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  • 2020数学建模A题

    2020-09-11 19:11:37
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  • 2020 数学建模 A题

    万次阅读 多人点赞 2020-10-01 11:48:20
    2020 数学建模 A 炉温曲线感受体会题目介绍原题目分析整体热传到模型分析问题一问题二问题三问题四核心:一维热传导模型模型参数设定温度间隙的温度分布) 回流区过渡到 冷却区 之后 的温度电路板中心 区域 ...

    感受体会

    经历了三天的紧锣密鼓的建模过程。每天睡眠时间不到6小时,最后一天通宵,也算是锻炼了自己短时间内解决复杂问题的能力,从查文献,到抽象模型,再到细节上的处理,将模型离散求解,编代码,写论文。一刻都不得歇息。最后拿了国二,虽然没达到预期,但整个过程还是收获满满。这里简单的记录下对A题的理解。

    题目介绍

    原题

    在集成电路板等电子产品生产中,需要将安装有各种电子元件的印刷电路板放置在回焊炉中,通过加热,将电子元件自动焊接到电路板上。在这个生产过程中,让回焊炉的各部分保持工艺要求的温度,对产品质量至关重要。目前,这方面的许多工作是通过实验测试来进行控制和调整的。本题旨在通过机理模型来进行分析研究。
    回焊炉内部设置若干个小温区,它们从功能上可分成4个大温区:预热区、恒温区、回流区、冷却区(如图1所示)。电路板两侧搭在传送带上匀速进入炉内进行加热焊接。
    在这里插入图片描述

                                              图1  回焊炉截面示意图
    

    某回焊炉内有11个小温区及炉前区域和炉后区域(如图1),每个小温区长度为30.5 cm,相邻小温区之间有5 cm的间隙,炉前区域和炉后区域长度均为25 cm。
    回焊炉启动后,炉内空气温度会在短时间内达到稳定,此后,回焊炉方可进行焊接工作。炉前区域、炉后区域以及小温区之间的间隙不做特殊的温度控制,其温度与相邻温区的温度有关,各温区边界附近的温度也可能受到相邻温区温度的影响。另外,生产车间的温度保持在25ºC。
    在设定各温区的温度和传送带的过炉速度后,可以通过温度传感器测试某些位置上焊接区域中心的温度,称之为炉温曲线(即焊接区域中心温度曲线)。附件是某次实验中炉温曲线的数据,各温区设定的温度分别为175ºC(小温区15)、195ºC(小温区6)、235ºC(小温区7)、255ºC(小温区89)及25ºC(小温区10~11);传送带的过炉速度为70 cm/min;焊接区域的厚度为0.15 mm。温度传感器在焊接区域中心的温度达到30ºC时开始工作,电路板进入回焊炉开始计时。
    实际生产时可以通过调节各温区的设定温度和传送带的过炉速度来控制产品质量。在上述实验设定温度的基础上,各小温区设定温度可以进行ºC范围内的调整。调整时要求小温区15中的温度保持一致,小温区89中的温度保持一致,小温区1011中的温度保持25ºC。传送带的过炉速度调节范围为65100 cm/min。
    在回焊炉电路板焊接生产中,炉温曲线应满足一定的要求,称为制程界限(见表1)。

                                          表1   制程界限
    

    在这里插入图片描述

    请你们团队回答下列问题:

    问题1 请对焊接区域的温度变化规律建立数学模型。假设传送带过炉速度为78 cm/min,各温区温度的设定值分别为173ºC(小温区15)、198ºC(小温区6)、230ºC(小温区7)和257ºC(小温区89),请给出焊接区域中心的温度变化情况,列出小温区3、6、7中点及小温区8结束处焊接区域中心的温度,画出相应的炉温曲线,并将每隔0.5 s焊接区域中心的温度存放在提供的result.csv中。

    问题2 假设各温区温度的设定值分别为182ºC(小温区15)、203ºC(小温区6)、237ºC(小温区7)、254ºC(小温区89),请确定允许的最大传送带过炉速度。

    问题3 在焊接过程中,焊接区域中心的温度超过217ºC的时间不宜过长,峰值温度也不宜过高。理想的炉温曲线应使超过217ºC到峰值温度所覆盖的面积(图2中阴影部分)最小。请确定在此要求下的最优炉温曲线,以及各温区的设定温度和传送带的过炉速度,并给出相应的面积。
    在这里插入图片描述

                                                     图2  炉温曲线示意图
    

    问题4 在焊接过程中,除满足制程界限外,还希望以峰值温度为中心线的两侧超过217ºC的炉温曲线应尽量对称(参见图2)。请结合问题3,进一步给出最优炉温曲线,以及各温区设定的温度及传送带过炉速度,并给出相应的指标值。

