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  • 一阶微分电路和积分电路有何功能

    千次阅读 2015-09-21 16:38:49
    1:积分电路可以使输入方波转换成三角波或者斜波 微分电路可以使输入方波转换成尖脉冲波 2:积分电路电阻串联在主电路中,电容在干路中 微分则相反 3:积分电路的时间常数t要大于或者等于10倍输入脉冲宽度 微分电路的...
    1:积分电路可以使输入方波转换成三角波或者斜波
    微分电路可以使输入方波转换成尖脉冲波
    2:积分电路电阻串联在主电路中,电容在干路中
    微分则相反
    3:积分电路的时间常数t要大于或者等于10倍输入脉冲宽度
    微分电路的时间常数t要小于或者等于1/10倍的输入脉冲宽度
    4:积分电路输入和输出成积分关系
    微分电路输入和输出成微分关系
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  • 实验——一阶RC电路(试验记录)

    千次阅读 2020-04-02 23:05:58
    实验——一阶RC电路“稳态”与 “暂态”的概念一阶电路过渡过程一阶电路的定义一阶R-C电路的充电过程曲线一阶R-C电路的放电过程曲线时间常数过渡过程曲线微分电路τ值的计算与测量方法积分电路 研究一阶电路在阶跃...


    研究一阶电路在阶跃信号作用下的过渡过程。

    “稳态”与 “暂态”的概念

    在这里插入图片描述
    暂态过程就是电路由一个稳态向另一个新的稳态转变的过程

    一阶电路过渡过程

    电阻电路
    在这里插入图片描述
    电阻是耗能元件,电流随电压比例变化,
    不存在过渡过程。
    电容电路
    在这里插入图片描述

    电容为储能元件,它储存的能量为电场能量 ,其大小为:
    在这里插入图片描述
    因为能量的存储和释放需要一个过程,所以有电容的电路存在过渡过程。

    一阶电路的定义

    在这里插入图片描述

    一阶R-C电路的充电过程曲线

    在这里插入图片描述

    一阶R-C电路的放电过程曲线

    在这里插入图片描述

    时间常数

    τ=RC

    过渡过程曲线

    在这里插入图片描述
    **结论:**τ越大,过渡过程曲线变化越慢,uC达到稳态所需要的时间越长。

    微分电路

    在这里插入图片描述

    即,输出电压的大小近似与输入电压的微分成正比。
    所以称该电路为微分电路。

    在这里插入图片描述

    τ值的计算与测量方法

    τ=RC;
    法一:
    当τ=t时 U=0.368U0 (V);从输出曲线上可读出 τ值
    在这里插入图片描述
    法二:
    因曲线在t=0点处的切线与横轴的交点也是τ值,所以可通过作一过顶点的直线,求出 τ值

    积分电路

    在这里插入图片描述

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  • 输出信号与输入信号的积分成正比的电路:积分电路输出信号与输入信号的微分成正比的电路:微分电路1)一阶RC低通滤波器RC低通滤波器的电路及其幅频、相频特性如下图所示。设滤波器的输入电压为ex输出电压为ey,电路的...

    输出信号与输入信号的积分成正比的电路:积分电路

    输出信号与输入信号的微分成正比的电路:微分电路

    1)一阶RC低通滤波器

    RC低通滤波器的电路及其幅频、相频特性如下图所示。

    47c1533a5a4fef2a31e3d39b0387b04f.png

    60dd9a32f43698599b3123d9f9b112b0.png

    设滤波器的输入电压为ex输出电压为ey,电路的微分方程为:

    6274e0e8f1dd96031badef33df2b1588.png

    这是一个典型的一阶系统。令=RC,称为时间常数,对上式取拉氏变换,有:

    29d23774b95165a55a683c1b810d11f5.png

    ff2395fc8ab8604d2acaf1b7c3f9a5c7.png

    其幅频、相频特性公式为:

    b54b9d73e0927c376a2398cdc12375b6.png

    分析可知,当f很小时,A(f)=1,信号不受衰减的通过;当f很大时,A(f)=0,信号完全被阻挡,不能通过。

    2)一阶RC高通滤波器

    RC高通滤波器的电路及其幅频、相频特性如下图所示。

    46d8d17fa1e41a83260ac4ceffebc84c.png

    b0cfd44988db0e8d406dc30320edd57f.png

    设滤波器的输入电压为ex输出电压为ey,电路的微分方程为:

    614a0f8e3b421882ce95c18d9ef41087.png

    同理,令=RC,对上式取拉氏变换,有:

    8fc9bcd27a9ed100ab66eac40549acf7.png

    31abb2426b034182dbf36d7b5dba9e39.png

    其幅频、相频特性公式为:

    27f059fcad77ced490b4c912b0eda61e.png

    分析可知,当f很小时,A(f)=0,信号完全被阻挡,不能通过;当f很大时,A(f)=1信号不受衰减的通过.

