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  • 路线规划器API Route Planner API解决旅行销售员问题。 该API使用Google距离和方向矩阵API来计算输入的地址数之间的优化路线。
  • 旅行销售员问题-------分支限界法

    千次阅读 2015-12-02 19:40:25
    旅行销售员问题 问题:某售货员要到若干城市去推销,已知各城市之间的路程(或旅费),求一条从驻地出发,经过每个城市仅一次,最后回到驻地的路线,使总的路程(或总旅费)最小。   旅行...

           分支界限法即界限剪枝法在分支界限法中,每一个活结点只有一次机会成为扩展结点。活结点一旦成为扩展结点,就一次性产生其所有儿子结点。在这些儿子结点中,导致不可行解或导致非最优解的儿子结点被舍弃,其余儿子结点被加入活结点表中。此后,从活结点表中取下一结点成为当前扩展结点,并重复上述结点扩展过程。这个过程一直持续到找到所需的解或活结点表为空时为止

    限界剪枝法的基本思想

    1. 限界剪枝法与回溯法的不同

        (1)求解目标:回溯法的求解目标是找出解空间树中满足约束条件的所有解,而分支限界法的求解目标则是找出满足约束条件的一个解,或是在满足约束条件的解中找出在某种意义下的最优解。

        (2)搜索方式的不同:回溯法以深度优先的方式搜索解空间树,而分支限界法则以广度优先或以最小耗费优先的方式搜索解空间树。

    常见的两种分支限界法

    (1)队列式(FIFO)分支限界法

    按照队列先进先出(FIFO)原则选取下一个节点为扩展节点。

    (2)优先队列式分支限界法

    按照优先队列中规定的优先级选取优先级最高的节点成为当前扩展节点。

    搜索方式------最小耗费搜索法

    下界估值函数~C(x), ~C(x)是C(x)的下界估值, ~C(x)可即时计算. 当x为解结点时,~C(x)=C(x)=D(x)

    下界估值越小,分枝含有最优解的可能越大。优先搜索下界估值最小的结点,则第一个待扩展的解结点为最优解。

    最小耗费搜索法的算法描述
    设T为状态空间树的根结点;~C(x)为耗费估计函数;初始化优先队列Q;
    计算~C(T),并将T入队;
    循环,直到队列Q空(无解):
        结点e出队;
        若e是回答结点,则
         输出解或求解路径,求解结束; 否则 检查e的所有子结点x:     
    若x满足约束条件,则  计算~C(x),并将x入队;
        记录搜索路径;
    当~C(x)满足:~C(x)≤C(x),C(x)单调,解结点的~C(x)=C(x)时,上述算法可以正确找到C(x)的最小耗费解;
    限界剪枝法的算法描述
    设T为状态空间树的根结点;~C(x)为耗费估计函数; 初始化优先队列Q ,初始化U=u(T); 计算~C(T),并将T入队; 循环,直到队列Q空(无解):
        结点e出队;
        若e是回答结点,则 输出解或求解路径,求解结束; 否则,若~C(e)≤U,则  检查e的所有子结点x,若x满足约束条件,则 计算~C(x),若~C(x)≤U,则 将x入队,并计算u(x);  若u(x)<U,则令U=u(x); 记录搜索路径;
    旅行销售员问题
    问题:某售货员要到若干城市去推销,已知各城市之间的路程(或旅费),求一条从驻地出发,经过每个城市仅一次,最后回到驻地的路线,使总的路程(或总旅费)最小。

          旅行售货员问题的解空间可以组织成一棵树,从树的根结点到任一叶结点的路径定义了图的一条周游路线。旅行售货员问题要在图G中找出费用最小的周游路线。路线是一个带权图。图中各边的费用(权)为正数。图的一条周游路线是包括V中的每个顶点在内的一条回路。周游路线的费用是这条路线上所有边的费用之和。 
    定义耗费函数C(x):
    当x为解结点时,C(x)取x的路线耗费;
    当x不是解结点时,C(x)取x的子树中最小耗费解结点的耗费;
    定义上界函数u(x):
    当x为解结点时,u(x) = C(x);
    当x不是解结点时,u(x) = ∞;
    为了定义C(x)的下界~C(x),引入权值矩阵的归约矩阵:
    从权值矩阵的每一行(列)中减去该行(列)的最小值,称为对行(列)的归约,被减去的最小值称为该行(列)的约数;对一个矩阵的行和列都做归约,称为原矩阵的归约矩阵,行列约数之和称为原矩阵的约数,记为r ;
        由归约矩阵的定义可知,在有向连通网上的一条极大简单回路的路径权值之和等于权值矩阵的归约矩阵的约数r+归约矩阵上的对应权值之和;因此r是路径权值的一个下界,可作为C(x)的下界函数;定义~C(T)=r;