    题目分析

    整体热传到模型分析

    在这里插入图片描述

                                                  图 1 回焊炉加热区
    

    如图 1 所示,回焊炉内部设置若干温区,不同温区共同作用,将各类元件焊接到线
    路板上。由题已知,整个运动过程中,加热炉静止,加热板以 70 cm/min 的速度于传送
    带上移动,传送带将其传送至不同区域进行加热。根据相对运动,我们不妨改变观测对
    象:认为电路板相对静止,回焊炉相对运动。电路板所受温度随传送带传送区域的影响,
    转变为物体在不同时间下,受到的不同温度影响。我们再对电路板侧面做出绝热假设,
    即探究一端受热,一端绝热的一维热传导问题,图2所示:

    在这里插入图片描述

                                                         图 2 模型转化
    

    问题一

    由于小温区长度与间隙距离一定,且小温区加热区域上下对称,因此本
    问题模型可以进行简化:将电路板上半部分作为研究对象,其上边界为外界设定炉
    温,下边界为绝热边界。这里,两面热量累计带来的影响,后面可以通过在拟合传热
    系数 a 时作出对应调整。模型简化示意图,如图 3 所示:

    在这里插入图片描述

                                           图 3 模型简化
    

    在该问题模型中,需要对温区之间间隙、炉前区域、冷区区域和炉后区域的温度变
    化进行分析。

    问题二

    该问要求在上述条件下找出传送带最大传送速度,可以在问题一的基础
    上,将题目给出的各小温区温度等变量代入前面所建立的机理模型,得到仅受传送带
    速度影响的炉温曲线函数。然后以传送带速度最大作为目标函数,将制程界限等作为
    约束条件,采用离散化方法对该优化模型进行求解,即可获得在当前温度设定下,满
    足制程条件约束的速度范围及传送带速度最大值为

    问题三

    该问题根据建立的一维热传导模型,由于每个小温区的温度在正负 10℃
    范围内变化,速度在 65~100 之间变化,改变每个温区的温度和电路板的速度来控制电
    路板的中心的温度会得到不同的炉温曲线,对炉温曲线大于 217℃的阴影部分进行积
    分,以阴影部分面积最小值为目标函数建立优化模型,此时该模型是一个泛函极值问
    题,因此将问题离散化后使用模拟退火算法或遗传算法进行求解。

    问题四

    如图所示,炉温曲线超过 217℃水平线的部分近似一个开口向下的抛物
    线。

    在这里插入图片描述

                                           图 4 炉温曲线高于 217ºC 的部分
    

    因此,考虑用炉温曲线与 217℃水平线两侧交点相对于与峰值点距离的差值:在这里插入图片描述
    来作为衡量炉温曲线高于 217℃部分的对称性的数量指标。将其绝对值最小作为目标函
    数,添加到问题三的优化模型的中建立多目标优化模型,然后利用遗传算法(Matlab
    中的 gamultiobj 函数)进行求解。

    核心:一维热传导模型

    模型参数设定

    在这里插入图片描述

    温度间隙的温度分布

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    ) 回流区过渡到 冷却区 之后 的温度

    在这里插入图片描述
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                              图 5 小温区 9~10 的热量扩散示意图(左为热量流向箭头图/右为温度等高线图)
    

    在这里插入图片描述
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    在这里插入图片描述

    电路板中心 区域 温度 变化的 机理

    在这里插入图片描述
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    在这里插入图片描述

    模型的求解

    在这里插入图片描述
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    问题一结论

    在这里插入图片描述
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                                        图 7 通过线性下降解出来的最佳拟合炉温曲线图
    

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

                                   图 8 通过对流降温求解出来的最佳拟合炉温曲线图
    

    在这里插入图片描述

    结语

    后面的三个问,这里就不讨论了,根据前面的思路搜索最优解就完事了。A题主题是物理模型选择恰当,然后拟合参数,如果得到的曲线和实际曲线比较吻合的话,基本上就一条路走通了。问题核心就是物理模型,我们组当时是差不多用了30个小时才解决核心模型。后面几个小问主要是代码编写。这里建议建模组队的话至少要有一个人具备熟练将算法实现为代码的能力,不然只能看着模型干瞪眼出不了结果。A题这种工程物理问题,本来就是有标准答案的。所以对结果的准确性要求很高,做不出来瞎猜猜中的概率很小。

