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  • 几何分布期望与方差推导

    千次阅读 2020-01-06 14:37:06
    https://blog.csdn.net/sinat_37321923/article/details/77493672
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  • 概率论各种基础分布期望和方差推导过程汇总

    万次阅读 多人点赞 2019-06-24 00:08:16
    \sigma^2/n)X∼N(μ,σ2/n) 注释 九、抽样分布(2) 样本方差 S2S^2S2 十、正态变量的幂的统计量 注释 一、0-1分布 XXX~ B(1,p)B(1,p)B(1,p) E(X)=p∗1+(1−p)∗0=pE(X)=p*1+(1-p)*0=pE(X)=p∗1+(1−p)∗0=p 显然 E(X2...

    一、0-1分布 X X X~ B ( 1 , p ) B(1,p) B(1,p)

    E ( X ) = p ∗ 1 + ( 1 − p ) ∗ 0 = p E(X)=p*1+(1-p)*0=p E(X)=p1+(1p)0=p

    显然 E ( X 2 ) = 0 2 ∗ ( 1 − p ) + 1 2 ∗ p = p E(X^2)=0^2*(1-p)+1^2*p=p E(X2)=02(1p)+12p=p

    D ( X ) = E ( X 2 ) − E ( X ) 2 = p − p 2 = p ( 1 − p ) D(X)=E(X^2)-E(X)^2=p-p^2=p(1-p) D(X)=E(X2)E(X)2=pp2=p(1p)

    二、二项分布 X X X~ B ( n , p ) B(n,p) B(n,p)

    可认为 X = X 1 + X 2 + ⋯ + X n X=X_1+X_2+\cdots +X_n X=X1+X2++Xn X i X_i Xi~ B ( 1 , p ) B(1,p) B(1,p)
    E ( X ) = E ( X 1 + X 2 + ⋯ + X n ) = ∑ i = 1 n E ( X i ) = n p E(X)=E(X_1+X_2+\cdots +X_n)=\sum\limits^n_{i=1}E(X_i)=np E(X)=E(X1+X2++Xn)=i=1nE(Xi)=np
    D ( X ) = D ( ∑ i = 1 n X i ) = ∑ i = 1 n D ( X i ) = n p ( 1 − p ) D(X)=D(\sum\limits^n_{i=1}X_i)=\sum\limits^n_{i=1}D(X_i)=np(1-p) D(X)=D(i=1nXi)=i=1nD(Xi)=np(1p)

    三、均匀分布 X X X~ U ( a , b ) U(a,b) U(a,b)

    X X X的概率密度为 f ( x ) = { 1 b − a , a < x < b 0 其 他 f(x)=\begin{cases}\dfrac{1}{b-a} ,&a<x<b\\0 &其他\end{cases} f(x)=ba1,0a<x<b
    E ( X ) = ∫ − ∞ ∞ x f ( x ) d x = ∫ a b x b − a d x = a + b 2 E(X)=\int\limits^{\infty}_{-\infty}xf(x)dx=\int\limits^b_a\dfrac{x}{b-a}dx=\dfrac{a+b}{2} E(X)=xf(x)dx=abbaxdx=2a+b
    D ( X ) = E ( X 2 ) − E ( X ) 2 = ∫ − ∞ ∞ x 2 f ( x ) d x − ( a + b 2 ) 2 = ( b − a ) 2 12 D(X)=E(X^2)-E(X)^2=\int\limits^{\infty}_{-\infty}x^2f(x)dx-(\dfrac{a+b}{2})^2=\dfrac{(b-a)^2}{12} D(X)=E(X2)E(X)2=x2f(x)dx(2a+b)2=12(ba)2

    四、泊松分布 X X X~ π ( λ ) , P ( λ ) \pi(\lambda),P(\lambda) π(λ),P(λ)

    P ( X = k ) = λ k k ! e − λ P(X=k)=\dfrac{\lambda ^k}{k!}e^{-\lambda} P(X=k)=k!λkeλ
    E ( X ) = ∑ k = 0 ∞ k λ k k ! e − λ = 0 λ 0 0 ! e − λ + λ e − λ ∑ k − 1 = 0 ∞ λ k − 1 ( k − 1 ) ! = λ e − λ e λ = λ E(X)=\sum\limits^{\infty}_{k=0}k\dfrac{\lambda ^k}{k!}e^{-\lambda}=0\dfrac{\lambda ^0}{0!}e^{-\lambda}+\lambda e^{-\lambda}\sum\limits^{\infty}_{k-1=0}\dfrac{\lambda ^{k-1}}{(k-1)!}=\lambda e^{-\lambda}e^{\lambda}=\lambda E(X)=k=0kk!λkeλ=00!λ0eλ+λeλk1=0(k1)!λk1=λeλeλ=λ

