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    本文解决的用matlab实现数组的概率分布函数拟合。
    一维数组不知道他的分布情况下。对数的频率分布直方图尽可能拟合。
    数组我们用matlab自带的函数来生成。频数统计区间默认划

    首先生成一个服从(0,0.5^2)的高斯分布随机产生10000个数

    x=normrnd(0,1,1,10000);%产生一个[10000*1]的矩阵按照高斯(01^2)分布 
    plot(x,'*')%R = normrnd(Mu, Sigma, m, n)产生服从N(Mu,Sigma^2)分布的m行n列的随机数组R
    

    数组x为一个【10000*1】一维向量。下图将这10000个点画出。

    在这里插入图片描述

    下一步利用频数分布直方图,画出频率直方图。尽可能地将区间划小可以表示成统计形式而不是类似条形图。这里d是统计的区间

    
    x=normrnd(0,1,1,10000);%产生一个[100*1]的矩阵按照高斯(00.5^2)分布 
    %% 做出概率分布图
    d=100;%划分100分布区间用于统计频数小于原始数据就行。
    b=min(x):(max(x)-min(x))/(d-1):max(x);
    pn= histc(x,b);%频率分布区间直方图,x为输入数组,d为统计区间的个数
    p=pn./((max(x)-min(x))/(d-1)*length(x));%频数/(组距*总数)=频率
    
    plot(b,pn)
    plot(b,p)
    
    

    在这里插入图片描述
    上图是频数图。下图是频率图;对坐标的处理是影响结果的关键
    频率分布图
    **这里有个问题,就是频率=频数/组距/总数。组距是人为设定的所以概率必然与真实的概率有一些差别。我们只能在这里期望这是选择了一个合适的统计频数的区间了!!!**所以这里只能期望是大数据量的拟合数组了。
    之后使用多项式拟合,多项式的系数可以修改。生成w就是系数矩阵。
    保存w,使用y=polyval(w,x).就是y关于x的拟合的概率密度函数。

    
    W=polyfit(b,p,10);%多项式拟合的项数为10+1(bias)次,这里可以调整项数
    xi=min(x):(max(x)-min(x))/(d-1):max(x);
    yi=polyval(W,xi);
    figure
    plot(xi,yi,b,p,'r*');
    figure
    plot(b,p,'r*');
    figure
    plot(xi,yi)
    

    在这里插入图片描述

    最后我求解一下x=0时候的概率值。

    y=polyval(W,0)
    

    在这里插入图片描述

    我试着带入高斯单变量分布的数学公式。正太分布的数学公式:
    N~(0,1)
    在这里插入图片描述
    x=0;u=0;o=1;pi=3.14;
    得到f(0)=0.399.

    验证后:这条拟合概率分布函数近似实际还是可以使用的。

    整体函数如下:

    clear
    %% 创建数据
    x=normrnd(0,1,1,10000);%产生一个[10000*1]的矩阵按照正太(01)分布 
    plot(x,'*')
    
    %% 画出数据集的频率分布图
    d=100;%划分100分布区间用于统计频数小于原始数据就行。
    X=min(x):(max(x)-min(x))/(d-1):max(x);%X划分区间的数组
    pn= histc(x,X);%频率分布区间直方图,x为输入数组,d为统计区间的个数
    P=pn./((max(x)-min(x))/(d-1)*length(x));%频数/(组距*总数)=频率
    plot(X,P)
    
    %% 拟合多项式函数
    W=polyfit(X,P,10);%多项式拟合的项数为10+1(bias)次,这里可以调整项数
    xi=min(x):(max(x)-min(x))/(d-1):max(x);
    yi=polyval(W,xi);
    figure
    plot(xi,yi,X,P,'r*');
    xlabel('一维数组区间')
    ylabel('拟合的概率分布函数')
    
    %% 函数验证
    P_nihe=polyval(W,0)
    P_shiji=1/sqrt(6.282)
    

    如果有谁能够解决直方图划分区间,也就是自动划分合适区间大小(或者是自动计算出直方图统计分成几段)而不是(matlab中默认的10个区间)。统计频数问题的请留言。

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  • matlab 二维 正态 概率密度维概率分布
  • 在MATLAB中使用 Y = normpdf(X,MU,SIGMA)函数求一维正态分布的概率密度,其中X为随机矢量,MU为期望,SIGMA为标准差 matlab代码如下: x=-8:0.1:8; y1=normpdf(x,0,1);%期望为0,标准差为1的正态分布 y2=normpdf...