    这里说说其他题目。B题感觉是一个在复杂限制条件下图论结合策略选择的动态规划模型,一二问有标准答案,三四问需要找到一个递推的策略,对运筹学的知识要求较高。

    C题是一个数据分析的题目,有机器学习或者统计分析背景的可以尝试下,C题谁都能写出一篇符合自己逻辑的论文,主要还是创新,上手简单,做好很难,相反的A题,上手难,但是核心问题解决后就很容易了。

    选择题目也是一个技术活。

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    2020-09-18 20:54:35
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    千次阅读 多人点赞 2021-01-16 23:44:36
    2020全国大学生数学建模A题思路讲解与核心代码题目核心方法:问题一问题二问题三和问题四答案如下: 题目 核心方法: 热传导 有限差分法 遍历法 问题一 建立焊接区域中心温度变化规律模型,推出焊接区域中心温度...

    2020全国大学生数学建模A题思路讲解与核心代码

    题目

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    核心方法:

    热传导
    有限差分法
    遍历法

    问题一

    建立焊接区域中心温度变化规律模型,推出焊接区域中心温度与其厚度和PCB 板所走过的时间的关系。查阅相关资料可知,由于自动焊接过程中热量传递复杂,因此对模型进行简化,只考虑一维方向的热量传导,即单侧单方向小温区对PCB 板的热量传导。利用能量守恒定律和 Fourier 热传导定律推出热传导方程,再利用附数据件求出方程中的参数,进而建立了焊接区域中心温度变化规律型,即炉温曲线变化模型。依据建立出的炉温曲线变化模型,根据问题一中所给出的各温区的温度参数T1, T2, T3, T4 及过炉速度v,需要求出过炉曲线,即焊接区中心的温度变化
    1 2 3 4 u u T T T T v ? ( , , , , )
    对于热传导方程的求解,需要先确定热传导方程中的参数—热扩散率,这
    可以通过附件提供的炉温曲线数据进行参数估计。热传导方程的求解可以利用差分法进行。

    // lamda的计算的部分代码
    array=zeros(76,length(x1));
    array(1,:)=y;
    array(:,1)=z(:,1);
    for k=1:31
        for j=1:L(1)-1
            for i=2:75
                array(i,j+1)=array(i,j)+u(k)*(array(i-1,j)-2*array(i,j)+array(i+1,j));
            end
            array(76,j+1)=array(74,j+1);
        end
        e1=1:L(1);
        e2=time(1:5,:);
        [C,ia,ib]=intersect(e1,e2*100);
        for i=1:5
            b(i)=array(75,ia(i));
        end
        for i=1:5
            c(i)=(temperature(i)-b(i))^2;
        end
        rss(k)=sum(c(:));
    end
    result=[u;rss];
    

    有限差分的核心代码:

    //有限差分的核心代码
    array=zeros(76,length(x1));
    array(1,:)=y;
    array(:,1)=z(:,1);
    for j=1:L(1)
        for i=2:75
            array(i,j+1)=array(i,j)+u(1)*(array(i-1,j)-2*array(i,j)+array(i+1,j)); 
        end
            array(76,j+1)=array(74,j+1);
    end
    z(:,2)=array(:,2143);
    for k=1:9
        for j=L(k):L(k+1)
            for i=2:75
                array(i,j+1)=array(i,j)+u(k+1)*(array(i-1,j)-2*array(i,j)+array(i+1,j)); 
            end
                array(76,j+1)=array(74,j+1);
        end
    end
    array(:,length(array))=[];
    
    

    得模拟数据和真实数据对比得炉温曲线:
    在这里插入图片描述

    问题二

    问题二中,基于问题一中所建立的炉温曲线模型,在四个温度参数给定的条件求取传送带的最大过炉速度为优化问题。此问题可以看做是问题一所建立模型的反问题,即在温度分布1 2 3 4 u u T T T T v ? ( , , , , )
    已知的条件下,要求通过该分布计算最大过炉速度v。在具体求解该反问题时,可以利用遍历法对过炉速度进行遍历搜索,这样就将反问题转化为了正问题的求解,从而问题一中模型方法都可以继续使用。

    问题三和问题四

    问题三和问题四仍然和问题二类似,也是对过炉曲线提出了不同的要求,进而在这些要求之下确定影响炉温曲线的 5 个参数 T1, T2, T3, T4, v ,求解也可以采用与问题二相同的遍历法进行,但由于此时遍历的变量个数增多,如果遍历步长较小,必然会使得计算量增大,因而必要情况下,可采用分阶段的遍历,即:大范围,大步长,小范围,小步长。需要考虑的就是对于面积和对称性的数学描述,面积可以采用积分的离散化表示,对称性可以采用以最大峰值温度两侧取对称点,使对称点的温度差值尽可能小来实现。