    展开全文
  • 职员旅行 解决问题旅行问题的算法的C#算法实现(针对图和计算算法)(PUC Minas Barreiro的信息系统第4期)。 解决方案:最近邻算法(Greedy)和蛮力算法(Brute Force)
  • Survey-Paper-Euclidean-TSP:本文介绍了有关受欢迎的旅行销售员问题的欧几里得版本的调查,并包括了对解决该问题的各种方法的回顾和比较。
  • 回溯法求问题的一个解时,只要搜索到问题的一个解就可结束。这种以深度优先方式系统搜索问题解的算法称为回溯法,它适用于求解组合数较大的问题。 C/C++: 图的m着色问题: #include <iostream> #define ...

    回溯法求问题的一个解时,只要搜索到问题的一个解就可结束。这种以深度优先方式系统搜索问题解的算法称为回溯法,它适用于求解组合数较大的问题。

    C/C++:

    图的m着色问题:

    #include <iostream>
    
    #define Max 15
    using namespace std;
    int vertexCount=0;
    int color[Max]={0};
    int arc[Max][Max]={0};
    int visited[Max]={0};
    void init()
    {
    cout<<"请输入定点数目:\n";
    cin>>vertexCount;
    int t;
    cout<<"请输入边的数目:\n";
    cin>>t;
    for(int i=0;i!=t;++i)
    {
    cout<<"请输入第"<<i+1<<"条边:\n";
    int a,b;
    cin>>a>>b;
    arc[a-1][b-1]=1;
    arc[b-1][a-1]=1;
    }
    }
    void DFSTraverse(int s)
    {
    if(visited[s]) return;
    int t=1;
    bool flag;
    do{
    flag=false;
    for(int i=0;i!=vertexCount;++i)
    {
    if(arc[s][i]&&color[i]==t)
    {
    flag=true;
    t++;
    break;
    }
    }
    }while(flag);
    color[s]=t;
    visited[s]=1;
    for(int i=0;i!=vertexCount;++i)
    {
    if(arc[s][i]&&visited[i]==0)
    DFSTraverse(i);
    }
    }
    void show()
    {
    for(int i=0;i!=vertexCount;++i)
    cout<<"顶点"<<i+1<<" 颜色"<<color[i]<<endl;
    }
    int main()
    {
    init();
    for(int i=0;i!=vertexCount;++i)
    DFSTraverse(i);
    show();
    
    }
    

    Java:

    图的m着色问题:

    
    import java.util.Scanner;
    
    public class Coloring {
        static int n, m;            // 图的顶点数,可用颜色数
        static boolean[][] a;       // 图的邻接矩阵
        static int[] x;             // 当前解
        static long sum;            // 当前已找到的可m着色方案数
    
        public static void main(String[] args) {
            Scanner s = new Scanner(System.in);
            System.out.println("输入图的顶点数,可用颜色数");
            n = s.nextInt();
            m = s.nextInt();
            x = new int[n + 1];
            a = new boolean[n + 1][n + 1];
    
            int xx, yy;
    
            while (true) {
                System.out.println("请输入相邻点对 x y");
                xx = s.nextInt();
                if (xx == -1)
                    break;
                yy = s.nextInt();
                a[xx][yy] = true;
                a[yy][xx] = true;
            }
    
            System.out.println("可用方案数为:" + mColoring(m));
    
            s.close();
        }
    
        static long mColoring(int mm) {
            m = mm;
            sum = 0;
            backtrack(1);
            return sum;
        }
    
        private static void backtrack(int t) {
            if (t > n) { // 到达叶节点,表示该方案可行
                sum++;  // 可行解数量加1,并输出可行解
                System.out.print("方案" + sum + ":  ");
                for (int i = 1; i <= n; i++) {
                    System.out.print(x[i] + "\t");
                }
                System.out.println();
            } else {
                for (int i = 1; i <= m; i++) {  //m叉树
                    x[t] = i;
                    if (ok(t))              // 继续遍历叶结点
                        backtrack(t + 1);
                    x[t] = 0;
                }
            }
        }
    
        private static boolean ok(int k) {
            for (int j = 1; j <= n; j++) {
                if (a[k][j] && (x[j] == x[k])) //  a[k][j]:相邻接, x[j] == x[k] 同色
                    return false;
            }
            return true;
        }
    }
    