    在MATLAB中使用 Y = normpdf(X,MU,SIGMA)函数求一维正态分布的概率密度,其中X为随机矢量,MU为期望,SIGMA为标准差

    matlab代码如下:

    x=-8:0.1:8;
    y1=normpdf(x,0,1);%期望为0,标准差为1的正态分布
    y2=normpdf(x,1,2);%期望为1,标准差为2的正态分布
    plot(x,y1,'--',x,y2,'-');
    
    
    绘图如下:



    也可以用Y = MVNPDF(X,MU,SIGMA) 函数求一维正态分布的概率密度,其中X为随机矢量,MU为期望,SIGMA为方差

    matlab代码如下:
    x=-8:0.1:8;
    y3=(mvnpdf(x',0,1))';
    y4=(mvnpdf(x',1,4))';
    plot(x,y3,'r--',x,y4,'-');

    绘图如下:



    从绘图可知,两种方法绘图是一样的。

    Y = MVNPDF(X,MU,SIGMA) 函数求二维正态分布的概率密度,其中X为随机矢量,MU为期望矢量,SIGMA为协方差矩阵

    matlab代码如下:

    mu = [1 -1]; Sigma = [.9 .4; .4 .3];
    [X1,X2] = meshgrid(linspace(-1,3,25)', linspace(-3,1,25)');
    X = [X1(:) X2(:)];
    p = mvnpdf(X, mu, Sigma);
    surf(X1,X2,reshape(p,25,25));
    title('联合概率密度函数曲线');

    绘图如下:



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  • 高斯概率密度函数

    千次阅读 2021-09-18 11:52:56
    单变量正态分布概率密度函数定义为: ρ(x)=12πσe−12(x−μσ)2(1) \rho(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma}} e^{-\frac{1}{2} (\frac{x- \mu}{\sigma})^2} \tag 1 ρ(x)=2πσ​1​e−21​(σx−μ​)2(1) 式中μ\...

    高斯概率密度函数

    1. 单变量正态分布

    单变量正态分布概率密度函数定义为:
    ρ ( x ) = 1 2 π σ e − 1 2 ( x − μ σ ) 2 (1) \rho(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma}} e^{-\frac{1}{2} (\frac{x- \mu}{\sigma})^2} \tag 1 ρ(x)=2πσ 1e21(σxμ)2(1)
    式中 μ \mu μ为随机变量 x x x的期望, σ 2 \sigma^2 σ2 x x x的方差, σ \sigma σ称为标准差。
    μ = E ( x ) = ∫ − ∞ ∞ x ρ ( x ) d x (2) \mu=E(x)=\int_{-\infty}^{\infty} x\rho(x) dx \tag 2 μ=E(x)=xρ(x)dx(2)
    σ 2 = ∫ ∞ ∞ ( x − μ ) 2 ρ ( x ) d x (3) \sigma^2=\int_{\infty}^{\infty} (x-\mu)^2 \rho(x) dx \tag 3 σ2=(xμ)2ρ(x)dx(3)
    matlab绘制正态分布曲线:

    % 绘制单变量正态分布概率密度曲线
    x1=-5:0.01:5; # 注意取值的对称性
    subplot(2,1,1)
    y1=normpdf(x1,0,1);
    plot(x1,y1,'r');
    title('\mu=0,\sigma^2=1')
    xlabel('x')
    ylabel('\rho(x)')
    subplot(2,1,2)
    x2=-5:0.01:7; # 注意取值的对称性
    y2=normpdf(x2,1,sqrt(0.2));
    plot(x2,y2,'r');
    title('\mu=1,\sigma^2=0.2')
    xlabel('x')
    ylabel('\rho(x)')
    

    图像

    由图中可知,方差越大曲线越宽,曲线始终以 μ \mu μ为中心对称

    正态分布的样本主要都集中在均值附近,其分散程度可以用标准差来表征, σ \sigma σ越大分散程度也越大。从正态分布的总体中抽取样本,约有95%的样本都落在区间 ( μ − 2 σ , μ + 2 σ ) (\mu-2\sigma,\mu+2\sigma) (μ2σ,μ+2σ)(或写作 ∣ x − μ ∣ < 2 σ |x-\mu|<2\sigma xμ<2σ)中。