    注释

    e x e^x ex x = 0 x=0 x=0处展开 e x = 1 + x + x 2 / 2 ! + … + x n / n ! + … = ∑ n = 0 ∞ x n n ! e^x=1+x+x^2/2!+…+x^n/n!+…=\sum\limits^\infty_{n=0}\dfrac{x^n}{n!} ex=1+x+x2/2!++xn/n!+=n=0n!xn

    同时 E [ X ( X − 1 ) ] = ∑ k = 0 ∞ k ( k − 1 ) λ k k ! e − λ = λ 2 E[X(X-1)]=\sum\limits^{\infty}_{k=0}k(k-1)\dfrac{\lambda ^k}{k!}e^{-\lambda}=\lambda^2 E[X(X1)]=k=0k(k1)k!λkeλ=λ2
    所以 E ( X 2 ) = E ( X ( X − 1 ) + X ) = E [ X ( X − 1 ) ] + E ( X ) = λ 2 + λ E(X^2)=E(X(X-1)+X)=E[X(X-1)]+E(X)=\lambda^2+\lambda E(X2)=E(X(X1)+X)=E[X(X1)]+E(X)=λ2+λ

    D ( X ) = E ( X 2 ) − E ( X ) 2 = λ 2 + λ − λ 2 = λ D(X)=E(X^2)-E(X)^2=\lambda^2+\lambda-\lambda^2=\lambda D(X)=E(X2)E(X)2=λ2+λλ2=λ

    五、 指数分布 X X X~ E ( θ ) E(\theta) E(θ)

    f ( x ) = { 1 θ e − x / θ , x > 0 0 x ≤ 0 , ( θ > 0 ) f(x)=\begin{cases}\dfrac{1}{\theta } e^{-x/\theta },&x> 0\\0 &x\le0\end{cases},(\theta>0) f(x)=θ1ex/θ,0x>0x0,(θ>0)
    (这是其中一种形式,还有形式有 λ = 1 / θ \lambda=1/\theta λ=1/θ作为参数的等等)
    E ( X ) = ∫ − ∞ ∞ x f ( x ) d x E(X)=\int\limits^{\infty}_{-\infty}xf(x)dx E(X)=xf(x)dx
    = ∫ 0 ∞ x 1 θ e − x / θ d x =\int\limits^{\infty}_{0}x\dfrac{1}{\theta } e^{-x/\theta }dx =0xθ1ex/θdx
    = [ 1 θ x ( − θ ) e − x / θ − ∫ 1 θ ( − θ ) e − x / θ d x ] 0 ∞ =\Big[\dfrac{1}{\theta }x(-\theta)e^{-x/\theta }-\int \dfrac{1}{\theta } (-\theta)e^{-x/\theta }dx\Big]^{\infty}_{0} =[θ1x(θ)ex/θθ1(θ)ex/θdx]0
    = [ − x e − x / θ − θ e − x / θ ] 0 ∞ =\Big[ -xe^{-x/\theta } -\theta e^{-x/\theta } \Big]^{\infty}_{0} =[xex/θθex/θ]0
    = θ =\theta =θ

    同理 E ( X 2 ) = ∫ − ∞ ∞ x 2 f ( x ) d x = 2 θ 2 E(X^2)=\int\limits^{\infty}_{-\infty}x^2f(x)dx=2\theta^2 E(X2)=x2f(x)dx=2θ2

    D ( X ) = E ( X 2 ) − E ( X ) 2 = 2 θ 2 − θ 2 = θ 2 D(X)=E(X^2)-E(X)^2=2\theta^2-\theta^2=\theta^2 D(X)=E(X2)E(X)2=2θ2θ2=θ2

