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  • 复向量的模长
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    2021-03-12 12:55:57

    l 1 l_1 l1-norm, 作为 l 0 l_0 l0-norm 的最紧凸近似,在压缩感知中非常常用。
    例如求解问题:
    a r g m i n x A x = b s . t . ∣ x ∣ 0 ≤ n \mathrm{argmin}_x Ax = b \quad \mathrm{s.t.} |x|_0\le n argminxAx=bs.t.x0n
    即待求解向量 x x x是一个稀疏向量, 其非零元素个数不超过 n n n个。
    一种基于LASSO的做法是将问题改写为:
    a r g m i n x ∣ ∣ A x − b ∣ ∣ 2 2 + λ ∣ x ∣ 1 \mathrm{argmin}_x ||Ax-b||_2^2 + \lambda |x|_1 argminxAxb22+λx1
    其中 λ \lambda λ是一个人工变量, 可通过改变其大小改变对稀疏条件的重视程度。 注意, 这里将不可导、非凸的零范数放松为了一范数。 也因此,改写后的问题是一个可导的问题。

    最简单的情况下, x x x为实数向量。 此时, 1-范数的导数很容易由定义得到: ∣ x ∣ 1 = ∑ ∣ x i ∣ |x|_1=\sum |x_i| x1=xi, ∂ ∣ x ∣ 1 x i = s i g n ( x i ) \frac{\partial |x|_1}{x_i} = \mathrm{sign}(x_i) xix1=sign(xi).

    本文考虑的是通信中更常见的情形, x x x是一个复数向量
    此时, ∣ x i ∣ |x_i| xi不再是 x i x_i xi的绝对值, 而是复数 x i x_i xi的模,即 x i x i ∗ \sqrt{x_ix_i^*} xixi .
    也就是说:(复数时求梯度为对变量的共轭求导)
    ∂ ∣ x ∣ 1 ∂ x i ∗ = ∂ ∑ x i x i ∗ ∂ x i ∗ = ( x i ) 1 2 ( x i ∗ ) − 1 2 2 . \frac{\partial |x|_1}{\partial x_i^*}=\frac{\partial \sum \sqrt{x_ix_i^*}}{\partial x_i^*} = \frac{(x_i)^\frac{1}{2}(x^*_i)^{-\frac{1}{2}}}{2}. xix1=xixixi =2(xi)21(xi)21.

    进一步更复杂一些的:
    f = ∣ A x ∣ 1 f = |Ax|_1 f=Ax1, 求 ∂ f ∂ x ∗ \frac{\partial f}{\partial x^*} xf
    A A A的第 i i i a i a_i ai, 那么 [ A x ] i = a i x [Ax]_i=a_ix [Ax]i=aix, ∣ [ A x ] i ∣ = ( x H a i H a i x ) 1 2 |[Ax]_i|=(x^Ha_i^Ha_ix)^{\frac{1}{2}} [Ax]i=(xHaiHaix)21, 因此,
    f = ∑ ( x H a i H a i x ) 1 2 f = \sum (x^Ha_i^Ha_ix)^{\frac{1}{2}} f=(xHaiHaix)21
    f f f求微分, 有:
    d f = d t r ( ∑ ( x H a i H a i x ) 1 2 ) = t r ( ∑ d ( x H a i H a i x ) 1 2 ) df=d\mathrm{tr}(\sum (x^Ha_i^Ha_ix)^{\frac{1}{2}})=\mathrm{tr}(\sum d(x^Ha_i^Ha_ix)^{\frac{1}{2}}) df=dtr((xHaiHaix)21)=tr(d(xHaiHaix)21)
    而:
    d ( x H a i H a i x ) 1 2 = 1 2 ( x H a i H a i x ) − 1 2 ( d x H ) a i H a i x d(x^Ha_i^Ha_ix)^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}(x^Ha_i^Ha_ix)^{-\frac{1}{2}}(d x^H) a_i^Ha_ix d(xHaiHaix)21=21(xHaiHaix)21(dxH)aiHaix
    代回, 得:
    d f = t r ( ∑ 1 2 ( x H a i H a i x ) − 1 2 a i H a i x ( d x H ) ) df =\mathrm{tr}(\sum \frac{1}{2}(x^Ha_i^Ha_ix)^{-\frac{1}{2}}a_i^Ha_ix(d x^H) ) df=tr(21(xHaiHaix)21aiHaix(dxH))
    因此,
    ∂ f ∂ x ∗ = 1 2 ∑ ( x H a i H a i x ) − 1 2 a i H a i x . \frac{\partial f}{\partial x^*} =\frac{1}{2} \sum (x^Ha_i^Ha_ix)^{-\frac{1}{2}}a_i^Ha_ix. xf=21(xHaiHaix)21aiHaix.

