云模型基础知识

• 云模型属于不确定性人工智能范畴，主要用于定性与定量之间的相互转换。自然界中的不确定性从属性角度来说主要有随机性和模糊性
• 举一个简单的例子，形容一个人是高个子是一件相当模型的事情，因为无法确定身高达到多少算高个子。但可以这样说：身高2m的人，100%属于高个子的人；身高1.7m的人，55%属于高个子的人；身高1.5m的人，10%属于高个子的人（几乎不认为他是高个子）

论域

• 本例中，高个子是个定性概念，可以理解为身高1.7m的人属于高个子（论域$U$）的符合程度为0.55

隶属度/确定度

• 例子中的1，0.55，0.1表示对应的身高属于高个子的隶属度或者确定度，用来度量“属于高个子”这种倾向的稳定程度

云/云滴

• “云”是指其在论域上的一个分布，可以用联合概率的形式$(x,\mu )$来类比。比如：$x=2,\mu =1.0$表示身高2m的人，100%属于高个子的人
• 简单来说就是云就是一个种群，一个分布，而云滴就是其中的一个数据，一个具体的点，而这个点出现在这个分布中是有一定的概率的

数字特征

• 期望：云滴在论域空间分布的期望，是最能够代表定性概念的点值，反映了这个概念的云滴群的云重心，一般用符号Ex表示
• 熵：不确定性程度，由离散程度和模糊程度共同决定，代表云滴分布的不确定性和模糊性，一般用符号En表示
• 超熵：用来度量熵的不确定性，亦即熵的熵。超熵越大，说明模型的不确定性越大，云的厚度越大，一般用符号He表示

两种发生器

• 云有两种发生器，正向云发生器和逆向云发生器，分别用来生成足够的云滴和计算云滴的云数字特征（Ex，En，He）

正向云发生器的触发机制

1. 生成以En为期望，以He2为方差的正态随机数En’
2. 生成以Ex为期望，以En’2为方差的正态随机数x
3. 计算隶属度即确定度$\mu =exp(-\frac{(x-Ex{)}^2}{2E{n}^{{}^{\prime }2}})$，则$(x,\mu )$便是相对于论域$U$的一个云滴
4. 重复1-3步骤，直到生成足够的云滴

逆向云发生器的触发机制

假设样本$x$的容量为$n$

1. 计算样本均值$\bar{X}$和方差$S^2$
2. $Ex=\bar{X}$
3. $En=\sqrt{\frac{\pi }{2}}\times \frac{1}{n}{\sum }_1^n|x-Ex|$
4. $He=\sqrt{S^2-E{n}^2}$

云模型案例及MATLAB实现

题目

• 下表为4组选手的成绩，通过分析选出一位发挥最出色的选手

分析过程

1. 发挥出色是一个定性概念，可以认为是论域。表中给出的是定量数据，所以要完成从定量到定性的转变
2. 由样本数据可以先得到云模型的三个数字特征
3. 再由数字特征得到更多云滴，行成云图
4. 比较4组云图的分布

Matlab实现及结果

function [x,y,Ex,En,He] = cloud_transform(y_spor,n)
 % x 表示云滴
 % y 表示隶属度（这里是“钟形”隶属度），意义是度量倾向的稳定程度
 % Ex 云模型的数字特征，表示期望
 % En 云模型的数字特征，表示熵
 % He 云模型的数字特征，表示超熵
 
 % 通过统计数据样本计算云模型的数字特征
 Ex = mean(y_spor);
 En = mean(abs(y_spor-Ex)).*sqrt(pi./2);
 He = sqrt(var(y_spor)-En.^2);

 % 通过云模型的数字特征还原更多的“云滴”
 for q = 1:n
     Enn = randn(1).*He + En ;%randn(n) 返回由标准正态分布的随机数组成的 n×n 矩阵
     x(q) = randn(1).*Enn + Ex ;
     y(q) = exp(-(x(q) - Ex).^2./(2 .* Enn.^2));
 end
 x;
 y;

% 以下是主函数cloud_main.m
clc;
clear all;
close all;
% 每幅图生成N个云滴
N = 1500;
% 射击成绩原始数据，这里数据按列存储所以要转置
Y = [9.5 10.3 10.1 8.1 
10.3 9.7 10.4 10.1 
10.6 8.6 9.2 10.0 
10.5 10.4 10.1 10.1 
10.9 9.8 10.0 10.1 
10.6 9.8 9.7 10.0 
10.4 10.5 10.6 10.3 
10.1 10.2 10.8 8.4 
9.3 10.2 9.6 10.0 
10.5 10.0 10.7 9.9];

for i = 1:size(Y,2)
    subplot(size(Y,2)/2,2,i)%subplot(m,n,p) 将当前图窗划分为 m×n 网格，并在 p 指定的位置创建坐标区
    % 调用函数
    [x,y,Ex,En,He] = cloud_transform(Y(:,i),N);
    plot(x,y,'r.');
    xlabel('射击成绩分布/环');
    ylabel('确定度');
    title(strcat('第',num2str(i),'人射击云模型还原图谱'));
    % 控制坐标轴的范围
    % 统一坐标轴范围才会在云模型形态上具有可比性
    axis([8,12,0,1]);
end

