• 通过对二阶齐次线性微分方程边值问题的解析表达式进行整理和简化，得到了解式的相似结构形式；说明了该类微分方程的解，具有类似于实数可表为连分式，图形具有相似性的所谓式相似性质；指出了解式的相似性质的研究，...
• 人生有无数的可能性，考研的结果一定不是终点!但做的每一个选择都要坚持到最后!这是对自己、对梦想最大的尊重!用探索方法代替消极迷茫，用寻求技巧抵消杂乱慌张!争分夺秒，竭尽所能!悉心浇灌，静候花开!...
• :证明二阶齐次线性方程的通解可以表示成任意两个线性无 86 关解的线性组合}} \setlength\epigraphwidth{ 0.7 \linewidth} 87 \epigraph{汝当更求古之哲王以为师,如吾,不足法也.夫取法于上,仅得其中;取法 88...


tex源代码如下:

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15 \newenvironment{theorem}
18 \newtheorem*{bdtheorem}{定义}
19 \newenvironment{definition}
20 {\bigskip\begin{mdframed}[backgroundcolor=gray!40,rightline=false,leftline=false,topline=false,bottomline=false]\begin{bdtheorem}}
21     {\end{bdtheorem}\end{mdframed}\bigskip}
22 \newtheorem*{cdtheorem}{习题}
23 \newenvironment{exercise}
24 {\bigskip\begin{mdframed}[backgroundcolor=gray!40,rightline=false,leftline=false,topline=false,bottomline=false]\begin{cdtheorem}}
25     {\end{cdtheorem}\end{mdframed}\bigskip}
26 \newtheorem*{ddtheorem}{注}
27 \newenvironment{remark}
28 {\bigskip\begin{mdframed}[backgroundcolor=gray!40,rightline=false,leftline=false,topline=false,bottomline=false]\begin{ddtheorem}}
29     {\end{ddtheorem}\end{mdframed}\bigskip}
30 \newtheorem*{edtheorem}{引理}
31 \newenvironment{lemma}
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33     {\end{edtheorem}\end{mdframed}\bigskip}
34 \newtheorem*{pdtheorem}{例}
35 \newenvironment{example}
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38
39 \usepackage[protrusion=true,expansion=true]{microtype}
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44
45 \makeatletter
46 \renewcommand\@biblabel[1]{\textbf{#1.}} % Change the square brackets for each bibliography item from '[1]' to '1.'
47 \renewcommand{\@listI}{\itemsep=0pt} % Reduce the space between items in the itemize and enumerate environments and the bibliography
48
49 \renewcommand{\maketitle}{ % Customize the title - do not edit title
50   % and author name here, see the TITLE block
51   % below
52   \renewcommand\refname{参考文献}
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68     {\LARGE\@title} % Increase the font size of the title
69
70     \vspace{50pt} % Some vertical space between the title and author name
71
72     {\large\@author} % Author name
73     \\\@date % Date
74
75     \vspace{40pt} % Some vertical space between the author block and abstract
76   \end{flushright}
77 }
78
79 % ----------------------------------------------------------------------------------------
80 %    TITLE
81 % ----------------------------------------------------------------------------------------
82 \begin{document}
83 \title{\textbf{《基础偏微分方程》\footnote{David Bleecker,George
84       Csordas著,李俊杰译.高等教育出版社,丘成桐主编数学翻译丛
85       书.}习题1.1.20:证明二阶齐次线性方程的通解可以表示成任意两个线性无
86     关解的线性组合}} \setlength\epigraphwidth{0.7\linewidth}
87 \epigraph{汝当更求古之哲王以为师,如吾,不足法也.夫取法于上,仅得其中;取法
88   于中,不免为下.}{唐太宗《帝范》} \author{\small{叶卢庆}\\{\small{杭州
89       师范大学理学院,学号:1002011005}}\\{\small{Email:h5411167@gmail.com}}} % Institution
90 \renewcommand{\today}{\number\year. \number\month. \number\day}
91 \date{\today} % Date
92
93 % ----------------------------------------------------------------------------------------
94
95
96 \maketitle % Print the title section
97
98
99 % ----------------------------------------------------------------------------------------
100 % ABSTRACT AND KEYWORDS
101 % ----------------------------------------------------------------------------------------
102
103 % \renewcommand{\abstractname}{摘要} % Uncomment to change the name of the abstract to something else
104
105 % \begin{abstract}
