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  • 为什么使用位向量 假设某大学有20000名学生,今年6月份安排对自愿接种新冠疫苗的学生接种疫苗,对所有学生有无接种情况进行分类并排序,要求使用效率最高,在C++中可使用位集合(向量)实现: 1.20000个学生表示为N...

    使用位向量的场景

    假设某大学有20000名学生,今年6月份安排对自愿接种新冠疫苗的学生接种疫苗,对所有学生有无接种情况进行分类并排序,要求使用效率最高,在C++中可使用位集合(向量)实现:

    1.20000个学生表示为N,每个学生编号号唯一,具有两种状态0或1,分别表示有无接种疫苗

    2.对于一个unsigned short数据类型,具有16位,每一位可表示0或1,那么可用N/16+1=1251unsigned short可表示所有可能取值0或1,此时可映射为二进位数组A[1251]

    3.接下来就是对A[k](其中k属于[0,1250])进行位运算,如对第1680号学生有无接种,只需设置A[1680/16]中第0位(有16位,位编号0-15)置为0或1即可

    位向量使用规则

    1.N个元素只具有2种不同的状态0或1,表示是否存在于二进位数组A[k]

    2.元素个数表示为N,确保N个元素中每个元素大小不超过N

    3.每个元素具有唯一的编号,且元素的值必须为整数

    实现过程

    /*
    计算按位取反的一般方法:
    1.将待计算的数用2进制表示,位数最少为可以表示出当前数的绝对值的二进制位数加1(多1位符号位)。
    也就是将9表示为01001,其中最左面的0是符号位,0为正,1为负。
    2.将每个二进制位取反,及如果是1,结果为0,反之结果为1。取反后结果为10110
    3.将结果看做是有符号数,转为十进制即可。最左面的一位是符号位,1代表是负的。在计算机中负数是补码表示的,有符号数10110转为10进制即-10
    计算按位取反的简便算法
    用-1减去待取反的数即为按位取反的结果:-1-9=-10
    使用位向量排序输入数据作如下假定:
    (1)都是非负整数,(2)每个整数最多出现一次 (3)最大整数小于n
    
    */
    #include <iostream>
    using namespace std;
    class BitSet {
    private:
      //集合大小
      int setSize;
      //位数组大小
      int vectorSize;
      //位向量
      unsigned short *bitVector;
    
