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  • 通俗地理解贝叶斯公式(定理)
    2022-03-08 12:18:05

    通俗地理解贝叶斯公式(定理)

    朴素贝叶斯(Naive Bayesian algorithm)是有监督学习的一种分类算法,它基于“贝叶斯定理”实现,该原理的提出人是英国著名数学家托马斯·贝叶斯。贝叶斯定理是基于概率论和统计学的相关知识实现的,因此在正式学习“朴素贝叶斯算法”前,我们有必要先认识“贝叶斯定理”。

    贝叶斯定理

    贝叶斯定理的发明者 托马斯·贝叶斯 提出了一个很有意思的假设:“如果一个袋子中共有 10 个球,分别是黑球和白球,但是我们不知道它们之间的比例是怎么样的,现在,仅通过摸出的球的颜色,是否能判断出袋子里面黑白球的比例?”

    上述问题可能与我们高中时期所接受的的概率有所冲突,因为你所接触的概率问题可能是这样的:“一个袋子里面有 10 个球,其中 4 个黑球,6 个白球,如果你随机抓取一个球,那么是黑球的概率是多少?”毫无疑问,答案是 0.4。这个问题非常简单,因为我们事先知道了袋子里面黑球和白球的比例,所以很容易算出摸一个球的概率,但是在某些复杂情况下,我们无法得知“比例”,此时就引出了贝叶斯提出的问题。

    在统计学中有两个较大的分支:一个是“频率”,另一个便是“贝叶斯”,它们都有各自庞大的知识体系,而“贝叶斯”主要利用了“相关性”一词。下面以通俗易懂的方式描述一下“贝叶斯定理”:通常,事件 A 在事件 B 发生的条件下与事件 B 在事件 A 发生的条件下,它们两者的概率并不相同,但是它们两者之间存在一定的相关性,并具有以下公式(称之为“贝叶斯公式”):

    贝叶斯公式

    看到上述公式,你可能一头雾水,不过不必慌张,下面我们来了解一下“贝叶斯”公式。
    符号意义
    首先我们要了解上述公式中符号的意义:

    P(A) 这是概率中最基本的符号,表示 A 出现的概率。比如在投掷骰子时,P(2) 指的是骰子出现数字“2”的概率,这个概率是 六分之一。

    P(B|A) 是条件概率的符号,表示事件 A 发生的条件下,事件 B 发生的概率,条件概率是“贝叶斯公式”的关键所在,它也被称为“似然度”。

    P(A|B) 是条件概率的符号,表示事件 B 发生的条件下,事件 A 发生的概率,这个计算结果也被称为“后验概率”。

    有上述描述可知,贝叶斯公式可以预测事件发生的概率,两个本来相互独立的事件,发生了某种“相关性”,此时就可以通过“贝叶斯公式”实现预测。

    条件概率

    条件概率是“贝叶斯公式”的关键所在,那么如何理解条件概率呢?其实我们可以从“相关性”这一词语出发。举一个简单的例子,比如小明和小红是同班同学,他们各自准时回家的概率是 P(小明回家) = 1/2 和 P(小红回家) =1/2,但是假如小明和小红是好朋友,每天都会一起回家,那么 P(小红回家|小明回家) = 1 (理想状态下)。

    上述示例就是条件概率的应用,小红和小明之间产生了某种关联性,本来俩个相互独立的事件,变得不再独立。但是还有一种情况,比如小亮每天准时到家 P(小亮回家) =1/2,但是小亮喜欢独来独往,如果问 P(小亮回家|小红回家) 的概率是多少呢?你会发现这两者之间不存在“相关性”,小红是否到家,不会影响小亮的概率结果,因此小亮准时到家的概率仍然是 1/2。

    贝叶斯公式的核心是“条件概率”,譬如 P(B|A),就表示当 A 发生时,B 发生的概率,如果P(B|A)的值越大,说明一旦发生了 A,B 就越可能发生。两者可能存在较高的相关性。

    先验概率

    在贝叶斯看来,世界并非静止不动的,而是动态和相对的,他希望利用已知经验来进行判断,那么如何用经验进行判断呢?这里就必须要提到“先验”和“后验”这两个词语。我们先讲解“先验”,其实“先验”就相当于“未卜先知”,在事情即将发生之前,做一个概率预判。比如从远处驶来了一辆车,是轿车的概率是 45%,是货车的概率是 35%,是大客车的概率是 20%,在你没有看清之前基本靠猜,此时,我们把这个概率就叫做“先验概率”。

    后验概率

    在理解了“先验概率”的基础上,我们来研究一下什么是“后验概率?”