106
107 % \end{abstract}
108
109 % \hspace*{3,6mm}\textit{关键词:} % Keywords
110
111 % \vspace{30pt} % Some vertical space between the abstract and first section
112
113 % ----------------------------------------------------------------------------------------
114 % ESSAY BODY
115 % ----------------------------------------------------------------------------------------
116 通过完成下列步骤,证明二阶齐次线性方程 $ay''+by'+cy=0$ [其中 $a,b,c$为
117 常数且 $a\neq 0$.]的通解具有 $\phi(x,c_1,c_2)=c_1y_1(x)+c_2y_2(x)$ 的
118 形式,其中$y_1(x)$ 和 $y_2(x)$ 是任意两个线性无关的解.这里假设所考虑的
119 函数处处具连续的二阶导数(这是为了让隐函数定理发挥作用).\\
120
121 根据通解的定义,我们只用证明 $c_1$ 和 $c_2$ 是函数独立的,也就是证明
122 $\forall x\in I$,
123 $$124 \begin{vmatrix} 125 \frac{\pa\phi}{\pa c_1}(x)&\frac{\pa \phi}{\pa c_2}(x)\\ 126 \frac{\pa\phi'}{\pa c_1}(x)&\frac{\pa \phi'}{\pa c_2}(x) 127 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 128 y_1(x)&y_2(x)\\ 129 y_1'(x)&y_2'(x) 130 \end{vmatrix}\neq 0. 131$$
132 结合如下两个引理: (b)和 (a),我们可以直接得到上述结论.注意,引理 (a) 的
133 意思是,两个函数线性无关,表明存在 $x_0\in I$,使得 Wronskian 不为0.这一
134 点结合引理 (b),得到 Wronskian 在整个 $I$ 上不为0.
135 \begin{exercise}[1.1.20,(b)]
136   \textbf{Abel} 公式:证明如 $y(x),z(x)$ 是 $ay''+by'+cy=0$ 的任意
137   解,则 $W[y,z](x)$ 是$aW'(x)+bW(x)=0$ 的解.于是存在依赖于 $y$ 和 $z$
138   的常数 $C$,有 $W[y,z](x)=C\exp(-bx/a)$.
139 \end{exercise}
140 \begin{proof}[探索与证明]
141   我们有
142
143     \label{eq:3}
144     ay''+by'+cy=0,
145
146
147     \label{eq:4}
148     az''+bz'+cz=0.
149
150   把 $a,b,c$ 看作未知数,\eqref{eq:3} 和 \eqref{eq:4} 是两个方程,显然不
151   能解出 $a,b,c$.但是要寻找它们之间的关系应该还是可以做到的.将方
152   程\eqref{eq:3} 的两边同时乘以 $z$,得到
153
154     \label{eq:5}
155     azy''+bzy'=-czy.
156
157   将方程 \eqref{eq:4} 的两边同时乘以 $y$,得到
158
159     \label{eq:6}
160     ayz''+byz'=-czy.
161
162   方程 \eqref{eq:5} 和方程 \eqref{eq:6} 相减,可得
163
164     \label{eq:7}
165     azy''-ayz''+bzy'-byz'=0.
166
167   \eqref{eq:7} 即
168
169     \label{eq:8}
170     a \begin{vmatrix}
171       z&y\\
172       z''&y''\\
173     \end{vmatrix}+b \begin{vmatrix}
174       z&y\\
175       z'&y'\\
176     \end{vmatrix}=0.
177
178   于是 $aW'(x)+bW(x)=0$ 成立.
179 \end{proof}
180 \begin{exercise}[1.1.20,(a)]
181   证明两函数 $f(x),g(x)$($\frac{f(x)}{g(x)}$或 $\frac{g(x)}{f(x)}$ 是可
182   微的)在某个区间 $I$ 上线性相关的充要条件是它们的 Wronskian
183 $$184 W[f,g](x)=\begin{vmatrix} 185 f(x)&g(x)\\ 186 f'(x)&g'(x) 187 \end{vmatrix} 188$$
189 对所有的 $x\in I$ 为零.
190 \end{exercise}
191 \begin{proof}[证明]
192   当 $f(x),g(x)$ 在 $I$ 上线性相关,说明存在不全为0的实
193   数 $\lambda_1,\lambda_2$,使得
194
195     \label{eq:1}
196     \lambda_1f(x)+\lambda_2g(x)=0.
197
198   因此
199
200     \label{eq:2}
201     \lambda_1f'(x)+\lambda_2g'(x)=0.
202
203   把上面的两个方程联立,把 $\lambda_1,\lambda_2$ 看作未知量.由于
204 $$205 \begin{vmatrix} 206 f(x)&0\\ 207 f'(x)&0\\ 208 \end{vmatrix} 209$$
210 和
211 $$212 \begin{vmatrix} 213 0&g(x)\\ 214 0&g'(x)\\ 215 \end{vmatrix} 216$$
217 都为0,因此根据 Cramer 法则,为了使得 $\lambda_1,\lambda_2$ 存在且不全
218 为0,必须使
219 $$220 \begin{vmatrix} 221 f(x)&g(x)\\ 222 f'(x)&g'(x) 223 \end{vmatrix}=0. 224$$\\
225
226 反之,如果
227 $$228 \begin{vmatrix} 229 f(x)&g(x)\\ 230 f'(x)&g'(x) 231 \end{vmatrix}=0, 232$$
233 则根
234 据 Cramer 法则,\eqref{eq:1} 和 \eqref{eq:2} 中的$\lambda_1,\lambda_2$
235 也存在不全为0的解.
236 \end{proof}
237
238
239 % ----------------------------------------------------------------------------------------
240 % BIBLIOGRAPHY
241 % ----------------------------------------------------------------------------------------
242
243 \bibliographystyle{unsrt}
244
245 \bibliography{sample}
246
247 % ----------------------------------------------------------------------------------------
248 \end{document}

