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  • 基于线性同余算法。 参考: 其他语言的实现: Java: 导入 直接将 reversible-random.js 文件复制到你的项目中,然后根据路径导入此模块即可。 为了保证计算的精确性,另外实现了一个版本:reversible-random-bigint....
  • 在不定方程理论的基础上,给出了一般的n元线性同余方程有解的充要条件和求解的具体方法。
  • 在拟蒙特卡罗方法中,低偏差序列性能的好坏直接决定拟蒙特卡罗估计的有效性,一般...使用基于线性同余算法的格点方法估计高维亚式期权的价格,比较了两种方法的计算精度和计算时间,表明格点方法在高维有很好的效果.
  • 线性同余发生器 WebAssembly中的,使用... WebAssembly。 编译汇编 在使用wat2wasm 。 wat2wasm main.wat -o main.wasm 在本地运行 python3 -m http.server 或您要使用的任何网络服务器。
  • 线性同余方程求解

    千次阅读 2020-09-17 21:43:47
    一、问题描述 解方程 13x=6(mod 34) (1) 对该方程求解的步骤为先求特解,再乘以系数得到通解: 步骤1:13x+34y=1,得到x的所有取值使得等式右端的值为1。 步骤2:对上述方程的左右两端同时乘以6,然后系数13和34...

    一、问题描述

    解方程 13x=6(mod 34) (1)
    对该方程求解的步骤为先求特解,再乘以系数得到通解:
    步骤1:13x+34y=1,得到x的所有取值使得等式右端的值为1。
    步骤2:对上述方程的左右两端同时乘以6,然后系数13和34不变,用新的x代替原始的x,即得到方程(1)的通解。

    二、特解的求取

    贝祖定理:

           即如果a、b是整数,那么一定存在整数x、y使得ax+by=gcd(a,b)。
    

    换句话说,如果ax+by=m有解,那么m一定是gcd(a,b)的若干倍。
    拓展欧几里得就是求关于x,y的方程 ax + by = gcd(a,b) 的所有整数解

    我们知道,欧几里得公式可以由这个式子表示:
    gcd(a,b) = gcd(b, a%b)
    不断往下连等,直到b = 0,此时a即为最大公约数
    那么我们来讨论另一个问题,下面两个式子有没有关系呢?

    a * x1 + b * y1 = g(a,b)
    b * x2 + (a%b) * y2 = g(b,a%b)

    只要找出x1和x2的关系、y1和y2的关系,我们就能求出方程a * x + b * y = g的一个特解

    回到刚才那个问题,很显然,两个等式右边就是欧几里得的公式
    那么我们就能得出
    a * x1 + b * y1 = b * x2 + (a%b) * y2
    其中a%b可以换成a-(a/b)*b
    式子变成了
    a * x1 + b * y1 = b * x2 + (a - (a / b) * b) * y2
    因为我们要找x1 y1和x2 y2的关系
    我们可以用待定系数法,按照这种方法把右边化成b * (x2 - (a / b) * y2) + a * y2
    则等式变成了
    a * x1 + b * y1 = a * y2 + b * (x2 - (a / b) * y2)
    现在得出了下面两个等式:
    x1 = y2(等式两边a的系数相同)
    y1 = x2 - (a / b) * y2 (等式两边b的系数相同)

    也就是说,我们知道了方程b * x2 + (a%b) * y2 = g(b,a%b) 的解x2, y2,就可以得到方程a * x1 + b * y1 = g(a,b) 的解x1,y1了,这个小问题告一段落。

    对于方程a * x + b * y = gcd(a,b),我们可以不断的往下变成b * x + (a % b) y = gcd(a,b) ,按照欧几里得的过程,b会变成0,即此时方程a * x + b * y = gcd(a,b) 因为b = 0,变成了a * x = gcd(a,b) ,还是由欧几里得算法得到,此时a就等于gcd(a,b),所以得到由原方程往下推了不知道多少次的方程 a * x = gcd(a,b) 来说,得到一个解x = 1, y = 0。现在得到了这个方程的解,再回溯回去,就可以得出原方程 a * x + b * y = gcd(a,b) 的一个特解。