    六、正态/高斯分布 X X X~ N ( μ , σ 2 ) N(\mu,\sigma^2) N(μ,σ2)

    f ( x ) = 1 2 π σ e − ( x − μ ) 2 2 σ 2 f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\dfrac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} f(x)=2π σ1e2σ2(xμ)2
    Z = X − μ σ ∴ Z ∼ N ( 0 , 1 ) Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}\therefore Z\sim N(0,1) Z=σXμZN(0,1)
    容易知道 E ( Z ) = 0 E(Z)=0 E(Z)=0, D ( Z ) = 1 D(Z)=1 D(Z)=1
    X = μ + σ Z X=\mu+\sigma Z X=μ+σZ
    E ( X ) = E ( μ + σ Z ) = μ E(X)=E(\mu+\sigma Z)=\mu E(X)=E(μ+σZ)=μ
    D ( X ) = D ( μ + σ Z ) = σ 2 D(X)=D(\mu+\sigma Z)=\sigma^2 D(X)=D(μ+σZ)=σ2
    但是事实上用定义来做也能得出这个结果

    常用结论

    X ‾ − μ σ / n ∼ N ( 0 , 1 ) \dfrac{\overline X-\mu}{\sigma/\sqrt{n}} \sim N(0,1) σ/n XμN(0,1) 证明在下面样本均值模块

    七、卡方分布 χ 2 ∼ χ 2 ( n ) \chi^2\sim \chi^2(n) χ2χ2(n)

    χ 2 ( n ) = ∑ i = 1 n X i 2 , X i ∼ N ( 0 , 1 ) \chi^2(n)=\sum\limits^n_{i=1}X_i^2,X_i\sim N(0,1) χ2(n)=i=1nXi2,XiN(0,1)

    E ( X i 2 ) = E ( ( X i − 0 ) 2 ) = D ( X i ) = 1 E(X_i^2)=E((X_i-0)^2)=D(X_i)=1 E(Xi2)=E((Xi0)2)=D(Xi)=1

    E ( χ 2 ) = E ( ∑ i = 1 n X i 2 ) = n E(\chi^2)=E(\sum\limits^n_{i=1}X_i^2)=n E(χ2)=E(i=1nXi2)=n

    D ( X i 2 ) = E ( X i 4 ) − E ( X i 2 ) 2 = 3 − 1 = 2 D(X_i^2)=E(X^4_i)-E(X_i^2)^2=3-1=2 D(Xi2)=E(Xi4)E(Xi2)2=31=2

    D ( χ 2 ) = D ( ∑ i = 1 n X i 2 ) = 2 n D(\chi^2)=D(\sum\limits^n_{i=1}X_i^2)=2n D(χ2)=D(i=1nXi2)=2n

    注释

    E ( X 4 ) = 3 , X ∼ N ( 0 , 1 ) E(X^4)=3,X\sim N(0,1) E(X4)=3,XN(0,1) 证明用 E ( g ( X ) ) = ∫ − ∞ ∞ g ( x ) f ( x ) d x E(g(X))=\int\limits^{\infty}_{-\infty}g(x)f(x)dx E(g(X))=g(x)f(x)dx方法,也可以看最下面的解释

    常用结论

    X i ∼ N ( μ , σ 2 ) X_i\sim N(\mu,\sigma^2) XiN(μ,σ2)
    1. ∑ i = 1 n ( X i − μ σ ) 2 ∼ χ 2 ( n ) \sum\limits^n_{i=1}(\dfrac{X_i-\mu}{\sigma})^2 \sim \chi^2(n) i=1n(σXiμ)2χ2(n)
    2. ( n − 1 ) S 2 σ 2 = ∑ i = 1 n ( X i − X ‾ σ ) 2 ∼ χ 2 ( n − 1 ) \dfrac{(n-1)S^2}{\sigma^2}=\sum\limits^n_{i=1}(\dfrac{X_i-\overline X}{\sigma})^2 \sim \chi^2(n-1) σ2(n1)S2=i=1n(σXiX)2χ2(n1)(在1式情况下,当 μ \mu μ未知时,用 X ‾ \overline X X来代替 μ \mu μ)
    3. X ‾ , S 2 \overline X,S^2 XS2相互独立,且 X ‾ − μ S / n ∼ t ( n − 1 ) \dfrac{\overline X-\mu}{S/\sqrt{n}} \sim t(n-1) S/n Xμt(n1)(在把 X ‾ \overline X X标准化的时候,当 σ \sigma σ未知时,用 S S S来代替 σ \sigma σ t t t t t t-分布)