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更新1:个人认为题目中的二阶导函数连续这个条件是不必的.

转载于:https://www.cnblogs.com/yeluqing/p/3827344.html
展开全文
• 讨论了一类二阶次线性微分方程解的振动性质，建立了两个新的振动性定理，推广和改进了Grace和Lalli（J Math Anal Appl，1987，123：584-588）的结果。
• 1、二阶常系数齐次线性微分方程 2、二阶常系数非齐次线性微分方程
1、二阶常系数齐次线性微分方程

2、二阶常系数非齐次线性微分方程


展开全文
• 二阶线性齐次微分方程 二阶线性齐次微分方程 为 非 重要的性质、定理（共6条）： 证明1：若y1、y2、y3是非的解，a、b、c为常数且a+b+c=0，y=a y1+by2+cy3则y是的解 由(7) ，则需要证明a y1+by...
以下简称
二阶线性齐次微分方程 为 齐二阶线性非齐次微分方程 为 非齐

重要的性质、定理（共6条）：
证明1：若y1、y2、y3是非齐的解，a、b、c为常数且a+b+c=0，y=a y1+by2+cy3则y是齐的解
由(7) ，则需要证明a y1+by2+cy3是 齐的解。
因为y1、y2、y3是非齐的解，故y1－y2、y2-y3是齐的解，则  C1（y1－y2）+C2（y2-y3）也是齐的解  故C1（y1－y2）+C2（y2-y3）就是齐的解  显然y1的系数=C1=a  y2的系数=-C1+C2=b  y3的系数=-C2=c  a+b+c=0

证明2： 若y1、y2、y3是非齐的解，a、b、c为常数且a+b+c=１，y=a y1+by2+cy3 则y是非齐的解
由（1），则需要证明a y1+by2+cy3是非齐的解＋齐的解
因为y1、y2、y3是非齐的解，故y1－y2、y2-y3是齐的解，则  C1（y1－y2）+C2（y2-y3）也是齐的解，而y3是非齐的解，  故C1（y1－y2）+C2（y2-y3）+y3就是非齐的解  显然y1的系数=C1=a  y2的系数=-C1+C2=b  y3的系数=-C2+1=c  a+b+c=1

