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问答
  • 通过对二阶齐次线性微分方程边值问题的解析表达式进行整理和简化,得到了解式的相似结构形式;说明了该类微分方程的解,具有类似于实数可表为连分式,图形具有相似性的所谓式相似性质;指出了解式的相似性质的研究,...
  • 人生有无数的可能性,考研的结果一定不是终点!但做的每一个选择都要坚持到最后!这是对自己、对梦想最大的尊重!用探索方法代替消极迷茫,用寻求技巧抵消杂乱慌张!争分夺秒,竭尽所能!悉心浇灌,静候花开!...
  • :证明二阶齐次线性方程的通解可以表示成任意两个线性无 86 关解的线性组合}} \setlength\epigraphwidth{ 0.7 \linewidth} 87 \epigraph{汝当更求古之哲王以为师,如吾,不足法也.夫取法于上,仅得其中;取法 88...

    tex源代码如下:

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     12 \newtheorem*{adtheorem}{定理}
     13 \setCJKmainfont[BoldFont=FZYaoTi,ItalicFont=FZYaoTi]{FZYaoTi}
     14 \definecolor{shadecolor}{rgb}{1.0,0.9,0.9}
     15 \newenvironment{theorem}
     16 {\bigskip\begin{mdframed}[backgroundcolor=gray!40,rightline=false,leftline=false,topline=false,bottomline=false]\begin{adtheorem}}
     17     {\end{adtheorem}\end{mdframed}\bigskip}
     18 \newtheorem*{bdtheorem}{定义}
     19 \newenvironment{definition}
     20 {\bigskip\begin{mdframed}[backgroundcolor=gray!40,rightline=false,leftline=false,topline=false,bottomline=false]\begin{bdtheorem}}
     21     {\end{bdtheorem}\end{mdframed}\bigskip}
     22 \newtheorem*{cdtheorem}{习题}
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     25     {\end{cdtheorem}\end{mdframed}\bigskip}
     26 \newtheorem*{ddtheorem}{注}
     27 \newenvironment{remark}
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     29     {\end{ddtheorem}\end{mdframed}\bigskip}
     30 \newtheorem*{edtheorem}{引理}
     31 \newenvironment{lemma}
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     48 
     49 \renewcommand{\maketitle}{ % Customize the title - do not edit title
     50   % and author name here, see the TITLE block
     51   % below
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     70     \vspace{50pt} % Some vertical space between the title and author name
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     77 }
     78 
     79 % ----------------------------------------------------------------------------------------
     80 %    TITLE
     81 % ----------------------------------------------------------------------------------------
     82 \begin{document}
     83 \title{\textbf{《基础偏微分方程》\footnote{David Bleecker,George
     84       Csordas著,李俊杰译.高等教育出版社,丘成桐主编数学翻译丛
     85       书.}习题1.1.20:证明二阶齐次线性方程的通解可以表示成任意两个线性无
     86     关解的线性组合}} \setlength\epigraphwidth{0.7\linewidth}
     87 \epigraph{汝当更求古之哲王以为师,如吾,不足法也.夫取法于上,仅得其中;取法
     88   于中,不免为下.}{唐太宗《帝范》} \author{\small{叶卢庆}\\{\small{杭州
     89       师范大学理学院,学号:1002011005}}\\{\small{Email:h5411167@gmail.com}}} % Institution
     90 \renewcommand{\today}{\number\year. \number\month. \number\day}
     91 \date{\today} % Date
     92 
     93 % ----------------------------------------------------------------------------------------
     94 
     95 
     96 \maketitle % Print the title section
     97 
     98 
     99 % ----------------------------------------------------------------------------------------
    100 % ABSTRACT AND KEYWORDS
    101 % ----------------------------------------------------------------------------------------
    102 
    103 % \renewcommand{\abstractname}{摘要} % Uncomment to change the name of the abstract to something else
    104 
    105 % \begin{abstract}
    106 
    107 % \end{abstract}
    108 
    109 % \hspace*{3,6mm}\textit{关键词:} % Keywords
    110 
    111 % \vspace{30pt} % Some vertical space between the abstract and first section
    112 
    113 % ----------------------------------------------------------------------------------------
    114 % ESSAY BODY
    115 % ----------------------------------------------------------------------------------------
    116 通过完成下列步骤,证明二阶齐次线性方程 $ay''+by'+cy=0$ [其中 $a,b,c$为
    117 常数且 $a\neq 0$.]的通解具有 $\phi(x,c_1,c_2)=c_1y_1(x)+c_2y_2(x)$ 的
    118 形式,其中$y_1(x)$ 和 $y_2(x)$ 是任意两个线性无关的解.这里假设所考虑的
    119 函数处处具连续的二阶导数(这是为了让隐函数定理发挥作用).\\
    120 