    三、具体实现

    特解求取
    x1 = y2(等式两边a的系数相同)
    y1 = x2 - (a / b) * y2 (等式两边b的系数相同)
    在这里插入图片描述
    通解
    对方程13x+34y=1的左右两端除以34取余可得:
    13x=1(mod 34)
    即x = -13是上述方程的一个特解,对上述方程的左右两端同时乘以6可得
    13*(6x)= 6(mod 34)的一个特解为-78,则13x=6(mod 34)通解为:
    x = -78 + 34k,其中k是任意整数;
    即通解为:
    x=10 + 34
    k,其中k是任意整数

    四、参考链接

    1.拓展欧几里得小结
    2.数据加密–详解 RSA加密算法 原理与实现

    展开全文
  • 线性同余方程组

    2019-03-14 06:53:03
    线性同余方程 线性同余方程的形式:ax ≡ b (mod m),意思就是求解x的值使得 (a*x)%m=b%m 一、首先复习一下模运算,对于模运算,有以下等式成立: 假设a ≡ c (mod m)且b ≡ d(mod m),则: a + b ≡ c + d (mod m)...

    线性同余方程组问题

    线性同余方程的形式:ax ≡ b (mod m),意思就是求解x的值使得 (a*x)%m=b%m

    一、首先复习一下模运算,对于模运算,有以下等式成立:

    假设a ≡ c (mod m)且b ≡ d(mod m),则:

    • a + b ≡ c + d (mod m)
    • a - b ≡ c - d (mod m)
    • a * b ≡ c * d (mod m)

    对于除法来说相对复杂一点
    虽然2 ≡ 8 (mod 6),但是2/2 = 1 !≡ 4 = 8/2(mod 6)

    当a * c ≡ b * c (mod m)时 (a-b) * c 能被m整除
    我们假设d = gcd(c,m)
    (a-b) * (c/d)就能被m/d整除
    又因为c/d和m/d互为素数
    所以a-b能被m/d整除
    所以可以得到除法模运算的公式:

    • (a * c) / c ≡ (b * c) / c (mod m/gcd(c,m))

    二、求解线性同余方程:

    首先引入逆元的概念:

    首先考虑实数状况下求解方程ax = b,因为a存在倒数a-1,所以在方程两边同时乘上a-1可以解出x = b * a-1

    现在对于线性同余方程ax ≡ b (mod m),如果有满足ay ≡ 1 (mod m) 这样的和实数情况下a的倒数一样的数y存在,就能很快利用y = a-1代入到原方程中来求解线性同余方程,我们把这样的数y叫做a的逆元,求出了逆元之后,就有x = a-1·ax = a-1·b,这样就可以求出x:x = a-1b(mod m)

    逆元的求法&逆元和线性同余方程解的关系:

    现在我们要如何求出这个线性同余方程的逆元呢?对于方程ax ≡ 1 (mod m),其实等价于:存在整数k使得ax = 1 + mk,稍加变形之后就变成了ax - mk = 1,对于这样一个方程,可以用扩展欧几里德算法求解(不知道的先复习一下,否则后面可能会看不懂),显然当gcd(a,m)!=1时,不存在逆元,因为gcd(a,m)!=1时ax ≡ 1 (mod m)无解
    当不存在逆元的情况下,我们可以对原线性同余方程做一下变化:
    对于原线性同余方程:ax ≡ b (mod m)
    其中a和m不互素(即存在gcd(a,m)!=1)
    那么 ax ≡ b (mod m) 就等价于 a/gcd(a,m)·x ≡ b/gcd(a,m) (mod m/gcd(a,m))
    简单证明一下:
    我们先对a和b同时除以gcd(a,m),根据模运算除法法则,m要除以gcd(m,gcd(a,m)),而gcd(m,gcd(a,m)) = gcd(a,m),所以上面两式等价。
    但是为什么要除以gcd(a,m)呢?是因为要使gcd((a/gcd(a,m)),(m/gcd(a,m))) = 1
    这样就可以找出a/gcd(a,m)的逆元了

    b%gcd(a,m)!=0时,线性同余方程就无解

    • [可以得出结论:当线性同余方程不存在逆元并且b%gcd(a,m)!=0时必定无解]