    public:
      // sz表示集合大小,添加的元素限制范围:[0,sz-1]
      BitSet(int sz);
      //使用数组构造
      BitSet(int arr[], int arrSize, int defaultSetSize);
      //设置元素x的状态为v,元素x范围:[0,vectorSize-1],v取值为状态只能为0或1
      void putMember(const int x, unsigned short v);
      //取元素x的状态位,只能为0或1
      unsigned short getMember(const int x);
      //添加元素x,即设置x的状态位为1
      bool addMember(const int x);
      //删除元素x,即设置x的状态位为0
      //对于正数,如5, 计算机内short int可表示16位,存储为:00000000 00000101
      //对于取反操作, 如~5,先表示为 00000000 00000101,全部取反:11111111 11111010
      //最高位符号位1表示负数,保持不变,其余各位取反,再对结果+1
      //求11111111 11111010补码为 10000000 00000110,结果为 -6
      bool delMember(const int x);
      //获取集合中元素的个数
      int getSetSize() { return setSize; }
      int getVectorSize() { return vectorSize; }
      //并集,p1 + p2
      friend BitSet unionSet(BitSet &p1, BitSet &p2);
      //交集,p1 * p2
      friend BitSet intersectionSet(BitSet &p1, BitSet &p2);
      //差集,p1 - p2
      friend BitSet subtractionSet(BitSet &p1, BitSet &p2);
      //集合判断是否相等
      bool equal(BitSet &bitSet);
      //判断this是否为bitSet的子集,如果A是B的子集,则分别对应1->1,0->1,0->0,但不能1->0
      bool isSubset(BitSet &bitSet);
    };
    //判断子集
    bool BitSet::isSubset(BitSet &bitSet) {
      if (bitSet.vectorSize != vectorSize) {
        return false;
      }
      //当this的其中一位为1,而bitSet对应的位为0,说明this不是子集
      for(int i=0;i<setSize;i++){
        if(getMember(i) & !bitSet.getMember(i)){
          return false;
        }
      }
      return true;
    }
    //判断是否相等
    bool BitSet::equal(BitSet &bitSet) {
      if (bitSet.vectorSize != vectorSize) {
        return false;
      }
      for (int k = 0; k < vectorSize; k++) {
        if (bitVector[k] != bitSet.bitVector[k]) {
          return false;
        }
      }
      return true;
    }
    //并集
    BitSet unionSet(BitSet &p1, BitSet &p2) {
      if (p1.vectorSize != p2.vectorSize) {
        cout << "BitSet容量必须相等" << endl;
        exit(0);
      }
      int nsetSize = p1.setSize;
      BitSet nbitSet(nsetSize);
      int nvectorSize = p1.getVectorSize();
      for (int i = 0; i < nvectorSize; i++) {
        nbitSet.bitVector[i] = p1.bitVector[i] | p2.bitVector[i];
      }
      return nbitSet;
    }
    //交集
    BitSet intersectionSet(BitSet &p1, BitSet &p2) {
      if (p1.vectorSize != p2.vectorSize) {
        cout << "BitSet容量必须相等" << endl;
        exit(0);
      }
      int nsetSize = p1.setSize;
      BitSet nbitSet(nsetSize);
      int nvectorSize = p1.getVectorSize();
      for (int i = 0; i < nvectorSize; i++) {
        nbitSet.bitVector[i] = p1.bitVector[i] & p2.bitVector[i];
      }
      return nbitSet;
    }
    //差集
    BitSet subtractionSet(BitSet &p1, BitSet &p2) {
      if (p1.vectorSize != p2.vectorSize) {
        cout << "BitSet容量必须相等" << endl;
        exit(0);
      }
      int nsetSize = p1.setSize;
      BitSet nbitSet(nsetSize);
      int nvectorSize = p1.getVectorSize();
      for (int i = 0; i < nvectorSize; i++) {
        nbitSet.bitVector[i] = p1.bitVector[i] & (~p2.bitVector[i]);
      }
      return nbitSet;
    }
    // bitVector[0]--表示第1~16个数,[0,15]
    // bitVector[1]--表示第17~32个数,[16,31]
    // bitVector[2]--表示第33~48个数,[32,47]
    // bitVector[M]--表示第(M*16)+1~(M+1)*16,[M*16,(M+1)*16-1]
    BitSet::BitSet(int sz) {
      //当sz<15,sz>>4结果为0,显然不符合要求,或者使用: vectorSize = (sz>>4)+1;
      vectorSize = (sz + 15) >> 4;
      setSize = sz;
      bitVector = new unsigned short[vectorSize];
      for (int i = 0; i < vectorSize; i++) {
        bitVector[i] = 0;
      }
    }
    //直接构造一个BitSet
    BitSet::BitSet(int arr[], int arrSize, int defaultSetSize) {
      vectorSize = (defaultSetSize + 15) >> 4;
      setSize = defaultSetSize;
      bitVector = new unsigned short[vectorSize];
      for (int i = 0; i < vectorSize; i++) {
        bitVector[i] = 0;
      }
      for (int k = 0; k < arrSize; k++) {
        addMember(arr[k]);
      }
    }
    // 或这种方法
    // void BitSet::putMember(const int x,unsigned short v){
    // 	int ad = x/16;
    // 	int id = x%16;
    // 	unsigned short elem = bitVector[ad];
    // 	unsigned short temp = elem>>(15-id);
    // 	elem = elem<<(id+1);
    // 	if(temp%2==0 && v==1){
    // 		temp = temp+1;
    // 	}else if(temp%2==1 && v==0){
    // 		temp = temp - 1;
    // 	}
    // 	bitVector[ad] = temp<<(15-id)|(elem>>(id+1));
    // }
    