    八、抽样分布(1)样本均值 X ‾ ∼ N ( μ , σ 2 / n ) \overline X \sim N(\mu,\sigma^2/n) XN(μ,σ2/n)

    我们通常定义 X ‾ = 1 n ∑ i = 1 n X i , X i ∼ N ( μ , σ 2 ) \overline X=\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}X_i,X_i\sim N(\mu,\sigma^2) X=n1i=1nXiXiN(μ,σ2)
    E ( X ‾ ) = E ( 1 n ∑ i = 1 n X i ) = 1 n ∑ i = 1 n E ( X i ) = n μ n = μ E(\overline X)=E(\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}X_i)=\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}E(X_i)=\frac{n\mu}{n}=\mu E(X)=E(n1i=1nXi)=n1i=1nE(Xi)=nnμ=μ
    D ( X ‾ ) = D ( 1 n ∑ i = 1 n X i ) = ( 1 n ) 2 ∑ i = 1 n D ( X i ) = n σ 2 n 2 = σ 2 / n D(\overline X)=D(\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}X_i)=(\dfrac{1}{n})^2\sum\limits_{i=1}^{n}D(X_i)=\dfrac{n\sigma^2}{n^2}=\sigma^2/n D(X)=D(n1i=1nXi)=(n1)2i=1nD(Xi)=n2nσ2=σ2/n

    注释

    以下证明 X ‾ ∼ N ( μ , σ 2 / n ) \overline X \sim N(\mu,\sigma^2/n) XN(μ,σ2/n)
    X ∼ N ( μ x , σ x 2 ) , Y ∼ N ( μ y , σ y 2 ) X\sim N(\mu_x,\sigma^2_x),Y\sim N(\mu_y,\sigma^2_y) XN(μx,σx2),YN(μy,σy2) X , Y X,Y X,Y独立时,则 a X + b Y aX+bY aX+bY(a,b为不全为0的系数)也遵循正态分布, a X + b Y ∼ N ( a μ x + b μ y , a 2 σ x 2 + b 2 σ y 2 ) aX+bY \sim N(a\mu_x+b\mu_y,a^2\sigma_x^2+b^2\sigma^2_y) aX+bYN(aμx+bμy,a2σx2+b2σy2)
    所以 X ‾ = 1 n ∑ i = 1 n X i ∼ N ( 1 n ∑ i = 1 n μ i , 1 n 2 ∑ i = 1 n σ i 2 ) = N ( μ , σ 2 / n ) \overline X=\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}X_i \sim N(\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}\mu_i,\dfrac{1}{n^2}\sum\limits_{i=1}^{n}\sigma^2_i)=N(\mu,\sigma^2/n) X=n1i=1nXiN(n1i=1nμi,n21i=1nσi2)=N(μ,σ2/n)

    九、抽样分布(2) 样本方差 S 2 S^2 S2

    我们通常定义 S 2 = 1 n − 1 ∑ i = 1 n ( X i − X ‾ ) 2 , X i ∼ N ( μ , σ 2 ) S^2=\dfrac{1}{n-1}\sum\limits_{i=1}^{n}(X_i-\overline X)^2,X_i\sim N(\mu,\sigma^2) S2=n11i=1n(XiX)2XiN(μ,σ2)
    E ( S 2 ) = E [ 1 n − 1 ( ( ∑ i = 1 n X i 2 ) − n X ‾ 2 ) ] E(S^2)=E[\dfrac{1}{n-1}((\sum\limits_{i=1}^{n}X_i^2)-n\overline X^2)] E(S2)=E[n11((i=1nXi2)nX2)]
    = 1 n − 1 [ ( ∑ i = 1 n E ( X i 2 ) ) − n E ( X ‾ 2 ) ] =\dfrac{1}{n-1}[(\sum\limits_{i=1}^{n}E(X_i^2))-nE(\overline X^2)] =n11[(i=1nE(Xi2))nE(X2)]
    = 1 n − 1 [ ( ∑ i = 1 n σ 2 + μ 2 ) − n ( σ 2 / n + μ 2 ) ] =\dfrac{1}{n-1}[(\sum\limits_{i=1}^{n}\sigma^2+\mu^2)-n(\sigma^2/n+\mu^2)] =n11[(i=1nσ2+μ2)n(σ2/n+μ2)]
    = σ 2 =\sigma^2 =σ2