    3)RC带通滤波器

    带通滤波器可以看作为低通滤波器和高通滤波器的串联,其电路及其幅频、相频特性如下图所示。

    a50edfaaba252e41abc1de8481c18658.png

    86c784a705222c6d39f403455cb6468e.png

    其幅频、相频特性公式为: H(s) = H1(s) * H2(s)

    式中H1(s)为高通滤波器的传递函数,H2(s)为低通滤波器的传递函数。有:

    8ebe8cdaa0fbd1ac1c97b292eb42a1e3.png

    这时极低和极高的频率成分都完全被阻挡,不能通过;只有位于频率通带内的信号频率成分能通过。

    须要注意,当高、低通两级串联时,应消除两级耦合时的相互影响,因为后一级成为前一级的“负载”,而前一级又是后一级的信号源内阻.实际上两级间常用射极输出器或者用运算放大器进行隔离.所以实际的带通滤波器常常是有源的.有源滤波器由RC调谐网络和运算放大器组成.运算放大器既可作为级间隔离作用,又可起信号幅值的放大作用.

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  • 惯性环节-积分电路-一阶低通滤波电路
  • 目录动态电路的方程及其初始条件一阶电路零输入响应一阶电路零状态响应一阶电路全响应三要素法二阶电路零输入响应二阶电路零状态响应二阶电路全响应一阶电路和二阶电路的阶跃响应 动态电路的方程及其初始条件 动态...

    动态电路的方程及其初始条件

    动态电路即指含有电容电感等动态原件的电路,在条件发生变化时(如加入激励源、阶跃响应等),电路响应发生变化。电路响应发生变化的时间很短,在0-—0+之间,这个过渡过程就叫做换路。
    所谓动态电路,也即能够用常微分方程来描述的电路,本文讨论分别用一阶常微分方程和二阶常微分方程来描述的一阶动态电路和二阶动态电路。
    我们在分析的过程中将 iL(0+) 和 uc(0+) 作为独立的初始条件(在后续的求解中先求出独立的初始条件),其余均为非独立的初始条件。
    对于电容:
    uc(t)=uc(t0)+1/C0ticdtu_c(t) = u_c(t_0)+1/C\int_0^t i_cdt
    uc(0+)=uc(0)+1/C00+icdtu_c(0_+)=u_c(0_-)+1/C\int_{0_-}^{0_+} i_cdt
    对电感:
    iL(t)=iL(t0)+1/L0tuLdti_L(t) = i_L(t_0)+1/L\int_0^tu_Ldt
    iL(0+)=iL(0)+1/L00+uLdti_L(0_+)=i_L(0_-)+1/L\int_{0_-}^{0_+}u_Ldt

    (上述几个公式很重要,在如冲激激励时可直接套用计算)
    由于 ic 有限,uc不能跳变,同理可用于 uL,iL

    于是就有换路定理:
    uc(0+)=uc(0) u_c(0_+)=u_c(0_-)
    iL(0+)=iL(0) i_L(0_+)=i_L(0_-)

    于是,在换路瞬间,电容可以看作电压源或视为短路;电感可以看作电流源或视为开路

    !!!但在电路达到稳态时,电容视为开路;电感视为短路

    一阶电路零输入响应

    所谓零输入响应,就是指在换路后没有激励源激励作用,电路的响应全由动态原件初始储能提供。
    具体由RC串联电路和RL并联电路推导解常微分方程可得:
    uc=uc(0+)etRC=U0etRCu_c=u_c(0_+)e^{-\frac{t}{RC}}=U_0e^{-\frac{t}{RC}}
    iL=iL(0+)etRL=I0etRLi_L=i_L(0_+)e^{-t\frac{R}{L}}=I_0e^{-t\frac{R}{L}}
    此外,电容放电过程中电容电场能全部被电阻吸收转化为热能
    WR=12CU02W_R=\frac{1}{2}CU_0^2
    (工程上一般认为 3—5τ 电容放电结束)

    一阶电路零状态响应

    零状态响应就是动态原件初始储能为0,外加激励源供电路响应。
    具体由RC串联电路和RL并联电路推导解常微分方程可得:
    uc=UsUsetτ=Us(1etτ)u_c=U_s-U_se^{-\frac{t}{τ}}=U_s(1-e^{-\frac{t}{τ}})
    iL=IsIsetτ=Is(1etτ)i_L=I_s-I_se^{-\frac{t}{τ}}=I_s(1-e^{-\frac{t}{τ}})

