ′ , ⋅ ) G'=(A',\cdot) G=(A,),其中每个 A i ′ A'_i Ai对应了置换群 G G G中的 A i A_i Ai,即 A i ′ ( { ( x j , c j ) } ) = { A i ( x j ) , c j } A'_i(\{(x_j,c_j)\})=\{A_i(x_j),c_j\} Ai({(xj,cj)})={Ai(xj),cj}.

    现在 L L L显然等于 G ′ G' G中不同等价类的个数.

    这个时候考虑使用Burnside引理,问题变为计算经过某个置换后不动的方案数.

    显然对于一个方案,想让它经过某个置换后不动,需要把置换拆开后的每一个轮换对应的位置染的颜色分别相等,此时对于置换 A ′ A' A方案数显然为 m C ( A ′ ) m^{C(A')} mC(A).

    代入Burnside引理中即可得到:
    L = 1 ∣ G ′ ∣ ∑ A ′ ∈ G ′ m C ( A ′ ) = 1 ∣ G ∣ ∑ A ∈ G m C ( A ) L=\frac{1}{|G'|}\sum_{A'\in G'}m^{C(A')}=\frac{1}{|G|}\sum_{A\in G}m^{C(A)} L=G1AGmC(A)=G1AGmC(A)

    证毕.


    七.一些置换群的其它技巧.

    定理6:对于一个置换群 G G G,若存在一个轮换 A A A满足这个置换群的形式为 G = { e = A 0 , A 1 , A 2 , ⋯   , A n − 1 } G=\{e=A^{0},A^{1},A^2,\cdots,A^{n-1}\} G={e=A0,A1,A2,,An1},则 A i A^{i} Ai可以被拆解的轮换数为 gcd ⁡ ( n , i ) \gcd(n,i) gcd(n,i).

    证明:

    显然此时 ∣ A ∣ = n |A|=n A=n,且每一个轮换的大小都是相同的.

    此时我们就可以设 A i A^{i} Ai的每个轮换大小都为 x x x,那么 x x x就是以下方程的最小正整数解:
    i x ≡ 0    ( m o d    n ) ⇔ i x − n y = 0 ix\equiv 0\,\,(mod\,\,n)\Leftrightarrow ix-ny=0 ix0(modn)ixny=0

    显然最小正整数解 x x x满足 i x = n y = l c m ( n , i ) ix=ny=\mathrm{lcm}(n,i) ix=ny=lcm(n,i),那么有:
    i x = l c m ( n , i ) ⇒ x = l c m ( n , i ) i ix=\mathrm{lcm}(n,i)\Rightarrow x=\frac{\mathrm{lcm(n,i)}}{i} ix=lcm(n,i)x=ilcm(n,i)

    那么轮换数即为:
    n x = n l c m ( n , i ) i = n i l c m ( n , i ) = gcd ⁡ ( n , i ) \frac{n}{x}=\frac{n}{\frac{\mathrm{lcm}(n,i)}{i}}=\frac{ni}{\mathrm{lcm}(n,i)}=\gcd(n,i) xn=ilcm(n,i)n=lcm(n,i)ni=gcd(n,i)

    证毕.

    这个定理的一个应用题:洛谷4980【模板】Polya定理.

    定理7:一个奇数长度的轮换 A A A平方后得到的还是一个轮换,一个偶数长度的轮换 A A A平方后得到两个分开的轮换.

    这个定理可以用于置换开方的存在性判定.

    置换开方存在性判定的一个应用题及定理7证明:POJ3128 Leonardo’s Notebook.

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  • 置换群简介

    千次阅读 2020-07-16 16:02:54
    关于置换群题目: 首先介绍一下什么是置换群,不说一些繁琐的概念。 首先给你一个序列,假如: s = {1 2 3 4 5 6} 然后给你一个变换规则 t = {6 3 4 2 1 5} 就是每一次按照t规则变换下去 比如这样 第一次:6 3 4 2 1...

    2020暑假集训博客
    7.16
    关于置换群题目:
    首先介绍一下什么是置换群,不说一些繁琐的概念。
    首先给你一个序列,假如:
    s = {1 2 3 4 5 6}
    然后给你一个变换规则
    t = {6 3 4 2 1 5}
    就是每一次按照t规则变换下去
    比如这样
    第一次:6 3 4 2 1 5
    第二次:5 4 2 3 6 1
    第三次:1 2 3 4 5 6
    发现经过几次会变换回去,在变换下去就是循环的了,这就是一个置换群。
    我们可以这样表示一个置换群,比如按照上面变化规则
    1->6->5->1 那么这些是一个轮换
    2->3->4->2 这些是一个轮换
    所以可以写为
    t = { {1 6 5},{ 2 3 4 } } (引用自 https://blog.csdn.net/y990041769/article/details/45172095)
    如果给你一个置换后的数组,可以直接按照现在数组情况开始寻找轮换,那上面第二次举例,第二个数字4开始找,4本身算一个,然后寻找下标为4数组里面的内容,里面是3,继续找下标3的数组内容,里面是2,继续找,找到了4,这3个数字就构成了一个轮换。
    然后现在给出的数组可能是初始数组置换k次的结果,若k是质数的话(保证有解),设现在是P,原来置换数组是B,初始数组是A,AB的k次方是P,存在一个数字x,设某个轮换长度是r,xk%r=0,(x!=0) 就是说再次对B置换x次后这个轮换回到原始状态,就是A的情况,就可以复原数组A,如果x*k%r=1,那么再次置换x次就可以得到与第一次置换相同的结果,那么这个结果就是置换数组自己。

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  • 置换群题集

    2019-04-30 10:30:23
    题意:对字符串按照置换操作k次,求最后的结果。 题解 求出每一个位置循环的长度,最后操作时,k对长度取模为k'。只需要变换k'次即可。 代码 #include <iostream> #include <cstdio> #include <...
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空空如也

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