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  • 方差协方差法
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    2020-12-06 03:01:27

    使用Python计算方差,协方差和相关系数

    [TOC]

    数学定义

    期望

    设随机变量\(X\)只取有限个可能值\(a_i (i=0, 1, ..., m)\),其概率分布为\(P (X = a_i) = p_i\). 则\(X\)的数学期望,记为\(E(X)\)或\(EX\),定义为:

    \[E(X) = \sum\limits_ia_ip_i\]

    方差

    设\(X\)为随机变量,分布为\(F\),则

    \[Var(X) = E(X-EX)^2 \]

    称为\(X\)(或分布\(F\))的方差,其平方根\(\sqrt{Var(X)}\)称为\(X\)(或分布\(F\))的标准差.

    方差和标准差是刻画随机变量在其中心位置附近散布程度的数字特征。

    注意:样本方差和总体方差的区别

    统计学上对于样本方差的无偏估计使用如下公式计算:

    \[s^2 = \frac{1}{n-1} \sum\limits_{i=1}^n(x_i -\bar{x})^2 \]

    前面有一个系数\(\frac{1}{n-1}\),当时当样本数量很大的时候,\(\frac{n}{n-1}\)近似为1,可以直接使用总体方差公式进行计算。

    协方差

    协方差用来刻画两个随机变量\(X, Y\)之间的相关性,定义为

    \[Cov(X, Y) = E[(X - EX)(Y-EY)]\]

    如果协方差为正,说明X,Y同向变化,协方差越大说明同向程度越高;如果协方差为负,说明X,Y反向运动,协方差越小说明反向程度越高

    相关系数

    相关系数可以理解为标准化以后的协方差,设\(X\)的标准差为\(\sigma_x\),\(Y\)的标准差为\(\sigma_y\)定义为

    \[\rho = \frac{Cov(X, Y)}{\sigma_x\sigma_y}\]

    相关系数消除了两个变量变化幅度的影响,而只是单纯反应两个变量每单位变化时的相似程度

    协方差矩阵

    协方差只能表示两个随机变量的相关程度(二维问题),对于大于二维的随机变量,可以使用协方差矩阵表示.

    协方差矩阵的每一个值就是对应下标的两个随机变量的协方差

    对于三维协方差矩阵,\(C=\begin{bmatrix}Cov(X, X) & Cov(X, Y) & Cov(X, Z) \\ Cov(Y, X) & Cov(Y, Y) & Cov(X, Y) \\ Cov(Z, X) & Cov(Z, Y) & Cov(Z, Z)\end{bmatrix}\)

    使用NumPy包计算

    import numpy as np

    # 随机生成两个样本

    x = np.random.randint(0, 9, 1000)

    y = np.random.randint(0, 9, 1000)

    # 计算平均值

    mx = x.mean()

    my = y.mean()

    # 计算标准差

    stdx = x.std()

    stdy = y.std()

    # 计算协方差矩阵

    covxy = np.cov(x, y)

    print(covxy)

    # 我们可以手动进行验证

    # covx等于covxy[0, 0], covy等于covxy[1, 1]

    # 我们这里的计算结果应该是约等于,因为我们在计算的时候是使用的总体方差(总体方差和样本方差是稍微有点区别的)

    covx = np.mean((x - x.mean()) ** 2)

    covy = np.mean((y - y.mean()) ** 2)

    print(covx)

    print(covy)

    # 这里计算的covxy等于上面的covxy[0, 1]和covxy[1, 0],三者相等

    covxy = np.mean((x - x.mean()) * (y - y.mean()))

    print(covxy)

    # 下面计算的是相关系数矩阵(和上面的协方差矩阵是类似的)

    coefxy = np.corrcoef(x, y)

    print(coefxy)

    一组可能的输出结果:

    [[6.83907508 0.10925926]

    [0.10925926 6.53390891]]

    6.832236

    6.527375

    0.10914999999999989

    [[1. 0.01634455]

    [0.01634455 1. ]]

