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  • 3维向量的点乘叉乘运算

    万次阅读 2020-11-04 20:30:36
    3维向量的点乘叉乘运算 文章目录3维向量的点乘叉乘运算三维向量的点乘三维向量的叉乘点到直线的距离点到平面的距离 三维向量的点乘 点乘得到的是对应元素乘积的和,是一个标量,没有方向 V1( x1, y1, z1)·V2(x2, y2...

    3维向量的点乘叉乘运算

    三维向量的点乘

    点乘得到的是对应元素乘积的和,是一个标量,没有方向
    V1( x1, y1, z1)·V2(x2, y2, z2) = x1x2 + y1y2 + z1*z2

    点乘可以用如下公式表示含义,θ为两个向量的夹角
    A·B = |A||B|Cos(θ)*
    通过上面的公式我们可以得到,两个向量的夹角以及一个向量在另一个向量上面的投影。
    计算夹角:
    Cos(θ) = A·B/(|A|*|B|)
    计算A向量在B向量上面的投影S为:
    S = A·B/|B|

    三维向量的叉乘

    对向量u, v叉乘,我们得到的是同时垂直于u又垂直于v的向量。用公式表达如下:

    n = u(x1, y1, z1) x v(x2, y2, z2)
    = (y1z2 - y2z1, x2z1-z2x1, x1y2 -x2y1)

    用矩阵表达为:

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    叉乘的意义为,方向为两向量的组成平面的法向量方向,大小为两向量组成的平行四边形的面积。

    点到直线的距离

    计算点到直线距离可以用叉乘的数学含义来计算,向量叉乘的大小为两向量组成平行四边形的面积。已知O, 和A,B两点,计算O到AB的距离。

    可以得到向量OA, 以及AB, 距离为
    S = |OA x AB| / |AB|

    点到平面的距离

    点到平面的距离可以用点乘的方法来计算。
    如下图所示,只需要计算向量AP 在平面法向量的投影就可以得出。
    在这里插入图片描述[公式].

    https://blog.csdn.net/zhangSMILE123456/article/details/48711719
    https://zhuanlan.zhihu.com/p/154570761

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  • 运算法则 和点乘一样,术语”叉乘“来自记法a X b 中的叉号。这里要把叉乘号写出来,不能像标量乘法那样省略它。 叉乘公式为: 叉乘的运算优先级和点乘一样,乘法在加减法之前计算。当点乘和叉乘在一起时,叉乘优先...

    这一段细枝末节很多,一篇下来篇幅很长,读下来耗时,所以分了两个部分。

    九、解释距离公式的原理。

    下面介绍计算几何中最重要的公式之一:距离公式。该公式用来计算两点之间的距离。

    首先,定义距离为两点间线段的长度。因为向量是有向线段,所以从几何意义上说,两点之间的距离等于从一个点到另一个点的向量的长度。现在,让我们导出3D中的距离公式。先计算从ab的向量d,在3D情况中:

    425cf60df3312eb33d84728929a4843e.png

    ab的距离等于向量d的长度。之前学过如何计算向量长度。

    6c7c932eb8957cfb5beea15db5e0cdd6.png

    1.3D距离公式

    这样就导出了3D中的距离公式,2D中的公式更简单。

    70311b14d04cdff846d66b7421acfb21.png

    2.2D距离公式

    看一个2D中的例子:

    8ad5d943423b9f903200e75ea0ad74fb.png

    应注意,哪个点是a和哪个点是b并不重要。如果定义d为从ba的向量而不是从ab,会得到一个稍微不同但数学上等价的公式。

    十、介绍第一种向量乘法:点乘。

    1.运算法则

    术语”点乘“来自记法a.b中的点号。与标量与向量的乘法一样,向量点乘的优先级高于加法和减法。标量乘法和标量与向量的乘法经常可以省略称呼,但在向量点乘中不能省略点乘号。

    向量点乘就是对应分量乘积的和,其结果是一个标量:

    c30fd87b661ed9acce2ee19dfd56c28b.png

    2.向量点乘

    用连加符号简写为:

    f26f48b6beb3340caeeb357e5a53cac8.png

    3.向量点乘的连加记法

    应用到2D、3D中,为:

    03132bcd7d0336aac2fa20d025cc7a25.png

    4.2D和3D点乘

    很明显,从公式中可以得出点乘满足交换律:

    d74fb50049ddcd3945d994c29306757e.png

    5.几何解释

    一般来说,点乘结果描述了两个向量的”相似“程度,点乘结果越大,两向量越相近。几何解释更直观,如下图。

    e3fe053eda3aa72e4b4f1e5aba9a21d0.png

    点乘等于向量大小与向量夹角的cos值得积:

    e27adbeb593260ab18578d7f3b3c28b0.png

    6.向量点乘的几何解释

    (3D中,两向量的夹角是在包含两向量的平面中定义的。)

    解得:

