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  • 方向导数偏导数

    2012-10-22 22:45:19
    方向导数偏导数的关系,有助于对多元函数的理解,加深概念的理解。
  • 是指多元函数沿坐标轴方向的方向导数,因此二元函数就有两个偏导数。 偏导函数:是一个函数;是一个关于点的偏导数的函数。 方向导数:是一个数;反映的是f(x,y)在点沿方向v的变化率。 梯度:是一个向量;每个...

    概念

    偏导数:是多个数(每元有一个);是指多元函数沿坐标轴方向的方向导数,因此二元函数就有两个偏导数。

    偏导函数:是一个函数;是一个关于点的偏导数的函数。

    方向导数:是一个数;反映的是f(x,y)在P_{0}点沿方向v的变化率。

    梯度:是一个向量;每个元素为函数对一元变量的偏导数;它既有大小(其大小为最大方向导数),也有方向。

    0、导数:几何意义:当函数定义域和取值都在实数域中的时候,导数可以表示函数曲线上的切线斜率。 除了切线的斜率,导数还表示函数在该点的变化率

    直白的来说,导数代表了在自变量变化趋于无穷小的时候,函数值的变化与自变量变化的比值代表了导数,几何意义有该点的切线。物理意义有该时刻的(瞬时)变化率...

    注意在一元函数中,只有一个自变量变动,也就是说只存在一个方向的变化率,这也就是为什么一元函数没有偏导数的原因。

    1、偏导数:多元函数在某个点他有多个偏导数(有多少个元就有多少个偏导数),比如二元函数一个是关于x一个是关于y,

    关于x的偏导数就是y不变,看函数关于x的一个变化率;关于y的偏导数,就是看函数关于y的一个变化率。

    所谓偏导数其实就是某点处函数的在x的正方向,或者y的正方向它的一个变化率。(但是并不是在某点处只能向x正方向或者y的正方向去变化吗?当然不一定,他是可以向很多个方向去变化的。所以由此引出来一个方向导数的东西)

    为了描述方向导数,我们先回顾一下方向余弦

    2、方向导数:反映的是f(x,y)在P_{0}点沿方向v的变化率。(其实方向导数就是一个变化率,)

    如下图:l方向的一个变化率说白了就是我从A点走了一个非常小的距离,比如说这个距离是小t,走到了B点,我的自变量从A点走到了B点,那因变量也会发生一个\Delta z的一个改变,\Delta z比上t这个很小的自变量,当t跑向0的时候,这个所谓的变化率就是方向导数。定义就是这样的。

    所以从A点到B点他是这么变化的,那么方向导数的定义就是我们把l方向上在(x_{0},y_{0})点的一个方向导数定义为因变量的一个变化(t要很小趋于0)。

    其实偏导数是方向导数的一个特例,比如说在x方向的一个偏导数,就是自变量沿着x正方向变化的时候,z的一个变化率;(其实我们可以想一下X的正方向,就是\alpha=0\beta=90^{\circ}

    方向导数的计算:(必须要求一个可微的条件)

    一个函数在某点处的方向导数等于偏x乘以cosα,加上偏y乘以cosβ。(所以方向导数其实是和这个偏导数息息相关的,)

     

    下边这个例子你需要计算u_{x},u_{y},u_{z},cos\alpha ,cos\beta ,cos\gamma。下面这个例子你能使用l这个数据吗?不能的,你需要将他单位化,而单位化的话就是除以它的长度。

    里边的(u_{x},u_{y},u_{z})这个向量是原来的函数分别关于xyz来求导,我们把这个向量称为梯度向量。(所以方向导数和梯度其实是分不了家的)

    例子:

    3、梯度:

    理解梯度向量要从两方面去入手,向量是一个既有大小也有方向的量,所以我们想知道这个向量的方向是什么,这个向量的大小是什么,

    所谓的方向导数是梯度向量和方向向量去做内积得到的,而梯度向量是固定的,我们不用去管他,但是在某点处我们自变量变换的方向这个l可不一定固定呦,他是360度都有可能,这个l指向不同方向的时候,我们的方向导数肯定是不一样的,在不同方向上,这个切线的斜率是不一样的。问题:随着这个l的他的变化,他的方向导数显然是发生变化的,那他什么时间达到最大值呢?这个可以来算一下,这个方向导数的值我们可以这样计算等于梯度向量的一个模,乘上单位向量的一个模,再乘上cosθ,(因为是单位向量,所以模为1,直接就是梯度向量的模直接乘上cosθ);所以需要知道梯度向量的模是多少,是固定的就是\left \| \triangledown f \right \|=f_{x}^{2}+f_{y}^{2}(在某一点处这个式子当然就是固定的),那么模固定了,我们方向导数的变化是根据只剩下的cosθ这个变量来决定的了,cosθ在什么时候取得最大值呢?是不是当θ等于0时,我们的方向导数会取得一个最大值max,就会等于梯度向量的模啊。

    所以你在不同的方向有不同的方向导数,但是最大的方向导数是什么方向,或者说变化率最大的方向是哪个方向,就是我这个定下来的梯度向量的方向,所以这个梯度向量就像一个指路明灯一样,我永远指向方向导数变化最大的那个方向,那么我的这个模的大小就等于方向导数最大的那个大小。

    视频资源:https://www.bilibili.com/video/BV1uZ4y1L7bB?from=search&seid=9149693546521179960

    参考:https://blog.csdn.net/myarrow/article/details/51332421

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  • 由于误差反向传播算法中采用梯度下降算法进行权重更新,因此需要先明白梯度是什么,而梯度的解释又要从导数讲起,因此本文先大致讲解一下导数导数、偏导数方向导数和梯度的物理意义。 1、导数 根据我们以前的学习...

