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  • 运筹学大作业
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    2021-01-07 09:58:58

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    一、闭回路示例 1



    运输规划变量如下 :

    B 1 \rm B_1 B1 B 2 \rm B_2 B2 B 3 \rm B_3 B3
    A 1 \rm A_1 A1 x 11 \rm x_{11} x11 x 12 \rm x_{12} x12
    A 2 \rm A_2 A2
    A 3 \rm A_3 A3 x 32 \rm x_{32} x32 x 33 \rm x_{33} x33
    A 4 \rm A_4 A4 x 41 \rm x_{41} x41 x 43 \rm x_{43} x43

    变量组 { x 11 , x 41 , x 43 , x 33 , x 32 , x 12 } \rm \{ x_{11}, x_{41} , x_{43}, x_{33}, x_{32}, x_{12} \} {x11,x41,x43,x33,x32,x12} 是闭回路 , 闭回路如下 :

    在这里插入图片描述

    除了出发点是 非基变量 , 闭回路中的转折点 , 一定是 基变量 ;

    该非基变量就是入基变量 , 一定有一个出基变量 ;


    闭回路 不一定是矩形 的 , 其形式可能和很复杂 ;





    二、闭回路示例 2



    B 1 \rm B_1 B1 B 2 \rm B_2 B2 B 3 \rm B_3 B3 B 4 \rm B_4 B4 B 5 \rm B_5 B5
    A 1 \rm A_1 A1 x 11 \rm x_{11} x11 x 12 \rm x_{12} x12 x 13 \rm x_{13} x13
    A 2 \rm A_2 A2 x 23 \rm x_{23} x23 x 25 \rm x_{25} x25
    A 3 \rm A_3 A3 x 33 \rm x_{33} x33 x 35 \rm x_{35} x35
    A 4 \rm A_4 A4 x 42 \rm x_{42} x42 x 43 \rm x_{43} x43

    假设上图的变量集合 { x 11 , x 12 , x 23 , x 25 , x 33 , x 35 , x 42 , x 43 } \rm \{ x_{11} , x_{12} , x_{23} , x_{25} , x_{33} , x_{35} , x_{42} , x_{43} \} {x11,x12,x23,x25,x33,x35,x42,x43} 是基变量 ;


    起点 : 选择非基变量 x 13 \rm x_{13} x13 , 作为闭回路的起点 , 符号是 + + + ,

    x 13 \rm x_{13} x13 右边没有基变量 , 只能向左走 , 左边有两个基变量 x 11 \rm x_{11} x11 x 12 \rm x_{12} x12 ,

    如果选择 x 11 \rm x_{11} x11 , 符号是 − - ,

    继续向下走 x 31 \rm x_{31} x31 , 符号是 + + + ,

    下一个 x 35 \rm x_{35} x35 , 符号是 − - ,

    然后走 x 25 \rm x_{25} x25 , 符号是 + + + ,

    最终走到 x 23 \rm x_{23} x23 , 符号是 − - , 截止到此处 , 形成了回路 ;


    形成回路如下 :
    在这里插入图片描述


    如果起点是基解 , 闭回路存在 , 且唯一 ;

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  • 一、表上作业法 第一步 : 确定初始基可行解、 二、最小元素法

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    一、表上作业法 第一步 : 确定初始基可行解



    运输问题如下 : 下面的表格代表 3 3 3 个产地 , 4 4 4 个销地 的运输规划问题 , 表格中的内容是 某产地运往某销地的运费 ;

    在这里插入图片描述

    上述运输规划问题 总共有 m × n = 3 × 4 = 12 \rm m \times n = 3 \times 4 = 12 m×n=3×4=12 个变量 ;

    基变量个数 = m + n − 1 = 3 + 4 − 1 = 6 \rm = m + n - 1 = 3 + 4 - 1 = 6 =m+n1=3+41=6 ;

    初始基可行解中需要找 6 6 6 个变量作为基变量 , 其取值是非 0 0 0 的 ; 剩余的 6 6 6 个变量是非基变量 , 取值为 0 0 0 ;