    实际上在上面提到对 S 2 S^2 S2 ( n − 1 ) S 2 σ 2 = ∑ i = 1 n ( X i − X ‾ σ ) 2 ∼ χ 2 ( n − 1 ) \dfrac{(n-1)S^2}{\sigma^2}=\sum\limits_{i=1}^{n}(\dfrac{X_i-\overline X}{\sigma})^2 \sim \chi^2(n-1) σ2(n1)S2=i=1n(σXiX)2χ2(n1)
    所以 2 ( n − 1 ) = D ( ( n − 1 ) S 2 σ 2 ) = ( n − 1 ) 2 σ 4 D ( S 2 ) 2(n-1)=D(\dfrac{(n-1)S^2}{\sigma^2})=\dfrac{(n-1)^2}{\sigma^4}D(S^2) 2(n1)=D(σ2(n1)S2)=σ4(n1)2D(S2),即

    D ( S 2 ) = 2 σ 4 n − 1 D(S^2)=\dfrac{2\sigma^4}{n-1} D(S2)=n12σ4

    反过来想,有 E ( ∑ i = 1 n ( X i − X ‾ ) 2 ) E(\sum\limits_{i=1}^{n}(X_i-\overline X)^2) E(i=1n(XiX)2)
    = ( n − 1 ) E ( 1 n − 1 ∑ i = 1 n ( X i − X ‾ ) 2 ) =(n-1)E(\dfrac{1}{n-1}\sum\limits_{i=1}^{n}(X_i-\overline X)^2) =(n1)E(n11i=1n(XiX)2)
    = ( n − 1 ) E ( S 2 ) =(n-1)E(S^2) =(n1)E(S2) = ( n − 1 ) σ 2 =(n-1)\sigma^2 =(n1)σ2

    十、正态变量的幂的统计量

    假设 X ∼ N ( μ , σ 2 ) X\sim N(\mu,\sigma^2) XN(μ,σ2)

    仍然有 Z = X − μ σ Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma} Z=σXμ Z ∼ N ( 0 , 1 ) Z\sim N(0,1) ZN(0,1)

    E ( X 2 ) = D ( X ) + E ( X ) 2 = σ 2 + μ 2 E(X^2)=D(X)+E(X)^2=\sigma^2+\mu^2 E(X2)=D(X)+E(X)2=σ2+μ2.

    由于 E ( Z 3 ) = ∫ − ∞ ∞ z 3 φ ( z ) d z E(Z^3)=\int\limits^\infty_{-\infty}z^3\varphi(z)dz E(Z3)=z3φ(z)dz,且 φ ( z ) \varphi(z) φ(z)是偶函数, z 3 z^3 z3是奇函数,
    ∫ 0 ∞ z 3 φ ( z ) d z \int\limits^\infty_{0}z^3\varphi(z)dz 0z3φ(z)dz
    = ∫ 0 ∞ z 3 1 2 π e − z 2 / 2 d z =\int\limits^\infty_{0}z^3\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-z^2/2}dz =0z32π 1ez2/2dz
    = ∫ 0 ∞ z 3 2 3 / 2 2 3 / 2 2 π 2 e − z 2 / 2 d z 2 =\int\limits^\infty_{0} \dfrac{z^3}{2^{3/2}} \dfrac{2^{3/2}}{\sqrt{2\pi}} \sqrt{2}e^{-z^2/2}d\dfrac{z}{\sqrt{2}} =023/2z32π 23/22 ez2/2d2 z
    = 2 2 π ∫ 0 ∞ t 3 e − t 2 d t =\dfrac{2\sqrt{2}}{\sqrt{\pi}}\int\limits^\infty_{0}t^3e^{-t^2}dt =π 22 0t3et2dt, ( t = z / 2 ) (t=z/\sqrt{2}) (t=z/2 )
    = 2 2 π 1 2 Γ ( 2 ) = 2 π =\dfrac{2\sqrt{2}}{\sqrt{\pi}}\dfrac{1}{2}\Gamma(2)=\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{\pi}} =π 22 21Γ(2)=π 2
    所以此积分收敛, E ( Z 3 ) = 0 E(Z^3)=0 E(Z3)=0
    同理可得 E ( Z 4 ) = 4 π Γ ( 5 2 ) = 3 E(Z^4)=\dfrac{4}{\sqrt{\pi}}\Gamma(\dfrac{5}{2})=3 E(Z4)=π 4Γ(25)=3等等