    void BitSet::putMember(const int x, unsigned short v) {
      int ad = x / 16;
      int k = x % 16;
      //设置bitVector[ad]第k位设置状态为v,k从0开始
      if (v) {
        //将第k位设置为1
        bitVector[ad] = bitVector[ad] | (1 << k);
      } else {
        //将第k位设置为0,例如:当k=3,(~(1<<k))为(~8)=>-9,计算机内存储(补码形式)为 11111111 11110111,此时第k位为0
        bitVector[ad] = bitVector[ad] & (~(1 << k));
      }
    }
    
    unsigned short BitSet::getMember(const int x) {
      //判断是否越界
      if (x < 0 || x >= setSize) {
        return 0;
      }
      int ad = x / 16;
      int id = x % 16;
      unsigned short elem = bitVector[ad];
      //取出位索引id指向的位,并且返回,其结果只能为0或1
      return (elem >> id) & 1;
      // return (elem>>(15-id))%2;
    }
    bool BitSet::addMember(const int x) {
      if (x < 0 || x >= setSize) {
        return false;
      }
      int state = getMember(x);
      if (!state) {
        putMember(x, 1);
        return true;
      }
      return false;
    }
    bool BitSet::delMember(const int x) {
      if (x < 0 || x >= setSize) {
        return 0;
      }
      cout << "bitVector[0]=" << bitVector[0] << endl;
      int state = getMember(x);
      if (state) {
        putMember(x, 0);
        return true;
      }
      return false;
    }
    
    //添加测试
    void addTest() {
      BitSet bitSet = BitSet(100);
      int arr[] = {0, 1, 2, 5, 10, 49, 50, 99, 100, 105, 110, 115, 116, 117, 133};
      int len = sizeof(arr) / sizeof(int);
      int res = 0;
      for (int i = 0; i < len; i++) {
        res = bitSet.addMember(arr[i]);
        if (res) {
          cout << arr[i] << "--" << res << endl;
        }
      }
      cout << endl;
      for (int i = 0; i < 100; i++) {
        int x = i;
        res = bitSet.getMember(x);
        if (res) {
          cout << x << "-->" << res << endl;
        }
      }
    }
    
    //----测试部分----
    void setTest() {
      int defaultSetSize = 50;
      int arr1[] = {1, 2, 3,4};
      int size1 = sizeof(arr1) / sizeof(int);
      BitSet bitSet1(arr1, size1, defaultSetSize);
      int arr2[] = {1, 2, 3};
      int size2 = sizeof(arr2) / sizeof(int);
      BitSet bitSet2(arr2, size2, defaultSetSize);
      //并集
      // BitSet newSet = unionSet(bitSet1,bitSet2);
      //交集
      // BitSet newSet = intersectionSet(bitSet1, bitSet2);
      //差集
      BitSet newSet = subtractionSet(bitSet1, bitSet2);
      for (int k = 0; k < newSet.getSetSize(); k++) {
        int res = newSet.getMember(k);
        if (res) {
          cout << k << "-->" << res << endl;
        }
      }
      cout<<"子集:"<<bitSet2.isSubset(bitSet1)<<endl;
    }
    void delTest() {
    
      int arr[] = {1, 2, 3};
      int defaultSize = 50;
      int len = sizeof(arr) / sizeof(int);
      BitSet bitSet = BitSet(arr, len, defaultSize);
      bitSet.delMember(3);
      bitSet.delMember(7);
      for (int i = 0; i < len; i++) {
        int res = bitSet.getMember(arr[i]);
        if (res) {
          cout << arr[i] << "->";
        }
      }
    }
    int main() {
      // addTest();
      // delTest();
      setTest();
    }
    
    

    位向量性能

    N个元素,若使用M位的数据类型表示

    • 时间复杂度:N个元素,通过位运算可直接定位到其值为0或1,时间复杂度为O(1)

    • 空间复杂度:二进制数组只需要N/M+1的空间,即O(1)

    总之,位向量表示集合数据类型,对于元素分布比较集中,且极差较小的情况下,具有优越的性能

    以上为个人总结分析,如有问题欢迎批评指正!