    再进一步的, 设 f = ∣ v e c ( A H X A ) ∣ 1 f = |\mathrm{vec}(A^HXA)|_1 f=vec(AHXA)1, 求 ∂ f ∂ X ∗ \frac{\partial f}{\partial X^*} Xf
    (注意, 如果 X X X是一个稀疏矩阵, 那么对其0范数的近似并不是直接 X X X的1范数, 而是 X X X向量化后的1范数。 因为一个矩阵的1范数是每列1范数的最大值, 而不是所有元素模的和。)

    A A A的第 i i i a i a_i ai, 那么 [ A H X A ] i j = a i H X a j [A^HXA]_{ij} = a_i^HXa_j [AHXA]ij=aiHXaj, 由于 f f f代表矩阵每个元素的模的和, 因此
    f = ∑ i ∑ j ( a j H X H a i a i H X a j ) 1 2 f = \sum_i\sum_j(a_j^HX^Ha_ia_i^HXa_j)^{\frac{1}{2}} f=ij(ajHXHaiaiHXaj)21
    同样地, 对 f f f求微分, 有:

    d f = d t r ( ∑ i ∑ j ( a j H X H a i a i H X a j ) 1 2 ) = t r ( ∑ i ∑ j d ( a j H X H a i a i H X a j ) 1 2 ) df =d\mathrm{tr}(\sum_i\sum_j(a_j^HX^Ha_ia_i^HXa_j)^{\frac{1}{2}})=\mathrm{tr}(\sum_i\sum_j d(a_j^HX^Ha_ia_i^HXa_j)^{\frac{1} {2}}) df=dtr(ij(ajHXHaiaiHXaj)21)=tr(ijd(ajHXHaiaiHXaj)21)

    而:
    d ( a j H X H a i a i H X a j ) 1 2 = 1 2 ( a j H X H a i a i H X a j ) − 1 2 a j H ( d X H ) a i a i H X a j d(a_j^HX^Ha_ia_i^HXa_j)^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}(a_j^HX^Ha_ia_i^HXa_j)^{-\frac{1}{2}}a_j^H(dX^H)a_ia_i^HXa_j d(ajHXHaiaiHXaj)21=21(ajHXHaiaiHXaj)21ajH(dXH)aiaiHXaj, 代回得

    d f = t r ( ∑ i ∑ j 1 2 ( a j H X H a i a i H X a j ) − 1 2 a i a i H X a j a j H ( d X H ) ) df = \mathrm{tr}(\sum_i\sum_j \frac{1}{2}(a_j^HX^Ha_ia_i^HXa_j)^{-\frac{1}{2}}a_ia_i^HXa_ja_j^H(dX^H)) df=tr(ij21(ajHXHaiaiHXaj)21aiaiHXajajH(dXH))
    因此,
    ∂ f ∂ X ∗ = ∑ i ∑ j 1 2 ( a j H X H a i a i H X a j ) − 1 2 a i a i H X a j a j H . \frac{\partial f}{\partial X^*} = \sum_i\sum_j \frac{1}{2}(a_j^HX^Ha_ia_i^HXa_j)^{-\frac{1}{2}}a_ia_i^HXa_ja_j^H. Xf=ij21(ajHXHaiaiHXaj)21aiaiHXajajH.