证明3：若y1、y2、y3是非齐的线性无关解，a、b、c为任意常数且a+b+c=0，
y=a y1+by2+cy3，则y是齐的通解  由（7）  y1、y2、y3是非齐的线性无关解，现假设y1-y2、y2-y3也是线性无关的，  则齐的通解y=C1(y1-y2)+C2(y2-y3)  显然y1的系数=C1=a  y2的系数=-C1+C2=b  y3的系数=-C2=c  a+b+c=0
补充证明：现证明y1-y2、y2-y3是线性无关的。
假设线性有关，则存在不全为0的k1和k2，  使得k1（y1-y2）+k2（y2-y3）恒等于0  即：  (k1)y1+(k2-k1)y2-(k2)y3恒等于0  由于y1、y2、y3是线性无关的，故k1=0、k2=0，与假设相违背。因此，y1-y2、y2-y3是线性无关的。

证明4：若y1、y2、y3是非齐的线性无关解，a、b、c为任意常数且a+b+c=1，y=a y1+by2+cy3，则y是非齐的通解
由（5）  y1、y2、y3是非齐的线性无关解，现假设y1-y2、y2-y3也是线性无关的，  则齐的通解y=C1(y1-y2)+C2(y2-y3) ，  非齐的解为y3（你换成y1或者y2都是一样的，因为最后大家系数都是要加在一起的）  显然y1的系数=C1=a  y2的系数=-C1+C2=b  y3的系数=-C2+1=c  a+b+c=1
展开全文
• *本文略去了很多证明，只记录结论 *文中的微分方程均指代二阶常...由于是二阶线性微分方程，所以它有两个解，记为y1、y2y1、y2y_1、y_2，若y1y2≠Cy1y2≠C\frac{y_1}{y_2} \neq C(即两个解之比不为常数)，则y1、...
*本文略去了很多证明，只记录结论 *文中的微分方程均指代二阶常系数线性微分方程
二阶常系数齐次线性微分方程的形式为：

a

y

′

′

+

b

y

′

+

c

y

=

0

ay&#x27;&#x27; + by&#x27; + cy = 0

由于是二阶线性微分方程，所以它有两个解，记为

y

1

、

y

2

y_1、y_2

，若

y

1

y

2

≠

C

\frac{y_1}{y_2} \neq C

(即两个解之比不为常数)，则

y

1

、

y

2

y_1、y_2

线性无关，那么微分方程的通解为：

y

=

C

1

y

1

+

C

2

y

2

y = C_1y_1 + C_2y_2

我们可以通过微分方程的特征方程来计算微分方程的两个解： 对于微分方程：

a

y

′

′

+

b

y

′

+

c

y

=

0

ay&#x27;&#x27; + by&#x27; + cy = 0

它的特征方程为：

a

r

2

+

b

r

+

c

=

0

ar^2 + br + c = 0

（微分方程的n阶导对于特征方程的n次幂）
写出微分方程的特征方程后即可以用求根公式求出特征方程的解：

r

1

,

2

=

−

b

±

Δ

2

a

，

Δ

=

b

2

−

4

a

c

r_{1, 2} = \frac{-b\pm \sqrt{\Delta}}{2a}， \Delta = b^2 - 4ac

以下分情况讨论： ①当

Δ

&gt;

0

\Delta &gt; 0

时，

r

1

、

r

2

r_1、r_2

是两个不相等的实根

r

1

=

−

b

+

Δ

2

a

，

r

2

=

−

b

−

Δ

2

a

r_{1} = \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}，r_{2} = \frac{-b- \sqrt{\Delta}}{2a}

微分方程的通解为：

y

=

C

1

e

r

1

x

+

C

2

e

r

2

x

y = C_1e^{r_1x} + C_2e^{r_2x}

②当

Δ

=

0

\Delta = 0

时，

r

1

、

r

2

r_1、r_2

是两个相等的实根

r

1

=

r

2

=

−

b

2

a

r_1 = r_2 = -\frac{b}{2a}

微分方程的通解为：

y

=

C

1

e

r

1

x

+

C

2

x

e

r

2

x

y = C_1e^{r_1x} + C_2xe^{r_2x}

③当

Δ

&lt;