    121 根据通解的定义,我们只用证明 $c_1$ 和 $c_2$ 是函数独立的,也就是证明
    122 $\forall x\in I$,
    123 $$
    124 \begin{vmatrix}
    125   \frac{\pa\phi}{\pa c_1}(x)&\frac{\pa \phi}{\pa c_2}(x)\\
    126 \frac{\pa\phi'}{\pa c_1}(x)&\frac{\pa \phi'}{\pa c_2}(x)
    127 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}
    128   y_1(x)&y_2(x)\\
    129 y_1'(x)&y_2'(x)
    130 \end{vmatrix}\neq 0.
    131 $$
    132 结合如下两个引理: (b)和 (a),我们可以直接得到上述结论.注意,引理 (a) 的
    133 意思是,两个函数线性无关,表明存在 $x_0\in I$,使得 Wronskian 不为0.这一
    134 点结合引理 (b),得到 Wronskian 在整个 $I$ 上不为0.
    135 \begin{exercise}[1.1.20,(b)]
    136   \textbf{Abel} 公式:证明如 $y(x),z(x)$ 是 $ay''+by'+cy=0$ 的任意
    137   解,则 $W[y,z](x)$ 是$aW'(x)+bW(x)=0$ 的解.于是存在依赖于 $y$ 和 $z$
    138   的常数 $C$,有 $W[y,z](x)=C\exp(-bx/a)$.
    139 \end{exercise}
    140 \begin{proof}[探索与证明]
    141   我们有
    142   \begin{equation}
    143     \label{eq:3}
    144     ay''+by'+cy=0,
    145   \end{equation}
    146   \begin{equation}
    147     \label{eq:4}
    148     az''+bz'+cz=0.
    149   \end{equation}
    150   把 $a,b,c$ 看作未知数,\eqref{eq:3} 和 \eqref{eq:4} 是两个方程,显然不
    151   能解出 $a,b,c$.但是要寻找它们之间的关系应该还是可以做到的.将方
    152   程\eqref{eq:3} 的两边同时乘以 $z$,得到
    153   \begin{equation}
    154     \label{eq:5}
    155     azy''+bzy'=-czy.
    156   \end{equation}
    157   将方程 \eqref{eq:4} 的两边同时乘以 $y$,得到
    158   \begin{equation}
    159     \label{eq:6}
    160     ayz''+byz'=-czy.
    161   \end{equation}
    162   方程 \eqref{eq:5} 和方程 \eqref{eq:6} 相减,可得
    163   \begin{equation}
    164     \label{eq:7}
    165     azy''-ayz''+bzy'-byz'=0.
    166   \end{equation}
    167   \eqref{eq:7} 即
    168   \begin{equation}
    169     \label{eq:8}
    170     a \begin{vmatrix}
    171       z&y\\
    172       z''&y''\\
    173     \end{vmatrix}+b \begin{vmatrix}
    174       z&y\\
    175       z'&y'\\
    176     \end{vmatrix}=0.
    177   \end{equation}
    178   于是 $aW'(x)+bW(x)=0$ 成立.
    179 \end{proof}
    180 \begin{exercise}[1.1.20,(a)]
    181   证明两函数 $f(x),g(x)$($\frac{f(x)}{g(x)}$或 $\frac{g(x)}{f(x)}$ 是可
    182   微的)在某个区间 $I$ 上线性相关的充要条件是它们的 Wronskian
    183 $$
    184 W[f,g](x)=\begin{vmatrix}
    185   f(x)&g(x)\\
    186   f'(x)&g'(x)
    187 \end{vmatrix}
    188 $$
    189 对所有的 $x\in I$ 为零.
    190 \end{exercise}
    191 \begin{proof}[证明]
    192   当 $f(x),g(x)$ 在 $I$ 上线性相关,说明存在不全为0的实
    193   数 $\lambda_1,\lambda_2$,使得
    194   \begin{equation}
    195     \label{eq:1}
    196     \lambda_1f(x)+\lambda_2g(x)=0.
    197   \end{equation}
    198   因此
    199   \begin{equation}
    200     \label{eq:2}
    201     \lambda_1f'(x)+\lambda_2g'(x)=0.
    202   \end{equation}
    203   把上面的两个方程联立,把 $\lambda_1,\lambda_2$ 看作未知量.由于
    204 $$
    205 \begin{vmatrix}
    206   f(x)&0\\
    207   f'(x)&0\\
    208 \end{vmatrix}
    209 $$
    210 211 $$
    212 \begin{vmatrix}
    213   0&g(x)\\
    214   0&g'(x)\\
    215 \end{vmatrix}
    216 $$
    217 都为0,因此根据 Cramer 法则,为了使得 $\lambda_1,\lambda_2$ 存在且不全
    218 为0,必须使
    219 $$
    220 \begin{vmatrix}
    221   f(x)&g(x)\\
    222   f'(x)&g'(x)
    223 \end{vmatrix}=0.
    224 $$\\
    225 
    226 反之,如果
    227 $$
    228 \begin{vmatrix}
    229   f(x)&g(x)\\
    230   f'(x)&g'(x)
    231 \end{vmatrix}=0,
    232 $$
    233 则根
    234 据 Cramer 法则,\eqref{eq:1} 和 \eqref{eq:2} 中的$\lambda_1,\lambda_2$
    235 也存在不全为0的解.
    236 \end{proof}
    237 
    238 
    239 % ----------------------------------------------------------------------------------------
    240 % BIBLIOGRAPHY
    241 % ----------------------------------------------------------------------------------------
    242 
    243 \bibliographystyle{unsrt}
    244 
    245 \bibliography{sample}
    246 
    247 % ----------------------------------------------------------------------------------------
    248 \end{document}
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    更新1:个人认为题目中的二阶导函数连续这个条件是不必的.