结果分析

1. 先看期望，只有4的期望小于10
2. 再看熵（云滴分布的不确定程度），2和4的分布跨度较大，基本在8环和9环之间有很明显的分布倾向
3. 最后看超熵（模型的不确定性程度），3的云滴凝聚抱合程度最高
4. 综上分析，认为第3位射击手比赛最出色

云模型

(1) 模型简介如下图所示

(2) 具体云模型如下图所示

  有原始数据得到云滴得步骤为：
   【1】计算数据Ex En He
     Ex=mean(x(i,:)) En=mean(sqrt(pi/2)*abs(x-Ex))。注意：mean函数包含了求和然后除以n的运算。
   【2】生成Enn x y
     Enn=En+He .X randn(1)。x=Ex+Enn .X randn(1);y=exp( -( x(q) - Ex ) .^ 2 ./ ( 2 .X Enn.^2 ) )。
   【3】返回云滴模型 [ x,y,Ex,En,He ]

(3) 云模型特征理解：

  对于普通的n组数据，它们由单纯数字组成，每组数据既无法表现该组的独特数字特征，也无法区别于其他组进行比较。云模型，原理就是使用了数据的独特数字特征，正向可以使用数据的独特数字特征来生成具体的云模型（多个云滴），反向可以根据具体的云模型（多个云滴）来计算出数据的数字特征。可以发现数字特征与云模型（多个云滴）是具有对应的关系的（并非完全不变的对应，因为有随机运算在其中），而是说彼此存在一种一一对应的关系（不严谨的说）。
  那么为什么要利用云模型呢？云模型是将数字特征和定量数据之间进行转换的模型。并且云模型的云滴是有关于数字特征的，即云模型数据（云滴）可以表示原始数据的期望、确定度（集中程度）、随机性（离散程度），这些附加性都是相对原始数据而言。相对数字特征而言，云滴是将确定的性质转换为具体的定量数据。
  引用百度百科：云模型是云的具体实现方法，也是基于云的运算、推理和控制等的基础。它可以表示由定性概念到定量表示的过程（正向云发生器），也可表示由定量表示到定性概念的过程（逆向云发生器）。该模型是处理定性概念与定量描述的不确定转换模型。

(4) 云模型代码示例：

  此题： 原始数据 -> 提取得：数据特征值 -> 正向云生成得：定量云滴。

% 以下是主函数cloud_main.m
clc;
clear all;
% 每幅图生成N个云滴
N = 1500;
% 射击成绩原始数据，这里数据按列存储所以要转置
Y = [9.5 10.3 10.1 8.1 
10.3 9.7 10.4 10.1 
10.6 8.6 9.2 10.0 
10.5 10.4 10.1 10.1 
10.9 9.8 10.0 10.1 
10.6 9.8 9.7 10.0 
10.4 10.5 10.6 10.3 
10.1 10.2 10.8 8.4 
9.3 10.2 9.6 10.0 
10.5 10.0 10.7 9.9]';

%每一组数据生成一组云滴
for i=1:size(Y,1)
    %函数subplot是将多个图画到一个平面上的工具。
    subplot(size(Y,1)/2,2,i);
    [x,y,Ex,En,He]=f2(Y(i,:),N);
    %将在第i副图上绘图
    plot(x,y,'r.');
    %为坐标轴命名
    xlabel('射击成绩分布/环');
    ylabel('确定度');
    %为第i副图设置标题  num2str函数的功能是：把数值转换成字符串
    title(strcat('第',num2str(i),'人射击云模型还原图谱'));
    %axis( [xmin xmax ymin ymax] ) 设置当前坐标轴 x轴 和 y轴的限制范围
    axis([8,12,0,1]);
end