    运输规划的目的是使总运费最小 ,

    这里引入 最小元素法 思想 , 基本原则是 " 安排运输方案时 , 从单位成本最小的开始安排 " , 优先满足运费最小的运输 , 然后再考虑其它情况 ;





    二、最小元素法



    最小元素法基本思想 :

    就近供应 , 从运费最小的地方开始供应 , 然后逐步供应运费稍高的地方 , 直到最终供应完毕为止 ;

    每个表格中需要填写两部分 , 第一部分是 c i j \rm c_{ij} cij 运费 , 第二部分是变量 x i j \rm x_{ij} xij ;


    1 1 1 个基变量 :

    从所有 没有被划掉 的并且 没有被安排 的的运费中找到最小的 , 即 1 1 1 ; 对应表格第 2 2 2 行第 1 1 1 列 , A 2 \rm A_2 A2 产地运往 B 1 \rm B_1 B1 销地的运费 ;

    产地分析 : 对于产地 A 2 \rm A_2 A2 来说 , 其生产 4 4 4 个 , 已经安排了 0 0 0 个 , 还可以再安排 4 4 4 个 ;

    销地分析 : 对于销地 B 1 \rm B_1 B1 来说需求 3 3 3 个 , 已经安排了 0 0 0 个 , 还可以再安排 3 3 3 个 ;

    如果要使运费最低 , 优先让运费最低的情况 , 最大量运输 , 这里直接从 A 2 \rm A_2 A2 B 1 \rm B_1 B1 运输 3 3 3 个产品 ;

    B 1 \rm B_1 B1 B 2 \rm B_2 B2 B 3 \rm B_3 B3 B 4 \rm B_4 B4产量
    A 1 \rm A_1 A1 3 3 3 11 11 11 3 3 3 10 10 10 7 7 7
    A 2 \rm A_2 A2 1 , 3 1, 3 1,3 9 9 9 2 2 2 8 8 8 4 4 4
    A 3 \rm A_3 A3 7 7 7 4 4 4 10 10 10 5 5 5 9 9 9
    销量 3 3 3 6 6 6 5 5 5 6 6 6

    此时 B 1 \rm B_1 B1 的销量已经全部消耗完毕 , 该列就不需要安排其它产地向 B 1 \rm B_1 B1 销地运输了 , 可以划掉这一列 , 讨论其它列的运输问题 ;

    在这里插入图片描述


    2 2 2 个基变量 :

    从所有 没有被划掉 的并且 没有被安排 的运费中找到最小的 , 即 2 2 2 ; 对应表格第 2 2 2 行第 3 3 3 列 , A 2 \rm A_2 A2 产地运往 B 3 \rm B_3 B3 销地的运费 ;

    产地分析 : 对于产地 A 2 \rm A_2 A2 来说 , 其生产 4 4 4 个 , 已经安排了 3 3 3 个 , 还可以再安排 1 1 1 个 ;

    销地分析 : 对于销地 B 3 \rm B_3 B3 来说需求 5 5 5 个 , 已经安排了 0 0 0 个 , 还可以再安排 5 5 5 个 ;

    如果要使运费最低 , 优先让运费最低的情况 , 最大量运输 , 这里直接从 A 2 \rm A_2 A2 B 3 \rm B_3 B3 运输 1 1 1 个产品 ;

    B 1 \rm B_1 B1 B 2 \rm B_2 B2 B 3 \rm B_3 B3 B 4 \rm B_4 B4产量
    A 1 \rm A_1 A1 3 3 3 11 11 11 3 3 3 10 10 10 7 7 7
    A 2 \rm A_2 A2 1 , 3 1, 3 1,3 9 9 9 2 , 1 2,1 2,1 8 8 8 4 4 4
    A 3 \rm A_3 A3 7 7 7 4 4 4 10 10 10 5 5 5 9 9 9
    销量 3 3 3 6 6 6 5 5 5 6 6 6

    此时 A 2 \rm A_2 A2 的产量已经全部消耗完毕 , 该行就不需要安排向其它销地运输了 , 可以划掉这一行 , 讨论其它行列的运输问题 ;