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    协方差矩阵在统计学和机器学习中随处可见,一般而言,可视作 方差协方差两部分组成,即方差构成了对角线上的元素,协方差构成了非对角线上的元素。本文旨在从几何角度介绍我们所熟知的协方差矩阵。

    文章结构

    1. 方差和协方差的定义
    2. 从方差/协方差到协方差矩阵
    3. 多元正态分布与线性变换
    4. 协方差矩阵的特征值分解


    1. 方差和协方差的定义


    在统计学中, 方差是用来度量 单个随机变量离散程度,而协方差则一般用来刻画 两个随机变量相似程度,其中, 方差的计算公式为
    [公式]
    其中, [公式] 表示样本量,符号 [公式] 表示观测样本的均值,这个定义在初中阶段就已经开始接触了。


    在此基础上,协方差的计算公式被定义为

    [公式]

    在公式中,符号 [公式] 分别表示两个随机变量所对应的观测样本均值,据此,我们发现:方差 [公式] 可视作随机变量 [公式] 关于其自身的协方差 [公式] .

    2. 从方差/协方差到协方差矩阵


    根据方差的定义,给定 [公式] 个随机变量 [公式] ,则这些随机变量的方差

    [公式]

    其中,为方便书写, [公式] 表示随机变量 [公式] 中的第 [公式] 个观测样本, [公式] 表示样本量,每个随机变量所对应的观测样本数量均为 [公式]


    对于这些随机变量,我们还可以根据协方差的定义,求出两两之间的协方差,即

    [公式]


    因此,协方差矩阵

    [公式]

    其中,对角线上的元素为各个随机变量的方差,非对角线上的元素为两两随机变量之间的协方差,根据协方差的定义,我们可以认定:矩阵 [公式]对称矩阵(symmetric matrix),其大小为 [公式]

    3. 多元正态分布与线性变换


    假设一个向量 [公式] 服从均值向量为 [公式] 、协方差矩阵为 [公式] 的多元正态分布(multi-variate Gaussian distribution),则
    [公式]


    令该分布的均值向量为 [公式] ,由于指数项外面的系数 [公式] 通常作为常数,故可将多元正态分布简化为

    [公式]


    再令 [公式] ,包含两个随机变量 [公式][公式] ,则协方差矩阵可写成如下形式:

    [公式]


    单位矩阵(identity matrix) [公式] 作为协方差矩阵,随机变量 [公式][公式]方差均为1,则生成如干个随机数如图1所示。

    图1 标准的二元正态分布

    在生成的若干个随机数中,每个点的似然为

    [公式]


    对图1中的所有点考虑一个线性变换(linear transformation): [公式] ,我们能够得到图2.

    图2 经过线性变换的二元正态分布,先将图1的纵坐标压缩0.5倍,再将所有点逆时针旋转30°得到。


    在线性变换中,矩阵 [公式] 被称为变换矩阵(transformation matrix),为了将图1中的点经过线性变换得到我们想要的图2,其实我们需要构造两个矩阵:

    • 尺度矩阵(scaling matrix):

    [公式]

    • 旋转矩阵(rotation matrix)

    [公式]

    其中, [公式]顺时针旋转的度数


    变换矩阵、尺度矩阵和旋转矩阵三者的关系式:
    [公式]


    在这个例子中,尺度矩阵为 [公式] ,旋转矩阵为 [公式][公式] ,故变换矩阵为

    [公式] .


    另外,需要考虑的是,经过了线性变换, [公式] 的分布是什么样子呢

    [公式] 带入前面给出的似然 [公式] ,有

    [公式]

    [公式]


    由此可以得到,多元正态分布的协方差矩阵为

    [公式] [公式] .