    2. 多元正态分布

    (1)多元正态分布的概率密度函数的定义为:
    ρ ( x ) = 1 ( 2 π ) d / 2 ∣ Σ ∣ 1 2 e − 1 2 ( x − μ ) T Σ − 1 ( x − μ ) (4) \rho(x)=\frac{1}{(2\pi)^{d/2} |\Sigma|^{\frac{1}{2}}} e^{-\frac{1}{2} (x-\mu)^T \Sigma^{-1} (x-\mu)} \tag 4 ρ(x)=(2π)d/2Σ211e21(xμ)TΣ1(xμ)(4)
    式中: x = [ x 1 , x 2 , . . . , x d ] T x=[x_1,x_2,...,x_d]^T x=[x1,x2,...,xd]T d d d维列向量; μ = [ μ 1 , μ 2 , . . . , μ d ] T \mu=[\mu_1,\mu_2,...,\mu_d]^T μ=[μ1,μ2,...,μd]T d d d维均值向量; Σ \Sigma Σ d × d d \times d d×d维协方差矩阵, Σ − 1 \Sigma^{-1} Σ1 Σ \Sigma Σ的逆矩阵, ∣ Σ ∣ |\Sigma| Σ Σ \Sigma Σ的行列式。
    定义 Σ \Sigma Σ为:
    Σ = E [ ( x − μ ) ( x − μ ) T ] (5) \Sigma=E[(x-\mu)(x-\mu)^T] \tag 5 Σ=E[(xμ)(xμ)T](5)
    显然, d = 1 d=1 d=1时,多变量高斯和单变量高斯一致。有时用符号 N ( μ , Σ ) N(\mu,\Sigma) N(μ,Σ)表示均值为 μ \mu μ、协方差为 Σ \Sigma Σ的高斯概率密度函数。
    为更好地理解什么是多变量高斯,我们考虑在二维空间的一些情况,二维空间是可视的。在这种情况下,有:
    Σ = [ σ 1 2 σ 12 σ 12 σ 2 2 ] (6) \Sigma = \left[ \begin{array}{cc} \sigma_1^2 & \sigma_{12} \\ \sigma_{12} & \sigma_2^2 \end{array} \right ] \tag 6 Σ=[σ12σ12σ12σ22](6)
    其中 ( x − μ ) (x-\mu) (xμ) 2 × 1 2 \times 1 2×1的列向量, ( x − μ ) T (x-\mu)^T (xμ)T 1 × 2 1 \times 2 1×2的行向量。对于每个 μ i \mu_i μi E [ x i ] = μ i , i = 1 , 2 E[x_i]=\mu_i,i=1,2 E[xi]=μi,i=1,2,通过定义 σ 12 = E [ ( x 1 − μ 1 ) ( x 2 − μ 2 ) ] \sigma_{12}=E[(x_1-\mu_1)(x_2-\mu_2)] σ12=E[(x1μ1)(x2μ2)],得到随机变量 x 1 x_1 x1 x 2 x_2 x2的协方差,这个可以度量它们的相互统计相关性。在统计意义下,如果变量是独立的,其协方差为0。显然, Σ \Sigma Σ对角元素是随机向量中各个元素的方差。

    3. 二维高斯概率密度函数的示例

    代码

    % 绘制双变量正态分布概率密度曲线
    x = 1 : 0.3 : 7 ;  
    y = 1 : 0.3 : 7 ;      
    [X,Y] = meshgrid(x,y);
    U1 = 4.0;
    DX = 1;     % X的方差
    dx = sqrt(DX);
    U2 = 3.8;
    DY = 1;     % Y的方差
    dy = sqrt(DY);
    COV = 0;     % X Y的协方差
    r = COV / (dx * dy);
    part1 = 1 / ( 2 * pi * dx * dy * sqrt( 1 - r^ 2 ));
    p1 = - 1 / ( 2 * ( 1 - r^ 2 ));
    px = (X - U1).^ 2. / DX;
    py = (Y - U2).^ 2. / DY;
    pxy = 2 * r.* (X - U1).* (Y - U2)./ (dx * dy);
    Z = part1 * exp(p1 * (px - pxy + py));
    figure(1)
    mesh(X,Y,Z)
    xlabel('x1');
    ylabel('x2');
    zlabel('\rho(x)');
    title('二维概率密度曲线');
    figure(2);
    mesh(X,Y,Z);
    xlabel('x1');
    ylabel('x2');
    zlabel('\rho(x)');
    title('等值曲线');
    view(0,90);
    