    我们知道每一个事物都有自己的特征,比如前面所说的轿车、货车、客车,它们都有着各自不同的特征,距离过远的时候,我们无法用肉眼分辨,而当距离达到一定范围内就可以根据各自的特征再次做出概率预判,这就是后验概率。比如轿车的速度相比于另外两者更快可以记做 P(轿车|速度快) = 55%,而客车体型可能更大,可以记做 P(客车|体型大) = 35%。

    如果用条件概率来表述 P(体型大|客车)=35%,这种通过“车辆类别”推算出“类别特征”发生的的概率的方法叫作“似然度”。这里的似然就是“可能性”的意思。

    朴素+贝叶斯

    了解完上述概念,你可能对贝叶斯定理有了一个基本的认识,实际上贝叶斯定理就是求解后验概率的过程,而核心方法是通过似然度预测后验概率,通过不断提高似然度,自然也就达到了提高后验概率的目的。

    我们知道“朴素贝叶斯算法”由两个词语组成。朴素(native)是用来修饰“贝叶斯”这个名词的。按照中文的理解“朴素”意味着简单不奢华。朴素的英文是“native”,意味着“单纯天真”。

    朴素贝叶斯是一种简单的贝叶斯算法,因为贝叶斯定理涉及到了概率学、统计学,其应用相对复杂,因此我们只能以简单的方式使用它,比如天真的认为,所有事物之间的特征都是相互独立的,彼此互不影响。关于朴素贝爷斯算法在下一节会详细介绍。

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    概述

    贝叶斯分析是整个机器学习的基础框架
    中学课本里说概率这个东西表述是一件事情发生的频率, 或者说这叫做客观概率。
    贝叶斯框架下的概率理论确从另一个角度给我们展开了答案, 它认为概率是我们个人的一个主观概念, 表明我们对某个事物发生的相信程度

    先验概率和后验概率

    也可以叫正向概率和逆向概率。

    先验概率就是不加条件(信息)的判断一件事发生的概率。比如你是否聪明的概率。你是否患病的概率。

    后验概率是在附加了某条件后判断一件事发生的概率(是一种条件概率)。这个条件可以是已知另一个事件的发生,附加的条件对我们对判断前一个事件而言相当于新的信息,借此可作出更可靠的判断,从而实现从先验概率prior到后验概率posterior的改变。
    比如已知你考上了大学,此时再判断你是否聪明的概率也变了。已知你检测呈阳性,此时再判断你是否患病的概率也变了。
    注意这一点理解思维非常重要

    贝叶斯公式的理解

    img

    P ( A ) P(A) P(A)为先验概率, P ( B ) P(B) P(B)为后验概率·, P ( B ∣ A ) P(B|A) P(BA)为条件概率,这三者即是贝叶斯统计的三要素。

    先验概率

    先验概率 P ( A ) P(A) P(A)在贝叶斯统计中具有重要意义,首先先验概率即我们在取得证据之前所指定的概率 P ( A ) P(A) P(A), 这个值通常是根据我们之前的常识,带有一定的主观色彩
    有一个非常有趣的现象是如果我们的先验概率审定为 1 1 1 0 0 0(即肯定或否定某件事发生), 那么无论我们如何增加证据你也依然得到同样的条件概率( P ( A ) = 0 / 1 → P ( A ∣ B ) = 0 / 1 P(A)=0/1 \rightarrow P(A|B)= 0/1 P(A)=0/1P(AB)=0/1) 这告诉我们的第一个经验就是不要过早的下论断,很多时候我们都是在忽略后验概率的作用

    后验概率

    后验概率 P ( B ) P(B) P(B)往往是当前的突发事件,同样需要纳入考虑范围。

    条件概率

    P ( B ∣ A ) P(B|A) P(BA)表示在A发生的前提下,B发生的概率,是以A事件100%发生来计算AB同时发生的概率。

    要与 P ( A B ) P(AB) P(AB)加以区别, P ( A B ) P(AB) P(AB)表示AB同时发生的概率,是以全体事件为100%来计算其中AB同时发生的概率。

    贝叶斯定理的意义

    如果你太注重特例(即忽视先验概率) 很有可能会误把噪声看做信号,而如果恪守先验概率忽视后验概率, 就成为无视变化而墨守成规的人。贝叶斯定理告诉我们要综合看待这二者