     旅行销售员问题:

    import java.util.Arrays;
    import java.util.Scanner;
    
    /**
     *
     * @author 刘宁宁
     */
    
    public class BBTSP {
    static int n;       // 图G顶点数
        static int[] x;     // 当前解
        static int[] bestx; // 当前最优解
        static float bestc = Float.MAX_VALUE; // 当前最优值
        static float cc;    // 当前费用
        static float[][] a; // 图G的邻接矩阵
    
        public static void main(String[] args) {
            Scanner s = new Scanner(System.in);
            System.out.println("请输入顶点数");
            n = s.nextInt();
    
            init(n);
            input(s);
            print();
            s.close();
        }
    
        private static void input(Scanner s) {
            System.out.println("请输入相邻的两个点的编号和距离(输入-1结束):");
            int xx, yy;
            while (true) {
                xx = s.nextInt();
                if (xx == -1)
                    break;
                yy = s.nextInt();
                a[yy][xx] = a[xx][yy] = s.nextFloat();
            }
        }
    
        private static void print() {
            System.out.println("最短距离为:" + tsp(bestx));
            System.out.print("路径为:");
            for (int i = 1; i < x.length; i++) {
                System.out.print(bestx[i] + "\t");
            }
    
            System.out.println(1);
        }
    
        private static void init(int n) {
            x = new int[n + 1];
            bestx = new int[n + 1];
            a = new float[n + 1][n + 1];
    
            for (int i = 0; i < a.length; i++) {
                Arrays.fill(a[i], Float.MAX_VALUE);
            }
        }
    
        public static float tsp(int[] v) {
            // 置x为单位排列
            x = new int[n + 1];
            for (int i = 1; i <= n; i++) {
                x[i] = i;
            }
            bestx = v;
            cc = 0;
            // 搜索x[2:n]的全排列
            backtrack(2); // 直接从第二个城市开始
            return bestc;
        }
    
        private static void backtrack(int i) { //这里的i代表第i步去的城市而不是代号为i的城市
            if (i == n) {
                // a[x[n - 1]][x[n]] < Float.MAX_VALUE 最后一个点和倒数第二个点是否有连通
                if (a[x[n - 1]][x[n]] < Float.MAX_VALUE && a[x[n]][1] < Float.MAX_VALUE &&
                        (bestc == Float.MAX_VALUE || cc + a[x[n - 1]][x[n]] + a[x[n]][1] < bestc)) {
                    for (int j = 1; j <= n; j++) {
                        bestx[j] = x[j];
                    }
                    bestc = cc + a[x[n - 1]][x[n]] + a[x[n]][1];
                }
            } else {
                for (int j = i; j <= n; j++) {
                    // 是否可进入x[i]子树
                    if (a[x[i - 1]][x[j]] < Float.MAX_VALUE &&
                            (bestc == Float.MAX_VALUE || cc + a[x[i - 1]][x[j]] < bestc)) {// 搜索子树
                        swap(x, i, j);
                        cc += a[x[i - 1]][x[i]];
                        backtrack(i + 1);
                        cc -= a[x[i - 1]][x[i]];
                        swap(x, i, j);
                    }
                }
            }
        }
    
        private static void swap(int[] x, int i, int j) {
            int temp = x[i];
            x[i] = x[j];
            x[j] = temp;
        } 
    }
    

    结果:

     qq:1351006594

    展开全文
  • C#语言编写的基于遗传算法的旅行销售员问题的源程序
  • 旅行售货员问题-回溯法

    千次阅读 多人点赞 2020-06-22 16:05:12
    问题描述:  某售货要到若干城市去推销商品,已知各城市之间的路程,他要选定一条从驻地出发,经过每个城市一遍,最后回到住地的路线,使总的路程最短。       结果为: 1 3 2 4 1 算法描述: 回溯法,序列...