    由于误差反向传播算法中采用梯度下降算法进行权重更新,因此需要先明白梯度是什么,而梯度的解释又要从导数讲起,因此本文先大致讲解一下导数导数、偏导数、方向导数和梯度的物理意义。

    1、导数

    根据我们以前的学习,导数的几何意义表示该点的切线,如果从其物理意义来看,导数表示在自变量变化趋于无穷小的时候,函数值的变化与自变量变化的比值,即变化率。
    如果函数中只有一个自变量(即一元函数),那么表示只存在一个方向的变化率。
    在这里插入图片描述
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    问题:如果函数具有两个自变量,那我们怎么去确定其变化率?这时候需要引入偏导数。

    2、偏导数

    如果函数具有两个自变量,那么其图形是空间直角坐标系Oxyz中的曲面,假设表达式如下:
    (2)
    对于该曲面上的任意一个点而言,存在无数个方向的变化率。如果要表示沿着坐标轴两个方向的变化率,就采用偏导数表示,具体地,如果是函数值要沿着x轴的方向的变化率,对x求偏导,此时函数在y方向不变(即将y视为常数)。如果是函数值要沿着y轴的方向的变化率,对y求偏导,此时函数在x方向不变(即将x视为常数)。下图直观展示了曲面函数(橙色)、函数在y=y0平面上的曲线函数(绿色)和函数在x=x0平面的曲线函数(蓝色)。
    在这里插入图片描述
    下面展示一下相对于y轴的求偏导的定义
    在这里插入图片描述
    函数在点(x0,y0)对x和y求偏导,如式(3)和式(4),
    在这里插入图片描述

    3、方向导数

    上述除了坐标轴方向的变化率,还有很多方向的变化率,对于任意方向的变化率我们称为方向导数。

    4、梯度

    方向导数中取到最大值的方向就是梯度的方向,梯度的值是方向导数的最大值。因此梯度是一个矢量,其方向上的方向导数最大,其大小正好是此最大方向导数。

    总结

    导数:函数在曲线上某点的变化率;
    偏导数:函数在x和y坐标轴方向上某点的变化率;
    方向导数:函数在某点沿任意方向的变化率;
    梯度:方向导数变化率最大的矢量;

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    高数学的时候就没弄明白,考试之前说这个太难不考(蜜汁自信),结果出了两道大题,现回顾总结一下

    给出方向导数的定义

    定理  如果函数在点是可微分的,那么函数在该点沿任一方向的方向导数都存在,且有

               

    其中为X轴到  方向的转角.  记住,方向导数 实为一个 数值

    为了更好理解,给出一道例题:

     

     那么偏导数是什么呢,例如就是与X轴方向平行时的方向导数。

    证明:当与Y轴方向平行时。 = 0,所以有

    参考方向导数的公式,偏导数可以当做所有方向向量的基,可以组合成任意一个方向导数。

    也可以理解成线性代数里基变换

    那么梯度与方向导数之间存在什么关系呢?

    假设向量=(cos,sin),  =(

    可以当做所有方向向量的基,可以组合成任意一个方向导数。

    也可以理解成线性代数里基变换

    那么梯度与方向导数之间存在什么关系呢?

    假设向量=(cos,sin),  =(),那么两向量求內积=方向梯度,可以用另一个公式计算

    当两向量同方向时,cos α 取最大值,也就是方向导数最大的时候

    我们定义L为梯度,即梯度的方向是最大的方向导数,是f(x,y)这这一点增长最快的方向。

     

    参考: https://www.zhihu.com/search?type=content&q=%E5%A6%82%E4%BD%95%E7%90%86%E8%A7%A3%E6%A2%AF%E5%BA%A6

    http://netedu.xauat.edu.cn/jpkc/netedu/jpkc/gdsx/homepage/5jxsd/51/513/5308/530807.htm 

    转载于:https://www.cnblogs.com/super-yb/p/10709959.html

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    1.梯度,是一个向量,是方向导数最大的方向,沿着梯度方向函数增长最快

    2.方向导数,是沿着任意方向L的偏导数

    3.偏导数:二元函数f(x,y) 对x方向的偏导数f_x(x,y) 是把y固定为常数y=y 之后对变量x的导数

    4.增量delta_y,delta_x: 增量delta_y 是函数f(x)  在x方向增加delta_x数值之后,函数数值f(x)的增量,delta_y = f(x + delta_x) - f(x)。 此外,也经常把自变量的增量delta_x记为dx

    5.微分dy:微分是增量delta_y的线性主部,微分和增量之间相差的是dx的高阶无穷小项,即delta_y = dy + o(delta_x)。 

    6.导数: 微分dy = f ' (x) * dx 。也就是说,微分是导数代表的切线对应于dx的线性增量,也就是一种原本函数增量的线性近似

    后面还有多元函数微分,复变函数微分,复合函数微分。。。

    7. 一阶Taylor近似就是线性近似,就是微分

    参考资料:

    《数学分析》上下册

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