    7befbd2db011b20d28fca0fdc2ca6c11.png

    7.用点乘计算两个向量的夹角

    如果a、b是单位向量,就可以避免公式中的除法运算。在这种情况下,上式中公母是1,只剩下:

    afc8e4440ef5b9691cb845ea124fd68f.png

    8.计算两个向量的夹角

    cb50fd82c87cb8fbc3a528bf4bc22172.png

    向量大小并不影响点乘结果的符号,所以上表是和a、b大小无关的。注意,如果a、b中任意一个为零,那么最终的结果也等于零。因此,点乘对零向量的解释是,零向量和任意其他向量都垂直。

    9.向量投影

    68cf8f5daaf6f72f4a8a999b5d94c705.png

    a353a304e9ff047d31bf0649851b1561.png

    十一、介绍第二种向量乘法:叉乘。

    另一种向量乘法称作叉乘叉积,仅可应用于3D向量。和点乘不一样,点乘得到一个标量并满足交换律,向量叉乘得到一个向量并且不满足交换律。

    1.运算法则

    和点乘一样,术语”叉乘“来自记法a X b 中的叉号。这里要把叉乘号写出来,不能像标量乘法那样省略它。

    叉乘公式为:

    3e1ec5f43ba159a00452374610de1967.png

    叉乘的运算优先级和点乘一样,乘法在加减法之前计算。当点乘和叉乘在一起时,叉乘优先计算:

    05dafbae06b8a9e8ce6889a9747d0c40.png

    因为点乘返回一个标量,同时标量和向量间不能叉乘,,所以

    1e316bea5472b2899ba035ad5c3b484c.png

    没有定义,运算

    cd1f8db505a22383c21f74cd355d8dd0.png

    称作三重积。

    前面提到,向量叉乘不满足交换律。事实上,它满足反交换律

    c8130899719fbefd1bd8b94dc62d14e0.png

    叉乘也不满足结合律。

    2.几何解释

    叉乘得到的向量垂直于原来的两个向量,如图所示

    2771401c99cdee6b803834e8b23b3e33.png

    图中,向量ab在一个平面中。向量a X b 指向该平面的正上方,垂直于a b。

    a X b的长度等于向量的大小与向量夹角sin值得积,如下:

    ce78f888d65ab337a02233f64ec03c7f.png

    3.叉乘的长度与向量夹角的sin值有关

    可以看到,||a X b||也等于以ab为两边的平行四边形的面积,让我们验证这一结论,看图

    v2-82378977e61be1ec6d35af4cec88a0ef_b.jpg

    由经典几何知识可知平行四边形的面积是bh,即底和高的乘积。可以验证这一点,通过把一端的三角形”切“下来移到另一边,可构成一个矩形,如下图所示

    4cf92e71649c5ee74f9f48c93865d5b9.png

    矩形的面积由长和宽确定,上图中为bh。因为转换后的矩形面积等于原平行四边形的面积,所以该平行四边形的面积也为bh。

    如果a,b平行或任意一个为0,则a X b = 0,叉乘对零向量的解释为:它平行于任意其他向量。注意这和点乘的解释不同,点乘的解释是和任意其他向量垂直。(当然,定义零向量平行或垂直于任意向量都是不对的,因为零向量没有方向。)

    已经证明了a X b 垂直于a、b。但是垂直于a、b有两个方向。a X b指向哪个方向呢通过将a的头与b的尾相接,并检查从a b是顺时针还是逆时针,能够确定a X b的方向。在左手坐标系中,如果a b 呈顺时针,那么a X b指向您如果a b呈逆时针,a X b 远离您在右手坐标系中,恰好相反,如果a b呈顺时针,a X b远离您如果a b 呈逆时针,a X b指向您

    下图分别展示了顺时针和逆时针方向。

    39f14b4eda8251409c3eff19c8aa39d1.png

    注意,探测顺时针还是逆时针,必须让a的头与b的尾相接,

    叉乘最重要的应用就是创建垂直于平面、三角形或多边形的向量。

    十二、列出一些向量的代数运算公式。

    859e7a943356d8174be551f43a8682a1.png

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  • 数学基础 —— 向量运算叉乘

    万次阅读 2018-12-21 09:08:45
    向量的叉乘,即求同时垂直两个向量的向量,即c垂直于a,同时c垂直于b(a与c的夹角为90°,b与c的夹角为90°) c = a×b = (a.y*b.z-b.y*a.z , b.x*a.z-a.x*b.z , a.x*b.y-b.x*a.y) 以上图为例a(1,0,0),b(0,1,0)...