    当有解存在的情况下,gcd((a/gcd(a,m)),(m/gcd(a,m))必然等于1,即对于新的线性同余方程必然存在逆元,则有:x ≡ (a/gcd(a,m))-1 · (b/gcd(a,m)) (mod m/gcd(a,m))
    因此!!!! ax ≡ b(mod m)的解为:
    x = (a/gcd(a,m))-1 · (b/gcd(a,m)) + k · (m/gcd(a,m))
    x ≡ (a/gcd(a,m))-1 · (b/gcd(a,m)) + (m/gcd(a,m)) · k (mod m) ,(k∈[0,gcd(a,m)])
    ps:超出范围就是一个循环,m/gcd(a,m)·gcd(a,m) mod m = 0

    • [存在逆元的情况下,一定有多个解]

    也可以用费马小定理来求出逆元:
    费马小定理(Fermat’s little theorem)是数论中的一个重要定理,在1636年提出,其内容为: 假如p是质数,且gcd(a,p)=1,那么 a(p-1) ≡ 1(mod p),例如:假如a是整数,p是质数,则a,p显然互质(即两者只有一个公约数1),那么我们可以得到费马小定理的一个特例,即当p为质数时候, a(p-1)≡1(mod p)。[From:百度百科]
    把费马小定理的式子进行变形可以得到:a-1 ≡ ap-2 (mod p),当p为质数时,用快速幂就能得到逆元a-1

    当p是合数的时候,费马小定理就不适用了,这时可以用欧拉函数和欧拉定理来求值

    三、求解线性同余方程组

    上面讲到了怎么求解线性同余方程,接下来就是求解线性同余方程组的问题了
    线性同余方程组就是求解:ai · x ≡ bi (mod mi),(i ∈[1,n]) 的解集
    假设我们已经求得了前几个方程组的解集为x ≡ b1 (mod m1) ①
    下一个线性同余方程为a2 · x ≡ b2 (mod m2) ②
    我们把①式形式转变一下,变成:x = b1 + t · m1 ③
    把③式代入②式中,得到a2 · (b1 + t · m1) ≡ b2 (mod m2) ④
    把④式移一下项,得到a2 · m1 · t ≡ b2 - a2 · b1 (mod m2) ⑤

    如果 (b2 - a2 · b1) % gcd(a2·m1,m2) != 0,那么该方程组就无解
    现在我们讨论有解的情况下:
    利用之前在线性同余方程的求解中的公式,我们可以得到⑤式的解:
    简化一下,令d = gcd(a2·m1,m2)否则就是一坨乱七八糟的东西
    得:t ≡ (a2 · m1 / d)-1 · (b2 - a2 · b1) / d (mod m2 / d)
    即:t = (a2 · m1 / d)-1 · (b2 - a2 · b1) / d + k · (m2 / d) ⑥
    把⑥带回到③式中,得到
    x = b1 + ((a2 · m1 / d)-1 · (b2 - a2 · b1) / d + k · (m2 / d)) · m1
    再化成①式的形式之后就是:
    x ≡ b1 + (((a2 · m1 / d)-1 · (b2 - a2 · b1) / d) · m1) (mod m1 · (m2 / d))
    用相同的方式对后面的方程逐个求解就能得到解集了

    基本代码:

    struct P{                                   //用来存放线性同余方程组的三个参数
        int a,b,m;
    }p[maxn];   
    int gcd(int a,int b){
        return b ? gcd(b,a%b) : a;
    }
    void extgcd(int a,int b,int &x,int &y){		//扩展欧几里得算法
        if(b==0){
            x = 1;
            y = 0;
            return;
        }
        extgcd(b,a%b,x,y);
        int x1 = x,y1 = y;
        x = y1;
        y = x1 - a/b * y1;
    }
    int mod_inverse(int a,int m){			//计算逆元
        int x,y;
        extgcd(a,m,x,y);
        return (m+x%m)%m;
    }                                
    pair<int,int> linear_congruence(){
        int B = 0,M = 1;                        //最开始解集x ≡ 0 (mod 1)表示全体整数
        for(int i=1;i<=n;i++){
            int a=p[i].a*M, b=p[i].b-p[i].a*B, m=p[i].m, d=gcd(a,m);
            if(b%d!=0) return make_pair(0,-1);//无解
            B = B + (b/d)*mod_inverse(a/d,m/d)*M;
            M = M * p[i].m/d;
        }
        return make_pair(B%M,M);
    }
    

    四、中国剩余定理

    中国剩余定理主要讲的是如果M可以表示为n*m
    那么X ≡ b (mod M)等价于X ≡ b (mod n)也等价于X ≡ b (mod m)
    简单证明一下:
    X = b + k·M = b + k·n·m
    所以:
    X = b + (k·n)·m ==> X ≡ b (mod m)
    X = b + (k·m)·n ==> X ≡ b (mod n)