    问题描述

     某售货员要到若干城市去推销商品,已知各城市之间的路程,他要选定一条从驻地出发,经过每个城市一遍,最后回到住地的路线,使总的路程最短。
       在这里插入图片描述

      结果为: 1 3 2 4 1



    算法描述

     回溯法,序列树, 假设起点为 1。

     算法开始时 x = [1, 2, 3, …, n]

     x[1 : n]有两重含义 x[1 : i]代表前 i 步按顺序走过的城市, x[i + 1 : n]代表还未经过的城市。利用Swap函数进行交换位置。

     若当前搜索的层次i = n 时,处在排列树的叶节点的父节点上,此时算法检查图G是否存在一条从顶点x[n-1] 到顶点x[n] 有一条边,和从顶点x[n] 到顶点x[1] 也有一条边。若这两条边都存在,则发现了一个旅行售货员的回路(即:新旅行路线),算法判断这条回路的费用是否优于已经找到的当前最优回路的费用bestcost,若是,则更新当前最优值bestcost和当前最优解bestx。

     若i < n 时,检查x[i - 1]至x[i]之间是否存在一条边, 若存在,则x [1 : i ] 构成了图G的一条路径,若路径x[1: i] 的耗费小于当前最优解的耗费,则算法进入排列树下一层,否则剪掉相应的子树。


    递归回溯

    • 回溯法对解空间作深度优先搜索
    • 通常用递归方法实现回溯法

    在这里插入图片描述

    void backtrack (int t)
    {
           if (t>n) output(x);// t>n时已搜索到一个叶结点, output(x)对得到的可行解x进行记录或输出处理.
           else{                                     
             for (int i=f(n,t);i<=g(n,t);i++) { // 函数f和g分别表示在当前扩展结点处未搜索子树的起止编号.                            
               x[t]=h(i); //h(i)表示在当前扩展结点处x[t]的第i个可选值
               if (constraint(t)&&bound(t)) backtrack(t+1);
             } //for循环结束后, 已搜索遍当前扩展结点的所有未搜索子树.
           }
    } //Backtrack(t)执行完毕, 返回t-1层继续执行, 对未测试过的x[t-1]的值继续搜索.
    
    • if (Constraint(t)&&Bound(t) ) Backtrack(t + 1);if语句含义:Constraint(t)和Bound(t)表示当前扩展节点处的约束函数和限界函数。
    • Constraint(t): 返回值为true时,在当前扩展节点处x[1:t]的取值问题的约束条件,否则不满足问题的约束条件,可剪去相应的子树
    • Bound(t): 返回的值为true时,在当前扩展节点处x[1:t]的取值为时目标函数越界,还需由Backtrack(t+1)对其相应的子树做进一步搜索。否则,当前扩展节点处x[1:t]的取值是目标函数越界,可剪去相应的子树
    • for循环作用:搜索遍当前扩展的所有未搜索过的子树。
    • 递归出口:Backtrack(t)执行完毕,返回t-1层继续执行,对还没有测试过的x[t-1]的值继续搜索。当t=1时,若以测试完x[1]的所有可选值,外层调用就全部结束。

    迭代回溯

      采用树的非递归深度优先遍历算法,可将回溯法表示为一个非递归迭代过程。

    void iterativeBacktrack ( )
    {
      int t=1;
      while (t>0) {
        if (f(n,t)<=g(n,t)) 
          for (int i=f(n,t);i<=g(n,t);i++) {// 函数f和g分别表示在当前扩展结点处未搜索子树的起止编号.
            x[t]=h(i);
            if (constraint(t)&&bound(t)) {
              if (solution(t)) output(x); //solution(t)判断当前扩展结点处是否已得到问题的一个可行解                                       
              else t++;} //solution(t)为假,则仅得到一个部分解,需继续纵深搜索
            }
        else t--;
      } //while循环结束后,完成整个回溯搜索过程
    }
    

    子集树与排列树

    • 子集树: 所给的问题是从n个元素的集合中找出满足某种性质的子集时, 相应的解空间称为子集树.

      子集树通常有2n个叶结点, 遍历子集树的任何算法均需Ω(2n)的计算时间.

      例如: 0-1背包问题的解空间为一棵子集树.

    • 排列树: 当所给的问题是确定n个元素满足某种性质的排列时, 相应的解空间称为排列树.

      排列树通常有(n-1)!个叶结点, 遍历排列树需要Ω(n!)的计算时间.

      例如: 旅行售货员问题的解空间为一棵排列树.