    向量的叉乘,即求同时垂直两个向量的向量,即c垂直于a,同时c垂直于b(a与c的夹角为90°,b与c的夹角为90°)
    c =  a×b = (a.y*b.z-b.y*a.z , b.x*a.z-a.x*b.z  , a.x*b.y-b.x*a.y)

    以上图为例a(1,0,0),b(0,1,0),c=a×b = (0,0,1) 

    叉乘的几何意义
      |c|=|a×b|=|a| |b|sinα   (α为a,b向量之间的夹角)
       |c| = a,b向量构成的平行四边形的面积 (如下图所示的平行四边形)

    叉乘的拓展
    1. 在一般的常识或者教科书中规定叉乘只有3d才拥有,其实2d也可以拓展出来一个叉乘形式,而且非常有用。
    拓展方式:假设有两个2d向量a,b,我们直接把他们视为3d向量,z轴补0,那么这个时候的a,b向量的叉乘结果c,c.x=0,c.y=0,c.z=a.x*b.y-b.x*a.y,
    这个时候可以吧2d的叉乘值定义为得到一个值,而不是得到一个向量,那么这个值k, k = c.z=a.x*b.y-b.x*a.y,我们可以通过这个k值得到很多有用的性质
          ****  1.a,b向量构成的平行四边形的面积。
            **** 2.如果k>0时,那么a正旋转到b的角度为<180°,如果k<0,那么a正旋转到b的角度为>180°,如果k=0 那么a,b向量平行。
             ps:正旋转的定义参考 
    数学基础 —— 旋转(2D 正旋转)
    --------------------- 
    作者:keng_s 
    来源:CSDN 
    原文:https://blog.csdn.net/keng_s/article/details/52131034 
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  • 并矢是一个既想在电动力学中用简单的张量又不想学数学的偷懒产物.但是好像没怎么见过哪里把这个概念定义好了, 这里就用口头语言试着理一理吧.... 这里暂且就先感性地记住运算规矩然后全"看感觉"来. 这一切问题在将来...

    4c029cade96e3117a035f3f95dcf1012.png

    并矢是一个既想在电动力学中用简单的张量又不想学数学的偷懒产物.

    但是好像没怎么见过哪里把这个概念定义好了, 这里就用口头语言试着理一理吧.

    张量积, 张量, 矩阵, 直积, 直和... 这些东西, 你觉得很混乱, 我是理解的.
    别担心, 大家在这个阶段都这样.
    因为这些东西在物理系里从来就不算 well-defined.
    这里暂且就先感性地记住运算规矩然后全"看感觉"来.
    这一切问题在将来学完物理系的群论和物理系的微分几何之后会豁然开朗. by the way, 希望最好是在本科阶段学完上面那俩, 会派上大用场的.

    并矢定义:

    运算的记号就是上面那样不点不叉就是把俩向量放在一起. 不难发现其实就是张量积/直积, 得到的也就是张量/矩阵[1], 所以当矩阵乘法运算就好了[2]. 实际上点乘/内积也是矩阵乘法, 张量积就是反过来乘吧. 那叉乘/外积呢? 其实叉乘是三维和七维独有的运算, 并不普遍. 总而言之这样记住运算就好了:

    再唠叨一大句吧, 矩阵的排列是有约定俗成的规矩的, 这点可能初学者一下子没意识到. 就比如[行列式]这个词为什么不叫[列行式]? 为什么有[左右]这个词而不是[右左]? 其实[左对应行][右对应列]在我看来应该是一个系统里面约定好的. 举个例子: 设一个

    的矩阵怎么写? 是
    还是它的转置
    ? 当然是前面那个写法啦,下标[左右]对应着[行列],第一行下标左边当然是1, 第二列下标右边当然是2. 同理我们的并矢运算也是左边的矢量掌控着行, 右边的矢量掌控着列. 最后再比如, 雅可比行列式, 是不是上面掌握着行下面掌握着列? 因为有[上下]这个词.
    well, 记不住顺序的人自己体会一下吧.

    并矢张量的运算规则:

    这就是为何要有并矢概念, 因为这样写着巨简洁且符合直觉. 就是把挨着的做内积就是了.

    也不是无中生有, 原理就是矩阵乘法, 比如:

    或者

    符号设计的蛮巧妙的吧?

    但是, 还是推荐用求和符号计算, 也就是用分量式计算, 就是:

    ✦最后补充一个一般张量与矢量的内积运算:

    其 实 也 是 矩 阵 的 乘 法 啊 (棒読み)

    ✦额外内容:

    新手搞这个矩阵运算可能反而容易翻车:

    第二步怎么来的呢?

    原来, 要考虑基的问题, 就像是每个分量的单位一样, 每个位置都有它的单位.

    实际上平时只是省写了这些基向量:

    由于存在关系

    , 所以只有
    九个量不为零.
    #注意分母是
    而非
    ,

    虽说二者放进去是等价的, 但这个写法才能体现这个运算逻辑.

    还需要说明的一点就是, 要自己心里清楚是在做什么运算才能得到正确的矩阵运算结果.

    这样好像越搞越麻烦了, 还不如用求和形式计算呢, 当初设定基向量不就是为了求和运算方便.

    参考

    1. ^这里需要指出的是矩阵并不等同于张量,同样列矩阵或行矩阵也并不等同于矢量,矩阵只是在选取了坐标系之后可以当作张量或矢量的描述工具罢了.
    2. ^这里值得指出的是,并矢实际上应该是克罗内克积(直积/张量积)的特殊情况,应该与普遍意义上矩阵的乘法相区分,但二者在n维列向量与n维行向量相运算的时候得到的结果是一致的,而这仅仅是个巧合.
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