    4. 协方差矩阵的特征值分解


    回到我们已经学过的线性代数内容,对于任意对称矩阵 [公式] ,存在一个 特征值分解(eigenvalue decomposition, EVD)

    [公式]

    其中, [公式]的每一列都是相互正交的特征向量,且是单位向量,满足 [公式][公式]对角线上的元素是从大到小排列的特征值,非对角线上的元素均为0。


    当然,这条公式在这里也可以很容易地写成如下形式:

    [公式]

    其中, [公式] ,因此,通俗地说,任意一个协方差矩阵都可以视为线性变换的结果


    在上面的例子中,特征向量构成的矩阵

    [公式] .

    特征值构成的矩阵

    [公式] .


    到这里,我们发现:多元正态分布的概率密度是由协方差矩阵的特征向量控制旋转(rotation)特征值控制尺度(scale),除了协方差矩阵,均值向量会控制概率密度的位置,在图1和图2中,均值向量为 [公式] ,因此,概率密度的中心位于坐标原点。

    相关参考:

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    在这里插入图片描述

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    方差

    方差一般写为: σ 2 \sigma^2 σ2 V a r ( x ) Var(x) Var(x)
    σ 2 = ∑ ( X − μ ) 2 N \sigma^2=\frac{\sum(X-\mu)^2}{N} σ2=N(Xμ)2
    X X X为统计数据, μ \mu μ为样本均值, N N N为样本数.

    方差描述样本偏离均值的程度,或者说是样本的分散程度。

    协方差

    协方差一般用 C o v ( x , x ) Cov(x,x) Cov(x,x)表示
    c o v ( x , y ) = 1 n ∑ i n ( x i − μ x ) ( y i − μ y ) cov(x, y)=\frac{1}{n}\sum_i^n(x_i-\mu_x)(y_i-\mu_y) cov(x,y)=n1in(xiμx)(yiμy)
    协方差表示了两个随机变量的一致的分散程度,将协方差进行归一化就可以得到两个变量的相关系数。
    ρ = c o v ( x , y ) s t d ( x ) ∗ s t d ( y ) \rho=\frac{cov(x,y)}{std(x)*std(y)} ρ=std(x)std(y)cov(x,y)
    其中,标准差 s t d ( x ) = v a r ( x ) std(x)=\sqrt{var(x)} std(x)=var(x)

    方差与协方差的区别与联系

    方差是一个随机变量的统计数据,协方差是两个随机变量的统计数据,若两个随机变量是相同的,则他们的协方差与方差相等。即 C o v ( x , x ) = V a r ( x ) Cov(x,x)=Var(x) Cov(x,x)=Var(x).

    协方差的一些性质:
    C o v ( x , y ) = C o v ( y , x ) Cov(x,y)=Cov(y,x) Cov(x,y)=Cov(y,x)
    如果x,y相互独立,意味着两个变量之间没有任何关系,则 C o v ( x , y ) = 0 Cov(x,y)=0 Cov(x,y)=0

    展开全文
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    协方差矩阵在统计学和机器学习中随处可见,一般而言,可视作方差协方差两部分组成,即方差构成了对角线上的元素,协方差构成了非对角线上的元素。本文旨在从几何角度介绍我们所熟知的协方差矩阵。

    1. 方差和协方差的定义

    在统计学中,方差是用来度量单个随机变量的离散程度,而协方差则一般用来刻画两个随机变量的相似程度,其中,方差的计算公式如下:


    其中,n表示样本量,符号\overline{x}表示观测样本的均值,这个定义在初中阶段就已经开始接触了。

    在此基础上,协方差的计算公式被定义为:


    在公式中,符号\overline{x}\overline{y}分别表示两个随机变量所对应的观测样本均值,据此,我们发现:方差可视作随机变量x关于其自身的协方差 .

    百度百科对其的解释如下:

    协方差表示的是两个变量的总体的误差,这与只表示一个变量误差的方差不同。

    • 如果两个变量的变化趋势一致,也就是说如果其中一个大于自身的期望值,另外一个也大于自身的期望值,那么两个变量之间的协方差就是正值。
    • 如果两个变量的变化趋势相反,即其中一个大于自身的期望值,另外一个却小于自身的期望值,那么两个变量之间的协方差就是负值。

     

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方差协方差法