    展开全文
  • 位向量/位图是一个很有用的数据结构,在充分利用小空间存储大量数据方面非常具有优势,Linux内核中很多地方都是用了位图。同时,它不但基础,而且用到了很多编程语言的知识,以及对细节的把握,常常作为面试题出现。...

    位向量/位图是一个很有用的数据结构,在充分利用小空间存储大量数据方面非常具有优势,Linux内核中很多地方都是用了位图。同时,它不但基础,而且用到了很多编程语言的知识,以及对细节的把握,常常作为面试题出现。这里将要介绍它的实现、操作、应用。

    与位图(bitmap)比,我更倾向于用位向量(bit vector),前者比较容易与图形学里的名词混淆,其实提到位图,多指的是“是使用像素阵列来表示的图像”(维基百科),为了避免这一点,下文中使用位向量。先来看看产生位向量的需求:

    一般地,对于多个对象和一个性质,这些对象可能满足(true)也可能不满足(false)这条性质。那么,为了表示所有对象对这个性质的满足情况,最容易想到的方式是分配一个int型变量(这里不讨论布尔型,C++没有对布尔型占用空间有明确规定;本文主要讨论C)作为标志,用1表示满足条件,用0表示不满足条件。同时为了方便查询,把这些对象的标志整合成一个数组。显然,使用int来表示是0还是1有些太浪费空间了,即使把int改为char,浪费的情况也只是减轻了一部分,仍有很大的空间被浪费。考虑到计算机中最小的数据单位是非0即1的二进制位,对于一个对象,使用一个二进制位就足够了。很多语言都具有位运算,利用位运算是可以完成本段开始处提出的要求的。当然,因为不能用一个变量名直接表示一个位,那么可以将多个位组合成一个基本数据类型,通过对这个基本数据类型进行操作,达到使用位的方法。同时,为了方便,延续使用int数组的做法,把这些由位组合成的基本数据类型也组成数组。

    经过这样分析,位向量的实现方法大体是:多个位组成一个基本数据类型,基本数据类型组合成数组。根据这个思路就可以写出位向量的表示了。在阅读下面代码前,建议读者尝试自己独立完成,这是一些提示:简单起见,使用int作为位组成的基本数据类型,且int使用32位表示;int数组中元素的个数如何计算?

    8f900a89c6347c561fdf2122f13be562.png

    961ddebeb323a10fe0623af514929fc1.png

    #define N 10000000 //number of elements

    #define BITPERWORD 32 //bits of int depends on machine

    int a[(N-1)/BITPERWORD + 1]; //allocate space for bitmap//《编程珠玑》原书中是N/BITPERWORD + 1//如果N恰为BITPERWORD的倍数,那么又要浪费一个int的空间了//N取0时,仍会浪费一个int的空间//N非0非BITPERWORD的倍数时,最多是最后一个int不完全利用而已

    位向量的表示

    写完了表示,就需要为这个数据结构增加对应的操作了。对于每个位的操作,有三种:设置为0、设置为1、读取当前值。根据上文位向量的表示,实现这三种操作。同样建议读者先尝试独立完成。以下代码参考自《编程珠玑》习题1.2。