     

     

     

    转载于:https://www.cnblogs.com/yeluqing/p/3827344.html

    展开全文
  • 讨论了一类二阶次线性微分方程解的振动性质,建立了两个新的振动性定理,推广和改进了Grace和Lalli(J Math Anal Appl,1987,123:584-588)的结果。
  • 1、二阶常系数齐次线性微分方程 2、二阶常系数非齐次线性微分方程

    1、二阶常系数齐次线性微分方程

     

    2、二阶常系数非齐次线性微分方程

     

    展开全文
  • 二阶线性齐次微分方程 二阶线性齐次微分方程 为 非 重要的性质、定理(共6条): 证明1:若y1、y2、y3是非的解,a、b、c为常数且a+b+c=0,y=a y1+by2+cy3则y是的解 由(7) ,则需要证明a y1+by...

    以下简称

    • 二阶线性齐次微分方程 为 齐
    • 二阶线性非齐次微分方程 为 非齐

    重要的性质、定理(共6条):
    重要的6条性质

    证明1:若y1、y2、y3是非齐的解,a、b、c为常数且a+b+c=0,y=a y1+by2+cy3则y是齐的解

    由(7) ,则需要证明a y1+by2+cy3是 齐的解。

    因为y1、y2、y3是非齐的解,故y1-y2、y2-y3是齐的解,则
    C1(y1-y2)+C2(y2-y3)也是齐的解
    故C1(y1-y2)+C2(y2-y3)就是齐的解
    显然y1的系数=C1=a
    y2的系数=-C1+C2=b
    y3的系数=-C2=c
    a+b+c=0


    证明2: 若y1、y2、y3是非齐的解,a、b、c为常数且a+b+c=1,y=a y1+by2+cy3 则y是非齐的解

    由(1),则需要证明a y1+by2+cy3是非齐的解+齐的解

    因为y1、y2、y3是非齐的解,故y1-y2、y2-y3是齐的解,则
    C1(y1-y2)+C2(y2-y3)也是齐的解,而y3是非齐的解,
    故C1(y1-y2)+C2(y2-y3)+y3就是非齐的解
    显然y1的系数=C1=a
    y2的系数=-C1+C2=b
    y3的系数=-C2+1=c
    a+b+c=1


    证明3:若y1、y2、y3是非齐的线性无关解,a、b、c为任意常数且a+b+c=0,

    y=a y1+by2+cy3,则y是齐的通解
    由(7)
    y1、y2、y3是非齐的线性无关解,现假设y1-y2、y2-y3也是线性无关的,
    则齐的通解y=C1(y1-y2)+C2(y2-y3)
    显然y1的系数=C1=a
    y2的系数=-C1+C2=b
    y3的系数=-C2=c
    a+b+c=0