    需要自行更改值的变量为Dx,Dy,COV

    3.1 σ 1 2 = σ 2 2 \sigma_1^2=\sigma_2^2 σ12=σ22

    二维概率密度函数曲线

    等值曲线

    此时等值曲线呈现各方向同性的球对称状。

    3.2 σ 1 2 > > σ 2 2 \sigma_1^2>>\sigma_2^2 σ12>>σ22

    二维概率密度函数曲线

    等值曲线

    此时等值曲线呈现向 x 1 x_1 x1方向延申状。

    3.3 σ 2 2 > > σ 1 2 \sigma_2^2>>\sigma_1^2 σ22>>σ12

    二维概率密度函数曲线

    等值曲线

    此时等值曲线呈现向 x 2 x_2 x2方向延申状。

    3.4 σ 12 ≠ 0 \sigma_{12} \not=0 σ12=0

    二维概率密度函数曲线

    等值曲线

    由于改变 σ 1 2 \sigma_1^2 σ12 σ 2 2 \sigma_2^2 σ22 σ 12 \sigma_{12} σ12的值就可以得到不同的形状和方向。
    等值曲线是不同方向、与短轴长度成不同比例的椭圆。考虑对角线协方差矩阵的随机向量的均值为0,即 μ 1 = 0 , μ 2 = 0 \mu_1=0,\mu_2=0 μ1=0,μ2=0,即有如下方程:(计算等值曲线相当于计算指数为常数 C C C的曲线)
    x 1 2 σ 1 2 + x 2 2 σ 2 2 = C (7) \frac{x_1^2}{\sigma_1^2}+\frac{x_2^2}{\sigma_2^2} =C \tag 7 σ12x12+σ22x22=C(7)

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  • 维概率密度求解边缘密度

    万次阅读 多人点赞 2016-11-12 19:23:29
    维概率密度求解边缘密度@(概率论)已知f(x,y)f(x,y),求解fX(x),fY(y)f_X(x),f_Y(y)时,用的是下面的公式:fX(x)=∫+∞−∞f(x,y)dyfY(y)=∫+∞−∞f(x,y)dx f_X(x) = \int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dy \\ f_Y(y) ...

    二维概率密度求解边缘密度

    @(概率论)

    已知 f(x,y) ,求解 fX(x),fY(y) 时,用的是下面的公式:

    fX(x)=+f(x,y)dyfY(y)=+f(x,y)dx

    从形式上很容易理解。但是计算时,要非常注意的是积分范围的确定问题。

    其实在下面这篇文章中:
    http://blog.csdn.net/u011240016/article/details/53125072

    已经谈到了这个要点。

    总结来说就是:求 fX(x) 时,我们对y进行积分,诚然,y是积分变元,但是x怎么取值呢?是的,我们把x当做常量处理。但是这个常量的范围不是用x的最大最小值作为边界,而是x本身是一个边界,因此,y的取值范围,或者说积分上下限是与x相关的!

    这个概念很小,但是极其重要,会左右计算问题的结果。

    举个例子:

    f(x,y)=15x2y;0<y<1,0<x<y

    fX(x) .

    分析:
    直接代入公式:

    fX(x)=+f(x,y)dy=?

    这里写图片描述

    到这里需要停顿一下,思考这个一元积分真正受到的限制是什么。之前说到用二重积分的观点思考这个问题。现在,我们抽出来看,虽然是对y积分,但是x本身是个变动的范围,因此,二者还在纠缠,是一种二维关系,因此需要锁定一个去求另外一个。

    如图,我们锁定x,画一个红线,表示当X = x时,y可以取得的上下限为:[x,1]

    从而:

    fX(x)=+f(x,y)dy=1xf(x,y)dy=5x323x52

    再求边缘概率分布时,就是简单的一元积分了。

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  • Matlab中绘制概率密度

    万次阅读 2016-11-07 22:20:37
    程序代码: >> clear all >> x=[-10:0.1:10]; >> f1=normpdf(x,0,1); >> f2=normpdf(x,0,2); >> f3=normpdf(x,1,2); >> plot(x,f1,'b*',x,f2,'ro',x,f3,'g+') ...>> legend('X~N(0,1)','X~N(0,4)','X~N(1,4)')
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一维概率密度