    8f900a89c6347c561fdf2122f13be562.png

    961ddebeb323a10fe0623af514929fc1.png

    #define SHIFT 5 //32 = 2^5

    #define MASK 0x1F //vaule 11111 in binary

    //i代表需要进行操作的第i个对象//i>>SHIFT相当于i/32,将i定位到具体是哪个int中,即a[i>>SHIFT]//i&MASK相当于i%32 只保留i的0至4位,即i在int中的第几位,然后把1左移这么多位//将a[i>>SHIFT]和(1<

    void set(int i) { a[i>>SHIFT] |= (1<>SHIFT] &= ~(1<>SHIFT] & (1<

    位向量操作

    使用位向量前不要忘记对所有位进行初始化:

    for(i=0;i

    clr(i);

    当然,你也可以用这个或许更快的初始化方式:

    int temp = N/BITPERWORD+1;for (i=0; i< temp;i++)

    a[i]= 0;

    补充讨论:

    Q:为什么要用看上去并不那么直接的位运算而不是i/32和i%32?

    A:为了速度而不是易读性。你所写下的最初版本如果使用的是/和%,当然没有错;当你着手于提高效率的时候,把它们改成移位运算就势在必行了。虽然编译器可能会对/和%在除数为2的幂时进行优化,写成移位运算,你当然可以自己来完成这件事来保证确实优化了。

    Q:是否可以将存放位向量的数组作为参数?

    A:当然可以,上文代码只是为了叙述方便。

    Q:是否可以把这三个函数写成宏?

    A:其实我曾经被面试过一道题,就是要求写一个宏,完成上面clr(i)的任务。写成宏当然没问题,注意加好括号就行,具体的用法让调用的人去担心吧(笑)。

    Q:位向量和位字段/位域有什么区别和联系?可以用位字段来实现位向量吗?

    A:C语言允许将结构的整数成员存入比编译器通常允许的更小的空间里。然而它有三个风险:不同计算机中对齐限制不同;位字段宽度限制不同;将位包装成字的字节顺序不同。在位向量里,虽然也有依赖于具体计算机特性的限制(需要预先知道int的位数),但是位的包装是由程序员来控制的,也不必考虑对其限制。移植性略好于将成员声明为1位整数位字段的结构。

    应用:

    1.Linux中分配唯一pid的算法、内存管理的伙伴分配系统等,详细可以google,关键词:linux+位图。

    2.一个最多包含n个正整数的文件,每个数都小于n,其中n=107,并且没有重复。最多有1MB内存可用。要求用最快方式将它们排序并按升序输出。(《编程珠玑》第一章正文)方法是一次读入文件,把出现过的数字对应位置1;读取完毕后从低位到高位输出位向量为1的位所代表的数。

    3.如果有用时间换空间的必要,可以将寻找1至某个数之间所有质数的埃氏筛法用位向量实现。原始版本的代码见于《编程珠玑(续)》习题1.2,算法简介:一个n比特的数组,对应1至n-1,初值均为真。从2开始,每发现一个质数,就把这个数组中所有这个数的倍数设为假。下一个质数就是数组中下一个为真的比特。循环至所有数都被遍历,即可得到该范围内所有的质数。

    引申和扩展:

    1.(习题1.6)每个整数最多出现10次而不是1次;如果内存限制不变,又应该怎么做?提示:多趟排序

    (更一般的扩展:用几个位表示一个对象的多个性质,也即一个对象不仅仅只占用一位而是多位,但每个对象占用的位数是相同的。重写位图。)

    2.(习题1.9)对于稀疏的位向量,初始化很浪费时间。一般地,对于一个向量(不仅限于位向量),怎样利用辅助数据结构,使得第一次访问位向量的某一位时才将其初始化为0?