0

\Delta &lt; 0

时，

r

1

、

r

2

r_1、r_2

是一对共轭复根

r

1

=

α

+

β

i

，

r

2

=

α

−

β

i

r_1 = \alpha + \beta i， r_2 = \alpha - \beta i

其中

α

=

−

b

2

a

，

β

=

−

Δ

2

a

\alpha = -\frac{b}{2a}， \beta = \frac{\sqrt{-\Delta}}{2a}

微分方程的通解为：

y

=

e

a

x

(

C

1

cos

⁡

β

x

+

C

2

sin

⁡

β

x

)

y = e^{ax}(C_1\cos \beta x + C_2\sin \beta x)


展开全文
• 一、微分方程的基本概念 ...1、二阶线性微分方程举例 2、线性微分方程的解的结构 3、常数变易法 七、常系数齐次线性微分方程 八、常系数非齐次线性微分方程 1、f(x)=eλxPm(x)型 2、f(x)=eλx[Plcosω
• 利用Riccati技巧和变分原理，对带阻尼项的二阶强迫非线性微分方程建立了新的区间振动准则，推广和改进了已有的一些结果．
• 二阶齐线性微分方程就是指形如y′′+py′+q=0y&#x27;&#x27;+py&#x27;+q=0y′′+py′+q=0的微分方程，一种解法就是使用二阶微分方程的公式，这里介绍另一种方法。 对于二阶微分方程，如果找到两个线性...
• 二阶常系数非齐次线性微分方程的通解 二阶常系数非齐次线性微分方程的形式为： ay″+by′+cy=f(x) 微分方程的通解 = 对应的二阶常系数齐次线性微分方程通解 + 自身的一个特解 简单记为：通解 = 齐次通解 + ...
• 二阶线性齐次微分方程边值问题相似构造解的应用及Matlab图版分析.pdf
• 自由项f(x)为定义在区间I上的连续函数，即y''+py'+qy=0时，称为二阶常系数齐次线性微分方程。若函数y1和y2之比为常数，称y1和y2是线性相关的；若函数y1和y2之比不为常数，称y1和y2是线性无关的。特征方程为：λ^2+p...
• 利用格林函数的正性和Krasnoselskii不动点定理建立了二阶奇异非线性微分方程周期边值问题解的存在性和多重性结果。当非线性项f具有奇性且线性时，方程至少存在一个正解；当f具有奇性且超线性时，方程至少存在两个...
• 二阶线性齐次微分方程边值问题相似构造解式的基础上，首先利用相似构造法求解Bessel方程和变型的Bessel方程边值问题的解，然后建立了均质油藏的渗流规律的数学模型，再将均质油藏的渗流数学模型转换成变型的Bessel...
• 最新06 第六节 二阶常系数齐次线性微分方程.doc
• 1、二阶常系数齐次线性微分方程的解法 　y''+py'+qy = 0（其中p，q为常数）的方程称为二阶常系数齐次线性微分方程，求解步骤： 　（1）特征方程：λ2+pλ+q = 0; 　（2）根据特征方程的根分为以下三种情形： ...
• 一、二阶线性微分方程的引入 【例1】设有一弹簧，它的上端固定，下端挂一个质量为的物体。当物体处于静止状态时，作用在物体上的重力与弹性力大小相等，方向相反。这个位置就是物体的平衡位置。如图，取轴铅直向下...
• 用Matlab解二阶齐次微分方程大纲函数代码 大纲 用Matlab解二阶齐次微分方程，网上很多麻烦又累赘又无用的东西，一句话解决的事。 函数 dsolve(‘a’，‘b’，‘c’)：解微分方程函数 a：（二阶微分方程 b： ...
• 原文：https://www.q-math.com/?p=282
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• 在假设二阶变系数非齐次线性微分方程两个变系数关系已知的前提下，利用降阶法推出几类二阶变系数齐次线性微分方程的通解表达式.
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• 最新07 第七节 二阶常系数非齐次线性微分方程.doc

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