    在这里插入图片描述



    3 3 3 个基变量 :

    从所有 没有被划掉 的并且 没有被安排 的的运费中找到最小的 , 即 3 3 3 ; 对应表格第 1 1 1 行第 3 3 3 列 , A 1 \rm A_1 A1 产地运往 B 3 \rm B_3 B3 销地的运费 ;

    产地分析 : 对于产地 A 1 \rm A_1 A1 来说 , 其生产 7 7 7 个 , 已经安排了 0 0 0 个 , 还可以再安排 7 7 7 个 ;

    销地分析 : 对于销地 B 3 \rm B_3 B3 来说需求 5 5 5 个 , 已经安排了 1 1 1 个 , 还可以再安排 4 4 4 个 ;

    如果要使运费最低 , 优先让运费最低的情况 , 最大量运输 , 这里直接从 A 1 \rm A_1 A1 B 3 \rm B_3 B3 运输 4 4 4 个产品 ;

    B 1 \rm B_1 B1 B 2 \rm B_2 B2 B 3 \rm B_3 B3 B 4 \rm B_4 B4产量
    A 1 \rm A_1 A1 3 3 3 11 11 11 3 , 4 3, 4 3,4 10 10 10 7 7 7
    A 2 \rm A_2 A2 1 , 3 1, 3 1,3 9 9 9 2 , 1 2,1 2,1 8 8 8 4 4 4
    A 3 \rm A_3 A3 7 7 7 4 4 4 10 10 10 5 5 5 9 9 9
    销量 3 3 3 6 6 6 5 5 5 6 6 6

    此时 B 3 \rm B_3 B3 的销量已经全部消耗完毕 , 该列就不需要安排向其它产地向 B 3 \rm B_3 B3 销地运输了 , 可以划掉这一列 , 讨论其它行列的运输问题 ;

    在这里插入图片描述



    4 4 4 个基变量 :

    从所有 没有被划掉 的并且 没有被安排 的的运费中找到最小的 , 即 4 4 4 ; 对应表格第 3 3 3 行第 2 2 2 列 , A 3 \rm A_3 A3 产地运往 B 2 \rm B_2 B2 销地的运费 ;

    产地分析 : 对于产地 A 3 \rm A_3 A3 来说 , 其生产 9 9 9 个 , 已经安排了 0 0 0 个 , 还可以再安排 9 9 9 个 ;

    销地分析 : 对于销地 B 2 \rm B_2 B2 来说需求 6 6 6 个 , 已经安排了 0 0 0 个 , 还可以再安排 6 6 6 个 ;

    如果要使运费最低 , 优先让运费最低的情况 , 最大量运输 , 这里直接从 A 3 \rm A_3 A3 B 2 \rm B_2 B2 运输 6 6 6 个产品 ;

    B 1 \rm B_1 B1 B 2 \rm B_2 B2 B 3 \rm B_3 B3 B 4 \rm B_4 B4产量
    A 1 \rm A_1 A1 3 3 3 11 11 11 3 , 4 3, 4 3,4 10 10 10 7 7 7
    A 2 \rm A_2 A2 1 , 3 1, 3 1,3 9 9 9 2 , 1 2,1 2,1 8 8 8 4 4 4
    A 3 \rm A_3 A3 7 7 7 4 , 6 4,6 4,6 10 10 10 5 5 5 9 9 9
    销量 3 3 3 6 6 6 5 5 5 6 6 6

    此时 B 2 \rm B_2 B2 的销量已经全部消耗完毕 , 该列就不需要安排向其它产地向 B 2 \rm B_2 B2 销地运输了 , 可以划掉这一列 , 讨论其它行列的运输问题 ;

    在这里插入图片描述



    5 5 5 个基变量 :

    从所有 没有被划掉 的并且 没有被安排 的的运费中找到最小的 , 即 5 5 5 ; 对应表格第 3 3 3 行第 4 4 4 列 , A 3 \rm A_3 A3 产地运往 B 4 \rm B_4 B4 销地的运费 ;