    补充证明:现证明y1-y2、y2-y3是线性无关的。

    假设线性有关,则存在不全为0的k1和k2,
    使得k1(y1-y2)+k2(y2-y3)恒等于0
    即:
    (k1)y1+(k2-k1)y2-(k2)y3恒等于0
    由于y1、y2、y3是线性无关的,故k1=0、k2=0,与假设相违背。因此,y1-y2、y2-y3是线性无关的。


    证明4:若y1、y2、y3是非齐的线性无关解,a、b、c为任意常数且a+b+c=1,y=a y1+by2+cy3,则y是非齐的通解

    由(5)
    y1、y2、y3是非齐的线性无关解,现假设y1-y2、y2-y3也是线性无关的,
    则齐的通解y=C1(y1-y2)+C2(y2-y3) ,
    非齐的解为y3(你换成y1或者y2都是一样的,因为最后大家系数都是要加在一起的)
    显然y1的系数=C1=a
    y2的系数=-C1+C2=b
    y3的系数=-C2+1=c
    a+b+c=1

    展开全文
  • 二阶常系数齐次线性微分方程的通解

    万次阅读 多人点赞 2018-03-25 17:13:57
    *本文略去了很多证明,只记录结论 *文中的微分方程均指代二阶常...由于是二阶线性微分方程,所以它有两个解,记为y1、y2y1、y2y_1、y_2,若y1y2≠Cy1y2≠C\frac{y_1}{y_2} \neq C(即两个解之比不为常数),则y1、...

    *本文略去了很多证明,只记录结论
    *文中的微分方程均指代二阶常系数线性微分方程

    二阶常系数齐次线性微分方程的形式为:
    a y ′ ′ + b y ′ + c y = 0 ay'' + by' + cy = 0 ay+by+cy=0
    由于是二阶线性微分方程,所以它有两个解,记为 y 1 、 y 2 y_1、y_2 y1y2,若 y 1 y 2 ≠ C \frac{y_1}{y_2} \neq C y2y1̸=C(即两个解之比不为常数),则 y 1 、 y 2 y_1、y_2 y1y2线性无关,那么微分方程的通解为:
    y = C 1 y 1 + C 2 y 2 y = C_1y_1 + C_2y_2 y=C1y1+C2y2

    我们可以通过微分方程的特征方程来计算微分方程的两个解:
    对于微分方程: a y ′ ′ + b y ′ + c y = 0 ay'' + by' + cy = 0 ay+by+cy=0

    它的特征方程为: a r 2 + b r + c = 0 ar^2 + br + c = 0 ar2+br+c=0(微分方程的n阶导对于特征方程的n次幂)

    写出微分方程的特征方程后即可以用求根公式求出特征方程的解:
    r 1 , 2 = − b ± Δ 2 a , Δ = b 2 − 4 a c r_{1, 2} = \frac{-b\pm \sqrt{\Delta}}{2a}, \Delta = b^2 - 4ac r1,2=2ab±Δ Δ=b24ac
    以下分情况讨论:
    ①当 Δ > 0 \Delta > 0 Δ>0时, r 1 、 r 2 r_1、r_2 r1r2是两个不相等的实根 r 1 = − b + Δ 2 a , r 2 = − b − Δ 2 a r_{1} = \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a},r_{2} = \frac{-b- \sqrt{\Delta}}{2a} r1=2ab+Δ r2=2abΔ

    微分方程的通解为: y = C 1 e r 1 x + C 2 e r 2 x y = C_1e^{r_1x} + C_2e^{r_2x} y=C1er1x+C2er2x
    ②当 Δ = 0 \Delta = 0 Δ=0时, r 1 、 r 2 r_1、r_2 r1r2是两个相等的实根 r 1 = r 2 = − b 2 a r_1 = r_2 = -\frac{b}{2a} r1=r2=2ab

    微分方程的通解为: y = C 1 e r 1 x + C 2 x e r 2 x y = C_1e^{r_1x} + C_2xe^{r_2x} y=C1er1x+C2xer2x
    ③当 Δ &lt; 0 \Delta &lt; 0 Δ<0时, r 1 、 r 2 r_1、r_2 r1r2是一对共轭复根 r 1 = α + β i , r 2 = α − β i r_1 = \alpha + \beta i, r_2 = \alpha - \beta i r1=α+βir2=αβi其中 α = − b 2 a , β = − Δ 2 a \alpha = -\frac{b}{2a}, \beta = \frac{\sqrt{-\Delta}}{2a} α=2abβ=2aΔ