    数学角度的理解

    上面的通俗理解,简单来讲,就是对于一个已知事件B发生了,去探究某一原因导致这一结果发生的概率,一定要考虑到所有的可能情况。

    贝叶斯公式全盘考虑了这一原因占总原因的比例

    img

    分子为这一原因,分母为总原因。

    贝叶斯公式讲解1

    [贝叶斯共识理解](

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  • 首先,对于贝叶斯定理,还是要先了解各个概率所对应的事件。 P(A|B) 是在 B 发生的情况下 A 发生的概率; P(A) 是 A 发生的概率; P(B|A) 是在 A 发生的情况下 B 发生的概率; P(B) 是 B 发...

    from: ttps://baijiahao.baidu.com/s?id=1578164183121521878&wfr=spider&for=pc

    首先,对于贝叶斯定理,还是要先了解各个概率所对应的事件。

    P(A|B) 是在 B 发生的情况下 A 发生的概率;

    P(A) 是 A 发生的概率;

    P(B|A) 是在 A 发生的情况下 B 发生的概率;

    P(B) 是 B 发生的概率。

    还没看懂。。。那我还是举个栗子吧

    京西大旅馆为了庆祝开业三周年的好日子,老板刘强西准备带着实习生小天去郊外旅游,不过一大早天空多云:

    糟了!50%的雨天的早上是多云的!

    但多云的早上其实挺多的(大约40%的日子早上是多云的)!

    这个月干旱为主(平均30天里一般只有3天会下雨,10%)!

    刘强西45°角仰望天空,想着要不要去郊游。。。

    作为聪明的实习生,小天立马拿出他的小本子:

    此时,我们用"雨"来代表今天下雨,"云"来代表早上多云。

    当早上多云时,当天会下雨的可能性是 P(雨|云)。

    P(雨|云) = P(雨)·P(云|雨) /P(云)

    P(雨) 是今天下雨的概率 = 10%

    P(云|雨) 是在下雨天早上有云的概率 = 50%

    P(云) 早上多云的概率 = 40%

    基本的概率情况已经确定,那就简单了

    P(雨|云) =0.1×0.5/0.4=0.125

    小天:刘老板,不用看天气了,今天下午的概率只有12.5%,可以去郊游的。

    刘强西听完后:行,那赶紧上车!

    然而,“小天”算不如天算,你看,天就下雨了。。。

    小天尴尬ing

    故事到这里还没结束,超模君当时在学习贝叶斯定理的时候,时常会记不住到底是B在前,还是A在前,公式该怎么写。

    直到有一次,小天(这个小天是超模君的小天,不是刘强西的小天)看我在写贝叶斯公式,说出:AB AB AB。

    所以对于贝叶斯公式,记住AB AB AB,然后再做分组:"AB = A×BA/B"。

    别急,假如“A”还有两个可能

    各位模友,你们听说“假阳性”、“假阴性”这两个词吗?

    是的,没错,就是某些疾病检测一般喜欢用名词,医学院的同学赶紧拿好小板凳,接下来就是考试重点了。

    贝叶斯定理虽然只是一个概率计算公式,但其最著名的一个用途便是“假阳性”和“假阴性”检测。

    再丢个栗子。。。

    上次没出成郊游,刘强西却在路边捡了一只小流浪猫回京西大旅馆,每天就顾着撸猫。。。

    两天过后,刘强西突然浑身发痒,小天就想起来是不是刘强西对猫过敏,于是刘强西就做了一个简单的过敏检测:

    对于真的有这种过敏的人,检测有 80% 的机会给回 "有" 的结果;

    对于没有这种过敏的人,检测有 10% 的机会给回 "有" 的结果(而这种情况,称之为"假阳性")。

    从实际情况看,京西大旅馆的村子有 1% 的人有这种过敏,而刘强西的检测结果是 "有",那么刘强西真的有这种过敏的可能性有多大?

    P(过敏) 是有这种过敏的概率 = 1%

    P(有|过敏) 是对于真的有这种过敏的人,检测的结果是 "有" = 80%

    P(有) 是对于任何人,检测的结果是 "有" = ??%

    糟糕!我们并不知道检测结果是 "有" 的一般可能性是多少……

    不过我们可以把有这种过敏和没有这种过敏的概率相加来求这个一般概率:

    1% 的人有这种过敏,检测对 80% 的这些人说 "有"

    99% 的人没有这种过敏,检测对 10% 的这些人说 "有"

    把概率加起来:

    P(有) = 1% × 80% + 99% × 10% = 10.7%

    就是说大约 10.7% 的人会得到 "有" 的检测结果。

    那此时我们就可以计算出,刘强西真正对猫过敏的概率为

    P(过敏|有) = 1% × 80%/10.7%= 7.48%

    所以此时也就有了贝叶斯定理特别版:

    最后说多两句:

    贝叶斯统计作为常用的基础算法,不要小看其作用,其在机器学习中是占据重要的一席之地。尤其是在数据处理方面,针对事件发生的概率以及事件可信度分析上具有良好的分类效果。

    展开全文
  • 传统的机器学习离不开贝叶斯,网上讲的都不够通俗。我就来用白话阐释一下。 先上公式: ​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​ 这个公式讲了一个什么故事呢? 指的是,当新的...