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    向量的模

     

    含义

    向量  的长度叫做向量的模,记作 ,也就是向量  的大小

    计算公式

    对于向量  属于n维复向量空间

    =(x1,x2,…,xn)

    的模为  = 


    向量的范数

     范数,在机器学习中通常用于衡量一个向量的大小,形式上, 范数的定义如下:

                                                                 

                                                               其中 p>=1

    比如如下常见的范数

    1-范数:║x║1=│x1│+│x2│+…+│xn│                        (曼哈顿距离)

    2-范数:║x║2=(│x1│2+│x2│2+…+│xn│2)1/2      (欧式距离

    ∞-范数:║x║∞=max(│x1│,│x2│,…,│xn│)   (切比雪夫距离)

     

    大家可以发现,向量的模和向量的L2范数的计算方式都是一样的,都表示的是欧氏距离。

    可以简单理解,范数是表示向量的大小,但是不同的空间,不同的应用场景可以选择不同的衡量方式,

    但是向量的模是固定的,就是指欧氏距离。

    因此向量的模  ==向量的L2范数\left \| AB \right \|_{2}

     

    展开全文
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    向量的模

    向量大小(或长度)叫做向量的模,记作||

    平面向量=(x,y),模长是:http://d.hiphotos.baidu.com/baike/s%3D63/sign=f43cf1bcaaec8a13101a54e3f7038026/b8389b504fc2d562262505bee41190ef76c66cb0.jpg

    空间向量= (x,y,z),模长是:http://e.hiphotos.baidu.com/baike/s%3D95/sign=842e227c4234970a43731c2a94ca1510/f9198618367adab46610f11088d4b31c8601e4a5.jpg

    对于向量属于n维复向量空间=(x1,x2…,xn)的模为‖=sqrt((x,x*))(xx共轭的内积再开方)

    模是绝对值在二维和三维空间的推广,可以认为就是向量的长度。推广到高维空间中称为范数。

    模和范数的关系

    模是空间几何的概念,范数是线性代数里的概念,范数是大于三维空间的模??

    范数与距离的关系

    范数

    向量的范数可以简单形象的理解为向量的长度,或者向量到零点的距离,或者相应的两个点之间的距离。

    向量的范数定义:向量的范数是一个函数||x||,满足非负性||x|| >= 0,齐次性||cx|| = |c| ||x|| ,三角不等式||x+y|| <= ||x|| + ||y||

    常用的向量的范数:

    L1范数:  ||x|| x向量各个元素绝对值之和。

    L2范数:  ||x||x向量各个元素平方和的1/2次方,L2范数又称Euclidean范数或者Frobenius范数

    Lp范数:  ||x||x向量各个元素绝对值p次方和的1/p次方

    L∞范数:  ||x||x向量各个元素绝对值最大那个元素的绝对值,如下:

    椭球向量范数: ||x||A  = sqrt[T(x)Ax] T(x)代表x的转置。定义矩阵C M个模式向量的协方差矩阵, C’是其逆矩阵,则Mahalanobis距离定义为||x||C’  = sqrt[T(x)C’x], 这是一个关于C’的椭球向量范数。

    距离

    1)、欧式距离(对应L2范数):最常见的两点之间或多点之间的距离表示法,又称之为欧几里得度量,它定义于欧几里得空间中。n维空间中两个点x1=(x11,x12,,x1n) x2=(x21,x22,,x2n)间的欧氏距离:

    https://img-my.csdn.net/uploads/201211/20/1353399644_3809.png

    也可以用表示成向量运算的形式:

    https://img-my.csdn.net/uploads/201211/20/1353399664_2255.png

    2)、曼哈顿距离:曼哈顿距离对应L1-范数,也就是在欧几里得空间的固定直角坐标系上两点所形成的线段对轴产生的投影的距离总和。例如在平面上,坐标(x1, y1)的点P1与坐标(x2, y2)的点P2的曼哈顿距离为:,要注意的是,曼哈顿距离依赖坐标系统的转度,而非系统在座标轴上的平移或映射