    在这里插入图片描述


    代码实现

    #include <bits/stdc++.h>
    using namespace std;
    const int max_ = 0x3f3f3f;   //定义一个最大值
    const int NoEdge = -1;      //两个点之间没有边
    int citynum;                //城市数
    int edgenum;                //边数
    int currentcost;            //记录当前的路程
    int bestcost;               //记录最小的路程(最优)
    int Graph[100][100];        //图的边距记录
    int x[100];                 //记录行走顺序
    int bestx[100];             //记录最优行走顺序
    
    void InPut()
    {
        int pos1, pos2, len;     //点1 点2 距离
    
        cout<<"请输入城市数和边数(c e):";
        cin>>citynum>>edgenum;
    
        memset(Graph, NoEdge, sizeof(Graph));
    
        cout<<"请输入两座城市之间的距离(p1 p2 l):"<<endl;
        for(int i = 1; i <= edgenum; ++i)
        {
            cin>>pos1>>pos2>>len;
            Graph[pos1][pos2] = Graph[pos2][pos1] = len;
        }
    }
    
    //初始化
    void Initilize()
    {
        currentcost = 0;
        bestcost = max_;
        for(int i = 1; i <= citynum; ++i)
        {
            x[i] = i;
        }
    }
    
    
    void Swap(int &a, int &b)
    {
        int temp;
        temp = a;
        a = b;
        b = temp;
    }
    
    
    void BackTrack(int i) //这里的i代表第i步去的城市而不是代号为i的城市
    {
        if(i == citynum)
        {
            //进行一系列判断,注意的是进入此步骤的层数应是叶子节点的父节点,而不是叶子节点
            if(Graph[x[i - 1]][x[i]] != NoEdge && Graph[x[i]][x[1]] != NoEdge && (currentcost + Graph[x[i - 1]][x[i]] + Graph[x[i]][x[1]] < bestcost || bestcost == max_))
            {
                //最小(优)距离=当前的距离+当前城市到叶子城市的距离+叶子城市到初始城市的距离
                bestcost = currentcost + Graph[x[i - 1]][x[i]] + Graph[x[i]][x[1]];
                for(int j = 1; j <= citynum; ++j)
                    bestx[j] = x[j];
            }
        }
        else
        {
            for(int j =  i; j <= citynum; ++j)
            {
                if(Graph[x[i - 1]][x[j]] != NoEdge && (currentcost + Graph[x[i - 1]][x[j]] < bestcost || bestcost == max_))
                {
                    Swap(x[i], x[j]);  //这里i 和 j的位置交换了, 所以下面的是currentcost += Graph[x[i - 1]][x[i]];
                    currentcost += Graph[x[i - 1]][x[i]];
                    BackTrack(i + 1);   //递归进入下一个城市
                    currentcost -= Graph[x[i - 1]][x[i]];
                    Swap(x[i], x[j]);
                }
            }
        }
    }
    
    void OutPut()
    {
        cout<<"最短路程为:"<<bestcost<<endl;
        cout << "路线为:" << endl;
        for(int i = 1; i <= citynum; ++i)
            cout << bestx[i] << " ";
        cout << "1" << endl;
    }
    
    
    int main()
    {
        InPut();
        Initilize();
        BackTrack(2);
        OutPut();
    }
    
    



    样例测试

    以前面的样例示范

    输入

    请输入城市数和边数(c e):4 6
    请输入两座城市之间的距离(p1 p2 l):
    1 2 30
    1 3 6
    1 4 4
    2 4 10
    2 3 5
    3 4 20


    输出
    最短路程为:25
    路线为:
    1 3 2 4 1
    在这里插入图片描述

    展开全文
  • 旅行售货员问题

    万次阅读 多人点赞 2015-04-26 16:59:30
    旅行售货员问题 【题目】  某售货员要到4个城市去推销商品,已知各城市之间的路程,如右图所示。 请问他应该如何选定一条从城市1出发,经过每个城市一遍,最后回到城市1的路线,使得总的周游路程最小?并分析所...