    产地分析 : 对于产地 A 3 \rm A_3 A3 来说 , 其生产 9 9 9 个 , 已经安排了 6 6 6 个 , 还可以再安排 3 3 3 个 ;

    销地分析 : 对于销地 B 4 \rm B_4 B4 来说需求 6 6 6 个 , 已经安排了 0 0 0 个 , 还可以再安排 6 6 6 个 ;

    如果要使运费最低 , 优先让运费最低的情况 , 最大量运输 , 这里直接从 A 3 \rm A_3 A3 B 4 \rm B_4 B4 运输 3 3 3 个产品 ;

    B 1 \rm B_1 B1 B 2 \rm B_2 B2 B 3 \rm B_3 B3 B 4 \rm B_4 B4产量
    A 1 \rm A_1 A1 3 3 3 11 11 11 3 , 4 3, 4 3,4 10 10 10 7 7 7
    A 2 \rm A_2 A2 1 , 3 1, 3 1,3 9 9 9 2 , 1 2,1 2,1 8 8 8 4 4 4
    A 3 \rm A_3 A3 7 7 7 4 , 6 4,6 4,6 10 10 10 5 , 3 5,3 5,3 9 9 9
    销量 3 3 3 6 6 6 5 5 5 6 6 6

    此时 A 3 \rm A_3 A3 的产量已经全部消耗完毕 , 该行就不需要安排向其它销地运输了 , 可以划掉这一行 , 讨论其它行列的运输问题 ;

    在这里插入图片描述



    6 6 6 个基变量 :

    从所有 没有被划掉 的并且 没有被安排 的的运费中找到最小的 , 即 10 10 10 ; 对应表格第 1 1 1 行第 4 4 4 列 , A 1 \rm A_1 A1 产地运往 B 4 \rm B_4 B4 销地的运费 ;

    产地分析 : 对于产地 A 1 \rm A_1 A1 来说 , 其生产 7 7 7 个 , 已经安排了 4 4 4 个 , 还可以再安排 3 3 3 个 ;

    销地分析 : 对于销地 B 4 \rm B_4 B4 来说需求 6 6 6 个 , 已经安排了 3 3 3 个 , 还可以再安排 3 3 3 个 ;

    如果要使运费最低 , 优先让运费最低的情况 , 最大量运输 , 这里直接从 A 1 \rm A_1 A1 B 4 \rm B_4 B4 运输 3 3 3 个产品 ;

    B 1 \rm B_1 B1 B 2 \rm B_2 B2 B 3 \rm B_3 B3 B 4 \rm B_4 B4产量
    A 1 \rm A_1 A1 3 3 3 11 11 11 3 , 4 3, 4 3,4 10 , 3 10,3 10,3 7 7 7
    A 2 \rm A_2 A2 1 , 3 1, 3 1,3 9 9 9 2 , 1 2,1 2,1 8 8 8 4 4 4
    A 3 \rm A_3 A3 7 7 7 4 , 6 4,6 4,6 10 10 10 5 , 3 5,3 5,3 9 9 9
    销量 3 3 3 6 6 6 5 5 5 6 6 6

    此时 A 1 \rm A_1 A1 的产量已经全部消耗完毕 , 该行就不需要安排向其它销地运输了 , 可以划掉这一行 , 讨论其它行列的运输问题 ;

    此时 B 4 \rm B_4 B4 的销量已经全部消耗完毕 , 该列就不需要安排向其它产地向 B 4 \rm B_4 B4 销地运输了 , 可以划掉这一列 , 讨论其它行列的运输问题 ;

    在这里插入图片描述

    至此所有的行列全部划掉 , 所有的产销全部安排完毕 ;

    此时找到的解就是运输问题的可行解 , 并且是基可行解 ;


    基变量个数分析 : 在上述找基变量的时候 , m \rm m m n \rm n n , 每找到一个基变量 , 或者划掉一行 , 或者划掉一列 , 最后的一个基变量同时花掉了一行一列 , 因此这里有 m + n − 1 \rm m + n - 1 m+n1 个基变量 ;

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