    3)、切比雪夫距离,若二个向量或二个点x1x2,其坐标分别为(x11, x12, x13, ... , x1n)(x21, x22, x23, ..., x2n),则二者的切比雪夫距离为:d = max(|x1i - x2i|)i1n。对应L∞范数。

    4)、闵可夫斯基距离(Minkowski Distance),闵氏距离不是一种距离,而是一组距离的定义。对应Lp范数,p为参数。

    闵氏距离的定义:两个n维变量(或者两个n维空间点)x1(x11,x12,,x1n) x2(x21,x22,,x2n)间的闵可夫斯基距离定义为:


    https://img-my.csdn.net/uploads/201211/20/1353400356_6225.png


    其中p是一个变参数。


    p=1时,就是曼哈顿距离,


    p=2时,就是欧氏距离,


    p→∞时,就是切比雪夫距离,


    根据变参数的不同,闵氏距离可以表示一类的距离。

    5)、Mahalanobis距离:也称作马氏距离。在近邻分类法中,常采用欧式距离和马氏距离。

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    背景

    把学过的数学知识整理一下,虽然一时用不到,但相信将来的某个时间点,会有用武之地的。

    1 向量,向量的模,数量积(内积,点积),向量积(外积,差积)

    向量的积有2种:
    数量积(也叫内积,点积),是数量,是实数
    向量积(也叫外积,差积),是向量
    别名这么多,烦它,特此整理一下。

    1.1 向量的概念

    向量是有方向的线段。
    向量的表示有2种:
    在这里插入图片描述

    1.2 向量的模

    在这里插入图片描述

    1.3 数量积(内积,点积)

    数量积的几何意义是:
    可以用来表征或计算两个向量之间的夹角,以及b向量在a向量方向上的投影。
    在这里插入图片描述
    PS:向量a的模长:
    在这里插入图片描述

    1.4 向量积(外积,差积)

    向量积的几何意义是:
    两个不共线的非零向量所在平面的一组法向量。

    1.4.1 向量积的表示

    1.4.1.1 法向向量的模长表示法(最常用)

    用法向向量的模长来表示向量积:
    在这里插入图片描述

    1.4.1.2 坐标表示法(最好理解)

    用坐标来表示向量积:
    在这里插入图片描述

    1.4.1.3 行列式表示法(不好理解,但好计算)

    行列式表示法,不好理解,但好计算。
    在这里插入图片描述
    关于行列式的计算,在下面的章节里进行了详细介绍。

    1.5 行列式

    学习行列式之前,必须先了解逆序数。

    1.5.1 逆序数

    逆序数:某数前比它大的数的个数之和。
    例如:3 2 5 1 4 的逆序数是5。
    计算过程:
    3之前没有比3大的数,个数是0
    2之前比2大的数有3,个数是1
    5之前没有比5大的数,个数是0
    1之前比1大的数有3,2,5,个数是3
    4之前比4大的数有5,个数是1
    个数总和是:0+1+0+3+1 = 5,
    所以3 2 5 1 4 的逆序数是5。

    1.5.2 行列式计算过程

    行列式的计算有2种方法,推荐方法2。

    1.5.2.1 方法一(比较麻烦)

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    1.5.2.2 方法二(比较简单)

    在这里插入图片描述

    1.5.2.3 2行2列行列式的计算方式

    2行2列行列式的计算方式:
    对角线元素相乘再相减。
    在这里插入图片描述

    1.5.3

    关于向量积(外积,差积)的行列式表示法,至此介绍完了。
    终于说完【1.4.1.3 行列式表示法】的行列式计算方式了。

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