    旅行售货员问题

    【题目】

           某售货员要到4个城市去推销商品,已知各城市之间的路程,如右图所示。

    请问他应该如何选定一条从城市1出发,经过每个城市一遍,最后回到城市1的路线,使得总的周游路程最小?并分析所设计算法的计算时间复杂度。

    【分析】

           该题利用回溯法求解,此时需要确定解空间的类型:我们可以知道该解空间为一棵排列树。我们假设初始的一条路线为xx中的值为 123,……,n,表示该路线为由城市1依次经过城市23……到n后再回到城市1(当然是假设该路线存在)。如果不存在的话,我们只需改变一下这个排列的排列方式,再进行判断,所以可想而知,我们可以知道该解空间是一棵排列树。

           当然上述的说法,只是单纯的穷举,这并不是我们想要的回溯法,我们通过递归实现,在递归的过程中适当地“剪枝”即除去那些不可能形成最优解的解。现在我们来确定一下可行的约束条件,当我们进行递归搜索,搜索到第t层时,我们需要判断一下x[t]所代表的城市是否与上一层x[t-1]所代表的城市有“路”,如果没有的话,需要改变x[t]的值,然后继续上述判断,当出现一个满足条件的x[t]后还要判断当前从1t-1所走的路程cc加上x[t]x[t-1]的距离是否小于当前已经记录的最优解(最优解的初始值是一个足够大的数),如果到t的距离比当前最优解还要大的话,那么再以这条路线搜索下去的话回到城市1的路程一定比当前最优解还大,所以我们没有必要对这条路线进行下一步的搜索。最后我们来确定当搜索到叶子结点的时候我们该如何处理?已知搜索到t层时,若t = n,说明已经搜索到了叶子结点,这个时候我们还需做上述所说的两个判断,如果两个判断都通过的话,说明该解比当前最优解还优,那么我们需要将该解记录下来,并记录该解的最优值。

    【伪代码】

    void travel(int t) {

        if(t到达第n层即搜索到叶子结点) {

            if(城市x[t-1]可以到达城市x[t],并且城市x[t]可以回到城市1,且此时所走的路程cc加上

                x[t-1]x[t]的距离和x[t]1的距离小于当前最优值bestc) {

                    将最优解记录下来;

                    将最优值记录下来;

                }

            return;

        }

        for(int i = t; i < n; i++) {

            if(城市x[t-1]能达到城市x[i]即这两个城市间有边,并当前所走的路程cc加上这两个城市的距离

            没有比当前最优值bestc) {

            swap(x[i], x[t]);

            修改此时所走的路程cc;

            进入下一层递归;

            恢复原来cc的值;

            swap(x[i], x[t]);

            }

        }

    }

    【程序】

    用C++语言编写程序,代码如下:

    #include<iostream>
    using namespace std;
    
    const int INF = 10000000;
    int n, cc = 0, bestc = INF;
    int **g;
    int *x, *bestx;
    
    void travel(int t) {
    	if (t == n) {
    		if (g[x[t - 1]][x[t]] != INF && g[x[t]][1] != INF &&
    			(cc + g[x[t - 1]][x[t]] + g[x[t]][1] < bestc || bestc == INF)) {
    			for (int i = 0; i < n + 1; i++)
    				bestx[i] = x[i];
    			bestc = cc + g[x[t - 1]][x[t]] + g[x[t]][1];
    		}
    		return;
    	}
    
    	for (int i = t; i < n; i++) {
    		if (g[x[t - 1]][x[i]] != INF && (cc + g[x[t - 1]][x[i]] < bestc
    			|| bestc == INF)) {
    			swap(x[i], x[t]);
    			cc += g[x[t - 1]][x[t]];
    			travel(t + 1);
    			cc -= g[x[t - 1]][x[t]];
    			swap(x[i], x[t]);
    		}
    	}
    }
    
    void output() {
    	cout << bestc << endl;
    	cout << bestx[1];
    	for (int i = 2; i < n + 1; i++)
    		cout << " " << bestx[i];
    	cout << " " << bestx[1] << endl;
    }
    
    int main() {
    
    	n = 4;
    	g = new int*[n + 1];
    	x = new int[n + 1];
    	bestx = new int[n + 1];
    
    	for (int i = 0; i < n + 1; i++) {
    		g[i] = new int[n + 1];
    		x[i] = i;
    
    		for (int j = 0; j < n + 1; j++)
    			g[i][j] = INF;
    	}
    
    	g[1][2] = g[2][1] = 30;
    	g[1][3] = g[3][1] = 6;
    	g[1][4] = g[4][1] = 4;
    
    	g[2][3] = g[3][2] = 5;
    	g[2][4] = g[4][2] = 10;
    
    	g[3][4] = g[4][3] = 20;
    
    	travel(2);
    	output();
    
    	return 0;
    }
    【结果】

    先设置好城市间的距离,调用回溯方法,输出最优值(最小路程)和最优解(路线):

    该算法的时间复杂度为O(n!)

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