    注释

    事实上,有 ∫ 0 ∞ z n φ ( z ) d z = 2 n 2 π Γ ( n + 1 2 ) ( n ∈ Z + ) \int\limits^\infty_{0}z^n\varphi(z)dz=\dfrac{\sqrt{2}^n}{2\sqrt{\pi}}\Gamma(\dfrac{n+1}{2})(n\in Z^+) 0znφ(z)dz=2π 2 nΓ(2n+1)(nZ+)
    所以
    ∫ − ∞ ∞ z n φ ( z ) d z = { 2 n π Γ ( n + 1 2 ) ( n = 2 k ) 0 ( n = 2 k + 1 ) ( k ∈ Z + ) \int\limits^\infty_{-\infty}z^n\varphi(z)dz=\left\{ \begin{aligned} \dfrac{\sqrt{2}^n}{\sqrt{\pi}}\Gamma(\dfrac{n+1}{2}) & & (n=2k) \\ 0 & & (n=2k+1) \\ \end{aligned} \right.(k\in Z^+) znφ(z)dz=π 2 nΓ(2n+1)0(n=2k)(n=2k+1)(kZ+)
    其中 Γ ( x ) \Gamma(x) Γ(x) Γ \Gamma Γ函数。 Γ ( a + 1 ) = a Γ ( a ) = a ! , Γ ( 1 / 2 ) = π \Gamma(a+1)=a\Gamma(a)=a!,\Gamma(1/2)=\sqrt{\pi} Γ(a+1)=aΓ(a)=a!,Γ(1/2)=π

    另一方面
    E ( Z 3 ) = E ( X − μ σ ) 3 = E ( 1 σ 3 ( X 3 − 3 μ X 2 + 3 μ 2 X − μ 3 ) ) E(Z^3)=E(\dfrac{X-\mu}{\sigma})^3=E(\dfrac{1}{\sigma^3}(X^3-3\mu X^2+3\mu^2X-\mu^3)) E(Z3)=E(σXμ)3=E(σ31(X33μX2+3μ2Xμ3))
    = 1 σ 3 ( E ( X 3 ) − 3 μ E ( X 2 ) + 3 μ 2 E ( X ) − μ 3 ) =\dfrac{1}{\sigma^3}(E(X^3)-3\mu E(X^2)+3\mu^2E(X)-\mu^3) =σ31(E(X3)3μE(X2)+3μ2E(X)μ3)
    = 1 σ 3 ( E ( X 3 ) − 3 μ ( σ 2 + μ 2 ) + 3 μ 2 μ − μ 3 ) =\dfrac{1}{\sigma^3}(E(X^3)-3\mu(\sigma^2+\mu^2)+3\mu^2\mu-\mu^3) =σ31(E(X3)3μ(σ2+μ2)+3μ2μμ3)
    可得

    E ( X 3 ) = 3 μ σ 2 + μ 3 E(X^3)=3\mu\sigma^2+\mu^3 E(X3)=3μσ2+μ3

    以这种方法可以算出高次幂的期望,进而根据 D ( X n ) = E ( X 2 n ) − E ( X n ) 2 D(X^n)=E(X^{2n})-E(X^n)^2 D(Xn)=E(X2n)E(Xn)2可以算出高次幂的方差。

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  • 几何分布期望,方差推导

    万次阅读 多人点赞 2017-08-23 03:07:11
    几何分布的期望,方差推导

    几何分布的概率质量函数:

    p(k)=p(1p)k1,for k = 1,2,3,...