    同样有:
    WR=12CUs2W_R=\frac{1}{2}CU_s^2

    一阶电路全响应

    全响应 = 零输入响应 + 零状态响应
    ex:
    uc=U0etτ+Us(1etτ)u_c=U_0e^{-\frac{t}{τ}}+U_s(1-e^{-\frac{t}{τ}})

    或者
    全响应 = 强制分量 + 自由分量
    全响应 = 稳态分量 + 暂态分量
    ex:
    uc=Us+(U0Us)etτu_c=U_s+(U_0-U_s)e^{-\frac{t}{τ}}
    (考察什么时候电路立即进入稳态,即暂态响应为零)

    三要素法

    三要素法不同于以上所述经典法,其公式如下:
    f(t)=f()+[f(0+)f()]et/τ f(t)=f(∞)+[f(0_+)-f(∞)]*e^{-t/τ}
    因此只需要求出:

    • 初始值f(0+)f(0_+)
    • 稳态量f()f(∞)
    • 时间常数ττ(RC、L/R)

    即可。
    通常,初始值由换路定理确定,稳态量在稳态后(电容开路、电感短路)对电路进行分析求得,时间常数主要在于求R(Req

    注意:三要素法仅适用于一阶电路!

    PLUS:
    以下情况若左边为电流源则可以等效为两个一阶电路串联,互不影响,分别求解;若为电压源则不能作此等效,具体证明过程就不给出。
    在这里插入图片描述
    同理下图若左边为电压源则可以等效为两个一阶电路并联,互不影响,分别求解。
    在这里插入图片描述

    二阶电路过渡过程的判定

    在分析二阶电路时,先列出二阶常微分方程(可先从电路的状态方程入手)
    ex:
    LCd2ucdt2+RCducdt+uc=0LC\frac{d^2u_c}{dt^2}+RC\frac{du_c}{dt}+u_c=0
    解常微分方程:
    LCp2+RCp+1=0LCp^2+RCp+1=0
    求得特征值p1、p2
    1)若p1、p2为两个不相等的实根,则电路为非振荡放电过程(过阻尼),R>2L/CR>2\sqrt{L/C}
    2)若p1、p2为两个相等的实根,为临界阻尼状态,R=2L/CR=2\sqrt{L/C}
    3)若p1、p2为共轭复数根,电路为振荡放电过程(欠阻尼),R<2L/CR<2\sqrt{L/C}

    冲激响应和阶跃响应

    阶跃响应ε(t)ε(t)

    阶跃电源作用于电路时,通常先将激励的表达式写出来,然后根据叠加定理和齐次性求解即可。

    冲激响应δ(t)δ(t)

    冲激电源激励的电路一般有两种分析方法:
    1)分两个时间段考虑

    1. t 在 0- 到 0+之间
      以下图为例分析,且假设 uc(0-)=0
      在这里插入图片描述
      电容充电,列方程
      Cducdt+ucR=δ(t)C\frac{du_c}{dt}+\frac{u_c}{R}=δ(t)
      两边积分可得:
      00+Cducdtdt+00+ucRdt=1\int_{0_-}^{0_+}C\frac{du_c}{dt}dt+\int_{0_-}^{0_+}\frac{u_c}{R}dt=1
      而uc为有限值,于是00+ucRdt=0\int_{0_-}^{0_+}\frac{u_c}{R}dt=0
      于是有:
      uc(0+)uc(0)=1Cu_c(0_+)-u_c(0_-)=\frac{1}{C}
      uc(0)=0u_c(0_-)=0 于是:
      uc(0+)=1Cuc(0)u_c(0_+)=\frac{1}{C}≠u_c(0_-)
    2. t > 0+时为零输入响应
      此时,电路只看右边回路
      uc=1CetRCu_c=\frac{1}{C}e^{-\frac{t}{RC}}
      ic=ucR=1RCetRCi_c=-\frac{u_c}{R}=-\frac{1}{RC}e^{-\frac{t}{RC}}

    又因为在冲激电流作用下 ic 跃变,于是有
    uc=1CetRCε(t)u_c=\frac{1}{C}e^{-\frac{t}{RC}}ε(t)
    ic=δ(t)1RCetRCε(t)i_c=δ(t)-\frac{1}{RC}e^{-\frac{t}{RC}}ε(t)

    图像如下:
    在这里插入图片描述
    同理可求如下RL电路的冲激激励响应
    在这里插入图片描述

    2)先求阶跃响应

    • 先令激励为ε(t)
    • 三要素法分析电路(通常先求出uc和iL
    • 然后对第二步所求得量求导
    • 根据f(t)δ(t)=f(0)δ(t)f(t)δ(t)=f(0)δ(t)运算以及消去零项
    • 整理即可得结果

    参考:
    邱关源电路第五版

    欢迎指正,侵删

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