    微分方程的通解为: y = e a x ( C 1 cos ⁡ β x + C 2 sin ⁡ β x ) y = e^{ax}(C_1\cos \beta x + C_2\sin \beta x) y=eax(C1cosβx+C2sinβx)

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  • 利用Riccati技巧和变分原理,对带阻尼项的二阶强迫非线性微分方程建立了新的区间振动准则,推广和改进了已有的一些结果.
  • 如何解二阶齐线性微分方程

    万次阅读 2019-05-04 14:04:30
    二阶齐线性微分方程就是指形如y′′+py′+q=0y&#x27;&#x27;+py&#x27;+q=0y′′+py′+q=0的微分方程,一种解法就是使用二阶微分方程的公式,这里介绍另一种方法。 对于二阶微分方程,如果找到两个线性...
  • 二阶常系数非齐次线性微分方程的通解

    万次阅读 多人点赞 2019-06-03 21:13:20
    二阶常系数非齐次线性微分方程的通解 二阶常系数非齐次线性微分方程的形式为: ay″+by′+cy=f(x) 微分方程的通解 = 对应的二阶常系数齐次线性微分方程通解 + 自身的一个特解 简单记为:通解 = 齐次通解 + ...
  • 二阶线性齐次微分方程边值问题相似构造解的应用及Matlab图版分析.pdf
  • 自由项f(x)为定义在区间I上的连续函数,即y''+py'+qy=0时,称为二阶常系数齐次线性微分方程。若函数y1和y2之比为常数,称y1和y2是线性相关的;若函数y1和y2之比不为常数,称y1和y2是线性无关的。特征方程为:λ^2+p...
  • 利用格林函数的正性和Krasnoselskii不动点定理建立了二阶奇异非线性微分方程周期边值问题解的存在性和多重性结果。当非线性项f具有奇性且线性时,方程至少存在一个正解;当f具有奇性且超线性时,方程至少存在两个...
  • 二阶线性齐次微分方程边值问题相似构造解式的基础上,首先利用相似构造法求解Bessel方程和变型的Bessel方程边值问题的解,然后建立了均质油藏的渗流规律的数学模型,再将均质油藏的渗流数学模型转换成变型的Bessel...
  • 最新06 第六节 二阶常系数齐次线性微分方程.doc
  • 1、二阶常系数齐次线性微分方程的解法  y''+py'+qy = 0(其中p,q为常数)的方程称为二阶常系数齐次线性微分方程,求解步骤:  (1)特征方程:λ2+pλ+q = 0;  (2)根据特征方程的根分为以下三种情形: ...
  • 一、二阶线性微分方程的引入 【例1】设有一弹簧,它的上端固定,下端挂一个质量为的物体。当物体处于静止状态时,作用在物体上的重力与弹性力大小相等,方向相反。这个位置就是物体的平衡位置。如图,取轴铅直向下...
  • 用Matlab解二阶齐次微分方程

    千次阅读 2020-11-07 21:44:59
    用Matlab解二阶齐次微分方程大纲函数代码 大纲 用Matlab解二阶齐次微分方程,网上很多麻烦又累赘又无用的东西,一句话解决的事。 函数 dsolve(‘a’,‘b’,‘c’):解微分方程函数 a:(二阶微分方程 b: ...
  • 二阶常系数线性微分方程求解

    千次阅读 2019-04-19 18:35:05
    原文:https://www.q-math.com/?p=282
  • 形如:y''+py'+qy=0的二阶齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程 求法:令y=e^(rx)次方r为待求系数,得到 (r^2+pr+q)e^(rx)=0 因为e^x次方恒大于0,所以r^2+pr+q=0,这个式子被称为特征方程 根据...
  • 在假设二阶变系数非齐次线性微分方程两个变系数关系已知的前提下,利用降阶法推出几类二阶变系数齐次线性微分方程的通解表达式.
  • 二阶常系数齐次线性微分方程 方程:y′′+py′+qy=0y{''}+py{'}+qy=0y′′+py′+qy=0 称为二阶常系数齐次线性微分方程, 其中p qp\ qp q均为常数 如果y1 y2y_1\ y_2y1​ y2​是方程的两个线性...
  • 在适当的结构条件和标准假设下,采用基于粘性解理论的新方法,证明了完全非线性系统:F(t,x,x,¨x)= 0 周期解的存在唯一性。
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