    当线性同余方程组满足一定条件的情况下我们可以用中国剩余定理来求解问题。
    对于线性方程组
    X ≡ a1 (mod m1)
    X ≡ a2 (mod m2)
    X ≡ a3 (mod m3)

    X ≡ ar (mod mr)

    在m1,m2,…,mr两两互质的情况下就可以用中国剩余定理了
    M = m1 * m2 * m3 * … * mr
    此时X存在模M的唯一解
    设Mi = M/mi,则:
    Mi·Mi-1·bi ≡ bi (mod mi)
    Mi·Mi-1·bj ≡ 0 (mod mj) ,(j != i) //因为Mi%mj == 0
    所以原方程的解可以写成X = a1·M1·M1-1+a2·M1·M1-1+a3·M3·M3-1 … +ar·Mr·Mr-1

    int China(){
        int M = 1;
        ans = 0;
        for(int i=1;i<=n;i++) M*=m[i];
        for(int i=1;i<=n;i++){
            int tm = M/m[i];
            ans+=tm*mod_inverse(tm,m[i])*b[i]%M;
        }
        return ans;
    }
    
    展开全文
  • 解多元线性同余方程

    2021-02-01 11:39:51
    什么是多元线性同余方程呢?我们知道一元线性同余方程是,之所以称之为一元,是因为它只有一个未知数,那么多元线性同余方程就有多个未知数,别被吓到,其实不难,接下来我们来分析如何解它. 定义 : 形如a1x1+a2x2+...

    什么是多元线性同余方程呢?我们知道一元线性同余方程是,之所以称之为一元,是因为它只有一个未知数,那么多元线性同余方程就有多个未知数,别被吓到,其实不难,接下来我们来分析如何解它.

    定义 : 形如 a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 + . . . . + a n x n = b ( m o d m ) a1x1+a2x2+a3x3+....+anxn=b(mod m) a1x1+a2x2+a3x3+....+anxn=b(modm)的式子,我们称之为多元线性同余方程

    我们知道存在y1,y2,使得a1y1+a2y2=gcd(a1,a2),令 g c d ( a i , a i + 1 ) = g i gcd(a_{i},a_{i+1})=gi gcd(ai,ai+1)=gi,那么上式就可以写成a1y1+a2y2=g1,那么a1x1+a2x2=g1*C,C是一个常数
    我们令m=an+1
    所以可以得出
    a1x1+a2y1=g1,这里式子中x和y是未知数,通过扩展欧几里得求取,下面同理
    g1x2+a3y2=g2
    g2x3+a4y3=g3
    .
    .
    .
    g n − 1 x n + a n + 1 y n = g n g_{n-1}x_{n}+a_{n+1}y_{n}=g_{n} gn1xn+an+1yn=gn
    所以a1x1+a2x2+a3x3+…+anxn=(((a1x1+x2y1)x2+a3y2)x3+a4y3)…)
    可以发现xi=xi * xi+1 * xi+2 * … * xn * yn-1

    这里是推导过程:
    在这里插入图片描述
    Integer Sequences

    AC代码:

    /*解多元线性同余方程*/
    #include<bits/stdc++.h>
    using namespace std;
    typedef long long ll;
    ll x[105]={0};
    ll y[105]={0};
    ll A[105];
    ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
    {
    	ll g;
    	if(b==0)
    	{
    		x=1;
    		y=0;
    		g=a;
    		return g;
    	}
    	else
    	{
    		ll xtemp,ytemp;
    		g=exgcd(b,a%b,x,y);
    		xtemp=y;
    		ytemp=x-(a/b)*y;
    		x=xtemp;
    		y=ytemp;
    		return g;
    	}
    }
    int main()
    {
    	ll n,p,b,g;
    	cin>>n>>p>>b;
    	
    	for(ll i=1;i<=n;i++)
    	{
    	 cin>>A[i];
        }
    	g=A[1];
    	A[n+1]=p;
    	for(ll i=1;i<=n;i++)
    	{
    	 g=exgcd(g,A[i+1],x[i],y[i]);
       }
    	
    	if(b%g!=0)
    	{
    		cout<<"NO"<<endl;
    	}
    	else
    	{
    		cout<<"YES"<<endl;
    		y[0]=1;
    		ll c=b/g;
    		ll ans[105];
    		for(ll i=n;i>=1;i--)
    		{
    		     c=c*x[i];
    		     c=(c%p+p)%p;
    		     ans[i]=(c*y[i-1]%p+p)%p;
    		}
    		for(ll i=1;i<=n;i++) cout<<ans[i]<<" ";	
    	}
    	return 0;
    } 
    