    解法:

    对于向量int data[N],分配辅助数据结构int from[N]和to[N],以及一个整数top,初始化top=0。

    插入data[i]时,from[i]填入top,to[top] = i,top++;

    这样维持了一个性质:top代表下一个被插入的值的次序;from[i]代表了data[i]是第几个被插入的;to[]中小于top的元素to[j]保存了第j个被插入对应在data[]的下标。

    若data[i]未初始化,则from[i]也未初始化,此时即使from[i]中未初始化的垃圾值

    展开全文
  • Verilog随笔 1位向量b与3位向量a[2:0]每一位都按位与得到c[2:0] c = a & { 3{b} };

    Verilog随笔

    1位向量b与3位向量a[2:0]每一位都按位与得到c[2:0]

    c = a & { 3{b} };
    
    展开全文
  • 关于位向量的笔记

    2021-02-27 20:33:25
    在《编程珠玑》中提到一个用位向量解决排序的问题,其具体的要求如下:输入:一个包含最多n个整数的文件,每个整数都小于n,且无重复输出:按升序排列的输入整数的列表约束:最多有(大约)1MB的内存空间可用,有充足...

    在《编程珠玑》中提到一个用位向量解决排序的问题,其具体的要求如下:

    输入:一个包含最多n个整数的文件,每个整数都小于n,且无重复

    输出:按升序排列的输入整数的列表

    约束:最多有(大约)1MB的内存空间可用,有充足的磁盘存储空间可用。运行时间最多几分钟,运行时间为10秒就不需要进一步优化了。

    基本的思路是这样的:用n个位表示0-n之间的整数,其中位的状态分为0和1两种,0表示这个整数没有出现,1表示出现了。输出时遍历每一位,状态为1则输出该位的序号,即为整数值。不能用一个变量表示一个位,因为这样对于空间的浪费是很严重的,但是可以分配一个int,再将多个int组成一个数组,得到int数组。对于这个数组内的int进行位操作。

    因此位向量的实现方法大致的思路是:多个位组成一个基本数据类型,多个基本数据类型组成数组。对于上面这个问题只要找出表示整数的未即可。方法如下:

    69c5a8ac3fa60e0848d784a6dd461da6.png1 //整数的位数,假设为32

    2 #define BitPerWord 32;

    3 //定义移位的长度,2的5次方为32

    4 #define Shift 5

    5 //定义取模的掩码

    6 #define Mask 0x1F

    7 //定义整数的最大值

    8 #define N 100000

    9

    10 //数组饿大小

    11 int intArray[(N-1)/max + 1]12 /*13 *根据参数i,设置对应的标志位的值

    14 *i>>SHIFT,i右移5位,相当于i/32

    15 *i & MASK,i和11111做与运算,得到i%32

    16 *1<>SHIFT]做或运算

    17 *即可设置整数i对应的标志位为1

    18*/

    69c5a8ac3fa60e0848d784a6dd461da6.png

    举个例子:

    所以只需定义一个长度为107/32的整型数组即可提供所需的二进制位,整数数组记为A。

    从输入文件中读入一个整数,将这个整数整除32,得到的结果即是表示该数存在的二进制位记录在数组的哪个下标的整数中,

    比如111,用111整除32得3,即代表该数存在的二进制位在数组下标为3的数,即A[3]中。

    将读入的数模32,得到的数即为代表该数的标志位在A[3]中的位置,比如111模32结果为15,

    则将A[3]的第15位置为1,即A[3]现在为00000000000000000100000000000000,即为32768

    如此即可使用整型数组模拟位集合,比如读入的第二个数为127,127整除32为3,模32为31,则A[3]为10000000000000000100000000000000

    有3种相应的位操作,分别为设置为0,设置为1,读取当前值。以下是具体实现:

    //与位移之后的1做或,使得该位置的该位为1

    void set(inti){

    a[i>>Shift] |= (1<

    }void clr(int i){a[i>>Shift] &= ~(1<>Shift] & (1<

    因此对于上述问题的揭发就是一次读入文件,将出现过的数字所表示的位设为1,之后在遍历所有位,即1-N,将位为1的值输出即是升序排列。

    原文:http://www.cnblogs.com/hcwang/p/3731924.html

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