    期望推导:
    E(k)=k=1nkp(1p)k1=pk=1nk(1p)k1=p(1+2q+3q2+...+nqn1)q=(1-p)

    使用倍差法/错位相减法求和:
    Sk=1+2q+3q2+...+nqn1(1)
    qSk=q+2q2+3q3+...(n1)qn1+nqn(2)
    (1)(2):(1q)Sk=1+q+q2+q3+...+qn1nqn=1qn1qnqn
    Sk=1qn(1q)2nqn1q
    考虑 n+ 的情况
    0<q<1
    limn+qn=0limn+Sk=1(1q)2
    E(k)=p(1q)2=1p
    方差推导:
    E(k2)=k=1nk2p(1p)k1=pk=1nk2(1p)k1=p(1+22q+32q2+...+n2qn1)
    只要对括号内求和即可得到结果:
    T=1+22q+32q2+...+n2qn1=(q+2q2+3q3+...+nqn)E(k)qSk
    qSk 进行求导即可得到 T(n+) :
    limn+qSk=q(1q)2
    [q(1q)2]=1q2(1q)4=1+q(1q)3=T
    E(k2)=pT=1+q(1q)2
    最终得到方差为:
    Var(k)=E(k2)E(k)2=1+q(1q)21p2=qp2=1pp2

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  • 偏差与方差推导

    千次阅读 2018-06-12 19:56:26
    本文参照周志华老师西瓜书上的推导过程学习心得:周老师书上对于这个推导,数学符号表达太过于漂亮,个人推导学习过程中可简化符号,要清晰的理解各个统计量之间的含义,推动起来就得心应手了...

    本文参照周志华老师西瓜书上的推导过程

    学习心得:周老师书上对于这个推导,数学符号表达太过于漂亮,个人推导学习过程中可简化符号,要清晰的理解各个统计量之间的含义,推动起来就得心应手了

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  • 样本平均数的期望以及方差推导,以及样本方差的期望以及平均数的推导!统计学里经常碰到的,分享出来
  • 指数分布的期望和方差推导

    万次阅读 多人点赞 2017-01-02 22:13:30
    对于指数分布的期望和方差推导如下: 首先,指数分布属于连续型随机分布,因此,其期望E(X)为: E ( X ) = ∫ ∞ − ∞ | x | f ( x ) d x = ∫ ∞ 0 x f ( x ) d x = ∫ ∞ 0 x ⋅ λ e − λ x d x = 1 λ ...
  • 二项分布均值,方差推导

    千次阅读 2017-08-22 15:41:49
    二项分布的期望,方差推导
  • 泊松分布的期望和方差推导

    万次阅读 多人点赞 2016-10-30 00:39:33
    泊松分布是一个离散型随机变量分布,其分布律是: P ( X = k ) = λ k e − λ ...对于方差 ...因此,泊松分布的期望和方差为: E ( X ) = λ E(X)=\lambda D ( X ) = λ D(X)=\lambda
  • 伯努利分布期望,方差推导

    万次阅读 2017-08-22 15:04:46
    伯努利分布的期望,方差推导比较简单
  • 常见分布期望和方差推导

    千次阅读 2020-06-01 09:31:09
    设有一个随机变量X, 其期望存在为E(X),方差存在为D(X) 有结论D(X)=E(X2)−[E(X)]2D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2D(X)=E(X2)−[E(X)]2 1.二项分布 X~b(n, p) P{X=k}=(nk)pk(1−p)n−k, k=0,1,2,...,n P\{X=k\} = {n...
  • 方差公式推导

    千次阅读 2020-05-16 23:01:38
  • [方差公式]推导

    2021-07-28 19:39:29
    设 S2S^2S2 为方差,aveaveave 为平均数。 S2=∑i=1m(a[i]−ave)2mmS2=∑i=1m(a[i]−ave)2m2m2S2=∑i=1m(a[i]−ave)2m2S2=∑i=1m(a[i]2+ave2−2a[i]⋅ave)m2S2=∑i=1m(a[i]2−2a[i]⋅ave)+m⋅ave2m2S2=∑i=1ma[i]2−...
  • 正态分布的方差详细推导

    万次阅读 2020-03-25 15:28:03
  • 样本方差公式是如何推导出来的? - 王赟 Maigo的回答 - 知乎 https://www.zhihu.com/question/52367271/answer/130217781 先计算出期望和方差的最大似然估计,再判断他们是否有偏差,给予修正 偏差有无是通过 ...
  • 通常写为:a²-b²=(a+b)x(a-b)它的几何方法推导过程是这样的:如下图所示,四边形ABCD和四边形DEFG为正方形,边长分别为a和b,求阴影部分面积。纯手绘显然,阴影部分面积有2种求法。第一种方法阴影面积=大正方形...
  • 方差推导证明: 写在前面的唠叨: 最近这段时间一直在研究深度学习之类的东西,虽然如今对几种常见的神经网络都有了很好的了解,用起来也比较顺手,但是越学也越觉得瓶颈越来越明显了,最大的问题觉得还是数学基础...
  • 方差及常见分布的方差计算与推导