    答案如下:

    在这里插入图片描述
    注:用以上方法算出的结果均在最优解范围内,详细解读请待下次,困了该sleep了

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  • 2020数学建模国赛a题

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    2020数学建模国赛体会

    2020国赛建模之首次(小白本白)参加体会:
    题目选的A题,
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    第三天写写写写写写一堆,结果第一问就建了一个模…

    总结:选题错误
    作为一个数学专业的,对物理了解太少了

    总归第一次参加也是积累了点经验,下次要好好选题😩

    展开全文
  • 在集成电路板等电子产品生产中,需要将安装有各种电子元件的印刷电路板放置在回焊炉中,通过加热,将电子元件自动焊接到电路板上。在这个生产过程中,让回焊炉的各部分保持工艺...本旨在通过机理模型来进行分析研究。
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    万次阅读 多人点赞 2020-09-11 08:31:54
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    2020数学建模国赛A题解题思路

    第一问:在整个传输的过程中,传送带的速度已经被确定了,需要考虑到表1 配置的温度变化趋势以及时间,温度曲线在这一过程中的变化始终保持连续,需要注意的是不同的温区之间存在温度差,解题的过程中需要对温度变化做出合理的假设,因为物体的导热是需要时间的,基础阶段可以假设该时间段不存在,后面可以提到改进和创新。由于给出了制程界限和运输速度,就可以计算出电路板在焊接过程中的时间,温度变化的过程就可以通过函数关系式表达出来了。温度变化的过程可以通过 MATLAB 中的 CFtool 来进行拟合,只要确定好表达式,以及限制条件,通过参数的拟合过程就可以确定温度变化的区间。合理确定参数,但是对于每一个人参数的标准都不同,各位可以根据实际情况自行判断。如果能够确定温度变化是线性变化,也可以通过 Lingo 来完成。在软件过程之后,可以通过变量的反复控制来实现对温度的研究。一般来说第一问的方法比较多,选择适合自己的就好。

    第二问:第二问与第一问之间正好是逆向思维,当不同温区的温度确定之后,需要充分考虑的变量就是温度上升过程中在 150ºC~190ºC 的时间和温度大于217ºC 的时间,同样的道理,确定好温区的温度变化, 在不同的温度就需要计算出温度的时间,因为从温区 6 开始到温区 9 之间时间变化只允许在 40-90 秒这部分时间,那么温区 1-5 之间的可以先不考虑,单独对后面的温区进行刻画,题中要求允许的最大传送速度。在路程不变的情况下,通过时间越短,速度越快。当我们结合温区之间的距离,充分考虑进去之后,就会发现速度也是在一个区间的范围中,不同的软件测算出来的结果有一点误差,但是误差范围不大。可以通过 MATLAB 中的 CFtool 来进行拟合,根据题目的要求,在保证温度处于合理的区间内,与此同时,焊接的时间始终保证安全即可实现安全生产,最终确定一个最佳的区间。友情提示:完成题目的过程中不要对答案。影响心态。

    第三问:为了保证阴影部分的面积最小,即要求传送过程在回流区的速度要快,充分考虑到温度的增长趋势,一旦温度升高过快则面积就会加大。(积分原理)求面积可以通过基本的积分方法,进行阴影面积的表达式线性表出,之后可以加上温度的限制条件,进行最大值的求解,过程中的变量都可以通过 MATLAB进行计算。最值求解,第一步需要确定变量的范围,以时间为横坐标、温度为纵坐标,确定积分区域面积通过表达式做出合理的求导,通过导数的方法算出最佳的方案。确定时间的过程相对较为复杂,可以使用控制变量的方法,测算出其范围即可。

    第四问:第四问建立在第三问的基础之上,对第三问做出了一定的优化,为了保证以峰值温度为中心线的两侧超过 217ºC 的炉温曲线应尽量对称,且时间需要合理控制,来对炉温曲线进行优化,同时对于温区的温度和传送带的速度均需要进行优化,这一个过程相对比较开放,对于不同的影响因素即可以分开优化,也可以全部优化。对于不同的变量,需要对其分别进行展开研究,不同的变量影响的意义不同,对于结果也会产生不同方面的影响,比如温度升高的速度加快、影响焊接质量等等。这方面是一个较为开放的课题,如果时间紧急,可以确定某一个变量不变,而只对其中一个变量做文章,对其进行改变,分别计算出面积的大小,即可实现题目要求。

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2020数学建模a题