    如果鄙人的博客能够让你有哪怕一点点的收获,都是鄙人最大的荣幸,鄙人厚着脸皮向您讨个点赞,谢谢。

    展开全文
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  • 线性同余发生器题

    千次阅读 2019-07-06 07:59:51
    第一:用线性同余发生器产生一个随机数字串,题目已经给出了4个随机数,可以初步判定是前四个随机数,因此我们需要根据这四个数来生成后面的随机数,用以随机数作偏移产生明文; 第二:密文格式,可以明显看出是...

    线性同余发生器密码解题

    题目

    贴出原题

    在这里插入图片描述

    解题思路

    • 根据题目我们可以看出,这道题目有几点需要注意。
    • 第一:用线性同余发生器产生一个随机数字串,题目已经给出了4个随机数,可以初步判定是前四个随机数,因此我们需要根据这四个数来生成后面的随机数,用以随机数作偏移产生明文;
    • 第二:密文格式,可以明显看出是ASCII值,因此也相当于个变异凯撒;
    • 第三:同时要注意flag格式问题,可以看出最后flag只有27位,而密文有31位。

    解题过程

    1. 根据已知四位随机数求解变量:

    • 线性同余发生器的公式:

    在这里插入图片描述

    • a,c,m的方法有两种,一个是数学求解,另一个是爆破。两种方法都很简单。
    • 数学求解可以通过已知的四个随机数,列得三个方程,彼此相减消元,得到一个只有模数m变量的方程,得出结果,但得到的结果不唯一,由线性同余发生器的公式可知,a和m都是素数,因此求出最大公因子是181。已知m后,随意带入一个方程,求乘法逆元,得出a和b,但可以解出许多种,仔细观察相差都是模m的倍数,相当于这些数得出的结果都是一样的,随意取一个,a为17,b为102
    • 爆破的方法直接贴代码:
    def is_prime(n):
        while True:
            for i in range(2,n):
                if n%i==0:
                    return False
            return True
    def xxx():#解出a和m
        x = []
        for i in range (1,10000):
            for j in range(1,10000):
                if ((-73*i)%j == 26 and (26*i)%j == 80 and (-47*i)%j == 106 and is_prime(i) and is_prime(j)):
                    x.append((i,j))
        return x
    def xxx1():#解出可能的a和b
        x = []
        for i in range (1,10000):
            for j in range(1,10000):
                if ((100*i+j)%181 == 173 and (173*i+j)%181 == 147 and (147*i+j)%181 == 67 and is_prime(i) ):
                    x.append((i,j))
        return x
    

    这里m直接解出一个值,就是181,但a和b有多种可能,但仔细观察可以看出,不同的(a,b)组合之间相差都是181的倍数。也可以找出a和b。

    2.生成后续随机数

    • 根据公式直接生成之后的随机数
    def cr41(sed,a,b,c,d):#d是生成随机数的个数
        key = np.zeros(d+4,dtype=int)
        key[0] = sed
        for i in range(1,d+4):
            key[i] = (a*key[i-1] + b) % c
        return key
    
    • 得到之后的随机数
      在这里插入图片描述

    3.进行解密

    • 根据算出的随机数对密文进行偏移 得到:
      在这里插入图片描述

    • 可以看出flag中带有英文单词,百度一下,是

    需要_变异_凯撒
    • 明显这不是最终的flag。
    • 但看到提示的flag总共只有27位,而密文有31位差四位,而flag到need_variation_caeser有5个乱码字符‘afZ_r’,那去掉flag,不正好有27位了吗,那说明密文的flag的就是从我们现在解密的明文第五个字符开始,也就是说,明文 ‘flag{’ 对应的是解密出来的 ‘afZ_r’,算出对应的偏移量,是 ‘5,6,7,8,9’,说明这的确是一个变异凯撒。
    • 变异凯撒就简单了。得到最后的密文flag{xpqqmq{~w|}

    完结

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空空如也

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