    千次阅读 多人点赞 2020-07-08 14:33:05
    1. 介绍方差定义和性质 2. 离散型随机变量(01分布,二项分布,泊松分布,几何分布,超几何分布)和连续型随机变量(均匀分布,指数分布,正态分布)分布的方差计算以及推导过程,并汇总形成表格,方便查阅和记录
  • Economic Outlook 经济 视野 马柯维茨均值方差模型在 MATLAB 与 EXCEL 下的实现与讨论 姚李天泷 天津南开大学 摘 要 深入分析马柯维茨均值方差模型以及在投资组合应用时的约束条件在综合考虑投资收益与风险平衡的...
  • 对均值、方差递推公式的推导
  • 本文始发于个人公众号:TechFlow,原创不易,求个关注今天是概率统计专题的第六篇,我们来看看方差相关的概念。方差的定义方差在我们的日常生活当中非常常见,它主要是为了提供样本离群程度的描述。举个简单的例子,...
  • 假设数据集上需要预测的样本为Y ,特征为X, 潜在模型为Y=f(X)+εY=f(X)+ \varepsilonY=f(X)+ε,其中ε∼N(0,σε)\varepsilon \sim N(0,\sigma_\varepsilon)ε...推导过程 Err(X)=E[(Y−f^(X))2]Err(X)=E[(Y-\ha...
  • 样本方差递推公式起源异变本源样本均值样本方差天演千古 起源 对于来自同一总体的随机样本 X1,X2,⋯ ,Xn−1X_1,X_2,\cdots,X_{n-1}X1​,X2​,⋯,Xn−1​,我们能够轻易地算出这个样本下的两个统计量:样本均值以及...
  • 二项分布期望和方差公式推导

    千次阅读 2021-04-26 22:13:40
    https://wenku.baidu.com/view/2b4fb3bc750bf78a6529647d27284b73f24236e2?fr=tag&word=%E4%BA%8C%E9%A1%B9%E5%88%86%E5%B8%83%E6%96%B9%E5%B7%AE
  • 首先: 1)数据有哪些类型? 离散数据,即数据的取值是不连续的。例如抛硬币 连续数据,它能取任意的数值,无限分割。例如时间 2)分布?...概率计算公式为: 期望,方差为u 2)1种连续概率分布 正态分布
  • 内容有各种常见概率分布,一般会写含义、密度函数形式、期望、方差、特征函数,其它性质感觉重要就添加(有趣但感觉没什么用的不会添加)。先介绍下在R中的使用随机数,密度函数,分布函数,分位函数的命令,使用...
  • 样本方差的期望推导

    万次阅读 多人点赞 2020-08-18 11:22:38
    主要推导 用到的条件 每一项的计算过程 总过程
  • 广义线性模型之指数分布族期望和方差推导

    千次阅读 多人点赞 2019-12-23 10:47:33
    广义线性模型(一)——指数分布族指数分布族( Linear Exponential Family)指数分布族的期望与方差证明 最近接触机器学习,学到广义线性模型。 由于广义线性模型在精算领域的运用比较广泛。顾从本篇博客开始,对...
  • 方差(variance): 模型方差不是针对某一个模型输出样本进行判定,而是指多次模型输出的结果之间的离散差异,注意这里写的多次模型,即同一模型不同时间的输出结果方差较大。方差是由训练集的数据不够导致,一方面量 ...
  • 投资组合的方差公式推导

    千次阅读 2017-12-04 23:32:00
    投资组合的方差公式推导 背景 投资组合的期望收益率 投资组合的期望收益方差 随机变量的线性组合的方差公式推导 \\(n\\) 项完全平方公式的推导 言归正传,继续推导随机变量的线性组合的方差公式 总结 ...
  • 这些性质简单推导即可得,拿来用就好了。重要的引出了协方差的概念。 3、切比雪夫不等式:意思就是随机变量如果存在均值和方差,则随机变量偏离均值的范围是有界的,即偏离均值的距离越远可能性就越小。这个不等式很...

空空如也

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方差推导