%% 以下是函数f2.m
%根据原始数据y_spor和需要的云滴个数n
%返回n个云滴，x代表n个云滴的数据值，y代表n个云滴的确定度
%Ex En He 分布代表原始数据的 期望 熵 超熵
function [x,y,Ex,En,He] = f2(y_spor,n)
%mean函数作用：求得矩阵的平均值（期望）
Ex=mean(y_spor);
%熵的求法：sum(abs(y_spor-Ex)).*sqrt(pi/2)
En=mean(sqrt(pi/2).*abs(y_spor-Ex));
%超熵的求法：sqrt(S.^2-En.^2) var函数作用：求得矩阵方差S^2
He=sqrt(var(y_spor)-En.^2);
for i=1:n
    %生成以En为期望 以He^2为方差的正态随机数Enn
    %randn(m)生成m行m列的标准正态分布的随机数或矩阵的函数
    Enn=En+randn(1).*He;
    %生成以Ex为期望，以Enn^2为方差的正态随机数x
    x(i)=Ex+randn(1)*Enn;
    %计算隶属度（确定度）
    y(i)=exp(-(x(i)-Ex).^2/(2*Enn.^2));
end
end

(5)云模型分析：

  四个云模型如下图所示。分析的有限度从高到低为：
   期望 -> 确定度（隶属度） -> 随机性（离散程度）
  期望表示云滴或数据均值，期望的确定度为1，所有看模型的期望就是看模型确定度为1的点的值（即x值）为多少，如第二人期望大概为9.92.。而确定度表示倾向的稳定程度，在图谱上的表现形式是云滴是否集中。而随机性就直接看离散程度就是了。

(6)拓展链接：

axis函数
subplot函数

云模型属于不确定性人工智能范畴，主要用于定性与定量之间的相互转换，自然界中的不确定性从属性角度来说主要有随机性和模糊性。“云”或者“云滴”是云模型的基本单元，“云”是指其在论域上的一个分部，可以用联合概率的形式（x,µ）来类比。基本的定义如下：设X是一个普通集合，X={x} , 称为论域。关于论域X中的模糊集合A，是指对于任意元素x都存在一个有稳定倾向的随机数Ua(x)，叫做x对A 的隶属度。如果论域中的元素是简单有序的，则可以看作是基础变量，隶属度在X上的分布叫做隶属云；如果论域中的元素不是简单有序的，而根据某个法则f，可将X映射到另一个有序的论域X上，X中的一个且只有一个x和x对应，则X为基础变量，隶属度在X上的分布叫做隶属云。
云模型用三个数据来表示其特征：
期望：云滴在论域空间分部的期望，一般用符号Ex表示；
熵：不确定性程度，有离散程度和模糊程度共同决定，一般用符号En表示；
超熵：用来度量熵的不确定性，亦即熵的熵，一般用符号He表示。
云有两种发生器，正向云发生器和逆向云发生器，分别用来生成足够的云滴和计算云滴的云数字特征（Ex，En，He）。
正向云发生器的触发机制如下：
1、生成以En为期望，以He为方差的正态随机数En；
2、生成以Ex为期望，以En`2为方差的正态随机数x；
3、计算隶属度即确定度：

4、重复1—3步骤，直到生成足够的云滴。
逆向云发生器是用来计算云滴的数字特征（Ex，En，He），无需确定度信息的逆向发生器，假设样本x的容量为n，其触发机制如下：

案例如下：

Matlab求解如下：

%云模型的主函数
clc;
clear all;
close all;
%每幅图生成1500个云滴
N=1500;
%射击数据如下
Y=[9.5 10.2 9.9 8.6
10.3 9.7 10.1 10.1
10.6 8.6 10.4 10
10.5 10.4 9.2 10.1
10.9 9.9 10.1 10.3
8.9 8.9 9.8 10
9.9 10.4 8.7 8.9
10.9 10.2 9.9 9.9
9.3 10.3 10.8 9.7
10.5 10 8.9 10.5 
]';
for i=1:size(Y,1)
    subplot(size(Y,1)/2,2,i)
    [x,y,Ex,En,He]=cloud_compute(Y(i,:),N);
    plot(x,y,'r.');
    xlabel('射击成绩分布/环');
    ylabel('确定度');
    title(strcat('第',num2str(i),'人射击云模型还原图谱'));
    axis([8,12,0,1]);
end    

生成云滴的函数：

function [x,y,Ex,En,He]=cloud_compute(y,n)
Ex=mean(y);
En=mean(abs(y-Ex)).*sqrt(pi./2);
He=sqrt(var(y)-En.^2);
for q=1:n
    Enn=randn(1).*He+En;
    x(q)=randn(1).*Enn+Ex;
    y(q)=exp(-(x(q)-Ex).^2/(2.*Enn.^2));
end
x;
y;

主函数.m文件

云滴计算.m文件

执行主函数

执行结果

图像分析的几个依据：云模型的期望、云模型的确定度（隶属度），表示倾斜的程度，在图谱上表现出来的就是云滴是否集中。最后是离散的程度，即随机性。