    传统的机器学习离不开贝叶斯,网上讲的都不够通俗。我就来用白话阐释一下。

    先上公式:

                            ​​​​​​​        ​​​​​​​        ​​​​​​​        ​​​​​​​        

    这个公式讲了一个什么故事呢?

    指的是,当新的信息出现的时候,原来的事件的概率发生了变化。

    举个通俗的例子,当我拿一个手表放到你面前,让你猜这个手表是不是奢侈品手表时,你此时还没看这个手表,但是你认为按常理估计,这个手表大概率就是个普通的石英表。

    突然,你观察到,这个手表上写了一个VACHERON,你转念一想,万一它要是僵尸牌手表,那我不就估计错了吗?此时,你的心态发生了变化,决定把你对这个手表判断是奢侈品的概率提升到了80%。

    现在我们来分析一下你的具体心理变化过程:

    1)你首先想到的是,假设它真的是僵尸牌手表,那么它刻上VACHERON的概率是百分之百;

    2)然后你又想到的是,一般的手表哪有敢刻VACHERON字样的呢?这更加验证了这个手表不一般。

    3)经过上面两条推断,你慌了,觉得这个手表真的可能是僵尸牌手表。于是,你现在大大地认为这块表很可能值你的一个房子钱。

    现在我们来回到贝叶斯公式。

    首先,P(A)讲的是先验概率,指的是,一开始你认为这个手表是奢侈品的概率非常低。P(A|B)就是当你看到这个手表有VACHERON字样以后(也就是此时B信息发生了),你觉得它是奢侈品的概率一下就增加了好多。

    其次,调整因子,它的作用是对P(A)进行改变,让它变动成为新的概率,这个新的概率就是后验概率P(A|B)。可以看到公式里,就是P(A)经过乘以这个调整因子以后,变成了P(A|B)。

    再次,调整因子怎么解释呢?调整因子是一个分数,分母和分子就是上面我讲的故事里那儿的1)和2)。分母就是第一条,分子就是第二条。具体来讲的话就是:

    a),你考虑到万一它真的是僵尸牌手表*,那么它刻上VACHERON字样的概率就是极高的,比如100%,此时分子P(B|A)成了一个很大的数(当然作为概率它最大就是100%)。

    b),你考虑到,在所有手表当中,没有啥手表会闲着没事刻VACHERON这一串字母,所以分母P(B)就变成了一个极小的数,比如趋近1%。

    当你考虑以上两条的时候,你发现,用100%除以1%的时候,这个调整因子变的非常大。此时,你心里对这块表是奢侈品手表的概率从0.08%(这是一个随口说的数字)变成了80%。

    以上就是杰出的牧师兼统计学家贝叶斯发现的公式,以及你心里的变化过程。


    再讲几点,把上面的故事再补充一下。

    1)*“万一它真的是僵尸手表”,这里就是指的是P(B|A)这个条件概率。条件概率就是A发生的情况下B的可能性,也就是你心里假设的“万一”。

    2)我们始终的着眼点都在A上面,一开始心里估计的是P(A),后面得到的结论也是P(A|B),只不过P(A|B)是新的信息B发生了以后的A。

    3)调整因子说白了就是B对A的带动效应,这种带动效应考虑了两方面,一方面就是平常情况下B发生的概率(可能很低),另一方面就是A发生的情况下B的概率P(B|A),万一这两个真有必然性,那么P(B|A)肯定是很高的。

    4)P(B|A)算是P(B)的一种特殊情况。事实上,P(B) = P(B|A) * P(A) + P(B|非A)* P(非A)。也就是你正常算P(B)的时候也要考虑一下P(B|A)这种情况。用上面的例子讲,就是你在估计手表0.08%的概率是奢侈品的时候,0.08%中间是考虑了奢侈品和非奢侈品两种情况的,只不过由于P(非A)概率更大,所以被稀释下来了。

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贝叶斯公式的通俗解释

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